ヤコビ行列 D(x, y) D(r, θ) およびヤコビアン ∂(x, y) ∂(r, θ) を計算し，関数z =f(x, y)に対し次を示せ

 解析学I^{に対する追加説明}♯4

• 変数変換に関して説明しておく。

• 合成関数の導関数を求める方法を用いると別の変数に変換す ることができる。演習問題 2.17 を考える。

x = rcosθ, y = rsinθ とする(2次元の極座標表 示)。ヤコビ行列 D(x, y)

D(r, θ) およびヤコビアン ∂(x, y)

∂(r, θ) を計算し，関数z =f(x, y)に対し次を示せ。

(1) ( ∂z

∂x )2

+ (∂z

∂y )2

= (∂z

∂r )2

+ (1

r

∂z

∂θ )2

(2) ∂²z

∂x² + ∂²z

∂y² = ∂²z

∂r² + 1 r

∂z

∂r + 1 r²

∂²z

∂θ²

• 合成関数の導関数とは次のものであった。変数関係が下図の とき

z_s =z_xx_s+z_yy_s

s

t

x

y

z x_s

y_s

xt

y_t

z_x

z_y

• x, y をr, θ で微分すると

xr = cosθ, xθ =−rsinθ yr = sinθ, yθ =rcosθ よってヤコビ行列およびヤコビアンは

D(x, y) D(r, θ) =

(

x_r x_θ y_r y_θ

)

= (

cosθ −rsinθ sinθ rcosθ

)

∂(x, , y)

∂(r, θ) =

cosθ −rsinθ sinθ rcosθ

=rcos²θ+rsin²θ =r

• 合成関数の微分法より

z_r=z_xx_r+z_yy_r =z_xcosθ+z_ysinθ z_θ =z_xx_θ+z_yy_θ =−z_xrsinθ+z_yrcosθ となる。

• この式を見ると (1) は右辺を変形する方が簡単そうであるこ とに気がつく。右辺を左辺に変形することを考える。

z²_r+ (1

r zθ

)2

= (zxcosθ+zysinθ)²+ (1

r (−zxrsinθ+zyrcosθ) )2

=z_x²cos²θ+ 2z_xz_ycosθsinθ+z_y²sin²θ +z²_xsin²θ−2z_xz_ysinθcosθ+z_y²cos²θ

=z_x²+z²_y

• (2) も右辺を変形する。zx,zy に合成関数の合関数を適用する。

(z_x)_r= (z_x)_xx_r+ (z_x)_yy_r =z_xxcosθ+z_xysinθ (z_y)_r= (z_y)_xx_r+ (z_y)_yy_r =z_yxcosθ+z_yysinθ (z_x)_θ = (z_x)_xx_θ+ (z_x)_yy_θ =−z_xxrsinθ+z_xyrcosθ (z_y)_θ = (z_y)_xx_θ+ (z_y)_yy_θ =−z_yxrsinθ+z_yyrcosθ

• z_r をr で微分し，合成関数の導関数を適用する。このときr で微分するときθ が定数なことに注意すること。

z_rr = (z_r)_r = (z_xcosθ+z_ysinθ)_r= (z_x)_rcosθ+ (z_y)_rsinθ

=z_xxcos²θ+z_xysinθcosθ+z_yxcosθsinθ+z_yysin²θ

=zxxcos²θ+ 2zxysinθcosθ+zyysin²θ

zθθ = (zθ)_θ = (−zxrsinθ+zyrcosθ)_θ =−(zxrsinθ)_θ+ (zyrcosθ)_θ

=−(zx)_θrsinθ−zxr(sinθ)_θ+ (zy)_θrcosθ+zyr(cosθ)_θ

=−(

(z_x)_xx_θ+ (z_x)_yy_θ )

rsinθ−z_xrcosθ +

(

(z_y)_xx_θ+ (z_y)_yy_θ )

rcosθ−z_yrsinθ

=−(−z_xxrsinθ+z_xyrcosθ)rsinθ−z_xrcosθ + (−z_yxrsinθ+z_yyrcosθ)rcosθ−z_yrsinθ

=z_xxr²sin²θ−2z_xyr²sinθcosθ+z_yyr²cos²θ

−z_xrcosθ−z_yrsinθ z_rr+ 1

rz_r+ 1

r² z_θθ =z_xx(

cos²θ+ sin²θ)

+z_yy(

cos²θ+ sin²θ)

=z_xx+z_yy