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平成24年度 大阪大学 解答例

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Academic year: 2021

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(1)

平成24年度 大阪大学 解答例 基礎工学部

1. (1)

(a) log(1 +x)のマクローリン展開は,log(1 +x) =x−x2 2 +x3

3 −x4 4 +· · ·. 1

xlog(1 +x) = log(1 +x)1x = 1−x 2 +x2

3 +d(x3).

 ただし,d(x3)は 残りの項がx3 で割り切れることを表すことにします.

log(1 +x)−

³ x−x2

2 +x3 3

´

x3 =

log(1 +x)1x

³ 1−x

2 +x2 3

´

x2 = d(x3)

x2 .  ∴  lim

x0

d(x3) x2 = 0

(b) ex= 1 +x+x2

2 +d(x3)より,lim

x0

ex−³

1 +x+x2 2

´

x2 = lim

x0

d(x3) x2 = 0

(別解)いずれもロピタルの定理を用いてもよい.

(2) 

(1)(a)x= 1

n とおくと,lim

n→∞

log¡ 1 + 1

n

¢n

−³ 1− 1

2n+ 1 3n2

´

1 n2

= 0

(3) 

(1 +x)1x =elog(1 +x)x1 =e1−x 2 +x2

3 +d(x3)

=e·e−x 2 ·e

x2

3 ·ed(x3)

=e³ 1−x

2+x2

8 +d(x3)´³ 1 +x2

3 +d(x3

(1 +d(x3)) =e³ 1−x

2+x2 8

´³ 1 +x2

3

´ +d(x3)

=e³ 1−x

2 +11x2 24

´

+d(x3).

よって,(1 +x)x1 −e³ 1−x

2 +11x2 24

´

=d(x3)

xlim0

(1 +x)1x −e³ 1−x

2 +11x2 24

´

x2 lim

x0

d(x3) x2 = 0.

x= 1

n とおくと,

nlim→∞n2

1 + 1 n

´n

−e

³ 1− 1

2n+ 11 24n2

´o

= 0

2. (1) 

|A−λE|λ−(a+c)λ+ (ac−b2) = 0λについて2次方程式である.2次方程式の判 別式は (a+c)2−4(ac−b2) =a2−2ac+c2+ 4b2= (a−c)2+ 4b2 で,a, b, cは実数だ から,a=cかつb= 0 のときのみ重解をもつから,異なる固有値をもつための条件は,

a6=c またはb6= 0である.

1

(2)

 異なる固有値を λ1, λ2 ,各固有値に属する固有(縦)ベクトルをx,yとすると,

Ax=λ1x, Ay=λ2yである.

 内積について,(Ax,y) = (λ1x,y) =λ1(x,y), (x, Ay) = (x,λ2y) =λ2(x,y) が成り立ちます.

 また,A=At であることに注意すると,

(Ax,y) = (Ax)ty= (xtAt)y=xt(Ay) = (x, Ay).

 よって,λ1(x,y) =λ2(x,y), (λ1−λ2)(x,y) = 0 λ16=λ2 だから,(x,y) = 0.  ∴ x⊥y (2) 

7x2−4xy+ 7y2= 9は,(x, y)

à 7 −2

−2 7

! Ã x y

!

= 9と表されます.

A=

à 7 −2

−2 7

!

とおきます.        

à x y

!

=xと表すと,7x2−4xy+ 7y2= 9 は,

xtAx= 9と表せます.

|A−λE|=λ−14λ+ 45 = (λ−5)(λ−9) = 0 より,λ= 5, 9

 λ= 5のとき,固有ベクトルは,

2x−2y= 0より,x=y à x

y

!

=t1 Ã 1

1

!

(t1 は任意の実数).

 λ= 9のとき,固有ベクトルは,

−2x−2y= 0より,x=−y.

à x y

!

=t2

à −1 1

!

(t2 は任意の実数).

直交行列P P = 1

√2

à 1 −1 1 1

!

=

à cosπ4 −sinπ4 sinπ4 cosπ4

!

とおくと,

PtAP =P1AP =

à 5 0 0 9

!

x=PX X = Ã X

Y

!

 (座標軸の回転公式))とおくと,

xtAx= (XtPt)APX =Xt(PtAP)X= 5X2+ 9Y2 したがって,xy軸をπ

4 回転移動したXY 軸上にある楕円5X2+9Y2= 9, X2

¡ 3

5

¢2+Y2= 1 を描けばよい.

(3) 

条件を満たす (x, y) x= cosθ, y= sinθ とおくと,

2

(3)

F(x, y) =G(θ) = 2 cos2θ+dcosθsinθ+ 3 sin2θ

G0(θ) =−4 sinθcosθ+d(−sin2θ+ cos2θ) + 6 sinθcosθ= 2 sinθcosθ+dcos 2θ

= sin 2θ+dcos 2θ=p

1 +d2sin(2θ+α).

 (ただし,tanα=d, −π

2 <α< π

2. このとき,1 +d2= sec2θ, sinα=dcosθ).

G0(θ) = 0 とおくと,sin(2θ+α) = 0 より,

2θ+α= 0,π,2π,3πから,θ=−α 2, π

2 −α

2, π−α 2, 3π

2 −α 2 G

³

−α 2

´

=G

³ π−α

2

´

= 2 cos2α

2 −dcosα 2 sinα

2 + 3 sin2α

2 = 1 + sin2α

2 −dcosα 2 sinα

2

= 1 + 1−cosα

2 −dsinα 2 = 3

2−cosα+dsinα

2 = 3

2−(1 +d2) cosα

2 = 3

2− 1 2 cosα G³π

2−α 2

´

=G³3π 2 −α

2

´

= 2 sin2α

2+dcosα 2 sinα

2+3 cos2α

2 = 1+cos2α

2+dcosα 2 sinα

2

= 1 + 1 + cosα

2 +ddsinα 2 =3

2 +cosα+dsinα

2 =3

2 +(1 +d2) cosα

2 = 3

2+ 1 2 cosα

−π

2 <α< π

2 ではcosα>0だから,G³π 2−α

2

´

=G³3π 2 −α

2

´

> G³

−α 2

´

=G³ π−α

2

´

 G(θ)は連続関数ですから,最大値と最小値をもち,  

x2+y2= 1は端点をもたないので,最大値・最小値は 極値をとり得る点でとることになります.

∴ θ=−α

2, π−α

2 のとき,

すなわち,点 ³ cosα

2,−sinα 2

´ ,

³

−cosα 2,sinα

2

´のとき,

最小値 3 2 − 1

2 cosα θ=π

2 −α 2, 3π

2 −α

2 のとき,

すなわち,点 ³ sinα

2,cosα 2

´ ,

³

−sinα

2,−cosα 2

´のとき,

最大値 3 2 + 1

2 cosα

         図はd= 1

2 としたものです.

(別解)ϕ(x, y) =x2+y2−1 = 0とおいて,ラグランジェの乗数法を用いると,

(

fx−λϕx= 4x+dy−2λx= 0 fy−λϕy=dx+ 6y−2λy= 0

(

(4−2λ)x+dy= 0 dx+ (6−2λ)y= 0 (x, y) = (0,0)以外の解をもつためには,

¯¯

¯¯

¯

4−2λ d d 6−2λ

¯¯

¯¯

¯= 0でなければならないか ら,これを計算して,2−20λ+ 24−d2= 0.

よって,λ=5±√ 1 +d2

2 . これを,(4−2λ)x+dy= 0に代入して,

(−1±+√

1 +d2)x+dy= 0y=1±√ 1 +d2

d x (d6= 0のとき).

d= tanαとおくと,

3

(4)

⎧⎪

⎪⎨

⎪⎪

⎩ 1 +√

1 +d2

d = 1 + secα

tanα =cosα+ 1

sinα = 2 cos2α2

2 sinα2cosα2 = cotα 2 1−√

1 +d2

d = 1−secα

tanα =cosα−1

sinα =− 2 sin2α2

2 sinα2cosα2 =−tanα 2

y= cotα

2x x2+y2= 1に代入して,最大値を与える点が求められ,

y=−tanα

2xx2+y2= 1に代入して,最小値を与える点が求められる.

 この点に, d= 0 の場合を含められることも分かる.

3. 

   8

33 = 0.242424· · ·= 0.2˙4˙ (1) 

(0,0),· · ·,(0,7) (1,0),· · ·,(1,7) (2,0),(2,1),· · ·,(2,4) の場合であるから,p2= 2×8 + 5

82 =21 64

(2) 

p4=2×83+ 4×82+ 2×8 + 5

84

pn= 2×8n1+ 4×8n2+ 2×8n3+ 4×8n4+· · ·+ 4×82+ 2×8 + 5 8n

= 2×8n3+ 4×8n4+ 2×8n3+ 4×8n4+· · ·+ 4×82+ 2×8 + 5−1

8n2 +2×8 + 5

8n

=pn2− 1 8n2 +21

8n =pn2−43 8n

(3) n= 2mとおくと,

   p2=21 82    p4=p2−43

84    p6=p4−43 86    · · ·

 +) pn=pn2−43

8n             pn

1−43 82

´

−43 84 −43

86 −· · ·−43 8n より,

pn=p2m= 1−43 82·

³ 1+1

82+· · ·+¡1 82

¢m1´

= 1−43

82·1−¡1

82

¢m

1−812

= 63−43 + 43·¡1

8

¢2m

63

= 20·8n+ 43 63·8n =20

63+ 43 63·8n

4

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