x が余計 . x, x ± 1 が混ざってる

(1)

確率P(x, t)のモーメント母関数 M(λ, t)

樋口さぶろお

龍谷大学理工学部数理情報学科

計算科学☆演習II L05(2015-05-08 Fri)

最終更新: Time-stamp: ”2015-05-08 Fri 13:49 JST hig”

今日の目標

ランダムウォークの説明から,^{モーメント母関} 数M(λ, t) を求められる.

(2)

略解:確率P(x, t)の漸化式

L05-S1

Quiz解答:離散的なランダムウォークの確率の漸化式

P(x, t+ 1) =1

7 ×P(x−2, t) +2

7 ×P(x, t) +4

7 ×P(x+ 1, t), P(x,5) =

{1 (x= 2) 0 (^他) L05-S2

Quiz解答:離散的なランダムウォークの確率の漸化式

P(x, t+ 1) =1

8 ×P(x−1, t) +4

8 ×P(x, t) +3

8 ×P(x+ 2, t), P(x,3) =

{1 (x= 2) 0 (^他)

樋口さぶろお (数理情報学科) L05確率P(x, t)のモーメント母関数M(λ, t) 計算科学☆演習II(2015) 2 / 24

(3)

略解:確率P(x, t)の漸化式

L05-S3

Quiz解答:2項係数の漸化式

t\x −2 −1 0 1 2 3 4 5 6 7

0 0 0 0 0.5 0 0.5 0 0 0 0

1 0 0 0.4 0 0.5 0 0.1 0 0 0

2 0 0.32 0 0.48 0 0.18 0 0.02 0 0

(4)

確率P(x, t)のモーメント母関数M(λ, t) 確率P(x, t)の復習

ここまで来たよ

1 略解:^確率P(x, t)^の漸化式

2 確率P(x, t)のモーメント母関数M(λ, t)

確率 P(x, t)^の復習モーメント母関数の定義 M(λ, t) の初項

P(x, t) ^を回復

3 確率シミュレーション確率シミュレーション

(5)

確率 P(x, t)の復習

確率 P(x, t)

x: 座標(整数), t: 時刻(整数)

定義 P(x, t) ^とは,^時刻 t ^に,^{ウォーカーが}x^{にいる確率} P(X(t) =x).

性質

+∞

∑

x=−∞

P(x, t) = 1. (t:^任意)

t\x · · · −1 0 1 2 · · · x · · ·

0 0 0 1 0 0 · · · 0 · · ·

1 0 0 ¹₃ ²₃ 0 · · · 0 · · ·

2 0 0 ¹₉ ⁴₉ ⁴₉ · · · 0 · · ·

...

t P(x, t)

(6)

P(x, t)の漸化式 例

X(t+ 1) =X(t) +R(t+ 1), R=

R ^確率

−1 q= 1−p

+1 p

,X(0) = 10のとき,P(x, t) の漸化式と初期条件は,

P(x, t+ 1) =pP(x−1, t) +qP(x+ 1, t), P(x,0) =

{1 (x=10) 0 (x̸=10). P(x, t) ^{の一般項を求めたい}.

高校での数列 a_t+1=Aa_t+B と比べると

x ^が余計 . x, x ± 1 ^{が混ざってる}

(7)

確率P(x, t)のモーメント母関数M(λ, t) モーメント母関数の定義

P(x, t) ^を回復

(8)

モーメント母関数 M(λ, t) の定義

誰かの思いついた超絶技巧漸化式の両辺に

1 e^λx ^をかける

2 x ^{について加える}

つまり,^両辺に,^左から,

+∞

∑

x=−∞

e

^λx

×

を‘^かける’

+∞

∑

x=−∞

e^λxP(x, t+ 1) =p

+∞

∑

x=−∞

e^λxP(x−1, t) +q

+∞

∑

x=−∞

e^λxP(x+ 1, t).

モーメント母関数M(λ, t) =

+∞

∑

x=−∞

e^λ^·^xP(x, t).

(9)

モーメント母関数とは,数列を‘関数’にパッケージしたもの. 生成関数とも. M_X(t)(λ) が正式な表記.

ところで,M, λってなに?

きくな . ^{ただの変数}

M(0, t) = 1 ラグランジュの未定乗数みたいなもの. Z変換. ラプラス変換微積分,数理モデル基礎I,ディジタル信号処理,確率統計II

左辺 =M(λ, t+ 1)^そのもの

右辺第1項も M で書きたい! そのままじゃだめ.

(10)

同様に,右辺第2項は,

=qe⁻^λM(λ, t).

結局,漸化式は,

M(λ, t+ 1) = (pe^+λ+qe⁻^λ)M(λ, t) あれっ

x ^が消えて , ^両辺の λ ^{がそろった}

ただの

t ^{についての等比数列}

じゃん.

ある意味‘対角化’ ^線形代数

公式から,

M(λ, t) = (pe^+λ+qe⁻^λ)^t×M(λ,0)

(11)

確率P(x, t)のモーメント母関数M(λ, t) M(λ, t)の初項

P(x, t) ^を回復

(12)

M(λ, t) の初項

P(x,0) = {

1 (x=10)

0 (x̸= 10) ⇝M(λ,0) =

+∞

∑

x=−∞

e^λ^·^xP(x,0) =

e

^λ^·¹⁰

結局

M(λ, t) = (pe^+λ+qe⁻^λ)^t×e^10λ

(13)

このへんの問題では,モーメント母関数M(λ, t) のことを,生成関数 Z(λ, t) と書いています. 同じものです.

L05-Q1

Quiz(P(x, t)の意味)

x の次元を m,tの次元を秒とする. 次のうち,生成関数Z(λ, t)について正しいものをいくつでも答えよう.

1 Z(λ, t)^のλ^の単位はm^である.

2 Z(λ, t)^のλ^の単位は1/m^である.

3 Z(λ, t)のλの単位は秒である.

4 Z(λ, t)^{の単位は秒である}.

5 Z(λ, t)^の単位は1/^秒である.

6 Z(λ, t)は単位のない数である.

(14)

L05-Q2

Quiz(生成関数)

時刻 t= 0 ^にx= 0 ^{から出発し},^{各時間ステップ} t^で確率 ³₉ ^でx ^から x+ 1に,確率 ⁵₉ でx から x−1 に移動,確率 ¹₉ でx にとどまるような, ペンギンのランダムウォークを考える.

時刻 t ^に,x にペンギンがいる確率を P(x, t)^とする.

1 生成関数 Z(λ, t) =

+∞

∑

x=−∞

e^λxP(x, t) ^{の満たす漸化式と},^{初項を求め} よう.

2 生成関数 Z(λ, t) ^{を求めよう}.

3 生成関数を展開して,P(1,2)を求めよう.

(15)

確率P(x, t)のモーメント母関数M(λ, t) P(x, t)を回復

P(x, t) ^を回復

(16)

P(x, t) を回復

ここ,今まで通り,X(0) = 10 でもできるんだけど,前とあわせるために, X(0) = 0 ^{としてやります}.

M(λ, t) = e^0λ(pe^+λ+qe⁻^λ)^t. Example

例題P(2,4)^{を求めたい}! 作戦1:^{項を探し出せ}! M(λ, t) = (pe^+λ+qe⁻^λ)^t.

P(2,4)は,M(λ,4) = (pe^+λ+qe⁻^λ)⁴ に含まれるe^2λ の項の係数. 展開してヒットな項を探すと,

4

C

₃

(pe

^+λ

)

³

(qe

⁻^λ

)

¹

だけ. P(2,4) =

4

C

₃

p

³

q

¹

= 4p

³

q

(17)

作戦2:ぜんぶ展開しちゃえ

2項定理

(a+b)^t=

∑t k=0

tC_ka^kb^t⁻^k, tC_k= (t

k )

= t!

k!(t−k)!

M(λ, t) =(pe^+λ+qe⁻^λ)^t

=

∑t k=0

tC_kp^kq^t⁻^ke^λ(k⁻^(t⁻^k))=

∑t k=0

e^λ(2k⁻^t)tC_kp^kq^t⁻^k

M(λ, t) =

+∞

∑

x=−∞

e^λ^·^x)P(x, t) ^{と比較すると},x= 2k−t. k= (t+x)/2

 ^t+x ^t⁻^x

(18)

L05-Q3

Quiz(2項分布でかけるP(x, t))

時刻 t= 0 に原点x= 0 から出発し,各時間ステップ tで確率pでx からx+ 1 ^に,^確率q = 1−p^でx ^から x−1に移動するランダムウォークを考える.

1 t= 2に到達する可能性のある位置x とその確率を求めよう.

2 t= 4に到達する可能性のある位置x ^{とその確率を求めよう}.

3 t= 10^にx= 0に戻ってくる確率を求めよう.

(19)

確率シミュレーション確率シミュレーション

P(x, t) ^を回復

(20)

X(T)の標本抽出

1 /∗1∗/

2 f o r( n ){

3 /∗2∗/

4 f o r( t ){

5 /∗3∗/

6 x=x+g e t r a n d o m ( g e t u n i f o r m ( ) ) ;

7 /∗4∗/

8 }

9 /∗5∗/

10 }

11 /∗6∗/

問: srand(seed),x=0,printf("%d",x) ^はどこ?

(21)

出力

X(t)⁽ⁿ⁾ t:

時刻 , ^漸化式の t ^項め

(n):

サンプル内通し番号

t= 0 t= 1 · · · t=T

n= 1 X(0)⁽¹⁾ X(1)⁽¹⁾ · · · X(T)⁽¹⁾ n= 2 X(0)⁽²⁾ X(1)⁽²⁾ · · · X(T)⁽²⁾

... ... ... ... ...

n=N X(0)^(N) X(1)^(N⁾ · · · X(T)^(N⁾

(22)

Excelを使わないで標本期待値の計算

ϕ(X(T)) = 1 N

∑N n=1

ϕ(X(T)⁽ⁿ⁾)

1 /∗1∗/

2 f o r( n ){

3 /∗2∗/

4 f o r( t ){

5 /∗3∗/

6 x=x+g e t r a n d o m ( g e t u n i f o r m ( ) ) ;

7 /∗4∗/

8 }

9 /∗5∗/

10 }

11 /∗6∗/

sum1=0, sum1+=phi(x), printf(”%f”,(double)sum1/nmax)?

(23)

比率(確率)の推定

比率(確率)の推定値=1_[条件](X(T)) =1 N

∑N n=1

1_[条件](X(T)⁽ⁿ⁾)

=^N^個のうち^‘条件’が成立しているデータの個数サンプルサイズN

count1

(24)

manaba^{出席カード提出}

https://attend.ryukoku.ac.jp

数理情報学科オープンレクチャー

2015-05-20^水 11:05-12:35 1^号館5^階1-534

台湾への留学と中枢神経における呼吸モデルについて演習の春のプチテスト

2015-05-20^水3. ^案内参照. Mathラウンジ=チューター

月火水木昼, 1号館6階1-612 or 1-614.

Visual Studio の使い方や自宅インストールにも対応できます.

x が余計 . x, x ± 1 が混ざってる

x が余計 . x, x ± 1 が混ざってる

∑

e

×

きくな . ただの変数

x が消えて , 両辺の λ がそろった

t についての等比数列

e

C

(pe

)

(qe

)

C

p

q

= 4p

q

時刻 , 漸化式の t 項め

サンプル内通し番号

count1

x ^が余計 . x, x ± 1 ^{が混ざってる}

きくな . ^{ただの変数}

x ^が消えて , ^両辺の λ ^{がそろった}

t ^{についての等比数列}

時刻 , ^漸化式の t ^項め