Fermat の最終定理

Fermat の最終定理

alg-d

http://alg-d.com/math/ac/

2013 年 11 月 10 日

目次

1 導入 1

2 使用する事実について 2

3 Fermatの最終定理 3

4 Herbrandの定理 5

5 Fermatの最終定理 2 9

1 導入

Fermatの最終定理. n≥3のとき，xⁿ+yⁿ =zⁿ，xyz ̸= 0は有理整数解を持たない．

Fermatの最終定理がスキームだかなんだか難しい概念を駆使して証明されたことは良

く知られていて，私もその証明は全く分からないけれども，ある程度特殊な場合であれば それなりの知識で証明ができる．ここではそれを紹介する．

Fermatの最終定理はn = p ≥ 5が素数の場合のみ示せば十分である．(n = 3,4の場 合の証明はよく知られている．) このときp/ xyz| とp |xyz の二つの場合に分けられる が，前者を1st case，後者を2nd caseという．このPDFでは1st caseのみを扱う．(2nd caseについては[1]のChapter 9を参照．)

2 使用する事実について

定義. ζ_n:= exp (2π√

−1 n

)

． 定義. Q(ζ_n)⁺ :=Q(ζ_n+ζ_n⁻¹)．

命題 1 ([1]Prop. 1.5.). Q(ζ_p)の単数εに対して，Q(ζ_p)⁺ の単数ε₁とm∈Z^が存在し てε=ζ_p^mε₁ と書ける．

命題 2 ([1]Lem. 1.9.). α :=a₀+a₁ζ_p +· · ·+a_p−1ζ_p^p−1 ∈Z[ζ_p]として，少なくとも一 つのaiが0であるとする．このときn|αならば各iについてn|aiとなる．

命題 3 ([1]Thm. 4.14.). 自然な写像Cl_Q(ζn)⁺ −→Cl_Q(ζn)は単射である．

定義. B_n を Taylor 展開 x e^x−1 =

∑∞ n=0

B_nxⁿ

n! ^{により定義する．}B_n をBernoulli数と いう．

Bernoulli数は有理数になることが知られている．

−x

e^−x−1 = x

1−e^−x = xe^x

e^x−1 = xe^x−x+x

e^x−1 =x+ x e^x−1

により n > 0 に対して B2n+1 = 0となることが分かる．B0 = 1, B1 = −¹₂, B2 =

1

6, B4 =−₃₀¹ , B6 = ₄₂¹ , B8 =−₃₀¹ , B10 = ₆₆⁵ , B12 =−₂₇₃₀⁶⁹¹ , . . . となることが知られ ている．

命題 4 ([1]Thm. 4.2.). ζ(s)をRiemannゼータ関数とするとき，任意の正整数nに対し てζ(1−n) =−Bn

n ^．

pを奇素数とする．χ: (Z/pZ)^× −→C^{× を準同型とする．}Taylor展開

p−1∑

a=1

χ(a)xe^ax e^px−1 =

∑∞ n=0

B_n,χxⁿ n!

により B_n,χ を定める．χ = 1 とすれば，n ̸= 1 のとき B_n,1 = B_n である．また B1,1 = 1/2，B1 =−1/2．

命題 5 ([1]Prop. 4.1.). B_1,χ = 1 p

p−1

∑χ(a)a．

a ∈Z^がp/ a| を満たすとする．このとき1のp−1乗根ω(a) ∈Zp が一意に存在して a ≡ ω(a) (mod p)となる．これにより準同型ω: (Z/pZ)^× −→ Zp が定まる．ω の像は 代数的だから，ω: (Z/pZ)^× −→C^×とみなせる．(埋め込みQ−→Cp を一つ固定してお く．) ωをTeichm¨uller指標という．

命題 6 ([1]Cor. 5.15.). nが奇数でn̸≡ −1 (mod p−1)ならばB1,ωⁿ ≡ Bn+1

n+ 1 (mod p) で，またこれらはp進整数である．

3 Fermat の最終定理

まず，Kummerが証明した次の定理を証明する．

定理 7. 素数p≥5がp/ h| _Q(ζp)を満たすとき，x^p +y^p =z^p, p/ xyz| は有理整数解を持 たない．

証明. 有理整数解が存在すると仮定する．即ちx, y, z ∈Z^{が存在してとして}x^p+y^p =z^p， p/ xyz| となる．ζ := ζp としてZ[ζ]で考えると

p∏−1

i=0

(x+ζⁱy) = z^p と分解できる．故に

イデアルの式として

p∏−1

i=0

(x+ζⁱy) = (z)^p が成り立つ．i̸=j に対してイデアル(x+ζⁱy) と(x+ζ^jy)は互いに素であることが分かる．故に素イデアル分解の一意性から，あるイ デアルaを使って(x+ζy) = a^p と書ける．今p/ h| _Q(ζ)であるから，α ∈Z[ζ]が存在し てa = (α)と書ける．従って(x+ζy) = (α)^p = (α^p)．故にあるε ∈ E_Q(ζ) が存在して x+ζy =εα^p となる．命題1により，あるε₁ ∈Q(ζ)⁺ とr∈Z^{が存在して}ε =ζ^rε₁ と 書ける．よってx+ζy =ζ^rε1α^p である．α =a0+a1ζ+· · ·+ap−1ζ^p−1 (ai ∈Z)と 書けばmod pで

α^p ≡a^p₀+a^p₁ζ_p^p+· · ·+a^p_p−1ζ_p^p(p−1)=a^p₀+· · ·+a^p_p−1 =:a.

故にx+ζy=ζ^rε₁α^p ≡ζ^rε₁aである．一方複素共役を考えるとx+ζ⁻¹y =ζ^−rε₁α^p ≡ ζ^−rε₁aだから

ζ^−r(x+ζy)≡ζ^r(x+ζ⁻¹y) 即ち

x+ζy−ζ^2rx−ζ^2r−1y≡0.

今，1, ζ, ζ^2r−1, ζ^2r が互いに異なると仮定する．つまりこれらはQ ^{上一次独立である．}

x+ζy−ζ^2rx−ζ^2r−1y=pβ (β ∈Z[ζ])と書く．β =b0+b1ζ+· · ·+bp−1ζ^p−1 (bi ∈Z) とすればx+ζy−ζ^2rx−ζ^2r−1y = pb₀ +· · ·+pb_p−1ζ^p−1 である．表現の一意性から p|xとなりp/ xyz| に矛盾．

故に同じになるペアがある．明らかに 1 ̸= ζ, ζ^2r−1 ̸= ζ^2r だから起こるのは次の三 通り．

(i) 1 =ζ^2r のとき．

x+ζy−x−ζ⁻¹y ≡0 (mod p)だからζy−ζ^p−1y ≡0 (mod p)である．よって先と同 様にしてp|yが導かれ矛盾する．

(ii) ζ =ζ^2r−1のとき．

x+ζy−ζ²x−ζy ≡ 0 (mod p)だからx−ζ²x ≡0 (mod p)である．よって先と同様 にしてp|xが導かれ矛盾する．

(iii) 1 =ζ^2r−1 (このときζ =ζ^2r)のとき．

x+ζy−ζx−y ≡ 0 (mod p)だから(x−y) +ζ(y−x) ≡ 0 (mod p)である．よって 先と同様にしてx≡y (mod p)を得る．x^p+ (−z)^p = (−y)^pとして同様の議論を行うと x ≡ −z (mod p)を得る．よってx^p +y^p = z^p からx^p +x^p ≡ −x^p (mod p)，よって 3x^p ≡0 (mod p)を得る．今p≥5だからp|xとなり，矛盾．

定義. p/ h| _Q(ζp)となる素数pを正則素数という．

つまり，Kummerは「正則素数pについてはFermatの最終定理が成立する」ことを示 したことになる．更に，Kummerは素数pが正則になる為の必要十分条件を与えている．

定理 8. pが正則素数⇐⇒n= 2,4,· · · , p−3に対してp/ B| n．

例えば，691| B12 であるから691は非正則素数である．非正則素数は小さいほうから 順に37,59,67,101,103,131,149,157,233,· · ·^．

Fermatの最終定理が正則素数の場合に解決したので，次は非正則素数について取り組

みたいわけであるが，非正則素数についてもある程度は解決できる．前定理による正則素 数の性質から，素数の《非正則度》を次のように定めるのは自然であろう．

定義. i(p) := #{0< n < p−1|nは偶数，p|Bn}^をpのindex of irregularityという．

このとき，《非正則度》i(p)が十分小さい素数については，Fermatの最終定理(の1st case)が証明できるのである(定理15)．この証明にはHerbrandの定理(定理13)を使う ので，まずそれを示す．

4 Herbrand の定理

M/Q を有限次アーベル拡大とする．Kronecker-Weber の定理により，ある m ∈ N ^{が存在して} M ⊂ Q(ζ_m) となる．このような m のうち最小のものを取っておく．

G := Gal(M/Q) は (Z/mZ)^× の剰余群とみなせる．x ∈ R ^{の小数部分を} {x} ^で表 す．M の Stickelberger 元を θ = θ(M) := ∑

a∈(Z/mZ)^×

{a m

}

σ_a⁻¹ ∈ Q[G] で定める．

I(M) :=Z[G]∩θZ[G]をStickelbergerイデアルと呼ぶ．

例. M = Q(ζ_m)の場合，J ⊂ Z[G]を{c−σ_c | (c, m) = 1}で生成されるイデアルとす ればI(Q(ζm)) =θJ である．

x = ∑

σ∈G

xσσ ∈Z[G]のイデアル類群ClM への作用をA^x := ∏

σ∈G

(A^σ)^xσ で定める．

定理 9 (Stickelbergerの定理，[1]Thm. 6.10.). M のStickelbergerイデアルはM のイ デアル類群を消す．即ち，M の任意の分数イデアルa⊂M とβθ ∈I(M) (β ∈Z[G])に 対してa^βθは単項イデアルとなる．

この定理を認めて，Herbrandの定理を証明する．

G を 有 限 ア ー ベ ル 群 と し ，Gb := hom(G,C^×) と 置 く ．χ ∈ Gb に 対 し て εχ :=

1

|G|

∑

σ∈G

χ(σ)σ⁻¹ ∈Q[G]と定める．

命題 10. (1) εχεψ =

{ εχ (χ=ψのとき) 0 (χ̸=ψのとき) (2) 1 = ∑

χ∈Gb

εχ

(3) ε_χσ =χ(σ)ε_χ

証明. (1) ∑

σ∈G

χ(σ) =

{ |G| (χ= 1のとき)

0 (χ̸= 1のとき) ^である．

...

) χ ̸= 1，即ちχ(τ)̸= 1なるτ ∈Gが存在すれば χ(τ)∑

σ∈G

χ(σ) = ∑

σ∈G

χ(τ σ) = ∑

σ∈G

χ(σ)

により(χ(τ)−1)∑

σ∈G

χ(σ) = 0，よって ∑

σ∈G

χ(σ) = 0である．

故に

εχεψ = (

1

|G|

∑

σ∈G

χ(σ)σ⁻¹ ) (

1

|G|

∑

σ∈G

ψ(σ)σ⁻¹ )

= 1

|G|²

∑

σ,τ∈G

χ(σ)ψ(τ)σ⁻¹τ⁻¹

= 1

|G|²

∑

ρ,τ∈G

χ(ρτ⁻¹)ψ(τ)ρ⁻¹

= 1

|G|²

∑

ρ,τ∈G

χ(ρ)χ(τ)⁻¹ψ(τ)ρ⁻¹

= 1

|G|²

∑

ρ∈G

χ(ρ)ρ⁻¹ ∑

σ∈G

χ⁻¹ψ(τ)

= 1

|G|εχ

∑

σ∈G

χ⁻¹ψ(τ)

=

{ ε_χ (χ=ψのとき) 0 (χ̸=ψのとき) .

(2) ∑

χ∈Gb

χ(σ) =

{ |G| (σ =eのとき)

0 (σ ̸=eのとき) ^である．

...

) σ ̸=eのときψ(σ)̸= 1なるψ ∈Gbを取れば ψ(σ)∑

χ∈Gb

χ(σ) = ∑

χ∈Gb

ψχ(σ) = ∑

χ∈Gb

χ(σ)

により(ψ(σ)−1)∑

χ∈Gb

χ(σ) = 0，よって ∑

χ∈Gb

χ(σ) = 0である．

よって

∑

χ∈Gb

εχ = 1

|G|

∑

χ∈Gb

∑

σ∈G

χ(σ)σ⁻¹

= 1

|G|

∑

σ∈G

(

σ⁻¹ ∑

χ∈Gb

χ(σ) )

= 1.

(3) εχσ= 1

|G|

∑

τ∈G

χ(τ)τ⁻¹σ = 1

|G|

∑

ρ∈G

χ(σρ)ρ =χ(σ)εχである．

命題 11. Rを{χ(σ)|χ∈G, σb ∈G} ∪ {1/|G|} ⊂Rとなる可換環，M をR[G]加群と する．χ∈Gbに対してMχ :=εχM と置けばM = ⊕

χ∈Gb

Mχ．

証明. 命題10の2より明らかにM = ∑

χ∈Gb

M_χである．m_χ ∈M_χが ∑

χ∈Gb

m_χ = 0を満た したとする．m_χ =ε_χa_χとなるa_χが存在する．このとき ∑

χ∈Gb

ε_χa_χ = 0だから，任意の ψ∈Gbを取ると

0 =εψ0

= ∑

χ∈Gb

εψεχaχ

=εψaψ

となりaψ = 0である，即ち各ψ ∈Gbに対してmψ = 0である．

pを奇素数とする．G:= Gal(Q(ζp)/Q)= (∼ Z/pZ)^×としてωをTeichm¨uller指標とす ればGb ={ωⁱ |0≤i≤p−2}^となる．ε_i :=ε_ωⁱ ∈Zp[G]と書く．また

ε₋ :=∑

2/i|

ε_i = 1 2 − 1

2σ₋₁, ε₊ :=∑

2|i

ε_i = 1 2 + 1

2σ₋₁

と定める．これを使えばM =M⁻⊕M⁺と分解する．

θ =

p−1

∑

a=1

a

pσ_a⁻¹ ∈Q[G]をStickelberger元とすれば，命題5を使って

ε_iθ =

p−1

∑

a=1

a

pε_iσ⁻¹_a = 1 p

p−1

∑

a=1

aω⁻ⁱ(a)ε_i =B_1,ω−iε_i

となる．よって(c−σc)θ∈I(Q(ζp)) ((c, p) = 1)に対して εi(c−σc)θ = (c−ωⁱ(c))B_1,ω−iεi

である．A:=「Q(ζ_p)のイデアル類群のp-Sylow部分群」とする．今Aの演算を加法で 表せば，十分大きいnに対してpⁿA = 0 であるから，∑

n

xnpⁿ ∈ Zp とa ∈ Aに対し

て (∑^∞

n=0

xnpⁿ )

a :=

∑∞ n=0

(xnpⁿa)が定義できる．このZp の作用とGの作用により A は

Zp[G]加群となる．よって前命題によりA_i :=ε_iAとしてA=

p−2

⊕

i=0

A_iと分解する．

Stickelbergerの定理によれば(c−σc)θA= 0，よって各iについて(c−σc)θAi = 0で ある．今，ε_i(c−σ_c)θ = (c−ωⁱ(c))B_1,ω−iε_i だったから，任意のε_ia∈A_iに対して

(c−ωⁱ(c))B_1,ω−i(ε_ia) =ε_i(c−σ_c)θa =ε_i0 = 0.

故に(c−ωⁱ(c))B_1,ω−i はAi を消す．

i ̸= 0でi が偶数ならば，B_1,ω−i = 0 であるからこれは自明である．i = 0 のとき，

B_1,1 = 1/2だから(c−1)/2がA₀を消す，即ちA₀ = 0が分かる．(これはε₀の定義か らも明らか．) 次にiが奇数の場合．まずi= 1とする．c= 1 +pと取ればmod pで

(c−ω(c))B_1,ω−1 =pB_1,ω−1 =

p−1

∑

a=1

aω⁻¹(a)≡p−1̸≡0.

A₁ はp群だったから，A₁ = 0が分かった．奇数i ̸= 1のとき，cとして pの原始根で c̸≡cⁱ ≡ωⁱ(c) (mod p)となるものを取れば次の定理が得られる．

命題 12. i= 3,5, . . . , p−2に対してB_1,ω−i はA_iを消す．

これにより次の定理が分かる．

定理 13 (Herbrandの定理). i= 3,5, . . . , p−2に対して，A_i ̸= 0 =⇒p|B_p−i．

証明. A_i ̸= 0とすれば，A_i はp群だからp|B_1,ω−i でなければならない．命題6により B_1,ω−i ≡ B_p−i

p−i (mod p)だから，p|B_p−i である．

※ 実は逆も成り立つことが知られている．

定理 14 (Ribetの定理). i= 3,5, . . . , p−2に対して，p|Bp−i =⇒Ai ̸= 0．

この定理によりp-rank(Cl_Q(ζp))≥i(p)が分かる．

5 Fermat の最終定理 2

いよいよ次の定理が証明できる．

定理 15. 素数pがi(p)<√

p−2を満たすならばx^p+y^p =z^p, p/ xyz| は有理整数解を 持たない．

証明. x^p +y^p = z^p とする．ζ := ζ_p と書く．i = 0,1, . . . , p−1に対してQ(ζ)のイデ アルa_i が存在して(x+ζⁱy) = a^p_i と書ける．C ⊂Cl_Q(ζ)を[a₁], . . . ,[a_p−1]で生成され る部分群とする．C はZp[G]加群である．σia1 = ai としてよい．よってC はZp[G]上 [a1]で生成される．C =⊕

iεiC と分解するから，εia1 で生成される部分群を⟨εia1⟩^と 書けばC =⊕

i⟨ε_ia₁⟩^{である．また}C⁻ =⊕

2/i| ⟨ε_ia₁⟩^である．

p- rank(C⁻) = #{1≤i≤p−1|2/ i, ε| _ia1 ̸= 0}

≤#{1≤i≤p−1|2/ i, A| _i ̸= 0}

であるから，定理の仮定とHerbrandの定理によりp- rank(C⁻)≤i(p)<√

p−2となる．

r := [√

p]−1(> √

p−2)としてa^b₁¹· · ·a^b_r^r (0≤bi < p)を考える．p^r > p^{p- rank(C−)} =

|C⁻|^だから，Dirichletの抽斗論法により，異なる組(b1, . . . , br)，(c1, . . . , cr)が存在し てa^b₁¹· · ·a^b_r^r とa^c₁¹· · ·a^c_r^r のC⁻成分が一致するようにできる．このときa_i :=b_i−c_i と すれば[a^a₁¹· · ·a^a_r^r]∈C⁺ である．よってあるρ∈Q(ζ)とイデアルbが存在して

a^a₁¹· · ·a_r^ar =ρb, b^σ−1 =b

とできる．各aiはpと互いに素だから，ρとbもpと互いに素としてよい．両辺をp乗

して ∏r

i=1

(x+ζⁱy)^ai =ρ^pb^p

となる．故にQ(ζ)の中でb^pは単項イデアルである．命題3により，Q(ζ)⁺の中でb^p が 単項イデアルとなることが分かる．b^p = (α)，α∈Q(ζ)⁺ と書く．

∏r

i=1

(x+ζⁱy)^ai = (ρ^pα)

であるが，Q(ζ)の単数はζ^mε (m∈Z, εは実単数)と書ける(命題1)ので

∏r

i=1

(x+ζⁱy)^ai =ζ^mερ^pα

と書ける．複素共役を取れば

∏r

i=1

(x+ζ⁻ⁱy)^ai =ζ^−mερ¯^pα

となる．mod pでρ^p ≡ρ¯^p だから

∏r

i=1

( x+ζⁱy x+ζ⁻ⁱy

)ai

≡ζ^2m (mod p) で，またv≥0をv ≡2m−∑r

i=1ia_i (mod p)となるように取れば

∏r

i=1

(x+ζⁱy y+ζⁱx

)ai

≡ζ^v (mod p)

となる．

x_i :=

{ y (a_i <0)

x (ai ≥0) , y_i :=

{ x (a_i <0) y (ai ≥0) としてF(T) := ∏

(x_i+Tⁱy_i)^|ai|，G(T) := ∏

(y_i +Tⁱx_i)^|ai| と置く．F(ζ) ≡ ζ^vG(ζ) (mod p) となる．即ち，あるK(T) ∈ Z[T] が存在して F(ζ) = ζ^vG(ζ) +pK(ζ) とな る．よってあるH(T) ∈ Z[T]が存在してF(T) = T^vG(T) +pK(T) + (1 +T +· · ·+ T^p−1)H(T)と書ける．両辺に1−T を掛けてT で微分し，T にζ を代入し，mod pを 取れば

(1−ζ)F^′(ζ)−F(ζ)≡(1−ζ)ζ^vG^′(ζ)−ζ^vG(ζ) +v(1−ζ)ζ^v−1G(ζ)

となる．F(ζ)≡ζ^vG(ζ)だったから (1−ζ)F^′(ζ)

F(ζ) −1≡(1−ζ)G^′(ζ)

G(ζ) −1 +v(1−ζ)ζ⁻¹ が分かる．これを計算すると

(1−ζ)

∑r

i=1

ia_iζⁱ

( y

x+ζⁱy − x y+ζⁱx

)

≡v(1−ζ) が分かる．a_i ̸= 0となる最小の番号iをi₀ とする．両辺に∏r

i=1(x+ζⁱy)(y+ζⁱx)を掛 けて分母を払う．左辺はζ について1 +i0+r(r+ 1)−2i0 = 1 +r(r+ 1)−i0 次の多

項式で，最高次係数はi0ai0(x²−y²)x^ry^r である．一方右辺は1 +r(r+ 1)次で最高次係 数は−x^ry^rvである．ここでrの取り方から1 +r(r+ 1)<1 + (√p−1)√p < p−1で ある．よって命題2によりv ≡ 0 (mod p)が分かる．即ち右辺は(mod pで) 0になる．

よって左辺も0である．故にx² ≡y²，即ちx≡ ±yが分かった．

y とz を入れ替えて以上の議論を行えばx ≡ ±z が分かる．故にx^p ±x^p ≡ ±x^p とな るが，これはp >3では矛盾する．

ところで，このi(p)<√

p−2という条件はどのくらいの素数が満たすのだろうか．コ ンピュータによる計算に依れば，12×10⁶ 以下の素数について，i(p) = 0,1,2, . . . となる 素数pの個数が以下のようになることが知られている([2])．

i(p) pの個数 0 477616 1 239483 2 59710

3 9824

4 1282

5 127

6 13

7 4

これを見ると，殆どの素数はi(p)<√

p−2を満たしそうに感じられる．

またここで，p| B_j となるのは1/pの確率であると仮定してみる．するとi(p) = k と なる確率は

p−3 k Ck

( 1− 1

p

)^p−₂³₋k( 1 p

)k

となるから，p → ∞^とすれば 1 2^k

e^−1/2

k! ^{である．よって素数}pがi(p) > √

p−2を満た

す確率は ∑

k>√p−2

1 2^k

e^−1/2 k!

となり，これは 1 2^N

1

N! (N := [√p]−1)で抑えられる．Fermatの最終定理の1st caseは p <6×10⁹ では成り立つことが知られているから，Fermatの最終定理の 1st caseが成 り立たない素数pの割合は高々

∑

p>6×10⁹

1 2^N

1 N!

程度だと考えることができて，これは10^−300000 以下である．

参考文献

[1] L. C. Washington, Introduction to Cyclotomic Fields, GTM 83, Springer, 1997 [2] J. Buhler, R. Crandall, R. Ernvall, T. Mets¨ankyl¨a, M. A. Shokrollahi, Irreg-

ular Primes and Cyclotomic Invariants to 12 Million, J. Symbolic Computa- tion (2001) 31, 89–96, http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/

S0747717199910118