Level 1 cyclotomic KLR algebras of cyclic quivers.
小西 正秀
∗名古屋大学多元数理研究科 博士後期課程一年
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Introduction
Khovanov-Lauda-Rouquier 代数 (以下 KLR 代数) とは 2008 年に Khovanov-Lauda により，またそれと独 立に Rouquier により定義された，新たな代数である．箙 Γ と Γ の頂点への重み付け α からその生成元と関 係が得られるが，生成元については以下のような図を組み合わせたものと捉えられる． i1i2i3i4 ， • i1 i2 i3 i4 ， i1 i2 i3 i4 ． また，Γ の頂点への他の重み付け Λ によって cyclotomic イデアルが定義され，商をとったものを cyclotomic KLR 代数と呼ぶ．以降は，箙 Γ として頂点が{0, 1, 2, · · · , n − 1} であり，矢が i から i + 1 及び n − 1 から 0 へと伸びているものを考え，頂点への重み付け α と Λ はそれぞれ α = ∑ Γの頂点 i αi，Λ = Λ0とする．このと き，n の変化に対する cyclotomic KLR 代数の構造の変化を記述することが目的である．1
Definitions
以下，K は体とし，Inは (0, 1,· · · , n − 1) からなる順列全体とする． 定義 1.1. KLR 代数 HΓ,αとは，次の生成元と，その間の関係で与えられる代数である． • 生成元 : {e(i)|i ∈ In} ∪ {y1,· · · , yn} ∪ {ψ1,· · · , ψn−1} • 関係 : e(i)e(j) = δ∑ i,j， i∈Seq(α) e(i) = 1， yke(i) = e(i)yk，ψke(i) = e(sk· i)ψk，
ykyl= ylyk， ψkyl= ylψk (l̸= k, k + 1)， ψkψl= ψlψk (|k − l| > 1)， ψkyk+1e(i) = ykψke(i)， yk+1ψke(i) = ψkyke(i), ∗[email protected]
ψ2 ke(i) = 0 (ik= ik+1) e(i) (ikと ik+1の間に矢がない) (yk+1− yk)e(i) (ik → ik+1) (yk− yk+1)e(i) (ik ← ik+1) (yk+1− yk)(yk− yk+1)e(i) (ik ↔ ik+1) ， ψkψk+1ψke(i) = ψk+1ψkψk+1e(i). 図で表すと，各生成元は Introduction における三つの図に対応し，それらの積は図の結合 (但し，結合部 の糸の色が合致しない場合は 0) として与えられ，関係についてはそれぞれ以下で与えられる： • • i j i j = , • • i j i j = , • • • • •• • • •• i j i j i j i j i j i j i j i j i j = − − − − , , , (i̸= j ± 1) (i = j + 1) (i = j− 1) (n = 2) i j k i j k = . また，Λ から次のように cyclotomic イデアルを定め，それによる商をとる． 定義 1.2. KLR 代数 HΓ,αを，{y1e(i)|i∈ In, i1= 0} ∪ {e(i)|i ∈ In, i1̸= 0} を生成元とするイデアルで割っ た代数を cyclotomic KLR 代数と呼び，Hnと表す．
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Properties
この節では Hnの性質を四つ記述する．証明において表現論における事実を用いるが，その部分について は次節で述べることにする． 定理 2.1. Hnにおいて，e(i)̸= 0 なる i ∈ Inは 2n−2個存在する．更にそれらは全て原始冪等元となる． 証明. n を固定し，i を e(i) が 0 とならないように i1から順次定めていくことにより，高々2n−2個しか存在 しないことを示す．厳密に 2n−2個存在することと，全てが原始冪等元となることは次節で証明する． n = 2 の場合は先に見た通り (0, 1) の一通りしかないので，n > 2 の場合について示す． 始めに，イデアルによる関係から i1として取りうるのは 0 のみである． このとき i2としては箙において 0 に隣接している 1 か n− 1 しか取りえない．仮にそれ以外であった場合， e((0, i2,· · · )) = ψ12e((0, i2,· · · )) = ψ1e((i2, 0,· · · ))ψ1 = 0 となる．これを図示すると次の通りである． 0 i2 0 = · · · 0 i2 = · · · ．続いて i3を定める．i3として 0 と i2 で張られる部分箙に隣接しない点を取ったとすると，次の図から e(i) = 0 となるので，i3として取りうる点は部分箙に隣接する二点の内のどちらかとなる． 0 i2 i3 0 = · · · 0 i2 i3 = · · · 0 i2 i3 = · · · ． 同様に，k < n として ik−1までが決定されたとき，ikを 0, i2,· · · , ik−1で張られる部分箙に隣接しない点 とすると，ikは 0, i2,· · · , ik−1のいずれとも隣接しないので，次の図から e(i) = 0 となる．従って ikとして 取りうる点は部分箙に隣接する二点の内のどちらかとなる． 0 i2 ik−1 ik 0 = · · · · · · 0 i2 ik−1 ik = · · · · · · 0 i2 ik−1 ik = · · · · · · 0 i2 ik−1 ik = · · · · · · ． 最後に，in−1までが定まったときは，inとして残りの一点が取れる． 以上から，e(i) = 0 となることを避けて構成しうる i は最大で 2n−2個となる． 命題 2.2. Hnにおいて，e(i)̸= 0 とする．このとき次が成り立つ． (a) yke(i) = 0 (1≤ k < n)， (b) y2 ne(i) = 0， (c) yne(i)̸= 0． 証明. (c) については次節で証明する． n = 2 の場合，(a) は定義より従い，(b) は関係において y12e(i) = 0 以外の項が 0 であることから従う． n≥ 3 の場合，帰納法を用いて示す． k = 1 に対しては，定義より y1e(i) = 0 である．
k < n なる k に対し，m < k ならば yme(i) = 0 を仮定した上で，yke(i) = 0 を示す．2.1 から，ikと ilが
隣接する 1≤ l < m がただ一つ存在する．従って，仮定より yle(i) = 0 であることを用いて，次の図により yke(i) = 0 が示される． 0 i2 il ik 0 = · · · · · · · · · 0 i2 il ik = · · · · · · · · · • 0 i2 il ik = · · · · · · · · · • 0 i2 il ik − · · · · · · · · · • 0 i2 il ik = · · · · · · · · · • 0 i2 il ik = · · · · · · · · · ． 一行目から二行目の変形において il→ ikを仮定したが，il← ikとしても符号が逆転するだけである．よっ て (a) が示せた． 同様に，k < n に対し yke(i) = 0 であることと，inに隣接する ilと im(1≤ l < m < n) が取れることか ら，次の図により y2 ne(i) = 0 となり，(b) が示される．
0 il im in 0 = · · · · · · · · · 0 il im in = · · · · · · · · · • 0 il im in = · · · · · · · · · • 0 il im in − · · · · · · · · · • 0 il im in = · · · · · · · · · • • 0 il im in = · · · · · · · · · • • 0 il im in − · · · · · · · · · • • 0 il im in =− · · · · ． この変形においては il → in → imを仮定したが，il ← in ← imとしても途中の符号が逆転するだけであ る． Hnに対し，Inの部分集合 Ine及び In1を次のように定める． Ine = {i ∈ In|e(i)̸= 0} In1 = {i ∈ In|i2= 1} また，Hnの冪等元 e を次のように定める． e =∑ i∈I1 n e(i) 更に，写像 ˆ: Ie n−1(α)→ In1(α) 及び ¯: In1(α)→ Ine−1(α) を次のように定める． i = (0, i2,· · · , in−1) に対し， ˆi = (0, 1, i2+ 1,· · · , in−1+ 1), i = (0, 1, i3,· · · , in) に対し， ¯i = (0, i3− 1, · · · , in− 1). 要するに二番目に 1 を入れ，その他の番号を 1 ずつ大きくする写像と，二番目の 1 を消し，その他の番号を 1 ずつ小さくする写像であり，双方とも全単射である． 命題 2.3. 各 n > 2 に対し，同型 Hn−1 ∼ // eHne が以下のようにして得られる． (eHne の元は ψ1を持たない形に変形しておく．) e(i)7→ e(ˆi) , yn−1 7→ yn , ψk7→ ψk+1.
証明. e(i) については，e(i) = 0 と e(ˆi) = 0 は同値である．ykについては，2.2 から yn−1∈ Hn−1と yn∈ Hn
のみを考えればよい．eHne の元が ψ1を持たない形に変形できることはよい．各関係を保存することも簡単
に確認できる．
また，射 eHne→ Hn−1を次のように作れば互いに逆射となる．
e(i)7→ e(¯i) , yn7→ yn−1 , ψk 7→ ψk−1 .
よってこれらは同型射となる．
系 2.4. 各 Hnにおいて，二つの原始冪等元 e(i) と e(j) から得られる直既約射影加群が同型かどうかは，in
と jnが等しいか否かのみに依る．
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Representation Theoretical Facts
[BK] によって与えられた同型を用いると，各 Hnは表現論の世界では既に良く知られた対象に置き換えら れる．そこに表れる様々な事実から原始冪等元の個数などを求め，前節の命題の証明を埋める． 定理 3.1 (Brundan-Kleshchev,Rouquier). (a) ⊕ |α|=n HΓ,α,Λ∼=HqΛ(n) 右辺は Λ および n, q = √n 1∈ C で定まる有木-小池多元環である． (b) HCn, α, Λ はブロックである．即ち，直既約両側イデアルである． 以下では Λ = Λ0と仮定する．このとき，有木-小池多元環は A 型ヘッケ多元環 Hq(Sr) となる．また，次 が成立する．定理中の用語については Mathas([M] p.50 Ex.18) を参照されたい． 定理 3.2 (Dipper-James). λ を r の分割とする．このとき Hq(Sr) 加群 Sλが存在して次の性質を持つ． n を 1 + q + q2+· · · + qn−1= 0 をみたす最小の正の整数とする．(a) λ が n-regular (n 回同じ数が続くことがない) ならば，Sλの top は一意的に定まる．このとき，topSλ
を Dλと書くことにする． (b) {Dλ| λは n-regular}は，単純 H q(Sr) 加群の完全なリストである． また，一般論から次が言える． 補題 3.3. Pλは Dλに対応する直既約射影加群とする． 左加群として， Hq(Sr) ∼= ⊕ λ (dimDλ)Pλ また，今回の設定の下では次が言える [U]． 定理 3.4. Grothendieck 群の元として， • [D(n)]=[S(n)] • [D(n−k,1k−1) ] =− [ D(n−k+1,1k−1) ] + [ S(n−k,1k−1) ] また，フック長公式から次が言える． 命題 3.5. dimS(n−k,1k−1)= ( n− 1 k ) 証明. フック長公式を用いると，(n− k, 1k) に対応するヤング図の各箱に入る数字は次の通りであるので， n n− k − 1 · · · 2 1 k · · · 1 dimS(n−k,1k) = n! n· k!(n − k − 1)! = (n− 1)! ((n− 1) − k)!k! = ( n− 1 k ) 3.4 と 3.5 より，次が言える．
命題 3.6. 0≤ k ≤ n − 1 に対し，λk= (n− k, 1k) とすると， n∑−1
k=0
dimDλk = 2n−2
証明. dimDλk=−dimDλk−1+ dimSλkより， dimDλk+ dimDλk−1 = dimSλk=(n−1
k ) なので， n が奇数ならば， n∑−1 k=0 dimDλk = ( n− 1 1 ) + ( n− 1 3 ) +· · · + ( n− 1 n− 1 ) = 2n−2 n が偶数ならば， n∑−1 k=0 dimDλk = ( n− 1 1 ) + ( n− 1 3 ) +· · · + ( n− 1 n− 2 ) = 2n−2 従って次の系を得る． 系 3.7. 2.1 で求められた 2n−2個の e(i) は全て原始冪等元である． また，次も成り立つ．
命題 3.8. e(i)̸= 0 ならば，yne(i)̸= 0
証明. End(e(i)Hn) ∼= e(i)Hne(i) であり，e(i)Hne(i) の元で e(i) と一次独立になりうるものは，yne(i) しか
存在しない．一方，3.4 より直既約射影加群で単純であるものは存在しないため，dim(e(i)Hne(i))≥ 2 であ
るから，yne(i)̸= 0．
系 2.3 については，同型であることについては [KL] から言え，同型類が (n− 1) 個存在することについて
は，Hnが An型 Brauer tree 代数と森田同値であるという事実から言える．
参考文献
[KL] M. Khovanov, A. D. Lauda, A diagrammatic approach to categorification of quantum groups I, Rep-resent. Theory 13 (2009), 309–347.
[R] R. Rouquier, 2-Kac-Moody algebras, preprint 2008, arXiv:0812.5023.
[BK] J. Brundan, A. Kleshchev, Blocks of cyclotomic Hecke algebras and Khovanov-Lauda algebras, Invent. Math. 178 (2009), no.3, 451–484.
[M] A. Mathas, Iwahori-Hecke Algebras and Schur Algebras of the Symmetric Group, AMS, 1999. [U] K. Uno, On Representations of Non-semisimple Specialized Hecke Algebras, JOURNAL OF
