第 1 章 相対性理論入門
1.1 Maxwell の波動方程式
物理の法則は向きを変えても同じ形で成り立つ，というのがガリレオの 相対性原理です．数学的にいえば，座標を
x y z
で表すとき，直交行列U
(tU =U−1)を用いて
U
x y z
=
x0 y0 z0
で表される新しい座標系
x0 y0 z0
でも同じ法則が成立するということです．
しかし，マックスウエル(ジェームズ クラーク，1831-1879)が導いた電磁 場に関する方程式は
(∆− 1 c2
∂2
∂t2)E= 0
が直交変換で不変でないことがわかります．これはで電磁場に関する波動方 程式で，真空中の光速が一定の値であることが導かれてしまいます．これは おかしいことです．電車だったら，止まっている人が見る速度より，電車と 平行に走っている車から見た方が電車の速度は遅くみえるはずです．このこ とが電車のかわりに光にすると起きないということになります．
1.2 Lorentz 変換
そこでアインシュタイン(アルバート，1897-1955)の登場になります．彼は 1905年に，光電効果の理論，ブラウン運動と相対性理論の３つの論文を発表 しました．1905年は物理学史上最大の年ともいえるでしょう．
AとBの2人を考えましょう．BはAに対して一定の速度で移動している
(等速直線運動)としましょう．さらに，簡単のため時刻0で2人は同じ場所
にいたとしましょう．座標として，今までのx, y, zだけでなく，時間tも含 めようというのが，アインシュタインの考え方です．時間はtと表すよりも，
光の速度c倍して，ctと表した方が後ですっきりとした形を得ることができ
2 第1章 相対性理論入門
ます．そこで，Aからみた座標系を
ct
x y z
, Bからみた座標系を
ct0 x0 y0 z0
とす ることにします．そこで，直交行列による座標変換と同様に，2人の座標の 間には行列Lを用いて
L
ct
x y z
=
ct0
x0 y0 z0
と表せると仮定するのです．このLをローレンツ変換といいます．
時刻0に原点を出発した光は時刻tに
x2+y2+z2= (ct)2
をみたすx, y, zにいることになります．言い換えれば
−(ct)2+x2+y2+z2= 0 をみたします．一方，Bから見ても光の速度はcですから
−(ct0)2+x02+y02+z02= 0 をみたしていなければなりません．一般に
−(ct)2+x2+y2+z2=−(ct0)2+x02+y02+z02 (1.1) をみたしているはずです．行列で表現すると
−(ct)2+x2+y2+z2= (ct, x, y, z)
−1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
ct
x y z
ですから，式 (1.1)は
(ct, x, y, z)
−1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
ct
x y z
= (ct0, x0, y0, z0)
−1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
ct0 x0 y0 z0
= (ct, x, y, z)tL
−1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
L
ct
x y z
すなわち
−1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
=tL
−1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1
L
をみたしていることになります．これがローレンツ変換の条件です．
さて，具体的にLを求めてみましょう．x, y, zの座標は直交変換で変える ことができますから，BはAのx方向へ速度vで移動しているとします．さ らに，y0, z0はy, zと同じ向きになるようにとります．x方向にしか動かない し，2人のy座標とz座標は共通ですから，時間軸とx座標だけを考えれば よいと考えられます．そこで以降はy, zを省略して，Aの座標を
( ct x )
，Bの 座標を
( ct0 x0
)
と表しましょう．ローレンツ変換を表す行列を
L= (
p q r s )
で表しましょう．2つの座標の間には L
( ct
x )
= (
ct0 x0
)
が成立します．これは成分で表せば
pct+qx=ct0 rct+sx=x0
4 第1章 相対性理論入門 が成り立ちます．一方，光速度一定の原理
−(ct)2+x2=−(ct0)2+x02 から
tL
(−1 0 0 1
) L=
(−1 0 0 1 )
が成立します．これを成分で表すと
−p2+r2=−1 (1.2)
−q2+s2= 1 (1.3)
−pq+rs= 0 (1.4)
を得ます．不定数がp, q, r, sの4つ，式は3つですから，これだけではもち ろん，Lを特定はできません．BがAに対して速度vで移動していることを ここで用いましょう．以下では速度は光の速度と比較してβ= vc で表すこと にします．
x0 = 0というのは，
rct+sx= 0
ですので，
x=−r sct を得ます．一方
x=vt=v
cct=βct
が成り立ちます．これで式 (1.2)，式(1.3)，式(1.4)と合わせれば解くこと ができて，
√1
1−β2 −√β
1−β2
−√β
1−β2
√1 1−β2
,
√ 1 1−β2
√β 1−β2
−√β
1−β2 −√ 1
1−β2
−√1
1−β2 −√β
1−β2
√β 1−β2
√1 1−β2
,
−√1
1−β2
√β 1−β2
√β
1−β2 −√ 1
1−β2
の4つの候補がでてきます．速度v= 0のときに，AとBの2人の座標は一 致しなければならないですよね．だとすると，上の4つの中でv→0すなわ ち，β →0としたときにLが単位行列になるのは
L=
√1
1−β2 −√β
1−β2
−√β
1−β2
√1 1−β2
でなければならないことがわかります．ct0軸はx0= 0，つまり位置は0のま ま時間だけがたっていくところですから，Bの原点です．したがって，Aか
1.3. ローレンツ収縮 5
vt0
ct0
x ct
x0 ct
図 1.1: 時間軸とx軸
ら見ればx軸方向に速度vで遠ざかっていきます．図1.1のように，ct0軸は 傾き1/βの直線です．同様にx0軸は傾きβの直線になります．
βを変化させたときの座標軸の変化を図1.1に表してみました．図の曲線 は座標軸の上の点(ct0, x0) = (1,0),(0,1),(2,0),(0,2)をβを0から1まで変 化させたときの図です．β = 1になると，Bは光速で移動していることになっ て，時間軸ct0とx0軸は一致してしまいますし，4つの点は無限のかなたに 飛んでいってしまいます．
1.3 ローレンツ収縮
さあ，相対論の不思議な世界をかいま見てみましょう．Aの座標で止まって いる長さLの棒を考えましょう．棒はx軸に平行にaからa+Lのところにあ るとします．どの時刻でも同じところにあるのですから，
( ct
a )
と (
ct a+L
)
に棒の先端はあります．この座標をBでみると，ローレンツ変換から
L (
ct a )
=
ct−βa
√1−β2
−βct+a
√1−β2
L (
ct a+L
)
=
ct√−β(a+L) 1−β2
−βct+a+L√
1−β2
6 第1章 相対性理論入門
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4
a a+L x
ct
x0: β= 2/3 ct0:β = 2/3
x0: β= 1/3 ct0:β= 1/3 x0 =ct0:β = 1
表1.1: 座標軸の変化
a a+L
x ct
x0 ct0
表1.2: ローレンツ収縮
となります．Bで長さを測るには左右の両端を同じ時間に測らなければなり ません．すなわち，Bで時刻t0のときに両端を測るとすると，aを計るAの 時間t1とa+Lを測るAの時間t2とは異なることになります．式で表すと
ct0= ct1−βa
√1−β2 = ct2−β(a+L)
√1−β2
になります．したがって
ct1=ct2−βL をみたします．Bで見た長さは
−βct2+a+L
√1−β2 −−βct1+a
√1−β2 =√
1−β2L
を得ます．静止している系で長さLの棒が動いている系では√
1−β2Lにな るというわけです．図1.2は長さL= 1の棒がβ= 1/3のときに縮んでいる 様子を示しています．光の速度で移動していればβ = 1ですから，長さが0 になってしまうのです．
1.4 時計の遅れ
Aで時間が∆経過したときに，移動しているBではどれくらい時間がた つかを見てみましょう．ローレンツ変換から
L (
ct a )
=
ct−βa
√1−β2
−√βct+a 1−β2
L
(c(t+ ∆) a
)
=
c(t+∆)√ −βa 1−β2
−βc(t+∆)+a√
1−β2
です．Bの同じ場所で時間を計らなければなりませんが，Bにとって同じ場 所でも，Aにとっては異なる場所になるわけで
−βct+a1
√1−β2 =−βc(t+ ∆) +a2
√1−β2
より
a1=a2−βc∆
をみたすことになります．Bにとっての時間経過を∆0とすると c∆0= c(t+ ∆)−βa2
√1−β2 − ct−βa1
√1−β2
=√
1−β2c∆
8 第1章 相対性理論入門
ct0 c(t0+ ∆)
x ct
x0 ct0
表 1.3: 時間の短縮
となります．速い速度で移動すれば時計はゆっくりと進むことになります．
図1.3は∆ = 1のときに，時間が短縮している様子を表しています．β= 1/3 です．
光と同じ速度で移動すればまったく時計が進まないことになるわけです．こ れがいわゆる双子のパラドックスです．双子の片方が地球に留まり，もう1 人が光速に近いスピードで宇宙を旅して戻ってくると，光速に近い宇宙船に 乗っていた人は時間がほとんどたたず若いままでいるはずです．これはおか しいって．いいえ，もっと変なのは，相対性理論とはすべての物事が相対的 に見ることができるという理論です．したがって，絶対静止系というのは存 在しないのです．宇宙船に乗っている双子の1人から見れば，地球が光速に 近いスピードで遠ざかっていったはずですから，地球に残った方が年をとっ ていないはずです．いったいどっちがおじいさんになっているのでしょうね．
これの解決は，「戻ってくる」というところです．今，ここで考えている特 殊相対性理論とは，同じ速度で移動し続ける等速運動のときにのみ，適用で きる理論です．地球を出発したり，途中で方向を変えて戻ってくるには，力 が働かなければなりません．これは一般相対性理論といわれるもっと大きな 理論の枠組みで考えなければならないのです．
