裏に標準正規分布表があります

(1)

2016年6月1日（水）13:00-14:30 平成28年度前学期統計学中間試験問題 4C 担当：笠井剛 1

問題

1

ある試験を

30000

人の受験者が受け、

100

点満点のところ平均点が

63.6

、標準偏差が

13.4

でした。

受験者の得点の全体を表す確率変数／データを

X

とし、

X

は正規分布

N (63.6, 13.4

²

)

に従うと仮定します。標準正規分布表を使って

P [80 ≤ X]

を求め、

80

点の受験者はだいたい何位であるか概算して下さい。

問題

2

密度関数が次の

h(x)

で与えられる確率変数

A

について期待値

E[A]

と確率

P [0.4 ≤ A ≤ 1.2]

を求めて下さい。

h(x) =

 



2x 0 ≤ x ≤ 1 0 otherwise

問題

3

正規分布

N (5, 4)

に従う確率変数

B

について確率

P [2 ≤ B ≤ 7]

を標準正規分布表を使って求めて下さい。

問題

4

密度関数が下図の様に底辺

2d

、高さ

h

の三角形状のグラフをもつ関数

g(x)

であるような確率変数

C

の分散を求めて下さい。

ただし、

d > 0, h > 0

とします。

問題

5

次の表は、ランダムに選ばれた６本の同一種の木について、高さ

X

と幹の周長

Y

を測定したものです（単位メートル）。

X 8.7 6.8 7.9 7.0 7.1 6.1 Y 0.75 0.55 0.72 0.61 0.66 0.58

（１）

X, Y

の平均値

E[X], E[Y ]

、分散

V ar[X], V ar[Y ]

と共分散

Cov[X, Y ]

（２）

Y

の

X

への回帰直線が

y − E[Y ] = Cov[X, Y ]

V ar[X] (x − E[X])

となることを利用して、高さが

8.0

メートルの木の幹の周囲を推測して下さい。

問題

6

不等式

0 ≤ y ≤ x

²

, 0 ≤ x ≤ 2

の表す領域を

D

とし、

h(x, y) = x

²

y

とします。このとき、

D

を床とし、

D

の境界線上に垂直な壁を立て、曲

面

z = h(x, y)

を屋根として囲まれる立体の体積を求めて下さい。

問題

7

非負値関数

h(x)

が（１次元の）確率変数

X

の密度関数であるとはどう云うことか簡潔に説明して下さい。

裏に標準正規分布表があります

(2)

2016年7月25日（月）9:00-10:30 平成28年度前学期統計学定期試験問題 4C 担当：笠井剛 1

問題 1 ある日のプロ野球公式戦において６球団の安打数と得点は以下の表の通りでした。

得点A 3 2 7 1 1 2 安打B 5 8 6 5 8 8

得点データをA、安打数データをBとしてA, Bそれぞれの平均値E[A], E[B]と分散V ar[A], V ar[B]、AとBの共分散Cov[A, B]を求めて下さい。

ただし、全ての結果は一切の近似をせずに完全に正しい値を答えて下さい。分数が割り切れない場合は出来るだけ約分された分数の形で答えて下さい。

問題2 密度関数が

h(x) =











2x 0≤x≤ ¹2

−2x+ 2 ¹₂ ≤x≤1 2x−2 1≤x≤ ³2

−2x+ 4 ³₂ ≤x≤2

0 otherwise

で与えられる確率変数X の平均値と確率P£₁

4 ≤X≤ ⁵₄§

問題 3 確率変数Qが正規分布N(150,36)に従うとき、標準正規分布表を使って確率 P[165≤Q]を求めて下さい。

問題 4 ２次元の確率変数(X, Y)があって、成分確率変数X, Y は共に区間[0,1]上の一様分布に従い、互いに独立であるとします。このとき以下の問いに答えて下さい。

（１）[0,1]区間上の一様分布の密度関数f について、たたみ込み(f∗f)(x)を計算して下さい。

ただし、２つの関数v, wのたたみ込み(v∗w)(x)は (v∗w)(x) =

Z ₁

−1

v(x−y)w(y)dy で定義されるものとします。

（２）X+Y の密度関数がたたみ込み(f ∗f)(x)となることは既知とします。（１）

の結果を使って確率P[X+Y ≤1]を求めて下さい。

問題5 次の文章は正しいでしょうか、間違っているでしょうか。○/×のみで答えて下さい。

（１）標本分散の平均値は母集団の分散に一致します。

（２）標本平均の平均値は母集団の平均値に一致します。

（３）標本のサイズが十分大きければ、母集団がどんな分布であっても標本平均は正規分布で良く近似されます。

問題6 母集団Xは標準偏差10の正規分布に従っています。この母集団から大きさ25 の無作為サンプルを抽出して、そのサンプルの平均値が54.3でした。母平均の信頼度 95％の信頼区間を求めて下さい。

問題7 ある工場で生産しているスチールパイプについて、直径の平均値は20.0mmであると工場は言っています。しかし疑義が生じたためサンプルサイズ１００・有意水準１％で仮説検定することになりました。

（１）帰無仮説・対立仮説を

帰無仮説H0：『スチールパイプの直径の平均値mは20.0mmである』

対立仮説H1：『スチールパイプの直径の平均値mは20.0mmでない』

とし、帰無仮説H0が正しいと仮定して有意水準１％の両側棄却域を求めて下さい。

ただし、スチールパイプの直径の分散は、過去のデータから常に0.23²であって、この点については疑義は生じていないものとします。

（２）この工場で生産されているスチールパイプから実際に１００個取り出して直径を測定したところ、平均値が20.2mmでした。工場の主張は正しいと言えるでしょうか、有意水準１％で検定して下さい。

裏に各種分布表があります。