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整 域 の あ る 種 の 条 件 に つ い て
辻
吉
雄
On Some conditions on integral domains
Tsuji Yosmo
This article is principally concerned with some conditions on integral domains and the primary purpose of it is an investigation of relations which are established between those conditions and classical results.
Dを 標 数 ≒2の 整 域 と す る 。 そ し てD上 の2 次 形 式 Σaε,x己X」=f,(1≦ ≦i≦j≦n)を 考 え
る 。 後 で,こ の2次 形 式 を 簡 単 に 係 数 だ け で 〔all, a12,…, ann〕 と表 現 す る こ と も あ る6 f の 係 数 で 生 成 さ れ る イ デ ア ル(a11, a12,…, ann) をfのdivisorと い うが,(alb a12,…an")=D の と きfを 原 始 的 と い う こ と に す る 。 い まDY`つ ぎ の よ う な 条 件 を 与 え て み よ う6 条 件1.D∋d(≒0)に 対 し て, dを 含 む 極 大 イ デ ア ル(Dの)は 有 限 個 し か な' いo こ の と き 条 件1を 満 た す 整 域Dに つ い て は, つ ぎ の 命 題 が 成 り 立 つ: 命 題1.Dは 条 件1を 満 た ナ と す る. (a,,a2,…, an)=Dの と き,
(a,十bla", a2十b2aη,… …, an_1十bn_置a躍)=D と な るb,,b2,… …, b。_1がD中 に 存 在 す る 。 た だ しa,,a2,… …, a,、∈D,(n≧3) 証a1＼0と し て よ い6な ぜ な ら,も しa,=0 な ら,明 ら か にb1=1, b2=b3=… …=b,._1=0 は 一 つ の 解 で あ る6 い まM,,M2,… …, M8をa,を 含 む 極 大 イ デ ア ル と す る 。 臨 が 極 大 イ デ ア ル で あ る か ら 各 1=1,2,… …,Sに 対 し て,い ず れ か のa/q…Ms (2≦j≦n)で あ る 。 こ のj〈nの と きb`」=0と し,arcM(2≦ 」≦n-1)の と きbδ 戸1と す る と 切 …ミb`ノ(mod Mi)(i=1,2,… …, S)な る b,∈Dで あ る こ と は よ く 知 ら れ て い る 。(例 え ば1。 定 理31,p177) .●.(a,+b皇a,。a2+b2a.,・ ・… ・, an一,+b。_、a,、) =D 〔証 終 〕 ま た 命 題2.Dは 条 件1を 満 た す と し,f=Σa`ゴx`X」, (1≦i≦j≦n)をD上 の2次 形 式 と す る 。 い ま (a11,a12,… …, a,,,、)=Cと し, Eを も う 一 つ の D中 の イ デ ア ル(零 イ デ ア ル で な い)と す る と き,C十E=Dで あ る と す る 。 こ の と きD中 の 元rhr2,… …,r,、 で (r,,r2,… …, r,,)=D, f(r,, r2,… …, rn)・≒0, か つ(f(r1, r2,… …,r,、))十E=Dと な る も の が 存 在 す る6 証 M,M2,… …, M,をEを 含 む 極 大 イ デ ア ル(D中 の)と す るnま た1≦6≦sの と き,あ る1=1,2,… …,nに つ い てa激 モMε な ら ばtα コ1,tie=0(こ こ にjキi)と お き,一 方a`δ ∈ Ml(1≦i≦n)な ら ぽ, a5妊Mε を 選 びtIFt九 =1,tκFO(k*iま た はj)と お く 。 そ の と き ti∈Dをti-t``(mod Mi),(`=1,2,… …, s) と 選 ぶ こ と が で き る 。 こ の と き に は (f(t,,t2,… …, t、1))十E=D で あ る か ら,e∈Eが あ っ て(tl, t2,… …,t、、, e) =Dと な る6n=1に 対 し て は 命 題 は 自 明 で あ る か ら,n≧2と 仮 定 し て よ い 。 命 題1よ り, b,,b2,… …, ba∈Dが あ っ て, re=is+bieに 対 し て(r,,r2,… …, rn)=D,か つ(f(r1, r2,… …,r,、))十E=Dと な る 。 と こ ろ でr1,r2,… …, r.はf(r,,r2,… …,rη)≒0に 選 べ る こ と は 明 ら か で あ る り 〔証 終 り
6 滋 大 紀 要
第 19 ・号 1969つ ぎに,Dに
つ ぎ の よ うな 条 件 を お い て み る
と,わ れ わ れ が 有 理 整 数 の 整 域Zに つ い て 既 知
の結 論 の 一 般 化 が 得 られ る。
条 件 亜
い まDの 商 体 をKと す る。
α∈K,u,
v∈Dに
対 して
a2+ua十v=0の
とき α∈D.
こ の と き, 命 題3.a, b, c∈Dに 対 し,a2b2≡c2 mod(4a2)な らばab=c(mod 2a) で あ る た め の 必 要 十 分 条 件 は Dが 条 件 皿を み た す こ と で あ る6 証 Dが 条 件Hを み た す と す る 。 仮 定 よ りa2b2 -c2=4a2kと な るk∈D .こ の と き(ab-c)/2a をx2-ax+kに 代 入 し て 整 理 す る と,(4a2k2+ c2-a2b2)/4a2と な り,仮 定 よ り0と な る 。 条 件 弧 よ り(ab-c)/2a∈D,す な わ ちab-c=2ak' (k'∈D),ゆ え にab≡c(mod 2a)。 逆 に,u, v, r,s∈Dに 対 し て (r/s)2+u(r/s)+v=0 とす る 。 こ の と きr/S=(一u± ∼/u2-4v)/2で あ る か ら,こ れ よ り ∼/u2-4v=e/f(e, f∈D) と な る 。 と こ ろ で ((一u-e/f)/2)・((一u十e/f)/2)=:v で あ る か らu2f2-e2=4flv,従 っ て of≡ 三e(mod 2f) こ れ か らfeeと な る6い まe/f=t∈Dと す る とu2-0(mod 4)で あ る か らu葺t(mod 2), 従 っ てr/s∈Dで あ る こ と に な る. 〔証 終 〕 簡 単 な 系 と し て 系 Dが 条 件 置を み た す と き,x, y∈Dに 対 し
て
x2≡≡y2(mod 4)な ら ばx… ・=Y(mod 2) 例 条 件 皿を み た す 整 域D上 の 二 つ の2次 形 式 白`,b', Ca〕(i=1,2)が 同 じ 判 別 式d= b12-4a`c`(i=1,2)を も っ と き,bl…=b2(mod 2)で あ る6 系Dが 条 件Hを み た す と き, x21y2な ら ぽxiy(x,y∈D) 系 Dが 条 件 亜 を み た す と す る 。D上 の2次 形 式 〔,a, b, c〕 の 判 別 式d=b2-4acがD中 で 平 方 元 で な い な ら,axe+bxy+cy2=0(x, y∈D)の 解 はX=Y=Qだ け で あ る6 証 dはD中 で 平 方 元 で な い 「か ら,aもcも0 で は な い6そ こ でaxe十bxy十cy2=0(x, y∈D) に お い てy≒oと 仮 定 す る 。 す る と a(x/y)2十b(x,y)十c=0 .●. x/y;=(一b± へ/b2-4ac)/2a .●・ ∼/b2-4ac雲e/f(e, f∈D) ●●● d=e2/f2 と こ ろ で,e/f∈Dで あ る こ と は 命 題3と 同 様 に し て 導 か れ る か ら,dはD中 で 平 方 元 と な り,矛 盾6ゆ え にy=0で な け れ ば な ら な い6 同 じ よ う に し てx=0と な る 。 〔証 終, 参 考 文 献1. 0. Zariski and P. Samuel, Commutative Algebra, Vol.1, van Nostrand, Princeton, New Jersey,1958
2.W. Krull, Idealtheorie, Chelsea, New York, 1948
3.M. Nagata, Local Rings, Interscience, New York,1962
