第
12
章 世代混合と
CP
の破れ
12.1
世代の混合
カビボ回転 弱い相互作用は SU(2)×U(1) ゲージ理論に基づく。さしあたり、U(1) 部分を無視する。このとき、
弱い力の場 W±, Zはアイソスピン 2 重項に結合する。今までは次の様に、第 1 世代、第 2 世代、第３世代のアイ ソスピン 2 重項で表されるとしてきた。 クォークセクター " u d # " c s # " t b # (12.1a) レプトンセクター " νe e− # " νµ µ− # " ντ τ− # (12.1b) 混合がなければ、u は d にのみ結合する。すなわち u→ d +W−は起こるが、u→ s +W−は起こらないはずであ る。しかし、現実にはラムダのベータ崩壊が存在し、起こらないはずの世代を越えた結合 s→ u が生じている。た だし、中性子 (udd) とラムダ (Λ= uds)のベータ崩壊率は異なる。 n → p + e−+νe ∼ d→ u +W−→ u + e−+νe (12.2a) Λ → p + e−+νe ∼ s→ u +W−→ u + e−+νe (12.2b) 上の反応は W±を介して行われるが、W±がゲージ粒子であるならば、結合力の強さは同じはずである。実は上 に書いた２重項は、クォークの場合は強い相互作用反応で現れる粒子状態であり、質量固有状態である。弱い相互 作用を行う状態は、質量固有状態と必ずしも一致する必要はないから、弱い相互作用の固有状態を (d′, s′, b′)と書 けば、質量固有状態で展開して d′ s′ b′ = U d s b (12.3) と書けるはずである。これを世代混合と言う。ここで U は 3× 3 のユニタリー行列である。 簡単のため、とりあえずクォークセクターで 2 世代混合を考えて、 ψ′ d≡ " d′ s′ # = Uψ, U = " cosθC sinθC −sinθC cosθC # d′= cosθCd + sinθCs s′=−sinθCd + cosθCs (12.4) と書く。本来の 2× 2 ユニタリー行列は、行列要素に位相因子を含むが、上のように書いて良い理由は、次節の 小林-益川行列のところで述べる。これをカビボ混合、θCをカビボ角と言う。ここでは、慣例に従って電荷−1/3 クォークψdの混合のみを考えたが、電荷 +2/3 クォークψuの混合を考えても ψ′ u= U1ψu ψ′ uψ′d= (U1ψu)†(U2ψd) =ψ†uU1†U2ψd≡ψ†u(Uψd) =ψ†uψ′d (12.5) となり、同じことになる。
(12.2a)(12.2b)の反応率は、g2
Wcos2θC, gW2 sin2θCに等しくなるはずである。実際にそのようになっており、cosθC≅
0.973, sinθC≅ 0.22, θC≅ 13◦が得られている。歴史的には、標準理論発見前にΛ崩壊が既に存在し、(u, s) も 2 重項と考えたのであるが、s→ u +W−の強さが d→ u +W−と違う実験事実を一つの普遍結合定数にまとめるた め、カビボが (ds) 混合を思いついたのであった。 FCNC:香りを変える中性カレント カビボ混合により中性カレント反応がどのように変わるかを調べよう。 JNC= gz
∑
i=u,c,d,s qi(I3− Qsin2θ)qiZ → JNC′ = gz∑
i=u,c,d′,s′qi(I3− Qsin2θ)qiZ = (u, c項) + gzψdU†(I3− Qsin2θ)UψdZ
= (u, c項) + gzψd(I3− Qsin2θ)ψdZ = JNC
(12.6)
ここで、(I3−Qsin2θ)は、d’, s’ に共通であること、および U†U = 1を使った。すなわち、中性カレント反応は質量固
有状態でも、弱い相互作用固有状態でも対角的であり、香りの変わる中性カレント (FCNC=Flavor Changing Neutral Current)反応は存在しない。これを GIM (Glashow-Illioupoulos-Maiani) 機構という。ただし、s→ (u,c) → d のよう に高次の荷電カレント反応を通して結果的に中性カレント反応を起こすことはあり得る。例として KL0(ds)→ µ−µ+ 反応を考えてみよう (図 12.1)。d→ s の過程で中間状態として u,c を通るが、GIM 機構により両者の寄与は打ち 図 12.1: GIM 機構： 中間状態 u と c の寄与は質量が等しいならば正確に相殺する 消す合うように結合定数がアレンジされている。もし mu= mcならば、両者の寄与は完全に相殺する。質量差が ある分、相殺が緩和される。しかし、それでも u もしくは c 単独の高次効果から推察されるよりは相当小さい。 Γ(K0 L→ µ−µ+) Γ(K0 L→ all) = (7.15± 0.16) × 10−9 (12.7) レプトンの香り保存： レプトンセクターにおけるニュートリノは、質量固有状態として観測されたのではなく、 弱い相互作用反応で現れた 3 種類のニュートリノをそのまま 2 重項の一員としているから、レプトンセクターは 結合定数の普遍性が成り立つはずである。実際、 µ−→νµ+ e−+νe (12.8a) τ−→ντ+ e−+ν e (12.8b) τ−→ντ+ µ−+ν µ (12.8c) の反応率は全て等しく、結合定数は一つの gW で表される。ニュートリノは、香りの固有状態が弱い相互作用の固 有状態であり、νeと µ 、νµと e の結合はない。これは、π, K→ µνe、νµ+ p→ e−+ X反応等が観測されていな いことに現れている。また、種々の中性カレント反応も Br( µ−→ e−+γ) < 1.2× 10−11 (12.9a) Br(τ−→ e−+γ) < 2.7× 10−6 (12.9b) Br(τ−→ µ−+γ) < 1.1× 10−6 (12.9c)
今のところ観測されていない。観測されれば新物理の展開となる。実際、大統一理論などに必要とされる超対称性 粒子は、質量が大きければ、現在の加速器では生成不可能であるが、弱い相互作用過程の中間状態を通しての間接 的な検出可能性はあり (図 12.2)、レプトンでの香りの変わる中性カレント反応は精力的に探索が続けられている。
γ
図 12.2: 超対称性が存在すれば、超対称性粒子の中間状態を通して、µ→ e +γ反応が起こり得る。12.2
小林
-
益川行列
前節の 2 世代混合を 3 世代に広げると、 JCC= gW √ 2ψu Lγ µψ′ d L, ψu≡ u c t ψd≡ d s b (12.10a) ψ′ d= Uψd, U = Uud Uus Uub Ucd Ucs Ucb Utd Uts Utb (12.10b) 一般に (N× N) ユニタリー行列は N2個の独立な実変数を持つ。このうち、NC2= N(N− 1)/2 個の回転角θiで表 すことができる。残りは位相角φiとなる。一方 2N 個のクォーク場は質量項など観測量を変化させないで、位相 変換をする自由度 ψu→ Aψu= eiφu eiφc eiφt · ψu ψd→ Bψd= eiφd eiφs eiφb · ψd (12.11) があり、この変換により U→ A†U B、つまり Ujk→ e−i(φj−φk)Ujk (12.12) となるので、全体に共通な一個の位相を除いた (2N-1) 個の位相はクォーク場の再定義で吸収できる。結局 N2−N(N− 1) 2 − (2N − 1) = (N− 1)(N − 2) 2 (12.13) 個の位相が残る。従って N≤ 2 の場合は、U を全て実数で書いて良い。これがカビボ回転で位相を含めなかった 理由である。しかし、N≥ 3 では位相が必要である。標準理論では N=3 なので、3 個の回転角と一個の位相角が必要となる。U の表現法は唯一ではないが、通常次のように選ぶ。 U = 1 0 0 0 c23 s23 0 −s23 c23 c13 0 s13e−iδ 0 1 0 −s13eiδ 0 c13 c12 s12 0 −s12 c12 0 0 0 1 = c12c13 s12c13 s13e−iδ13 −s12c23− c12s23s13eiδ13 c12c23− s12s23s13eiδ13 s23c13 s12s23− c12c23s13eiδ13 −c12s23− s12c23s13eiδ13 c23c13 ただし、 ci j= cosθi j, si j= sinθi j (12.14) これを小林-益川行列と呼ぶ。実験的には、第 1 世代と第 3 世代の混合は非常に小さい (s13< 4× 10−4)ことが判っ ているので、 ∴ |Vus| = s12c13; s12, |Vub| = s13, |Vcb| = c13s23; s23 (12.15)
そこで、s12=λ, s23= Aλ2, s13= Aλ3(ρ− iη)と置くと、λ≪ 1 であるので、O(λ4)以上は省略すると
U = 1−λ22 λ Aλ3(ρ− iη) −λ 1−λ22 Aλ2 Aλ3(1−ρ− iη) −Aλ2 1 (12.16) というウォルフェンシュタイン (Wolfenstein) の表式となる。この表式は、小林-益川行列がほぼ対角行列であるこ とが明白であり、行列要素間の大小が良く見通せる等の利点があり、データ解析に便利である。実験的には λ= 0.2200± 0.0026, A = 0.80 ± 0.04, (12.17a) ¯ ρ=ρ µ 1−λ 2 2 ¶ = 0.20± 0.09, η¯=η µ 1−λ 2 2 ¶ = 0.33± 0.05 (12.17b) CPの破れ 第 9 章弱い相互作用のところで、弱い相互作用のラグランジアンは CP 変換で LW EAK= gW √ 2 h ψ1γµ(1−γ5)ψ2Wµ+ h.c.{=ψ2γµ(1−γ5)ψ1Wµ†} i (12.18a) CP −→ g√W 2 h ψ2γµ(1−γ5)ψ1Wµ †+ h.c. i (12.18b) の様に変換することを見た。これは CP 変換で不変なラグランジアンであるが、ここで、3 世代クォークの存在を 導入する。ψ1→ ui(= u, c,t), ψ2→ dj(= d, s, b)、Vi jを小林-益川行列要素とすれば、CP 変換で LW EAK∼ uiVi jdjW−+ djVi j∗uiW+ −→CP djVi juiW++ uiVi j∗djW− (12.19) となるので、CP 保存ならば Vi j= Vi j∗でなければならない。小林-益川行列の中の虚数部、すなわち位相の存在は CPの破れを引き起こす。歴史的には、CP の破れは、1967 年に中性 K メソン崩壊で発見された。クォークが 3 世 代存在すれば、CP 非保存が生じるとして、u,d,s の３個しか見つかっていないときに早くも 6 個のクォークの存在 を小林-益川が予言したのであった (1973)。 ユニタリー三角形： 行列要素が複素数を含むときは、小林-益川行列のユニタリー条件は、複素平面で三角形 を表現する。三角形は６個あり全て同じ面積を持つ。辺長、頂角ともに観測量であるが、3 頂角が同程度のものが 観測量として有用である。 VudVub∗+VcdVcb∗+VtdVtb∗= 0 (12.20)
図 12.3: (a) ユニタリー三角形。(b)|VcdVcb∗| = 1 で規格化する。
ウォルフェンシュタインの表式 (12.16) を入れると
Aλ3(ρ+ iη)(1−λ2/2) + (−λ)Aλ2+ Aλ3(1−ρ− iη)(1)
≅ Aλ3[(ρ+ iη) − 1 + (1 −ρ− iη] = 0 ρ= (1−λ2 /2)ρ, η= (1−λ2 /2)η (12.21) 図 12.3 は、この関係式を図示したものである。各三角形の頂角は φ1= Arg · −VcdVcb∗ VtdVtb∗ ¸ ≅ Arg[Vtd] , φ2= Arg · −VtdVtb∗ VudVub∗ ¸ , φ3= Arg · −VudVub∗ VcdVcb∗ ¸ (12.22) と表される。 演習問題 12.1 この三角形の面積は J/2 = (1/2)ℑ(VudVcbVcd∗Vub∗)で与えられること、またこれらの量は位相変換 (12.11)で不変であることを示せ。 KM行列の表し方はいろいろあるが、位相を変えることは、三角形を複素平面で回転することに相当する。三角 形の大きさと形は変わらない。CP が保存していれば三角形の面積はゼロである。標準理論における CP の破れの 検証は、ユニタリー三角形の形を決めることにある。実験データから決めた三角形が閉じない場合は、CP の破れ が小林-益川行列以上のものを含むことを意味する。上記三角形の面積を混合角等で表すと J = c12c213c23s12s13s23sinδ∼ O(λ6)≤ 10−4 (12.23) すなわち、CP の破れがあるためには、どの混合角、位相角もゼロであってはいけない* 1) 。 演習問題 12.2 |Vud| は核子のベータ崩壊から、|Vcb|, |Vub| は、B メソンの崩壊から決めることができる。
例： n(udd)→ (u +W−)(ud)→ p(uud) + e−+ν B0(bd)→ (c +W−)(d)→ D+(cd) + ℓ−+ν B0(bd)→ (u +W−)(d)→π+(ud) + ℓ−+ν |Vus|,|Vcd|,|Vcs| を決める方法を考えよ。
12.3
物質宇宙の創成
現在の宇宙には、反粒子は無く* 2) 、全ての銀河が物質で構成されていると考えられている。ビッグバン時に は、粒子と反粒子は同数存在したが、当時のバリオン数を数えると、100 億個に対し１個の過剰があれば現在の物 * 1) 実は、６個のクォーク質量も全て違わないといけない。 * 2) 近傍の銀河系では N N/NN< 10−4、また、遠くの銀河でも、粒子反粒子消滅反応に特有なガンマ線は観測されていない。質宇宙に発展できる。そのためには (1) バリオン数保存を破る基本過程の存在。 (2) CP が破れていること。 (3) バリオン数を破る過程が進行中に熱平衡が破れること。 が必要である。これをサハロフの 3 条件という (1967)。これらの条件が必要な理由を明らかにするため、ビッグ バンの火の玉の中にある、原始エネルギーの固まり (Ｘボソン) を考える。X と反Ｘボソン X がバリオン数 B1(B1) と B2(B2)で特徴づけられる過程に分岐比 b(b) および b(1− b) で崩壊すると考える。崩壊率をΓとすれば Γ(X→ B1) Γ(X→ all)= b, Γ(X→ B2) Γ(X→ all)= 1− b (12.24a) Γ(X→ B1) Γ(X→ all)= b, Γ(X→ B2) Γ(X→ all)= 1− b (12.24b) CPT不変ならば物質と反物質の全崩壊率は等しく、CP 不変ならば個々の各崩壊率も等しい (付録 I)。 CPT : → Γ(X→ all) =Γ(X→ all) (12.25) 最初に X と X の数が等しかったとすれば、バリオン数非対称は ∆B = (b− b)B1+{(1 − b) − (1 − b)}B2= (B1− B2)(b− b) (12.26) B1, B2はバリオン数非保存を、b, b は CP 非保存を意味する。次に CPT 定理とユニタリティ(確率保存) のみの 条件から
∑
r Γ(B→ r) =∑
r Γ(B→ r) =∑
r (B→ r) (12.27) 第 2 式は CPT から、第 3 式は全ての粒子の和は r と r とで等しいことを使った。上式に CPT 変換を施せば、粒子 が反粒子に変わり、時間の向きが逆転するから∑
r Γ(r→ B) =∑
r Γ(r→ B) (12.28) 熱平衡状態では全ての r 状態は同じ数だけあるから、仮に条件 (1) と (2) が充たされても非対称は生じないのであ る。 具体的な数はモデルに依存するが、大統一理論ではバリオン数非保存は自然な過程である。ただし、小林-益川 理論で現在の物質宇宙を生み出すには、CP の破れが小さすぎ、何らかの別な機構が必要と議論されている。また、 宇宙が電弱相へ相転移するとき、量子異常効果 (インスタントン) によって、それまでのバリオン数過剰が消滅す るので、最初は重いニュートリノ崩壊反応でレプトン数過剰が生じ、電弱相転移でこれがバリオン数過剰に転移 したとする leptogenesis (柳田・福来) が最近有力である。12.4
混合と香りの振動
12.4.1
2
粒子系の力学
GIM機構による相殺が完全でないことにより、(d↔ s),(u ↔ c),(b ↔ d,s) 間の遷移が 2 個の W±を放出するこ とにより可能となり、これを仲介にして K0(ds)↔ K0(sd), D0(uc)↔ D0(cu), Bd(db)↔ Bd(bd), Bs(sb)↔ Bs(bs)の 様に、負の香り状態への遷移が可能である。以下、Bd, s≡ B0, B 0 ≡ Bd, sを例にとる (図 12.4)。正負の香り間の遷 移が可能であれば、混合が起きる。B0, B0は、香り数 B =−1, 1 の固有状態であり、強い相互作用で作られる。崩 壊反応は弱い相互作用を通じて生じるので、ほぼ CP の固有状態となる。従って、状態の時間変化は ψ(t) = a(t)|B0 > +b(t)|B0> +∑
ci(t)| fi> (12.29a) |B0>≡ e−i2φCP|B0> (12.29b)図 12.4: (a) (b) B− B 混合を引き起こす箱形図。 ここに、 fiは、B0, B0から崩壊可能な全ての状態を表す。また、通常はφ= 0と置く。B0, B0状態間の遷移だけに 注目して、他の崩壊状態への遷移は粒子の消滅と解釈すれば、時間発展は 2× 2 有効ハミルトニアン H を使って 決められる。ただし、H はエルミートではなく H = M− iΓΓΓ 2, M = M †, ΓΓΓ=ΓΓΓ† (12.30) と表される。ΓΓΓが消滅部分を表す。すなわち、 |ψ(t) >=α(t)|B0> +β(t)|B0> (12.31) と書くと i∂ ∂t " α β # = " ˜ M11 M˜12 ˜ M21 M˜22 #" α β # ˜ Mi j=< i|H| j >, i, j = 1,2 = B0, B 0 (12.32) が成立する。CPT 保存ならば ˜M11= ˜M22、CP 保存ならば ˜M12= ˜M21が成り立つ (付録 I)。以下では CPT 保存を仮 定する。この方程式を対角化した固有状態を BL, BHとして |BL> = p|B0> +q|B 0 > |BH> = p|B0>−q|B 0 > |p| 2+ |q|2= 1 (12.33) と表せば、ハミルトニアンの固有値λL,H= mL,H− iΓL,H/2を持つ。L,H は質量の軽い (重い) 状態を示す。CP 保存 が成り立てば、BL, BHは CP =± の固有状態であり、p = q = 1/ √ 2となる。CP の破れが小さければ|q/p| ≅ 1 で ある。 演習問題 12.3 次の等式を証明せよ。 ∆≡λH−λL=∆m− i ∆Γ 2 = 2 p ˜ M12M˜21 (12.34a) q p = s ˜ M21 ˜ M12 (12.34b)
12.4.2
香りの振動
香りの振動とは、例えば B0が時間がたつと B0に変わったり、再び B0に戻ったりする現象である。t = 0 に B0, B0間変化をするから |B0(t) > = 1 2p h |BL> e−iλLt+|BH> e−iλHt i = f+(t)|B0> + q pf−(t)|B 0 > (12.35a) |B0(t) > = 1 2q h |BL> e−iλLt− |BH> e−iλHt i = p qf−(t)|B 0> + f +(t)|B0> (12.35b) f±=1 2 h e−iλLt± e−iλHti, λ L, H= mL, H− i ΓL, H 2 (12.35c) ここで実験事実 (理論的にも正当化できる) を入れて式を簡単化する。mB≅ 5GeV ≫ mK, mπであるので沢山の崩 壊チャネルがあり、崩壊幅はほとんど同じである。そこで ∆Γ 2Γ = ΓH−ΓL ΓL+ΓH ≅ 0, ΓL=ΓH=Γ (12.36) と置く。そうすると P(B0→ B0) = P(B0→ B0) =| f+(t)|2= e−Γt 1 + cos∆mt 2 (12.37a) P(B0→ B0) = ¯ ¯ ¯ ¯ q p ¯ ¯ ¯ ¯ 2 | f−(t)|2= ¯ ¯ ¯ ¯ q p ¯ ¯ ¯ ¯ 2 e−Γt1− cos∆mt 2 (12.37b) P(B0→ B0) = ¯ ¯ ¯ ¯ p q ¯ ¯ ¯ ¯ 2 | f−(t)|2= ¯ ¯ ¯ ¯ p q ¯ ¯ ¯ ¯ 2 e−Γt1− cos∆mt 2 (12.37c) これは香りが T = 2π/∆mを周期として振動することを示す。B メソンの場合、崩壊寿命はτ∼ 10−12秒と短いが、 cτ∼ 300µm で、半導体検出器で測定可能である* 3) 。ただし、Bsについては下限が判っているのみ。 B0(db), B0(bd)メソンの同定は、次式の左側の反応は可能であるが、右側の反応は存在しないことを使えば良い。
b→ (c,u) +W−→ (c,u) + ℓ +ν, b→× (c,u) + ℓ +ν (12.38a)
b→ (c,u) +W+→ (c,u) + ℓ +ν, b→× (c,u) + ℓ +ν (12.38b)
e−e+→ B0+ B0→ ℓℓ + X で同符号レプトンペアの存在が混合を表すことになる (図 12.5)。香りの振動から次の データが得られた。 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0 2 4 6 8 10 12 14 |∆t| (ps) Asymmetry 図 12.5: B0d− B0d振動。e−e+→ B0dB0d+ X反応で異符号レプトンと同符号レプトン生成の非対称を崩壊時間差の 関数としてプロットしたもの。∆md= 0.494± 0.012ps−1が得られた (Belle : PRL 89, 251803(2002))。 * 3) Kメソンの場合はτ∼ 10−10秒程度であるため測定が容易で、歴史的にはストレンジネス振動が最初に観測された
mB0 = 5279.4± 0.5MeV (12.39a) ∆mBd = 0.502± 0.007 × 10 12¯h/s (12.39b) ∆mBs > 14.4× 10 12¯h/s 95%CL (12.39c) ΓBd/ ¯h≅ΓBs/¯h = (1.536± 0.014 × 10−12sec)−1 (12.39d)
12.5
CP
非保存現象
CP非保存は、非対称 Af = Γ(B→ f ) −Γ(B→ f ) Γ(B→ f ) +Γ(B→ f ) (12.40) を検出することにより検証できる。崩壊率の差に現れる CP の破れを直接の破れとよび、混合起源の間接の破れ (|p/q| , 1) と区別する。CPT が保存している場合の崩壊振幅は次のように書ける (付録 I 参照)。 A(B→ f ) =< f |T |B >=∑
i DieiδSi=∑
|Di|eiφWeiδSi (12.41a) A(B→ f ) =< f |T |B >=∑
i D∗ieiδSi=∑
|D i|e−iφWeiδSi (12.41b) ここで、i は異なる中間状態を示し、φWは弱い相互作用崩壊の位相、δSは終状態の散乱位相で強い相互作用から 生じる。CP の破れを検出することはφW を観測することに他ならない。崩壊率は振幅の自乗であるため中間状態 が一つしかないときは位相は検出不可能であり、CP の破れを検出するには二つ以上の中間状態による干渉効果が 必要である。中間状態が二つあるとき Γ(B→ f ) −Γ(B→ f ) = |D1D2|sin(φW 1−φW 2) sin(δS1−δS2) (12.42) すなわち、直接の破れを検証するためには、2 種の振幅の弱相互作用の位相、散乱の位相共に異なっていなけれ ばならない。位相差φW 1−φW 2を検出するためには散乱位相δS1−δS2 を知る必要があり、これは一般的にかな り困難である。しかし、終状態として、CP 固有状態 CP| f >= | f >= ±| f >=ξf| f > を選んで、混合 (B0→ f と B0→ B0→ f ) による干渉を利用すると、散乱位相を混合の位相に置き換えられる。混合は弱い相互作用過程 (図 12.4)であるから、その位相はまさに知りたい量を含む。これを混合と干渉による CP の破れという。 (12.35)を使えば A(B→ f )(t) = f+(t) < f|T |B0> + q pf−(t) < f|T |B 0 >=< f|T |B0> [ f−(t) +λff+(t)] (12.43a) A(B→ f )(t) = p qf−(t) < f|T |B 0> + f +(t) < f|T |B0>=ξf p q < f|T |B 0> [λ ff+(t) + f−(t)] (12.43b) λf = q p < f|T |B0> < f|T |B0>=ξf q p < f|T |B0> < f|T |B0> (12.43c) ∴ Γ(B0 → f ;t) ∼ | < f |T |B0> |2[ | f+(t)|2+|λf|2| f−(t)|2+ 2ℜ(λff+∗f−)] (12.44a) =| < f |T |B0>|2e−Γt · cos2∆m 2 t +|λf| 2sin2∆m 2 t +ℑ(λf) sin∆mt ¸ (12.44b) Γ(B0 → f ;t) ∼ ¯ ¯ ¯ ¯ p q ¯ ¯ ¯ ¯ 2 < f|T |B0>|2[|λf|2| f+(t)|2+| f−(t)|2+ 2ℜ(λff+f−∗)] (12.44c) = ¯ ¯ ¯ ¯ p q ¯ ¯ ¯ ¯ 2 | < f |T |B0> |2e−Γt · |λf|2cos2 ∆m 2 t + sin 2∆m 2 t−ℑ(λf) sin∆mt ¸ (12.44d)|q/p| − 1 ≪ 0 であるので、CP の敗れに起因する非対称を表す式は Af(t)≡
Γ(B→ f ;t) −Γ(B→ f ;t)
Γ(B→ f ;t) +Γ(B→ f ;t)= Sfsin∆mt−Cfcos∆mt (12.45a)
Sf= 2ℑ(λf) 1 +|λf|2 , Cf = 1− |λf|2 1 +|λf|2 (12.45b) となる。第 1 項は混合と崩壊の干渉による破れを表し、第 2 項は直接の破れを表す。
12.6
ユニタリー三角形の評価
図 12.3(a) のユニタリー三角形の上辺の長さは、ウォルフェンシュタインの表式 (12.16) を使えば |VudVub∗| ≅ ¯ ¯ ¯ ¯(1 −λ 2 2 )Aλ 3(ρ+ iη) ¯ ¯ ¯ ¯, |VtdVtb∗| ≅ |Aλ3(1−ρ− iη)| (12.46) で表される。小林-益川モデルが正しいと判っていれば、CP の破れを直接見ずとも辺長だけから三角形が決められ るが、モデルの検証には頂角 (例えばφ1)を測って、辺長から決めた三角形に合致することを確認しなければなら ない。これまでに、Vub, Vtd以外は比較的良く決められている。Vubも、B メソン崩壊の測定から決められる。Vtd を決めるには t クォークを生産して崩壊モードを観察しなければならないが、将来的にはともかく現段階では不可 能である。そこで、理論情報を使うことにする。 |Vtd| の決定： 演習 12.3 で示したように、 ∆m(Bd) = mBH− mBL= 2ℜ( p ˜ M12M˜21) = 2ℜ à sµ M12− i Γ12 2 ¶µ M12∗ − iΓ ∗ 12 2 ¶! (12.47a) ˜ M12=< B0|H|B0>, M21˜ =< B0|H|B0> (12.47b) ˜ M21 は、図 12.4 で表される遷移要素である。計算によればこのグラフの寄与は、中間状態 i, j の質量に比例す る (∝ m2i/m2W)ので、i = j = t の寄与が圧倒的である。この場合、虚数部は小林-益川行列要素が提供するので、 ˜ M21∝ Vtb2Vtd∗2, ˜M21= ˜M12∗ であり、Vtb≅ 1 を考慮すると ∆m(Bd)∝ |Vtd|2 (12.48) となり、質量差∆m(Bd)からユニタリー三角形の辺長 AB が決められる。 図 12.6: ユニタリー三角形の頂角φ1が測れる過程 (B0→ J/ψ+ Ks0)。(a) トリー図 (b) ペンギン図 φ1の決定： 演習 12.3 の式に、上の議論を適用すると q p = s ˜ M21 ˜ M12 =V ∗ td Vtd (12.49)次に、混合の干渉に基づく CP の破れを、終状態| f >= |J/ψ(cc) + K0 S(sd) > (ξf =−1) に適用して考察しよう (図 12.6)。この反応には (a) のトリー図と、(b) のペンギン図が寄与する。ペンギン図は強い相互作用を含む過程で ある。これらの反応の虚数部は小林-益川行列要素で与えられる。トリー図の寄与は Vcb∗Vcsに比例するのでほぼ実 数である。ペンギン図はループを含むので、VibVis∗に比例するが、i = t の寄与が優勢なので、やはり実数である。 従って式 (12.45) に現れるℑ(λf)は ℑ(λf) =ℑ à ξf q p < f|T |B0> < f|T |B0> ! ≅ −ℑ µq p ¶ =−ℑ µV∗ td Vtd ¶ (12.22)=== sin 2φ 1 (12.50) となり、頂角φ1が測れる。現時点では純粋な B0, B 0 ビームを作ることは難しく、√s = 2MB≅ 10GeV の B-ファク トリーの e−+ e+→ϒ(4S)→ B0+ B0反応において、B0→ ℓ+, B→ ℓ−により、片方の B0もしくは B0を同定した 上で、他方の崩壊モードを検出する。この場合 B0, B0に相関が生じるが、ϒ(4S)(JPC= 1−−)のように、CP が正で 軌道角運動量が奇数の状態を通して対生成を行い、B0, B0の崩壊時間の差∆t = (t 1−t2)を測定し、t1+ t2について は積分して消去すれば、t→∆tとするのみで、式 (12.45) がそのまま成立することが知られている。図 12.7(a) は、
