解析学 - 練習問題
2017/01/06,
西岡http://c-faculty.chuo-u
0
論理思考これが
,
数学理解のための,
第一歩:
条件
/
目的を文字式で表す問題 0.1(国家公務員-数的推理). A, B の二人が50m2 の部屋の掃除を終えるのに20分, A, Cの二人が 33m2 の部屋の掃除を終えるのに22分, B, Cの二人が 72m2 の部屋の掃除を終えるのに24分かかる. こ のとき, Cが一人で 20m2の部屋の掃除を終えるのに要する時間を答えよ.
ただし, A–Cそれぞれの単位時間あたりの作業量は一定とする.
問題 0.2. A test has twenty questions worth 100 points. The test consists of True/False questions worth 3 points each and multiple choice questions worth 11 points each. How many multiple choice questions are on the test?
1
関数の極限と連続性問題1.1. 次の極限値を求めよ. (1) lim
x→0
(1 x− 1
x3 )
, (i2) lim
x→∞
x+ 1
2x+ 3, (3) lim
x→∞
√ x x2+ 1. 問題1.2 (教科書P.53, 4). 次の関数のx→0での極限を,漸近展開を用いて求めよ.
(i) (1 +x) sinx−xcosx
x2 , (ii) exp{x2} −cosx
xsinx , (iii) 1 sin2x− 1
x2. 問題1.3. f(x), g(x)を 区間[0,1]での連続関数とする. 次を証明せよ.
f(0)< g(0)かつf(1)> g(1)なら,ある点 0< c <1 があり,そこで f(c) =g(c)となる.
2
微分問題2.1. (i) 以下の関数をy=f( g(x))
の形にしたい. 適当なf(x)とg(x)を求めよ. (1)y= (x3+x2+ 1)10, (2)y= log(x2+x+ 1), (3)y=√
1 +x2, (4)y= cos(
logx2+x+ 1) .
(ii) 上記の関数(1) – (4)を微分せよ. 問題2.2. 次が成立することを示せ: (i) 定数α̸= 0にたいし, (
eα x)′
=α eα x. (ii) 定数α̸= 0とx̸= 0にたいし, (
log|x|α)′
= α x. (iii) 定数α̸= 0, β >0にたいし, (
βα x)′
=(
αlogβ)
βα x. ⋄
問題2.3 (教科書P.53, 5). 次の関数が与えられた点で極値をとるかどうか,漸近展開を用いて調べよ. (i) x2sinx−x3ex at x= 0, (ii) x2 sinx−xsin2x at x= 0,
(iii) x2−x2cosx at x= 0, (iv) (x−1)2 logx−(x−1)2 at x= 1.
3
平均値の定理,
テイラーの定理,
応用問題3.1. 次の不等式が成立することを示せ: √
x+ 1<1 + x
2 forx >0.
問題3.2(教科書P.53, 7). f(x)がC2-級でf′′(a)̸= 0とする. 平均値の定理 f(a+h) =f(a) +h f(a+θ) に おいて, lim
h→0θ= 1/2 を示せ.
問題3.3. f(x)を3階微分可能な関数とする. 次を証明せよ. (i) a < c < xなるcがあり, f(x) =f(a) +f′(c)(x−a).
(ii) a < d < c < xなるdがあり, f(x) =f(a) +f′(a)(x−a) +f′′(d)(c−a)(x−a).
問題3.4. 次の関数の極値を調べよ.
(i) f(x) =x5−10x3+a, aは定数, (ii) g(x) =x4/5( 1−x)
, x≥0.
問題3.5. 次の極限を求めよ. (i) lim
x→0
1−ex2
x2 , (ii) lim
x→0
4x−3x
x , (iii) lim
x→0
x2 1−(1/cosx). 問題3.6. 次の議論で何処が誤りかを述べよ.
(i) lim
x→0
sinx x+ 1 = lim
x→0
(sinx)′ (1 +x)′ = lim
x→0
cosx 1 = 1.
(ii) lim
x→0
e−1/x2 x = lim
x→0
(e−1/x2)′ (x)′ = lim
x→0
2
x3·e−1/x2 =不定.
4
複素数とオイラーの等式問題4.1. 次の複素数を “ r eiθ, r >0, θは実数”の形式で表せ. (i) −i, (ii) −1, (iii) − 1
√2 +i 1
√2, (iv) −2 + 2i 問題4.2. 次の方程式を満たす複素数z をすべて求め,複素平面上に図示せよ.
(i) z3= 1, (ii) z4= 1, (iii) z3=−1.
5
不定積分,
定積分問題5.1. 次の不定積分を計算せよ. (i)
∫
(x+ 3)3dx, (ii) ∫
(4x+ 2)4dx, (iii)
∫
(4x3+ 3x2) (x4+x3+ 4)5dx, (iv)
∫ x5
1 +x6dx, (v)
∫ x√
x+ 3dx, (vi)
∫ 1
√1 + 3xdx (vii)
∫
x exdx, (viii)
∫
x2e2xdx, (ix) ∫ ( logx)2
dx, (x)
∫ logx x dx.
問題5.2. 次の不定積分を計算せよ. (i)
∫ 1
x(x+ 1)dx, (ii)
∫ 1
1 +exdx [ex=tとおく], (iii)
∫ 1
1 + cosxdx [ tanx/2 =t とおく] 問題5.3. 次の定積分を計算せよ.
(i)
∫ 1 0
(3x+ 1)3/2dx, (ii)
∫ 3 0
x√
1 +x dx, (iii)
∫ π/2 0
sin5x dx, (iv)
∫ e 1
logx
(1 +x)2dx, [ヒント: −( 1
1 +x)′= 1
(1 +x)2], (v)
∫ 3π/2 0
cosx 1 + sin2xdx.
[問題0.1 解答]: A, B, C の単位時間あたりの作業量をa, b, cとする. 条件を式にすると 20a+ 20b= 50, 22a+ 22c= 33, 24b+ 24c= 72.
この連立方程式を解けばよい. ⇒a= 1/2, b= 2, c= 1. よって, C が一人で20m2 の部屋の掃除に要す る時間は 20/1 = 20. 2
[問題0.2 解答] Letx=T /F questions, andy = Multiple Choice questions. Then we have x+y= 20, 3x+ 11y= 100.
By solving the above, we know that x= 15, y= 5. 2 [問題1.1 解答] (1) x→0とするとき,
(1 x− 1
x3 )
=x2−1 x3 → −1
0 =−∞. (2) limx→∞ 1
x = 0に注意すると, x+ 1
2x+ 3 =1 + (1/x) 2 + (3/x) → 1
2. (3) やはりlimx→∞ 1
x2 = 0に注意して x
√x2+ 1 = 1
√1 + (1/x2)→ 1
√1 = 1, 2 [問題1.2 解答] 次のテイラー展開が必要になる:
exp{x}= 1 +x+xk
2! +· · ·+xk k! +· · · , log(1−x) =−(
x+x2 2 +x3
3 +· · ·+xk k +· · ·)
, sinx=x−x3
3! +x5
5! − · · ·+ (−1)k x2k+1
(2k+ 1)! +· · ·, cosx= 1−x2
2! +x4
4!· · ·+ (−1)k x2k
(2k)!+· · ·. (i) (1 +x) sinx−xcosx
x2 = x2+x3/3−x4/6 +· · ·
x2 → 1 .
(ii) ex2−cosx
xsinx = 3x2/2 + 11x4/24 +· · · x2−x4/3! +· · · → 3
2. (iii) 1 sin2x− 1
x2 =x4/3−2x6/45 +· · · x4−x6/3 +· · · → 1
3. 2 [問題1.3 解答] h(x)≡f(x)−g(x)とおくと, h(0) =f(0)−g(0)<0かつh(1) =f(1)−g(1)>0で ある. あとは「中間値の定理」. 2
[問題2.1 解答] 合成関数の微分公式に持ち込むために,f(x), g(x)をどう選ぶかはセンス=勘と練習, (i) (1) f(x) =x10, g(x) =x3+x2+ 1. (2) f(x) = logx, g(x) =x2+x+ 1.
(3) f(x) =√
x, g(x) = 1 +x2. (4) f(x) = cosx, g(x) = log(
x2+x+ 1) . (ii) 合成関数の微分公式 (
f(g(x)))′
=f′(g(x))g′(x) をつかう. (1) f′(x) = 10x9, g′(x) = 3x2+ 2x ⇒(
(x3+x2+ 1)10 )′
= 10x(3x+ 2)(x3+x2+ 1)9. (2) f′(x) = 1/x, g′(x) = 2x+ 1 ⇒(
log(x2+x+ 1) )′
= 2x+ 1 x2+x+ 1. (3) f′(x) = 1/(2√
x), g′(x) = 2x ⇒(√ x2+ 1
)′
= 1
2√
x2+ 1 2x= x
√x2+ 1. (4) f′(x) =−sinx,前の結果(2). ⇒(
cos(
log(x2+x+1)))′
=−sin(
log(x2+x+1))
· 2x+ 1 x2+x+ 1. 2. [問題2.2 解答] (i)は合成関数の微分公式. (ii)対数関数の計算規則 よりlog|x|α=αlog|x|に注意. (iii)対数関数の定義 よりβ= exp{logβ} となるので, βα x=(
exp{(logβ)})α x
= exp{(αlogβ)x} と 変形できるから,上式の右辺に(i)を適用すれば(iii)が得られる. 2
[問題2.3解答] (i) テイラー展開を使うとx2sinx−x3ex=x2( x−x3
3! +· · ·)
−x3(
1 +x+x2 2! +· · ·)
=−x4−x5
2! +· · ·. つまり x= 0 の近傍では f(x) =x2 sinx−x3ex∼ −x4 となるので,x= 0は f(x)の極大点(f(x) =−x4 のグラフを想像すること).
(ii) テイラー展開を使うと x2 sinx−xsin2x =x2( x−x3
3!+· · ·)
−x( x−x3
3!+· · ·)2
=x5 6 −13x7
360 +· · ·. つまり x= 0 の近傍では f(x) =x2 sinx−xsin2x∼ −x5
6 となるので,x= 0はf(x)の極値では無い (f(x) =−x5 のグラフを想像すること).
(iii) テイラー展開を使うと x2−x2cos2x=x2−x2( 1− x2
2 + x4 4! +· · ·)
= x4 2 −x6
4! +· · ·. つまり x= 0 の近傍では f(x) =x2−x2 cos2x∼x4
2 となるので,x= 0はf(x)の極小点. (iv) テイラー展開を使うと,t= 0 を中心としてlog(t+ 1) =t−t2
2 +t3
3 − · · ·. t≡x−1とおくと (x−1)2logx−(x−1)2=t2(
log(t+ 1)−1)
=t2(
−t2 2 +t3
3 − · · ·)
=−t4 2 +x5
4! +· · · . つまり x= 1 の近傍では f(x) = (x−1)2logx−(x−1)2∼ −(x−1)4
2 .となり,x= 1は極大点. 2 [問題3.1 解答] f(x)≡1 + x
2 −√
x+ 1とおく.
f′(x) = 1 2−1
2· 1
√x+ 1 =
√x+ 1−1 2√
x+ 1 >0 forx >0.
f(x)は単調増加で,f(0) = 0だから, 1 +x 2 −√
x+ 1 =f(x)>0. 2 [問題3.2 解答] まず テイラーの定理より,a < s < θ hがあり,
(5.1) f(a+h) =f(a) +h f′(a) +h2
2 f′′(s) ⇒ f(a+h)−f(a)−h f′(a) = h2 2 f′′(s).
一方,平均値の定理より, 0< θ <1 があり f(a+h)−f(a)
h =f′(a+θ h).
再び平均値の定理より,a < t < θ hがあり, f′(a+θ h)−f′(a)
θ h =f′′(t)⇒ f′(a+θ h) =f′(a)+θ h f′′(t).
上の二つの式を組み合わせて, f(a+h)−f(a)
h =f′(a+θ h) =f′(a) +θ h f′′(t) ⇒ θ h f′′(t) = 1 h
{f(a+h)−f(a)−h f′(a)} .
ここで 最後の式の右辺に(5.1)を代入するとθ h f′′(t) = 1 h
h2
2 f′′(s) = h
2f′′(s). 両辺をhで割り,次に, h→0とすると, s, t→aとなるので,{
lim
h→0θ}
f′′(a) = lim
h→0θ f′′(t) = lim
h→0
1
2f′′(s) =1 2f′′(a).
仮定よりf′′(a)̸= 0 だから, lim
h→0θ= 1 2. 2
[問題3.3 解答] (i) 平均値の定理より, f(x) =f(a) +f′(c)(x−a).
(ii) f′(c)に平均値の定理を使う: a < d < cなるdがあり f′(c)−f′(a)
c−a =f′′(d)⇒f′(c) =f′(a) +f′′(d) (c−a) これを(i)に代入して,
f(x) =f(a) + (
f′(a) +f′′(d) (c−a) )
(x−a) =f(a) +f′(a)(x−a) +f′′(d)(c−a)(x−a). 2 [問題3.4 解答] (i) x=−√
6 で極大値f(−√
6) = 24√
6 +a, x=√
6 で極小値f(√
6) =−24√ 6 +a.
注: x= 0は,f′(0) = 0 だが 極大/ 極小 のどちらでもない. 増減表でこうした点を見分けること. (ii) x≥0 に注意. x= 4/9 で 極大値g(4/9) = (2/3)3/510/27. 2
[問題3.5 解答] ロピタルの定理 を使う. (i) まず d
dxex2= 2x ex2.ロピタルの定理より
xlim→0
1−ex2 x2 = lim
x→0
(1−ex2)′ (x2)′ = lim
x→0
−2x ex2 2x =−1.
(2) まず,a=eloga と合成関数の微分から (4x)′= (exlog 4)′=exlog 4·log 4 = 4x·log 4, (3x)′= (exlog 3)′ =exlog 3·log 3 = 3x·log 3. これに注意して ロピタルの定理を使うと,
xlim→0
4x−3x x = lim
x→0
(4x−3x)′ (x)′ = lim
x→0
4x·log 4−3x·log 3
1 = log 4−log 3.
(3) 分 母 分 子 に cosx を 掛 け, ロ ピ タ ル を 2 度 使 う と, lim
x→0
x2
1−(1/cosx) = lim
x→0
x2·cosx cosx−1
= lim
x→0
2x·cosx−x2·sinx
−sinx = lim
x→0
(2x·cosx−x2·sinx)′ (−sinx)′ = 2
−1 =−2. 2 [問題3.6 解答] (i) limx→0分母= 1だから ロピタルの定理は使えない. lim
x→0
sinx x+ 1 =0
1 = 0.
(ii) ロピタルの定理の使い方が間違っている.
xlim→0
e−1/x2 x = lim
x→0
1/x e1/x2 = lim
x→0
(1/x)′ (e1/x2)′ = lim
x→0
−1/x2
−(2/x3)e1/x2 = lim
x→0
x 2e1/x2 = 0
∞ = 0. 2 [問題4.1 解答] オイラーの等式: r ei θ=rcosθ+i r sinθ: r >0, iは単位虚数,θは実数. (i) sin3π
2 =−1 だから, −i =ei3π/2. (ii) cosπ =−1 だから, −1 =ei π. (iii) cos3π
4 =− 1
√2, sin3π
4 = 1
√2 だから − 1
√2 +i 1
√2 = ei3π/4. (iv) (iii) より−2 + 2i = 2√ 2
(− 1
√2 +i 1
√2 )
= 2√
2ei3π/4. 2
[問題4.2 解答] 「オイラーの等式」の応用. (i) k= 0,1,2,· · · にたいし, exp{i2k π}= 1だから z3= exp{i2k π} ⇒ zk= exp{i2kπ
3 }, k= 0,1,2.
(ii) 同様に z4= exp{i2k π} ⇒ zk= exp{i2kπ
4 }= exp{ikπ
2 }, k= 0,1,2,3.
(iii) −1 = exp{i π+i2k π} ⇒ z3= exp{i π+i2k π} ⇒ zk = exp{i(2k+ 1)π
3 }, k= 0,1,2. 2 [問題5.1 解答] (i) t≡x+ 3とおいて変数変換,
∫
(x+ 3)3dx=
∫ t3 dx
dt dt= t4
4 +C=(x+ 3)4 4 +C.
(ii) t≡4x+ 2とおいて変数変換.
∫
(4x+ 2)4dx=
∫ t4 dx
dt dt=
∫ t4 1
4 dt= t5
20+C=(4x+ 2)5
20 +C.
(iii) t≡x4+x3+ 4 とおいて変数変換,
∫
(4x3+ 3x2) (x4+x3+ 4)5dx=
∫
t5 (4x3+ 3x2)dx dt dt=
∫
t5dt=t6
6 +C= (x4+x3+ 4)6
6 +C.
(iv) t≡x6+ 1 とおいて変数変換,
∫ x5 1 +x6dx=
∫ x5 t
dx dt dt=
∫ x5 t
1
6x5 dt=1 6
∫ 1
t dt= log|t|
6 +C= log(x6+ 1)
6 +C.
(v) t≡√
x+ 3とおいて変数変換.
∫ x√
x+ 3dx=
∫
(t2−3)tdx dt dt=
∫
(t2−3)t2t dt= 2t3(t2 5 −1)
+C= 2
5(x+ 3)3/2(x−2) +C.
(vi) t≡ex+ 2とおいて変数変換. dt/dx=ex だから
∫ ex ex+ 2dx=
∫ ex t
dx dt dt=
∫ ex t
1
(dt/dx)dt=
∫ ex t
1 ex dt=
∫ 1
tdt= log|t|+C= log(ex+ 2) +C.
(vii) 部分積分を使う:
∫
x exdx=
∫ x(
ex)′
dx=x ex−
∫
(x)′exdx=x ex−
∫
exdx=x ex−ex+C.
(viii) 部分積分を使う:
∫
x2exdx=
∫ x2(
ex)′
dx=x2ex−2 (
x ex−ex)
+C=ex(
x2−2x+ 2) +C.
ここで,最後から2番目の等式には(iii)を使った. (ix) x=etとおいて変数変換. ∫ (
logx)2
dx=∫ (
loget)2 dx dt dt=
∫
t2 etdt
=et(
t2−2t+ 2)
+C=x(
(log|x|)2−2 log|x|+ 2)
+C. ここで 最後から2番目の等式には(8)を使った. (x) x=etとおいて変数変換.
∫ logx x dx=
∫ loget et
dx dt dt=
∫ t
et etdt=
∫
t dt= t2
2 +C. 2 [問題5.2 解答] (i) 部分分数分解を使う:
∫ 1
x(x+ 1)dx=∫ (1 x− 1
x+ 1
)dx= log x
x+ 1+C.
(ii) ex=t とおいて変数変換.
∫ 1
1 +exdx=
∫ 1 1 +t
dx
dt dt= log t
t+ 1+C= log ex ex+ 1+C.
(iii) (難問) tanx
2 =t とおくと, cosx= 2 cos2x
2 −1 = 2
1 + tan2x/2−1 = 2
1 +t2 −1, dt
dx = 1
2 cos2x/2 = 1 +t2 2 だから
∫ 1
1 + cosxdx=
∫ 1
2/(1 +t2) dx dt dt==
∫ 1 +t2 2
2 1 +t2dt=
∫
1dt=t+C= tanx 2 +C.
[問題5.3 解答] (i) 変数変換t= 3x+ 1とすると, dt/dx= 3となり,x= 0⇒t= 1, x= 1⇒t= 4:
∫ 1 0
(3x+ 1)3/2dx=
∫ 4 1
t3/2 1
dt/dxdx=
∫ 4 1
t3/21 3dt=
[2 5t5/21
3 ]4
1= 2 15
(32−1) = 62 15. (ii) 変数変換t= 1 +x2とすると, dt/dx= 2xとなり,x= 0⇒t= 1, x= 2⇒t= 5:
∫ 2 0
x
1 +x2dx=
∫ 5 1
x t
1
dt/dxdx=
∫ 5 1
x t
1 2xdt=
∫ 5 1
1 2
1 tdt=1
2 [
logt ]5
1= log√ 5.
(iii) 変数変換t=√
1 +xとすると, t2= 1 +x⇒2t dt/dx= 1 となり,x= 0⇒t= 1, x= 3⇒t= 2:
∫ 3 0
x√
1 +x dx=
∫ 2 1
(t2−1)t 1 dt/dxdx=
∫ 2 1
(t3−t) 2t dt= 2
∫ 2 1
(t4−t2)dt= [2t5
5 −2t3 3
]2 1=116
15. (iv) −( 1
1 +x)′= 1
(1 +x)2 を使った部分積分:
∫ e 1
logx (1 +x)2dx=
∫ e 1
(− 1 1 +x
)′
logx dx=−[ 1
1 +x logx ]e
1+
∫ e 1
1 1 +x
1 xdx
=− 1 1 +e+
∫ e 1
(1 x− 1
1 +x )
dx=− 1 1 +e +
[
logx−log(1 +x) ]e
1
= e
1 +e+ log 2−log(1 +e).
(v) [難問] 変数変換sinx=tとすると, dt/dx= cosx. x= 0⇒t= 0, x= 3π/2⇒t=−1 だから
∫ 3π/2 0
cosx
1 + sin2xdx= ( ∫ π/2
0
+
∫ 3π/2 pi/2
) cosx
1 + sin2xdx= ( ∫ 1
0
+
∫ −1 1
)cosx 1 +t2
1 dt/dxdt
= ( ∫ 1
0
+
∫ −1 1
)cosx 1 +t2
1 cosxdt=
( ∫ 1
0
+
∫ −1 1
) 1 1 +t2dt.
ここで,さらに t= tanuと変数変換,
1 +t2= 1 + tan2u= 1
cos2u, dt du = 1
cos2u だから
( ∫ 1
0
+
∫ −1 1
) 1 1 +t2dt=
( ∫ π/4
0
+
∫ −π/4 π/4
)
cos2u dt dudu=
( ∫ π/4
0
+
∫ −π/4 π/4
) 1du
=π 4 −π
4 −π 4 =−π
4. 2
以上
