【土木 学 会 論 文 集 第374号/I-61986年10月 】
境界要素法 に よる半無限弾性体 における二 次元波 動場 の解析
BEM ANALYSIS OF THE TWO-DIMENSIONAL ELASTIC WAVE FIELD IN A HALF-SPACE上 杉 真 平*・ 大 津 政 康**
By Shinpei UESUGI and Masayasu
OHTSU
An alternative method for calculating the two-dimensional scattering of P, SV and SH waves by near-surface inhomogeneities is presented. As problems are classified into the elastodynamic problems in a half-space, the BEM formulation based on a fundamental solution in a half-space is usually employed. A fundamental solution of the SH wave field in a half-space is obtained with no difficulty, but the problem of the P and SV wave fields in a half-space is of complicated nature.
In the present paper, we replace an infinite stress-free surface in a half-space by a trancated boundary of finite length and propose a method to apply the fundamental solu-tion in an infinite space to the problems in a half-space. On the basis of the indirect boundary element method formulation, the feasibility of the method presented is investi-gated by solving several problems of P, SV and SH wave fields.
Keywords : elastic half-space, two-dimensional analysis, indirect BEM formulation, elastic wave problems
1. は じ め に 地 震 波 入 射 の 際 の 地 盤 お よ び地 表 付 近 の 応 答 を求 め る 問 題 は, 耐 震 工 学 上, 非 常 に重 要 で あ る. こ の よ う な問 題 は, 地 中 深 く埋 設 さ れ た構 造 を除 い て, 半 無 限 弾 性 体 に お け る波 動 の伝 播 問題 と分 類 さ れ, こ れ ま で級 数 解 法 や 有 限 要 素法などにより解析が行われてきた1),2),18). し か しな が ら, 従 来 の手 法 に は 取 り扱 い上, 多 くの 難 点 が あ る た め, 最 近, これ に替 わ る もの と して 境 界 要 素 法 が 注 目 され て い る. この 手 法 は, 境 界 の形 状 に か か わ らず 適 用 で きる うえ に, 未 知 量 は境 界 上 に だ け選 べ ば よ く, また, 境 界 上 お よ び領 域 内 の 任 意 点 の 変 位, 応 力 な どの 物 理 量 をそ れ らの 近 似 度 と は直 接 に は関 係 な く, 高 い精 度 で 求 め る こ とが で き る ので 汎 用 性 が あ り, と り わ け無 限 お よ び 半 無 限 領 域 の 問 題 に 対 し て 非 常 に 有 効 で あ る3). 波動問題においても多くの研究成果が発表されて い る が, 一 般 に は, 複 雑 な 半 無 限領 域 に お け る基 本 解 を 用 い て定 式 化 が 行 わ れ ているため4), 特に面内波動場で は, 波 の 性 質 上 そ の 取 り扱 いが 容 易 で はな い5). 本 論 文 は, 以 上 の よ うな こ と を踏 ま え て, 境 界 要 素 法 の半 無 限領 域 問題 へ の適 用 性 を 明 らか に し, い くつ か の 解 析 例 を 示 した もの で あ る. 以 下 で は, まず, 一 重 層 ポ テ ン シ ャル に よる無 限 領域 に お け る波 動 問 題 の 解 析 法 の 定 式 化(間 接 法)を 示 す. 次 に, こ れ を半 無 限 領 域 の問 題 に適 用 す る た めの 手 法 につ い て考 察 し, そ の際, 併 せ て無 限 領 域 に お け る基 本 解 を用 い る こ と に よ る取 り扱 い の簡 単 さ につ い て も述 べ, そ の妥 当 性 を検 討 す る. 最 後 に, この手 法 の適 用 性 を確 か め る た め に い くつ か の半 無 限 問題 を解 析 して, そ の有 効 性 を示 す. 2. 二 次 元 波 動 問 題 と積 分 方 程 式 (1)支 配 方 程 式 と境界 条 件 三 次 元Euclid空 間 内 に均 質 で 等 方 な 線 形 弾 性 体 を 考 え る と, そ の運 動 方 程 式 は, 直交 デ カ ル ト座 標 系X1, X2, X, を基 準 と して, 次 の よ う に表 わ され る6).
(A+p)uL(xt)+pu(xt)+Pb1(xt)
=o1(xt)
(1)
こ こ に, ui, biは 変 位 ベ ク トル お よ び物 体 力 ベ ク トル で あ る. ま た, λ, μ はLameの 定 数 を, そ して ρ は密 度 を 表 わ す. さ ら に, i直は座 標Xiに 関 す る微 分, "は 時 間 に 関 す る2階 微 分 を意 味 し, 下 指 標 の ロ ー マ ン文 字 は1, 2, 3を と り, 総 和 規 約 を 適 用 す る. こ の 式 は *正 会 員 工 修 熊 本 工 業 大 学 副 手 工 学 部 土 木 工 学 科 (〒860熊 本市池田4-22-1) **正 会 員 工 博 熊 本 大 学 助 教 授 工 学 部 土 木 工 学 科 (〒860熊 本市黒髪2-39-1)458 上 杉 ・大 津: Navier-Cauchyの 式 と よ ば れ, 変 位 を用 い て 表 わ した 弾 性 波動 問題 の基 礎 方 程 式 で あ る. こ こで, 定 常 状 態 を 考 え る もの と す る と, 変 位 瓦(X, t)は, 時 間tと 無 関 係 な場 所Xだ け の 関 数 π(X)と し て 表 わ され る. さ らに, 物 体 力 は な い もの と し, 平 面 ひ ず み状 態 を仮 定 して, 変 位 な どの 諸 量 がX、 軸 に 関 して 独 立 であ る とす る と, 式(1)は 面 内 お よ び面 外 の 問 題 に 分 け られ次のように表わされる7),8). 面 内: (k2s/k2p-1)uβ αβ(X)+%α ββ(X)+k2sud(X)=0
(2)
面 外: π3ββ(X)+k2s%(X)=0 (3) こ こ に, κs=ω/Cs, κp=ω/Cpは, そ れ ぞ れ横 波 お よ び 縦 波 の 波 数 で あ り, Csは 横 波 の速 度, Cpは 縦 波 の 速 度, ω は円 振 動 数 で あ る. ま た, 下 指 標 の ギ リシ ャ文 字 は1, 2を と る も の と す る. 式(2), (3)は, 二 次 元 波 動 問 題 の 支 配 方 程 式 と して そ れ ぞれ 独 立 に扱 う こ とが で き る. ま た, 単 位 外 向 法 線 ベ ク トルnを もつ 面 に 作 用 す る 表 面 力 は, 変位 を 用 い て 次 の よ う に表 わ され る. 面 内: ta(X)=λnauγ γ(X)+μnβ{π β(X)+uβ α(X)}(4)
面 外: t(X)=μnβ π3β(X) (5) い ま, Fig. 1に 示 す よ うに, 二 次 元 空 間 に連 続 で 滑 ら か な境 界Sを 考 え る. 境 界 の 内部 領 域 をD, そ の補 領 域 をDCと し, 変 位 が 与 え られ て い る境 界 をSI, 表 面 力 が 与 え られ た 境 界 をS, と す る. こ こで は, 無 限領 域 を 解 析 の 対 象 と して い る た め, Sで 囲 ま れ た 内 側 がDc と な って い る こ と に注 意 され た い. 一 般 に, 地 盤 の よ う に 境 界 が 自由 表 面 で あ る よ うな 場 合 に は, S, 境 界 上 で応 力 自 由 の 条 件 が満 足 され な け れ ば な らな い. この場 合 の 境 界 条 件 は,t(X)=0X=S2
(6)
で 与 え られNeumann問 題 と して取 り扱 わ れ る. よ って, 以 下 で はNeumann問 題 に つ い て 考 え る. (2)-重 層 ポ テ ン シ ャル に よ る定 式 化 領 域D内 に お い て, あ る境 界 条 件 の も と で場 の 支 配 方 程 式(2)お よ び(3)の 解 は, Greenの 公 式 に よ り Somiglianaの 式 と して 与 え られ る3). これ は, 一 重 層 お よ び二 重 層 ポ テ ン シ ャ ル10)の和 の 形 で 表 わ され る積 分 表 示 式 で あ る が, 数 学 的 に は, この 解 は ど ち らか 一方 の ポ テ ン シ ャル の み で表 わ し得 る こ とが 示 され て お り, 一 般 にNeumann問 題 の 解 は一 重 層 ポ テ ン シ ヤル で 与 え ら れ10), 次 の よ うに表 現 で き る11). 面 内: ua(X)=1Gα β(Xy)fb(y)ds (7) 面 外: u3(X)=ZG33(Xy)f3(y)ds (8) こ こ に, f(y)は 一 重 層 密 度 ま た は積 分 密 度 と よ ばれ, 境 界 上 で 連 続 で積 分 可 能 な関 数 と して 与 え られ る もの で, 影 響 係 数 と して の 意 味 を も って い る. ま た, Gij(X, ㌢)は式(2), (3)の 基 本 解 で あ っ て, 次 式 の 解 と な る もの で あ る. 面 内: (k2s/kwp-1)π βαβ(X)+uα ββ(X)+k2sπ α(X) =-δ(y-X)δ αβ (9) 面 外: u3β β(X)+k2su3(X)=-δ(y-X) (10) た だ し, δ(〃-X)はDiracの デ ル タ 関 数, δjは Kroneckerの デ ル タ で あ る. 式(7)お よ び(8)を 式(4)と(5)に 代 入 す る こ と に よ っ て 表 面 力 は 次 の よ う に 表 わ さ れ る. 面 内: ta(X)=1sTα β(Xy)fb(y)dS (11) 面 外: t3(X)=fsT33(Xy)f3(u)dS (12) た だ し,Tas(xy)=Ga7(xy)n7+Gysa(xy)ny
T33(xy)=uG33(xy)ns
で あ る. (3)基 本 解 式(9)お よ び(10)を 満 足 す る 解Gj(X, 〃)は, Sommerfeldの 放 射 条 件 を満 た す よ う に 定 め られ, 無 限 領 域 にお いて は次 の よ うに 求 め られ て い る12). 面 内: Gαβ(Xy)=i/wu[Hgl(ksr)δaβ+1/H0{H9)M -Hgl(κ Pr)}α1 (13) 面 外: G33(Xy)=i/4uH(1)0(κs7) (14) 上式 中, 瑞)は 第 一 種Hankel関 数, γ はX点 と 〃点 の 距 離 で あ る. と ころ で, 上 記 のGjとTjは0(1/73) お よび0(1/75)の 特 異 性 を も って い る. この た め, hγ の値 に よ っ て は数 値 計 算 上 の 誤 差 を生 じ る こ とが あ る. Fig. 1 Domein and its boundary.境界要素法 による半無限弾性体 にお ける二次元波動場の解析 459 そ こ で, こ れ を 防 ぐた め に, kr≦1.0の 場 合 に は式(22) に示 す よ うなHankel関 数 の 級 数 形 に含 ま れ る不 都 合 な 項 を消 去 す る こ と を考 え る13).
Hn(kr)=Jn(kr)+iNn(kr)
(15)
(16)
(17)
こ こ に, ゐ, NnはBessel関 数 お よ びNeumann関 数 で あ り, CはEulerの 定 数 で あ る. 実 際 に は, 計 算 の 上 で表 わ れ る1/hγ を含 む項 を そ の過 程 で相 殺 す る こと で 誤 差 の原 因 が 除 か れ る. こ れ に よ っ て得 られ る数 値 計 算 上 の効 果 に つ い て は後 で述 べ る こ と に す る. (4)数 値 解 析 手法 定 常 状 態 に お け る線 形 波 動 場 の変 位 は, 一 般 に次 の よ う に表 わ す こ と が で き る.u(x)=u(x)+u(x)
(18)
こ こ に, uは 全 体 場, 耀 は 自 由 場, そ して 曜 は 散 乱 場 の 変位 で あ る. い ま, Fig. 2の よ う な半 無 限 領 域 に お い て, 境 界S上 で応 力 自 由 の 境 界 条 件 を 満 足 す る よ う な反 射 波%多 を考 え る と, 自由 場 は 入 射 波 厩 と 反 射 波 の 和 と して次 の よ う に得 られ る.u(x)=u(x)+u(x)
(19)
こ こで, 入 射 波 と して平 面 波 を仮 定 し, 入 射 場 お よ び反 射 場 と して次 の よ う な もの を考 え る. 面 内: ua(X)=φa+eaβub (20)u(x)=Sba+gas
(21)
O=exp{i(x1kpcosb+x2kpsinb)}
V'=exp{i(xlkscosb+x2ksinb)
(22)
cbR=Kpexp{i(x1kpcosb-x2kpsinb)}
P=KsexpIi(xlkscosb-x2kssinb)}
(23)
面 外: π1=exp{J(Xhscosb+X2κssinb)} (24) uR 3=exp{J(X1κscosb-X2ssinb)} (25) こ こ に, φ お よ びuはLam6の ポ テ ン シ ャル と よ ば れ る. こ れ は, 式(2)お よ び(3)に 示 され るNavier の式 を満 足 し, 領 域 内 の す べ て の 点 で 正 則 で あ る よ うな 任 意 関 数 で あ っ て, そ れ ぞ れP波 に 関 す る変位 を表 わ す ス カ ラー ポ テ ン シ ャル(ス カ ラー値 関 数)お よびS波 に つ い て の 変位 を示 す ベ ク トル ポ テ ン シ ャル(ベ ク トル 値 関 数)で あ る14). し たが って, 式(20)お よび(21)の よ うに ポ テ ン シ ャル の導 関数 で与 え られ る変位 を 重 ね 合 わ せ る こ とに よ って入 射 場 お よび 反 射 場 を表 わ す こ とが で き る. bは 入 射 波 がX1軸 と な す 角, e0β はpermuta-tionsymbolで あ り, K0, KpはPお よ びS波 の 反 射 係 数 で あ る. この 反 射係 数 は, 入 射 波 に対 す る反 射 波 の 変 位 振 幅 の 比 を示 す もの で, 自 由表 面 で の 応 力 自由 の 条 件 を満 足 す る よ うに 定 め られ る. 詳 細 につ い て は文 献14) に ま と め られ て い るの で 参 照 さ れ た い. ま た, SV波 が そ の 臨 界 角 を超 え て入 射 し た場 合, 境 界 面F上 を伝 わ る 特 殊 な反 射P波(SP波)が 発 生 す る の で, この場 合 に は 次 の よ うなSP波 の ポ テ ン シ ャ ル を考 え る. φ'=K(oexp(JkX1+κ ξ292) (26) た だ し. k=kscosb ま た, 散 乱 場 は, す で に述 べ た よ う に一 重 層 ポ テ ンシ ャ ル に よ っ て式(7)お よ び(8)よ り得 られ る. い ま, 点Xの 領 域 内 部 か ら の境 界 へ の 極 限 を と る と, 境 界 が 滑 らか で あれ ば次 の 特 異 積 分 方 程 式 が 得 られ る. 面 内: t0(X)=1.2f(X)+fTβ(Xωfbω)dS(27)
面 外: t3(X)=1/2ゐ(X)+fT33(Xy)f3(g)dS (28) よ っ て, 式(27)お よ び(28)を 境 界 条 件(6)の 下 で 解 く こ と に よ っ て得 られ る 積 分 密 度 義 を用 い る と変 位 場 が求 め られ る. と ころ で, こ の よ うなFredholm型 の 積 分 方 程 式 を解 析 的 に解 く こ と は一 般 に 困 難 で あ る の で, 数 値 解析 に よ らね ば な らず, そ の た め 式(27)お よ び(28)を 離散 化 す る必 要 が あ る. 数値 積 分 の精 度 を 支 配 す る 因子 と して は, 要 素 分 割 数 と近 似 関数 の選 び方 が あ る が, 一 定 要 素 で分 割 して も分 割 を細 か くす れ ば精 度 の 向上 が 期 待 で き る こ とが わ か っ て い る15). よ っ て, 入 Fig, 2 A domein D with infinite stress-free boundary F and460 上 杉 ・大 津: 射 波 長 に対 して そ の 挙 動 を十 分 に表 わ し得 る要 素 幅 に と る な らば, 一 定 要 素 分 割 の場 合 で も満 足 で き る精 度 が 得 られ る もの と考 え て, 以 下 で は す べ て一 定 要 素 に よ っ て 離 散 化 し, 計 算 を行 っ て い る. 3. 数 値 解 析 結 果 お よ び 考 察 2-に お い て 無 限 領 域 に お け る間 接 法 に よ る 定 式 化 を 示 したが, 本 解 析 法 を半 無 限 領 域 に適 用 す る場 合, その 半 無 限 境 界 の 取 り扱 い が 問題 とな る. そ こで, こ の半 無 限 境 界 を 有 限 な 長 さ の 自 由 境 界(以 後, 有 限 近 似 長 さ ELと して示 す. )に 置 き替 え て近 似 す る こ と を考 え5), 16), 半 無 限 境 界 上 の 積 分 密 度fの 分 布 を調 べ る こ と に よ っ て, そ の積 分 範 囲(有 限 近 似 長 さEL)を ど の程 度 の長 さ に とれ ば所 要 の 結 果 が得 られ るか に つ い て検 討 した. 解 析 例 と して は, 半 円形 お よび 三角 形 断面 の渓 谷 と 円形 地 下 空 洞 を考 え, 波 数hと 構 造 物 の代 表 長 さ αの 積 の 形 で表 わ さ れ る 無 次 元 周 波 数 κα をパ ラ メ ー タ ー に と っ て, 大 規 模 な地 表 構 造 物 を対 象 と した場 合 に耐 震 工 学 上 有 意 で あ る と思 わ れ る κα≦1.0の 範 囲 内 でP, SV波 か ら成 る面 内波 動 問題 とSH波 に よる面 外 波 動 問 題 につ い て考 察 を行 っ た. (1)面 外 波 動 問 題 ま ず, 円形 地 下 空 洞 に 任 意 の 方 向 か らSE波 が入 射 し た と きの 半 無 限 境 界 上 の積 分 密度fの 分 布 を, Fig. 3に 示 す. 代 表 長 さ α を 円孔 の 半 径 と し, 有 限 近 似 長 さEL を10α に と っ て, hα=1. 0お よ び0. 5に つ い て 計 算 し た結 果 を示 して い る. 積 分 密 度fの 分 布 は, κα の値 と 入 射 波 の 角 度bに よ っ て異 な る が, κα≦1.0に お い て は 同 様 の傾 向 を示 し, 円 孔 付 近 でfの 値 は 最 大 と な り 遠 ざか る に従 っ て そ の値 は減 少 して ゆ く こ とが わ か る. この こと か ら, 円孔 か ら離 れ る に従 って, そ の 半無 限 境 界 上 の 積 分 密 度fの 値 は, 計 算 上 ほ と ん ど影 響 を及 ぼ さな い こ と が 明 らか と な っ た. さ ら に, 地 表 面 上 の変 位 振 幅 に つ い て も計 算 し たが, この 結 果 は小 林5)に よ っ て 得 られ た も の と ほ ぼ一 致 して い る こ とが 認 め られ た. た だ し, その 報 告 で は入 射 波 の 波長 を有 限 近似 長 さの決 定 要 素 と して い る(KEL=2波 長)5). と こ ろ で, この 手 法 に よ れ ば, 波 長 が 長 い(波 数 が 小 さい)場 合 に は近 似 長 さ も大 き く と る こ と に な るの で実 用上 不 利 で あ る. 一 方, 積 分 密 度fの 分 布 か ら構 造 物 の代 表 長 さ に基 づ い て こ れ を 決 め る 方 法 で あ れ ば 合 理 的 な 長 さ を 選 択 で き る の で, 特 に小 さな 波 数 領 域 の 問題 に は よ り有 効 で あ ろ う. 有 限 近 似 長 さKELの 値 は, お の お の の 問 題 で要 求 さ れ る計 算精 度 に 応 じて適 切 な値 に と る こ と が望 ま しい. こ れ に つ い て調 べ る た め に, 半 径 α の半 円 形 断 面 の 渓 谷 にSH波 が 入射 した と き の渓 谷 表 面 上 の任 意 点 の 変位 を計 算 し, Shah17)お よ びTrifunac18)ら の 結 果 と比較 し た もの をTable1に 示 す. 比 較 を簡 単 に す る た め にパ ラ メー ター と してp=椥/π と い う無 次 元 量 を導 入 し, 入 射 波 の 角 度b=600の 場 合 に つ いて 検 討 して い る. こ こ で, 有 限 近 似 長 さELは, Fig. 3の 結 果 よ り6α に とっ て あ る. κα≦1.0(p≦0.32)の 範 囲 内 で は よ い一 致 が 得 られ て お り, ま た, hα>1.0の 場 合 に つ い て も, そ の絶 対 値 は解 析 解 に近 い結 果 が 得 られ て い る こ とか ら, EL=6α と い う選 択 の 妥 当 性 が確 か め られ た. この よ うに, 半 無 限境 界 を, 境 界 積 分 の 計 算 にお い て 有 意 で あ る と考 え られ る長 さ で置 き替 え て も, 計 算 上 は ほ とん ど 問題 が な い こと が わか っ た. Fig. 3の 場 合 の 円 孔 に, 角 度b=45で 波 が 入 射 した と き の 円 孔 表 面 の 変 位 振 幅 をhα=1.0の 場 合 に つ い て 計 算 した結 果 をFig. 4に 示 す. た だ し, 縦 軸 に入 射 波 に 対 す る 円孔 表 面 の変 位 振 幅 比, 横 軸 に は円 孔 天 頂 か らの 角 度Cを と っ て あ る. 図 に は, 有 限 近 似 長 さ-ELを い くつ か に 変 え て計 算 して あ る が, ELが6α 以上 に な る と, そ の 結 果 は ほ ぼ 同 じ値 と な る こ と が わ か る. Fig. 4 の場 合, 変 位 応 答 は波 の 入 射 側 で 最 大 とな って お り, ま
Fig. 3 Distribution of the surface density on the free boundary for different incident angles.
Table 1 Comparison of results in a semi-cylindrical canion of radius a (oblique: angle b=60).
境界要素法 による半無限弾性体 における二次元波動場 の解析 461 た, 天 頂 付 近 で分 布 形 状 に大 き な変 化 が あ り, 地 表 面 の 影 響 が現 わ れ て い る こと が わ か る. 次 に, 三 角 形 断 面 の 渓 谷 に任 意 の 方 向 か らSH波 が入 射 す る と き の 渓 谷 表 面 の 変 位 振 幅 を, κα=0.79(p= 0.25)の 場 合 につ い て 計 算 し, Fig. 5に 示 す. 図 で は, Sanchez-sesma19), Shah17)ら の 解 と 比 較 し て あ る が, 求 め られ た 結 果 は両 者 と非常 に よ く一 致 して い る こ と が わ か る. 入 射 波 の角 度b=00お よび45の 場 合 は, 波 が 直接 到達 す る 側 と影 の 側 で 大 き く応 答 が異 な り, 渓 谷 に よっ て 波 の 回 折 が 起 こ っ て い る こ と が よ く わ か る. Fig. 6に は, 近 傍 に円 孔 が 存 在 す る三 角 形 断面 の渓 谷 に, 任 意 の方 向 か ら波 が 入 射 した と き の渓 谷 表 面 の変 位 振 幅 を計 算 し, や は りShahら の 結 果17)と比 較 して示 して あ る. Fig. 6a)は, 円 孔 と 反 対 側 か ら波 が 入 射 した 場 合 で あ る が, Fig. 5に 示 し た円孔 の な い もの と比 べ て み て, 円孔 で の散 乱 が か な り影 響 して い る こ と が わ か る. 特 に, 水平 方 向 か らの入 射 に対 して は渓 谷 底 部 付 近 の変 位 応 答 の状 態 が大 き く異 な り, 円孔 上 方 で そ の値 が最 小 と な っ て い る. しか し, Fig. 6b)に 示 す よ う に 円 孔 か ら波 が 入 射 した場 合 に は, 円 孔 に近 い側 の渓 谷 表 面 の応 答 に 円 孔 の 影 響 は あ ま り出 て い な い こ とが, Fig. 5の 円 孔 の な い もの と比 較 す る こ と で わか る(Fig. 5は 対 称 問 題 で あ る こ とか ら, Fig. 6のb=135, 180の 場 合 は, Fig. 5 のb=45, 0に 対 応 して い る こと に注 意 され た い). こ れ は, 渓 谷 付 近 で 波 の 回折 が起 こ る際 に, 円 孔 での 散 乱 の影 響 が及 ん で い な い た め と思 わ れ る. (2)面 内 波 動 問 題 Fig. 7は, 半 径 αの 円 形 地 下 空 洞 に, 真 下 よ りP波 が 入 射 した と き の半 無 限 境 界 上 の 積 分 密 度 分 布 を表 わ して い る. 有 限 近 似 長 さELを 構 造 物 の 代 表 長 さ α(こ こ で は半 径 を と る)の40倍 に と り, ka=1.0, 0.5, 0.1の 場 合 に つ い て 計 算 し, 円 孔 上C点 の 値 五 との 比 を と っ て 示 し て あ る. hα≦1.0の 範 囲 内 で は, 円 孔 か ら離 れ る に従 っ て値 は小 さ くな って お り, 計 算 結 果 に 及 ぼ す 影 Fig. 4 A displacement amplitude at the surface of a circular
cavity for oblique incident plane SH waves (oblique angle b=45).
Fig. 5 Displacement amplitudes at the surface of a triangular canyon; a) the case of the slope of a canyon=45 and
the oblique angle b =O; b) the case of the oblique angle b=45 and c) the case of the oblique angle b = 90.
462 上 杉 ・大 津: 響 が 小 さ く な. って い る こ とが わ か る. この場 合 の 円孔 表 面 の 変 位 振 幅(X方 向)をFig. 8に 示 す. hα==0.5に つ い て, Fig-7の 結 果 よ り有 限 近 似 長 さELを10α に と り, EL=40α の も の と比 較 して い る. ま た, 参 考 の ため に, ELを6α に と っ た場 合 に つ い て も計算 して あ. る. 側 壁 付 近 で地 表 面 の影 響 の ため に多 少 変 動 が み られ る が, ELが10α 以 上 に な る と ほ と ん ど 一 致 して い る こ とが わ か る. Fig. r9に は, P波 が 角 度b=500で 斜 め か ら入 射 した 場 合 の 半 無 限 境 界 上 の 積 分 密 度fの 分 布 を示 す. これ も同様 に, 円孔 上 の 値 ゐ との 比 を と って 表 わ して い る. 波数 が小 さ い場 合 に は散 乱 の 影 響 も小 さ く, 積 分 密度 の 分布 も比 較 的 滑 らか で あ るが, 波 数 が 大 き く な るほ ど 円 Fig. 6 Displacement amplitudes at the surface of a triangular
canyon with a cavity; a) the case of oblique angle b= 0 and 45 and b) the case of oblique angle b=135 and 180. The slope of a canyon is 45 and the radius of a cavity is 0.4 a.
Fig. 7 Distribution of the surface density on the free boundary for normal incident plane P waves (the effective length EL=40 a).
Fig. 8 A displacement amplitude at the surface of a circular cavity for normal incident plane P waves.
Fig. 9 Distribution of the surface density on the free boundary for obliquely incident plane P waves (incident angle b =50).
境界要素法 による半無 限弾性体 における二 次元 波動場 の解析 463 孔 以遠 の 積 分 密 度 の 影 響 が 残 存 す る こ とが わか る. こ の と きの 円 孔 表 面 の変 位 振 幅 を κα=0.5に つ い て 計 算 し, Fig, 10に 示 す. E -L=40α の と き と10α お よ び6α に と っ て 計算 した 場 合 の 変 位 分 布 の 差異 が 大 き く, と りわ け, 波 の入 射 側 と地 表 面 に 近 い天 頂 部 で顕 著 で あ る. い ず れ に して も, 波 が 斜 め か ら入 射 した場 合 に は, 真 下 か らの入 射 に比 べ て は る か に長 い近 似 長 さを とる必 要 が あ る こ と が わ か る. こ の 近 似 長 さELの 決 定 は重 要 な 問 題 で あ る が, 現 状 で は精 度 と の関 係 が 明 らか で は な く, こ こで の解 析 例 で は, EL=40α に と っ て も収 束 した解 は得 られ て い な い こ と を示 唆 す る に と ど め て お く. 次 に, SV波 が入 射 した 場 合 の応 答 につ い て計 算 した 結 果 を検 討 す る. Fig. 11は, 真 下 か ら波 が 入 射 し た場 合 の 半 無 限 境 界 上 の 積 分 密 度fの 分 布 を 円 孔 上C点 の 値 五 と の比 で表 わ した もの で あ る. κα=0.1の 場 合 は, P波 の と き と同 様 に 円孔 か ら遠 ざか る に 従 っ て値 は減 少 し て お り, EL=10α 程 度 で 切 っ て 支 障 な い と思 わ れ る. しか し, κα=0.5お よ び1.0に お い て は, 円 孔 か らか な り離 れ て も値 が 変化 せ ず, 減 少 が み られ な い. た だ し, そ の 値 は 円孔 上 の値 の30%程 度 で あ り, 計 算 に 及 ぼ す影 響 は 小 さい もの と考 え て よ いか も しれ な い. こ の 場 合 の 円 孔 上 の 応 答 変 位 振 幅 を κα=0.5に つ い て 計 算 し, Fig. 12に 示 す. 有 限 近 似 長 さEKLは, 6α, 10α お よ び40α に と っ て 計 算 し て あ る. 地 表 面 の 影 響 が 大 き い 天頂 付 近 や 波 の入 射 側 で差 異 が 大 き くな って い る よ うで あ る が, ELが10α 程 度 以 上 に な る と ほ ぼ 満 足 で き る結 果 が 得 られ て い る よ う で あ る. P波 の 鉛 直入 射 に比 べ る と半 無 限 へ の近 似 度 は 劣 る が, 進 行 方 向 と変 位 成 分 が 直 交 して い る とい うSV波 の 特 性 を考 え れ ばや む を得 な い結 果 と も考 え られ る. Fig. 13お よ び14に は, SV波 が 斜 め か ら入 射 した 場 合 の 計 算 結 果 を 示 す. ま ず, Fig. 13の 半 無 限境 界 上 の 積 分 密 度fの 分 布 をみ る と, 鉛 直 入 射 に比 べ て 全 体 的 に大 き な値 を示 して お り, 有 限 な長 さで近 似 す る と 大 き な影 響 が残 存 す る こ とが 予 想 さ れ る. こ の と き の 円孔 表
Fig. 10 A displacement amplitude at the surface of a circular cavity for obliquely incident plane P waves (oblique angle b=50).
Fig. 11 Distribution of the surface density on the free boundary for normal incident plane SV waves (the effective length EL=40 a).
Fig. 12 A displacement amplitude at the surface of a circular cavity for normal plane SV waves.
464 上 杉 ・大 津: 面 の 応 答 を調 べ て み る と(Fig. 14), 有 限 近 似 長 さEL を 変 え た 際 の 計 算 結 果 の 収 束 性 が, P波 の 斜 め入 射 時 に 比 べ て よ くな い こ と が わ か る. この 計 算 例 の 場 合, Fig. 12の 鉛 直 入 射(臨 界 角 以 内)の 場 合 と比 較 し て, か な り収 束 が 悪 くな っ て い るが, こ れ は, SV波 が その 臨 界 角(54. 70)を 越 え て入 射 す る た め に; 地 表 面 に沿 っ 'て伝 播 す る特 殊 な反 射P波(SP波)が 発 生 して お り, こ れ が 円孔 か ら離 れ た 地 点 に ま で地 表 に沿 っ て伝 わ り, 計 算 結 果 に影 響 を及 ぼ し た も の と思 われ る. 以 上, kα≦1. )の 場 合 に つ い て述 べ て き た が, 参 考 の た め に 触>1. )に つ い て も検 討 して み た. Fig. 15は, SV波 が斜 め か ら入 射 波 の角 度b=50で 入 射 した 際 の 円孔 上 の 変 位 振 幅 をhα=3.0に つ い て 計 算 した もの で あ る. んα≦1.0の と き に 比 べ て 波 長 が 短 く, こ の た め 近 似 の 影 響 が 小 さ くな り, よ い結 果 が得 られ て い る. 最 後 に, h7≦1.0に お い て 生 じ る見 掛 け上 の 計 算 誤 差 に つ い て 述 べ る. SV波 に対 して, んα=0.5の と き の 円孔 上 の 変位 振 幅 を計 算 し た結 果 をTable2に 示 す が, 2-(3)で 示 した よ う な誤 差 防 止 策 を講 じた場 合(case1) と そ う で な い場 合(case2)と で ほ とん ど差 が み られ ず, 斜 め か らの 入 射 に 対 して は あ ま り よ い 結 果 が 得 られ な か っ た. 4. 結 論 本 論 文 は, 半 無 限 領 域 の 問 題 に 境 界 要 素 法 を適 用 す る Fig. 13 Distribution of the surface density on the free boundary
for obliquely incident plane SV waves (oblique angle b=50).
Fig. 14 A displacement amplitude at the surface of a circular cavity for obliquely incident plane SV waves (oblique angle b=50).
Fig. 15 A displacement amplitude at the surface of a circular cavity for obliquely incident plane SV waves (oblique angle b=50).
Table 2 Comparison of results in a circular cavity for quely incident plane waves (oblique angle b = 50, effective length EL=6 a).
境界要素法 による半無 限弾性体 における二 次元波動場の解析 465 手 法 につ い て述 べ た もの で あ る. こ こで は, 面 外 お よび 面 内波 動 問題 を 一重 層 ポ テ ン シ ャル(間 接 法)に よ って 定 式 化 し, 次 い で, これ を半 無 限領 域 の 問 題 に 適 用 す る た め の手 法 につ い て考 察 した後 に, い くつ か の 計 算例 に よ り, そ の妥 当 性 を検 討 した. こ こで 得 られ た結 果 の 主 な も の を ま と め れ ば, 以 下 の よ うに な る. (1)無 限 の広 が りを もつ半 無 限境 界 を, 有 限 な長 さ で近 似 す る こ と に よっ て, 無 限領 域 に お け る境 界 要 素 法 の定 式 化 を半 無 限領 域 の 問題 に 適 用 で き る こと が 明 らか に な っ た. この手 法 に よれ ば, 基 本 解 と して無 限領 域 の も の を用 い る の で取 り扱 い が 簡単 と な る. (2)半 無 限境 界 を近似 す る有 限近 似 長 さは, 対 象 と す る構 造 物 の幾 何 形 状 に応 じて 決 ま る代 表 長 さに基 づ い て, 所 要 の精 度 が得 られ る よ うに半 無 限境 界 上 の積 分 密 度 の分 布 か ら決 め る こと が で き る. (3)SH波 に よ る面 外 波 動 問題 に つ い て は, い ず れ の場 合 に お い て も他 の 解 法 に よ る結 果 と よ く一 致 して お り, 半 無 限境 界 を近 似 す る有 限近 似 長 さは構 造 物 の代 表 長 さ の6倍 程 度 で 十 分 な精 度 が得 られ て い る. (4)P, SV波 の 面 内 波 動 問 題 に お い て は, 鉛 直入 射 に 関 す る 限 り, κα≦1.0の 範 囲 内 で は有 限 近 似 長 さ を 構 造 物 の 代 表 長 さ の10倍 程 度 に と る こ とで, 所 要 の 精 度 が満 足 され る. 一 方, 波 が斜 め か ら入 射 す る 場 合, と りわ け, SV波 が そ の 臨 界 角 を越 え て入 射 す る と き は 有 限近 似 長 さの と り方 に よ る計算 結 果 の差 異 が大 き く, この手 法 の適 用 に は さ らに 工 夫 が必 要 で あ る. しか し, 半 無 限境 界 上 の 積 分 密 度 の 分 布 か ら積 分範 囲 の 大 ま か な 見 当 をつ け る こ と は可 能 で あ ろ う. な お, 左αの 値 が大 き い と き に は斜 め入 射 に 対 して も適 用 が可 能 で あ る と思 わ れ る. (5)数 値 計 算 上, kr≦1.0の 場 合 に 予 想 さ れ る計 算 誤 差 を 防 ぐ対 策 と し て, 原 点 近 傍 に 特 異 性 を もつ Hankel関 数 の 級 数 形 に 含 ま れ る 誤 差 の 原 因 とな る項 を 相 殺 す る こ と を 考 え た. しか しな が ら, こ れ に よ っ て得 られ る効 果 よ り も斜 め に 波 が入 射 す る こ と に起 因 す る境 界 の有 限 性 の影 響 の方 が卓 越 して お り, 結 果 的 に は精 度 の改 善 は み られ な い よ う で あ る. 以 上 の よ う に, 本 法 で は無 限領 域 に お け る基 本 解 を用 い て い る の で取 り扱 い や す くな っ て お り, ま た, 無 限 の 広 が りを もつ 半 無 限 境 界 を所 要 の計 算 精 度 に応 じて 適 当 な有 限 長 さ で近 似 して, そ の積 分 範 囲 を決 定 して い るの が特 徴 で あ る. こ こ で は, 構 造 物 の 代 表 長 さ に基 づ いて 有 限 近 似 長 さ を定 め た が, 積 分 密 度 の 分 布 か らそ の 積 分 範 囲 を決 定 す る本 法 の や り方 は, 入 射 波 の 波 長 に も関 係 して い る こ と に な るの で, 妥 当 な手 法 と考 え られ る. 参 考 文 献
1)for example, Lysmer, J, and Waas, G.: Shear waves in
plane infinite structures, J. Eng. Mech. Div. ASCE, pp. 85∼105, 1972.
2)for example, Varadan, D. J. N. Wall, Tsao, S. J. and Varadan, V. K.: Elastic wave scattering from surface
breaking cylindrical cracks: SH waves J. Acoust. Soc. Am., Vol. 71, No. 6, pp. 1384∼1390, 1982.
3)小 林 昭 一: 積 分 方 程 式 法(境 界 要 素 法)の 発 展, 土 木 学 会 論 文 集, No. 350/1-2, PP. 9∼22, 1984.
4)for example, Dravinski, M.: Ground moution tion due to elastic inclutions in a half-space, Earthq. Eng. Stru. Dyn., Vol. 11, pp. 313∼335, 1983. 5) Kobayashi, S.: Some problems of the boundary integral
equation method in elastodynamics, Proc. 5th. Int. Conf. BEM in Eng., PP. 775∼784, l983.
6)Y. C. フ ァ ン(大 橋 義 夫 ほ か 訳): 固 体 の 力 学/理 論, 7 章, 培 風 館, 1970. 7)丹 羽 義 次 ・小 林 昭 一 ・福 井 卓 雄 ・東 憲 昭: 積 分 方 程 式 法 に よ る 埋 設 物 周 辺 の 過 渡 応 力 の 解 析, 土 木 学 会 論 文 報 告 集, No. 248, PP. 41∼53, 1976. 8)丹 羽 義 次 ・廣 瀬 壮 一: 傾 斜 層 を 有 す る 地 盤 に お け る 理 論 的 地 震 動 解 析, 土 木 学 会 論 文 報 告 集, No. 337, pp. 57∼ 66, 1983. 9)コ シ リ ヤ コ フ ・ グ リ ニ エ ル. ス ミ ル ノ ブ(藤 田. 宏 ほ か 訳): 物 理 ・工 学 に お け る 偏 微 分 方 程 式, 25章, 岩 波 書 店, 1974. 10)ス ミ ル ノ ブ(福 原 満 洲 雄 ほ か 訳): 高 等 数 学 教 程, 4巻, 4章, 共 立 出 版, 1961。
11) for example, Nishimura, N. and Kobayashi, S. Elastoplastic analysis by indirect methods, Development
in Boundary Element Method-3, Elsevier App1. 'Sci. Pub., Ch. 3, 1984. 12)丹 羽 義 次 ・小 林 昭 一 ・北 原 道 弘: 弾 性 固 有 値 問 題 の 積 分 方 程 式 に よ る 解 法, 土 木 学 会 論 文 報 告 集, No. 285, pp. 17∼28, 1979. 13)中 川 克 也 ・北 原 道 弘: 3次 元 非 定 状 弾 性 波 動 問 題 の 解 析, 境 界 要 素 法 論 文 集, 2巻, pp. 119∼124, 境 界 要 素 法 研 究 会, 1985.
14) Eringen, A. C, and Suhubi, E. S.: Elastodynamics Vol, II, Academic Press, Ch. 7, 1975.
15)小 林 昭 一 ・西 村 直 志: 積 分 方 程 式 法 の 解 析 精 度 の 向 上 に 関 す る 考 察, 土 木 学 会 論 文 報 告 集, No. 291, pp. 15∼26,
1979.
16)Ohtsu, M, and Uesugi, S.: Analisis of elastic wave field in a half-space and some applications to earthquake engineering, 6th, Int. Conf. BEM in Eng,, 1984. 17)Shah, A. H., Wong, K. C. and Datta, S. K.:
tion of plane SH waves in a half-space, Earthq. Eng. Struc. Dyn., Vol. 10, pp. 519∼528, 1982.
18)Trifunac, M. D.: Scattering of plane SH waves by a semi-cylindrical canyon, Earthq. Eng. Struct. Dyn., Vol. 1, pp. 267∼281, 1973.
19) Sanchez-sesma, F. J. and Rousenblueth, E.: Ground moution at canyons of arbitrary shape under incident SH waves, Earthq. Eng. Struct. Dyn., Vol. 7, pP. 441∼ 450, 1979. (1986. 1. 24 ・受 付)
