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1
座標平面上の点の軌跡（二乗編）
１
座標平面上の点の軌跡（二乗編）
数 Ⅱ＞ 第３章 図形 方程式＞ 第３節 軌跡 領域 ＞ 軌跡 方程式
例題１
解
2点 に対して, を満たす点 の
軌跡を求めよ。
A(1,4),B(−1,0) AP2+BP2 = 18 P
点 の座標をP (x,y)とする。
AP2 = (x−1)2+ (y −4)2
AP2 + BP2 = 18より = x2−2x+ 1 +y2−8y+ 16
= x2−2x+y2−8y+ 17
BP2 = (x+ 1)2+y2
= x2+ 2x +y2+ 1
(x2−2x +y2−8y + 17) + (x2+ 2x +y2+ 1) = 18
2x2+ 2y2−8y = 0
x2+y2−4y = 0
x2+ (y2−4y+ 4)−4 = 0
x2+ (y−2)2= 4
したがって, 点 の軌跡は中心 P (0,2),半径 の円2 y
O x
A(−1, 0)
B(1, 4)
点 の軌跡P
P(x,y)
(0, 2)
① 点 の座標を とおく。
② 問題の式に代入する
③ 式を整理して点 の軌跡を求める。
P (x, y)
P
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座標平面上の点の軌跡（ m : n 編）
２
座標平面上の点の軌跡（ m : n 編）
数 Ⅱ＞ 第３章 図形 方程式＞ 第３節 軌跡 領域 ＞ 軌跡 方程式
例題１
解
① 点 の座標を とおく。
② ◯：△→
→
※(2乗できるときは,２乗すると計算しやすくなる！）
③ ②でつくった式に代入して, 点 の軌跡を求める。
P (x, y)
AP : BP = △ AP = ◯BP (△AP)
2= (◯BP )
2P
2点 の距離の比が である点 の軌跡を求め よ。
A(−4, 0),B(2, 0) 2 : 1 P
点 の座標をP (x,y)とする。
(x + 4)2+y2 = 4{(x−2)2+y2)}
x2+ 8x + 16 +y2 = 4x2−16x + 16 + 4y2
(x−4)2+y2 = 16
したがって, 点 の軌跡は中心P (4, 0),半径4の円 AP : BP = 2 : 1より
AP = 2BPより AP2 = 4BP2
0 = 3x2−24x+ 3y2
x2−8x+y2 = 0
y
O x
A(−4, 0) B(2, 0)
点 の軌跡P
P(x,y) (4, 0)
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3
線分の中点の軌跡
３
線分の中点の軌跡
数 Ⅱ＞ 第３章 図形 方程式＞ 第３節 軌跡 領域 ＞ 軌跡 方程式
例題１
解
点 が円 上を動くとき,点 と点 を結ぶ線分 の 中点の の軌跡を求めよ。
Q x2+y2= 4 A(3,0) Q AQ P
点 の座標をQ (s,t)とする。
したがって,
点 の軌跡は中心 P ( 32, 0) 半径1の円 s2+t2 = 4・・・①
x = s + 3
2 , y = t 2
点 の座標をP (x,y)とする。
s = 2x−3, t = 2y
これらを①に代入して, (2x −3)2+ (2y)2 = 4
4x2−12x + 9 + 4y2= 4
4x2−12x + 4y2+ 5 = 0
x2−3x +y2+ 5 4 = 0
(x − 3
2)2+y2= 1
y
O x
A(3, 0)
点 の軌跡P
Q
＝ P
＝
Q Q
Q
Q Q Q
Q
