1
一般的なガウスの法則
∫
⋅ =S∑
内部 iS
dS q r E( ) ε0
∫
∫
⋅ =VS
dV d ( ) )
0 E(r S ρr
ε
電荷が電荷密度ρ (r)で連続的に分布している場合には 複数の電荷q1, q2, …が存在するとき、
1つ制覇
ガウスの法則の応用例①
半径aの球の表面上に電荷Qが一様に帯電している場合の電場
r a
S
i) r>aのとき
r
ii) 0<r<aのとき
対称性より、電場はE(r)=E(r)erと表せる
∫
∫ ⋅ =
V S
dV
d ()
)
0 E(r S ρr
ε
ガウスの法則より
左辺＝0 E(r) d 0E(r)dS 4 0r2E(r)
S S
πε ε
ε∫ er⋅ S= ∫ = 右辺＝Q
従って4πr2E(r)=Q
故に 2
4 0
) 1
( r
r Q
E = πε Er 2er
4 0
) 1
( r
q
= πε
同様に右辺＝4πε0r2E(r) 右辺＝0よりE(r)=0
ガウスの法則の応用例②
自由空間に電荷の安定点は存在するか？
背理法を用いる
点Pが電荷（正電荷とする）安定点だとすると、こ の点Pの近傍の電場は点Pの方向を向いていな ければならない。点Pを囲む微小な閉曲面Sを考 えると、この閉曲面S上のどこでも電場は内向き なので、この閉曲面Sから湧き出る電束の和は必 ず負になる。一方、この閉曲面S内の電荷の和は
（自由空間を考えているので）当然ゼロである。し たがって、これはガウスの法則と矛盾するので、
電荷の安定点は存在し得ない。
（Earnshawの定理）
P S
E r( )
第1章レポート問題１
（１）無限に広い平面板上に、面密度ρで一様 に電荷が分布している。このとき、この平面か ら距離rの位置における電場の大きさ
E(r)をガウスの法則より求めよ．
（２）半径aの球の内部に電荷Qが一様に帯電し ている．このとき，球の中心から
rの距離の位 置における電場の大きさ
E(r)をガウスの法則より求め，その結果を横軸
r，縦軸
E(r)とするグラフに描け．
電気力線
電場の方向を結んで描いた曲線 （実体はない）
+q -q
S r E( )⋅d
電荷qから
q/ε0本の電気力線が出ていると約束すると、
電気力線の密度が電場の大きさを表す．
dS
本の電気力線
2
電荷を運ぶのに必要な仕事
er
r E r
F 2
0
' 4 ) 1 ( )
( r
q qq
= πε
′
=
∫
∫
⋅ =− ⋅−
≡ B
A B
A
r d d qq
WAB r r
r r
r F r r 2e r
0
1 4 ) '
( πε
rA
rB
q 原点O
q’
電荷q’を位置r
Aから
rBへ移動させるために必要な仕事は
)(r
−F
r d
rB
原点O dr
rA
er
dr
dr d =
⋅ r e
r原点からの距離の変化
−
=
−
=
⋅
−
=
∫ ∫
A B r
r r
AB r r
qq r dr d qq
r
W qq B
A B
A
1 1 4
' 4
' 1
4 '
0 2 0 2
0 πε πε
πε
r
r e r
始点と終点のみで決まる
（仕事が経路に依らない）
→F(r)は保存場
q=1のとき、F(r)=E(r)であるから、E(r)も保存場保存場E(r)の性質
A B C
C' 仕事が経路に依存しないので
A B C
C'
∫′
⋅
B C A
d
) (
) (r r E
0 ) (
0 ) ( )
(
) ( )
(
) ( )
(
) ( ) (
) ( )
(
) ( )
(
) ( A ) (
=
⋅
⇔
=
⋅ +
⋅
⇔
⋅
−
=
⋅
⇔
⋅
=
⋅
∫
∫
∫
∫
∫
∫
∫
′
′
′
′
A C B C A
A C B B C A
A C B B
C A
B C B
C A
d
d d
d d
d d
r r E
r r E r r E
r r E r r E
r r E r r E
∫′
⋅
A C B
d
) (
) (r r E
経路C,C’、位置A, Bは任意に選べるので、一般に
0 )
( ⋅ =
∫
Cdr r
E ←E(r)が保存場であることの数学的表現
電位
基準点r
0から別の位置rに単位電荷を運ぶために 必要な仕事、つまり単位電荷の持つ位置エネルギー
（単位はJ/C）
∫
⋅−
≡ r
r d
0
' ) ' ( )
(r Er r
φ
r
r0
) ' (r
−E dr'
=1 原点O q
) ' (r E
r q r
r
q r
0 0
0 4
1 1
1 ) 4
( 0
πε
φ πε →
−
= →∞
r
特に、原点Oにある電荷qがつくる電位は
基準点を 無限遠にとると
∑
∑∫
∫
= −
− ⋅
−
=
⋅
−
=
−
i i
i
i i
i r
r
q q d d
i
r r
r e r r r r E r
r
r rr
0
2 0
4 1 4 ' 1
' ) ' ( ) (
0 0
πε πε φ
O
E(r’) q1
q3
q2
qi
r’-ri
r’
ri
r
r0
∫
−= '
' ) ' ( 4 ) 1 (
0
r dV r
r ρr
φ πε
O dV'
r' r r-r' ρ( )r
電荷が複数存在している場合
電荷が連続的に分布している場合
第１章レポート問題２
半径aの球に電荷Qが
①表面に一様に分布している場合
②内部に一様に分布している場合
それぞれについて，球の中心からの距離rの位 置における電位を求め，横軸を
r，縦軸を
Φ(r)とするグラフに描け．
Q r
a
r φ(r)
0 a
3
電位と電場の関係
∫
∫
∫
∫
∫
∆ +
∆ +
∆ +
⋅
−
=
⋅ + ⋅
−
=
⋅ +
⋅
−
=
−
∆ +
r r r
r r r
r r
r r r
r r
r r E
r r E r r E
r r E r r E r r r
' ) ' (
' ) ' ( ' ) ' (
' ) ' ( ' ) ' ( ) ( ) (
0 0
0 0
d
d d
d φ d
φ
r r E r r E r r
r r r
r =− ⋅∆
⋅
−
≅
−
∆
+ ) ( ) ( )
∫
+∆ ' ( )( φ d
φ
r0
∆r )
φ(r φ(r+∆r)
∆r が小さければ、E(r')は近似的に一定とみなせるので O
(E x E y E z)
z y x z z y y x
x+∆ , +∆ , +∆ )− ( , , )≅− x( )∆ + y( )∆ + z( )∆
( φ r r r
φ
) ) ( , , ( ) , ,
( Exr
x z y x z y x
x ≅−
∆
−
∆
+ φ
φ
) ) ( ( ) , , ( ) , , ( lim0
r r
x x
x E x
z y x z y x
x =−
∂
≡∂
∆
−
∆ +
→
∆
φ φ φ
r r E r r
r+∆)− ( )≅− ( )⋅∆
( φ
φ を成分に分けて表すと
Δy=Δz = 0として、両辺をΔxで割ると、
従って
y,z成分に関しても同様に、
) ) ( ), ( ) (
( r r
r r
z
y E
E z
y =− ∂∂ =−
∂
∂φ φ
∂
∂
∂
∂
∂
≡ ∂
∇ x, y, z
) ( )
(r r
E =−∇φ ここで次のような演算子を定義する
：ナブラ演算子
これを用いれば、電場と電位の関係は、次のように簡単に表現できる：
ナブラ演算子はスカラー関数にかかる場合「グラディエント(gradient)」
（日本語では「勾配」）と読む
( )
) ( , ,
) , ( ) , ( ) ) ( ( ), ( ), ( ) (
r
r r r r
r r r E
φ
φ φ φ
∂
∂
∂
∂
∂
− ∂
=
∂
∂
∂
∂
∂
− ∂
=
=
z y x
z y E x
E
Ex y z
以上の結果ををまとめると
第１章レポート問題３
位置r’に置かれた電荷がつくる電位
r r r
′
= −q
4 0
) 1
( πε
φ
の勾配を計算することにより、この電荷が作る電場が
r
er
r r r
r
E −′
′
= −
−∇
= 2
4 0
) 1 ( )
( q
φ πε
となることを確認せよ。
等電位面（線）
電位の等しいような面（ 線） のこと
等電位面（線）と電気力線（電場）は必ず垂直である（さもなければ、等電位面
（線）に沿った方向へ電荷を動かしたときの仕事がゼロにならず、等電位面（線）
であることと矛盾してしまう）。
+q -q
等電位線
電気力線
