著者 大高 眞人, 小林 喬郎

損失・利得のある導波路のベクトル有限要素解析法 : 電界の横成分と磁界の縦成分を用いる方法

著者 大高 眞人, 小林 喬郎

雑誌名 福井大学工学部研究報告

巻 39

号 2

ページ 293‑301

発行年 1991‑09

URL http://hdl.handle.net/10098/4229

福井大学 工 学 部 研 究 報 告

第39巻 第2号 1991年9月

損失・利得のある導波路の ベクトル有限要素解析法

一電界の横成分と磁界の縦成分を用いる方法一

大高異人事 小林喬郎柑

Vector Finite‑Element Formulation for the羽Taveguideswith Loss or Gain 

M槌atoOHTAKA and Takao KOBAYASHI  (Received Aug. 31

， 

¹⁹⁹¹⁾ 

A new vector finite element formulation is presented for the analysis of the waveguides  with l08s or gain based on the transverse electric field components and axial magnetic  field component.τ旨ialfields are constructed with vector shape functions of m‑th order  for transverse fields and scalar shape functions of (m+l)‑th order for the axial fields.  In this approach complex propagation constants are obtained出 theeigenvalues for the  given f白quency. To verify the accuracy of the present method

， 

numerical results for  a dielectric loaded rectang叫 町waveguides叩 dan one‑dimensional model of the gain‑ guided semiconductor laser array are presented and compared with the exact 801ution. 

1  .はじめに

293 

損失や利得のある導波路の導波特性の解析は、マイクロ波やミリ波用導波路の開拓時代から 続けられてきている。近年、光集積回路や半導体レーザの高度化により、それらの動作特性の解 析・設計のための数値シミュレーション技術の高精度化が求められ、乙れらの素子の導波路とし ての解析に際して、従来の簡単な解析的近似やスカラー解析以上の高度な解析手法が求められて いる。複雑な構造を持つ導披路にたいする高精度な解析手法のーっとして、有限要素法がある。

乙の手法で電磁界をベクトルとして取り扱う場合には、スプリアス解(非物理解)の混入の問題 があり、 ζれの排除あるいは物理解との分離の可能な計算手法を選択する必要がある。とれは、

米電子工学科

294 

適切な支配方程式と計算手法を組み合わせることにより可能となる。

損失や利得を含む媒質を持つ導波路のベクトル有限要素法解析には、松原ら(1)による方法、と 小柴らによる方法(2)が知られている。松原らは、電磁界の横断面 4成分を用いる伝搬定数に関す るガラーキン方程式とベクトル形状関数によって、スプリアス解の混入のない手法を与えている。

乙の手法では、 4成分の行列要素を計算せねばならないことが問題であり、簡単な媒質において は固有値問題は2成分について解けばよいが、 2成分とするために逆行列計算と非対称マトリッ

クスの一般国有値問題を解かねばない。小柴らは、磁界の3成分による角周波数に関するガラー キン方程式とスカラー形状関数を用いている。との組み合わせは一般にスプリアス解が生じると とが知られているが、彼らは磁界の縦成分を消去するととによって乙の困難を克服している。し かし、座標軸と平行でない壁画での境界項の取り扱いが複雑となり、また、周披数を与えて伝搬 定数を求めようとすると、 2次の固有値問題を解く必要があり計算時間の大幅な増加を引き起こ す点に問題がある。

本報告では、上記二つの手法とは異なる支配方程式に基づいて、ガラーキン法によって導出さ れた有限要素法による損失や利得のある導波路の解析手法を示す。基本となる支配方程式は、電 界の横成分と磁界の縦成分を用いるものである問。乙の支配方程式から求められる変分表現式を 指標として、それをより一般化したガラーキン方程式を導き、さらにとれを有限要素法で解析す る。数値計算例としては、損失のある誘電体で満たされた方形導波管と利得導渡形半導体レーザ アレーの1次元モデルについて厳密解と比較して検討する。

20 ガラーキン方程式

導波路の横断面を有限個の要素に分割する。乙のとき、電磁界と誘電率テンソルと透磁率テン ソルをつぎのように与える則。

B  (e t+ez) ^exp{j (ωt‑sz) }  H = (h t+hz) ^exp{j (ωt‑sz) } 

^ ε t  0 I ‑‑‑‑ Iμt 0 I  ε= 1  1

，

μ=1 

L 

0 EzJ 

L 

0μzJ 

( 1 )  

(2)  (3) 

乙乙で添え字 tは横成分を、 zは縦戚分を示す。乙の時、マクスウエルの方程式より、つぎに示す 微分方程式及び境界条件が得られる。

Il

t [ i

_zx {ω2Et8 t+Vx (jωhz)}] 

+ i

_zx {VE~lV-Êt8 t-ß2et}=o Vxet=‑jωμ:Jlz 

境界条件:

要素と要素の境界において、

n 

・

^μ

^{t T}

^t  cont.

， 

i z‑ez  ^cont. 

%I‑c，t8 t  cont.， i z‑bz = cont.  電気壁との境界において、

%1‑μ台ht 0， i z‑ez = ⁰  磁気壁との境界において、

%1

ε ‑

t8t = 0， i_z‑l1z  0 

(4) 

( 5 a )  

(5b) 

(5c) 

インピーダンス壁との境界において、

i_z

・

^{(noxe t)  Zr;:L} z‑hz 

iz‑ez  ‑

^ZzI

z ・

(noXht)

295 

(5d) 

n

は、境界に立てた単位法線ベクトル、

n

。はインピーダンス壁へ向かう向きの単位法線ベクトル である。また、 ZtおよびZzはインピーダンス壁の壁面インピーダンスである。

今、未知関数

e

_tおよびb.

z

^が、

iz U :

垂直なUと

i

z~ζ 平行な v のふたつの既知ベクトル関数(基底) を用いて近似的に、

et (x

，

y) 

L 

^am um(x

，

y)  m 

h_z (x

，

y) = 

j L   b m  

Vm(X

，

y) 

( 6 )  

と表されるものと仮定する。ことで、基底_Um.Vmは 境 界 条 件 : 要素と要素との境界において、

n ‑Et;U.  cont.， i z

・

^V_m cont.  (7 a)  磁気壁との境界において、

. n ε ‑

tU.  0， 

iz.v m 

^{0  (7b)} 

を満足するものとする。 &m' b_mは未知パラメータである。電気壁での条件はなく、自然境界条 件となっている。

次に、式 (3 )、 ( 4 )にガラーキン法を適用する。まず、式(3 )にU

mを乗じ、各要素につ いて面積分し、さらに、全ての要素について加え合わせると次のようになる。

1 : . /  

+ 

1 : .   /  ω 

^{仇 削 山)}

^{川.什[…五計戸川ル}

^μ

^勾川

^l

v 刊山 φ t

^揖

ム t ‑ ド p s   山

22

、 凡 弘 e t l

= 0  (8)  乙乙で

E

は全ての要素についての和を表し、

f d S

は各要素についての面積分を表す。

括弧内第一項についてのみ次の変形を行い、

i 

zXu)2Et;Um=i zx(ω2

山

a勾

xwvm)+i

♂(VXWVm) ガウスの定理を用いて上式を変形すると次式となる。

i_zx(ω2EtUm ‑V Xu)V m) ] ‑11 t [i ZX {ω2εεet+VX (j岨 z)} ] dS 

d

尚 仰 p

引仰(は山i

( 9 )  

乙乙で、

f d

ヱは各要素の境界』に乙ついての線積分を表し、 n。は各要素の境界に立てた外向き単位法 線ベクトルである。式(5 )、及び式(7 )の境界条件を用いると式(1 0 )は次式となる。

/ [1."

内

m‑VXu)Vm}

] 山 川

296 

1 : .

  f  ^{( ! ) ' t . ' (V叫)}

^(V

^{・仏)必ー叶}

^[W2(

^{叫)・ et} 叫町

^(jbz)]也

‑ Z   1 i 2 告

(ω句碑.‑Vxω^〈Vm}]^〈・{ω2ε^持t+Vx(j(必 z)}dl ・ ß~L

2l

IωZ内 ・bzdl

=  0  ( 1 1 )  

乙乙で、

f r

はインピーダンス壁にわたる線積分である。

次 に 、 式 (6 ) を 式 (1 1 )に代入して、行列固有値問題である式(1 2 )が得られる。

[ n   n    l l r T ￨ = ￨ ￨ ￨ l ( 1 2 )  

^rl.2 

l I  I 

^「

^;

^U 

I  I  ^{] Q l l O ￨}

^「

I 

PI2  P.2.2 J L V J  0 仏.2

I 

^L V 

乙乙で、 U

，

V は未知パラメータ"."

J i  

11を要素とする列ベクトルであり、 P.u'P H '  P:l2' Qμお よびQ:I:Iは次の諸量を要素とするマトリックスである。

PH=

1 : .   f 

^{[はzX(ω2Et;Um) }} 

_~di

^{ZX ( 九 )}} 

‑ω2ε

ジ

(V

・

εどUm)(V

・

εt;Un)]dS 

吋 { ゐ 山 刈

p

且'1.2戸‑

エ

^{I [{:L ♂ {附ωW2}

ω 

^mω)け}

ι ^山

^{{iιz♂x(何Vxωw町吋vnω})け}d必3} 

叶 { 

^{為山/加川}

^ω

h

吋 : 日 υ i ι ^州 山 ^♂凶川

^{zx刈叩(何Vxoov仇 叫}

^{山 )}

^m)

+

づ

j

エ

^I (臼

^z

^為

^{: z /}

^{加刈ωω)(何Vx伽 m)‑(何VxωOOV}吋nn}dl1 

q

斗 叫 点

q22=‑

L 

^{[1ω2μ山 ・vndS ‑jωI ZtVn川d1]}

^{( 1 3 )}  

式 (1 3 )を解いて固有値ザ及び固有ベクトル

e

tおよびb_zを決定する乙とができる。すなわち、

任意の導渡路を解析する乙とができる.

また、以下の変換によって、 磁界の横成分と電界の縦成分によって記述された式を求める乙と ができる。乙の場合の境界条件も全て次式の変換による。

e 

^→h  h →e 

E→

μ 

μ→E 

Z

→ き ^{( 1 4 )}

次 章 で は 有 限 要 素 法 を 用 い て 、 具 体 的 に 式 (

5 

)の境界条件を満足する局所的な基底U m

，

V

m 

を用いて、 Pμ

，

P~2' P^:l2' 

Q

.uおよび Q:l2を求める方法を示す。

2!l1 

φ1 

φ2 

4 > J  

図1 三角要素と形状関数

3

0

有限要素法

乙乙では、有限要素法の要素として導波路の横断面を三角形要素で分割し、基底UlIIは¹次関数、

V_mは2次関数で近似する場合を述べる.三角形要素の任意の一つを図lに示す。要素の6つの節 点に節点番号

1‑6

を付ける。また、辺(}‑

2)

、辺

(2‑3)

お よ び 辺 (

3  ‑1 

)の単位法線 ベクトルを、それぞれ、 D_J..~. Jl~.. _2' ";J3' ^D "'3~-"" とする。図̲ u  ~ 1‑. の三角形における---I..'...~----.-.." ‑‑"t 

e

およびhを12個 の パラメータ中m' 申m

( ・ =

1‑6) を用いて、

6 

e 

t= 

1 :   " n  

^(X

^，

^{到 私}

m=l 

h

: z =   I ， ぬ

(x

，

y)仇 m==1 

(15) 

(1

6 )  

と表す。乙乙で、 Jln(X

，

y)は1次ベクトル形状関数、 Nm(x

，

y)は2次スカラー形状関数である.

M

_nは l次のスカラー形状関数M_nを用いて次式の様に表される。

111.，.; ̲ 1 ε t l

・ ( : I .

zXDij)M 2i‑1  I."li 

.DJd・ (:l.zXDij)

M _2i 

εご・(:l. zX.DJd~M

_{‑‑ Mi} 

_{( 1 7 )}  

.Dij

・

^(:1.zXDJd) 

ただし、(i，j，k)は(l.2.  3)、(2，3. 1)及び(3，1. 2)である。式 (15)‑‑‑(17)より、パラメ ータ中1m(1= 1‑6)は次のように表されることが分る。

< l > 2

i‑l = DJdε‑tf!ti 

< l > 2

i = .Dij

・

εt8ti (1

8 )  

298 

y 

x 

図 2 誘電体装荷方形導波管の要素分割 (64要素)

乙とて

: e

tiは 節 点iにおける

e

_tで、ある。式 (1 8) から分かるようにゆ掴は要素境界における Et;8 討を表している。各要素内におけるe_tおよびh_zを式 (1 5 )、 ( 1 6 )の形で表し、それら をまとめて導波路全体にわたる

e

_tおよびh_zを構成すると、それは自動的に式 (6 )となる。

ここで示した基底関数以外にも種々の形式の基底関数が考えられるが、横成分をベクトル形状 関数で縦成分をスカラー形状関数で表し、さらに縦成分の形状関数の次数を横成分の次数より一 次高く選んだ場合のみにスプリアス解の全く無い解が得られている。

40 数値計算例と考察

40 1 損失のある誘電体装荷導疲管

図2に誘電体装荷導波管の断面と要素分割を示す。導波管のサイズはw / h = 2、 壁 面 は 電 気 壁であって、誘電率

ε=( 1 .   5 ‑ j l .   5 ) ε

日の誘電体で満たされている。図

2

では、

6 4

要素の場合 を示す。図2のように分割した場合の未知数の数は電界の横成分216個、次回の縦成分 153個 、 総 計369個であり、計算結果として同数の固有値固有ベクトルの組が得られる。 koh=3の場合、縦 成分に対応する153個の零国有値、。

Z

の実数部が正の固有値が5個、後は全て

s 2

の実数部が負の固 有値であり、異常な値を持つ解は無く、スプリアスモードの混入はないと考えられる。 TE₁₀モー

表I 誘電体装荷方形導波管の伝搬定数の計算値と厳密解の比較

TEIO mode 

Ne  a/kO  (%)  O/k 0  {悦}

8 (2・2) 0.596669(4.8・10・2) 1.256978(・4.8・10.²) 32 (4・4) 0.596402 (3.4・10・3)  1.257541 ・(3.4・10・3)

64 (8・4) 0.596383 (2.1・10・4) 1.257581 ・(2.0・10・.) Exact  0.596382  1.257583 

TE.， mode 

Ne  αIk 0 幼 } O/kO  (%) 

8 (2・2) 0.759693 (1.8 ・10・') 0.987241(・1.8・10・') 32 (4・4)  0.758361 (1.3・10・2) 0.988975 (・1.3・10・2) 64 (8・4) 0.758374 (1.5・10・2) 0.988958 (・1.5・10・2)  Exact  0.758259  0.989108 

299 

H _{T ‑‑，}  ;‑‑ー， r‑ーーi r‑ーー「

JlI¥¥  111¥¥  111¥¥

ハ¥ ¥I‑

，?ASSIVE 

」一‑‑XI / I  I

、 ¥ /

^{I  I}

、 ¥ /

^{I  I}

、 ¥ /

^I I

、 、

I{ACγfVE 

l" 骨、ー，官、~.，.-.，市、...

，曹、

h1‑¥.pASSIVE

(a) 

oh  l 

J h  

‑‑adnud vlnH 

l 

J h  

adshu︐ ︐z・

︐

a・

l 

J

札 ︑

' '' 内

u︐

L n   J h  

o n

‑

x 

十 ﹂

︐  

CURRENT 

Re(n) 

GAIN 

(b) 

図 3 利得導披型半導体レーザアレーの 1次元階段状複素屈折率近似

ドとTEOlモードの固有値の計算結果を表1に厳密解と共に示す。相対誤差は次の定義により、%

で示している。

error=α

ー

αe ) /αe 

減衰定数

error=  ( s ‑ s e   ) 

/札 位相定数

T E₁₀モードでは分割数の増加にしたがって精度が向上しているが、 TE01モード出は32分割と64 分割ではy軸方向の分割数が変わらないため精度の向上は見られない。

40  2

事

i

得導波形半導体レーザアレー

ヰJI得導波型半導体レーザアレーの導波特性は、図3aに示すレーザを、図3bの様に1次 元 階 段状の複素屈折率分布を持つ導波路と近似して解析される{針。乙の場合には、厳密解が有るが複 素平面上の求解となり、初期値の設定は通常試行錯誤によって行なわれている。とのため、半導 体レーザの Turn on時の過渡特性の解析のように複素屈折率が時間と共に変動する場合などに は、ある過程での計算結果をつぎの過程の初期値として反復計算が行なわれる。しかし、複数の 根が非常に近い値を持っていたり、導波路の定数の変化が急である場合には、計算の初期値の精 度が追従できず、二つの初期値が同ーに根に収束して重要な根が無視されることなどが生じ、数 値シミュレーション上の困難のーっとなっている。有限要素法は全ての根が一斉に求められるの で、シミュレーションの過程で一定の計算回数ごとに有限要素法の解と厳密解を比較すればシミ

ュレーションの暴走を修正すことが可能となる。

有限要素法による半導体レーザアレーの解析は、屈折率導波型レーザアレーに対するもの(8)(7) 

のみである。利得導波型半導体レーザアレーは、複素屈折率の実部が導波路部がもっとも低く、

全てのモードが漏れモードとなるため、導波路から離れたところに仮想境界を設定した場合、乙 の仮想壁によるモードが現われる。乙のモードの判別処理が可能かどうかが重要な点である.

導渡路の条件は、 4つのguide部と 3つのgap部の幅がそれぞれ、 5μm， 4μ凪で、全体の幅は32μ 田。波長は0.82凶で、複素屈折率は、 fie =n(guide)=3.4916+0.00021 ，i fir=n(gap)=3.4972 

ーO.0011 ，ifig=n (elad) =3.5‑0. 0026iとした。有限要素解析法としては、磁界の横成分と電界の縦

3

∞ 

0.0005  0.0000 

( ・

0.0005 ε‑0.0010 

同圃

E 

圃

0.0015

‑0.0020 

‑0.0025 

‑0.0030 

. I !   ^#7 

r 1

⁹ 

ロ

3.49  3.492 

〆由・、

・・^世

、‑'ロ

H

E  ・

4

0.0005  0.0000 

‑0.0005 

‑0.0010 

‑0.0015 

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‑0.0025 

‑0.0030 

#10 T 

←

E

・

•

h 

^#8 

トー

ト嶋

ト

ト‑ 口

3.49  3.492 

Even 

'  #5 

口

3.494 

Modes 

' 

ロ

口

3.496  Re(n

_err) 

Odd Modes 

I 

嘗 #4

，

#6 

•

口 口

ロ

3.494  3.496  Re(n

_eff) 

ロ

FEM 

•

^Exact 

#1  #3 

ロ ロ

^口

3.498  3.5 

T 

ー

ロ

FEM  ー

•

^{Exact  ー}

#2  ^ー

ー

口

ロ

口口E

よ

3.498  3.5 

図4 利得導波型半導体レーザアレーの伝搬定数の有限要素近似解と厳密解の比較

成分を用いる形式を採用し、 T Eモードに対して hx成分に 2次の形状関数を用いた。 l要素長は、

1/32μ1.  31要素、 63節点で計算を行なった。図4に、偶モードと奇モー

F

の有限要素法による解 と厳密解を示した.位相定数の狭い領域に根が密集しているとと、有限要素解と厳密解が正確に 対応している乙とがわかる。縦軸のー0.0017の線は導波路部での最大損失を表しており、 これより 下の根は仮想境界の導入による根であり、明確に判別できることを表している。

301 

50 むすび

電界の横成分と磁界の縦成分で構成された、損失あるいは利得を持つ導波路の解析のためのベ クトル有限要素法による解析法を提案した。乙の方法は、スプリアス解のない高速な計算法であ り、受動導披路のみならず、半導体レーザアレーなどの解析にも適用できる乙とを数値計算例で 示した。さらに、半導体レーザの数値シミュレータへ組込むととにより、さらに高度な解析法と して発展する乙とが期待できる。

謝辞

本研究を進めるうえで貴重など助言をいただいた大阪大学工学部松原正則助教授に深謝します。

文献

1 )松原正則、アンケーオ タ プ テ ィ ム 損 失 ・ 利 得 の あ る 導 波 系 の 有 限 要 素 法 解 析 " 、 信学論 ( C)， J 7 1 ‑C， 10， pp. 1 3 9 B・1405 昭63‑10)

2 ) 早 田 和 弥 、 三 浦 和 則 、 小 柴 正 則 複 素 誘 電 率 テ ン ソ ル を も っ 異 方 性 導 波 路 の ベ ク ト ル 有 限 要素表示式"、信学論(c‑工)， J72・C‑I，3， pp.139‑144 平元・03)

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F

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c ‑

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302