ANOTE ON IMMERSED MANIFOLr）S
．IN’A−EUCLIDEAN SPACE
BY
SEIIcHI YAMAGUCHI
L馳lntro己uction． S． S． Chem， R． K． Lashof， T． Otsuki， I B． Y． Chell and o01ers．
have investigated the Lipschitz−Kming curvature k（P，e）of an oriented，◎ompaぱL
manifold Mn immersed桓an．（陀ト1V十d麺卯sionq1 Euclidean space E”’N and obtained
many beauU∩Ul results．
The purPose of t1亘s paper is fo『generalize B． Y． Chen・s theorem in［2］‘t6証hざ
case of higher codimension． ． ．．．． ．．、『
2．Prdimina口es． Letルfs be an〃−d㎞CnsiOnal oriented， compact manifold＊）and
x：Mn→E佛be an iMmersion of Mカ・馳ihto a EUclidean’space E堺 of d垣1ension−〃1．
1￡tF（Mりand F（Eりbe the bundles of orthonormal frames of M”alld E楊， respeσ
tively． Letβthe set of elements b＝（P，el，“°，β楊）such that（ρ，θ1，…， en）∈F（M”）
and（x（ク）， e1，…，θ那）∈F（EづwhoSe’orientation“is』Coh6rellt with the o皿e ofk Ein，
identifying ei w紅h．dx（θ，）（i，±， k，…＝1，2，…， n）．’． Then ・： B→M籏may be．◎onside鵬d，・
as a pmbcipal b㎜（ile‘with五bre Oω×SO（m−n）∬and X：β→F（Eりis natUra皿y−・
defined by x（b）＝（x（ρ）， el， e2，… ，θ楊）． Let By be the bundle of unit normal v㏄tor
of x（Mりso that a point ofβ“is『apair（ク，θ）where e、is a unit normal v㏄tor at
x（P）．
The structure equations of E況are given by ‘ ．
dx＝ΣθAε且， deA＝ΣθABeB，θ旭＋θ斑＝0， dθ．＝Σθβ八θ以， dθ．B＝Σθ．c∧θcβ．
五 β β ．一 ’ ．c
（∠1，B， … ＝＝1，2， … ，〃1） ぺ L ．’㌧t
whoseθA andθ佃are differential 1−fbrms oll F（Eあ）． LetωA and toAB by−the map二−’
ph19 X． Then We have ． 』『 “ ＝ 1 ’ 一’
ω’＝0，tO，i一ΣAri，妨，塩∫＝んヵ （r，ぷ，’，…＝n＋1， n＋2，…，〃2）． 『
フ
Tbe symmetric matriX（んξ5）is called the’secOnd fundamental fbrm at（ρ， er）．パ暁．
de丘ne the k−tl mean curvature Kk（ク，er）at（ρ，θア）∈βッby w
…（・i・＋’旬一1＋￥㈲KKp・…）t・’一 …”
The volume element of Mカcan be written as dV＝ω1∧．．．∧ω泥．−The（〃21一π一1＞
f・rm d・−q・・．−Gt・A・・述ω͡一・（・・tn b・・Tggard・・ap（m−〃−1）−f・・m・n．β・su・h・th・t it・
． 、’ ．． 〆 ．「． ．’．こ
＊）Manifolds， m砲pings， metrics，．．．，etc． are assumed to be．diiferentiable and of
class C−． ‘1学
［19］
20
S．YAMAGUCHI
restriction to a丘bre Spm−n−1， then the（m−1）−fbrm do八dV’can be regarded as the
volumew element of莇．
In［5］， we㎞ow that
（1） T（・・）≡！。。1頂・・の14γ∧da≧鴫β鍋
where Kl〔ρ，θ）denotes the Lipschitz−Killi㎎㏄Tvature， Cm＿1 the volume of the unit
（〃−1）dilnensional sphere andβ‘（ハのthe就h Betti number of M・． If the equality
sign of（1）holds， then the immersion x：バグ絡→E餌is caned a minhnal㎞be（1ding．
B．Y． Chen［3，4］has proved the fbllowings：
TH厚OR巳M A・ Let x：∼ぼカ→・E郁加q4元〃mprsion oゾα〃orピη絃Z（ごρmρααηκzπが0∼d
ハ4パ脚E拐，乃￠ηw加ツβ
T（・）≡1。“故…）〃M・＝・ Cm−・⑭，
where X（∼の吻0’θぷthe Eular chqrac’eアistic・∫、」t4ne
THEOREM B． Under sa〃leα∬umptionρ∫Thθore〃2／1，’乃θLipぷc乃ノ’z肩KZ〃切g curva−
ture K（ρ，θ）ぷaガsfies’he j〃eq〃ality
（・） ∫。⑭〃∧da≧曝、，（吻 ・
蝋
’（3） 1。⑭醐吻≦−Cm．冒β、ト、（働
w擁4−｛（ク，e）∈β〃；丞（ρ，・）≧o｝卿4β一｛（？，・）∈β・；K（〃，のくo｝．職β卿晦
ぷξ8馨ρ〆（2）qnd（3）holdsぴρ〃40nり∼ぴ’カβカηmぴぷψ∼I X麺〃鉱掘∼斑『． ・ 揚
3・Theorem， Now， we put
8‘（P，θ）一疏（P，e）＃li−K（ρ，θ），
where n／i is positive even integer． Then we．can prove the ．
THEOREM． Let x：Mカ→E楊be an伽膨ζぷio〃〈）f anρrien’ed・co〃ψαc’微π〃bぼM江
in E”wれカθゾb〃bwingクroperty ； ．
（P） ｛（ρ，の∈β〃：岳（P；θ）≧0｝⊇｛（ク，の∈β“：K（ク，θ）＞0｝．
Then we』wθ’he follo吻9 inequaliり・
（・） ∫譜（b，‘・脚M・≧Cm一藁β・・（吻
W乃ε’θ〃／i is poぷ肋θεγθπ’〃’eger． The eqtiatityぷなn holdsぴand・O吻ぴ’舵加㎝θr一
ぷ迦xξぷa〃吻’施1imbedding．
PROOF． We set
S＋＝｛（P，e）∈3・：岳（ρ，e）≧0｝ and ＆｛（P，ε）∈3“：9；（ク， e）＜旬．
Then the set Sr is empty． In血ct， if（ρ，の∈β夕belong to＆， by de丘nition
’ Ki（ρ， e）”／L瓦（ρ，θ）＜0．
A N．OTII ON IMMERSED MANIFOLDS IN A EUCLIDEAN SPACE
As Ki（P， e）nli≧0，
Henoe we get
（5）
21
it holds that K（p， e）＞0． But this◎ontradrcts th6 property（P）．
！。．9i（P・・eldV∧d・ 一！。．9i（P・・e）dV∧d・
一！．。臨卿八d・−1、．K（…e）・VA・・
≧0．
By v加ue of（2）， we have
［旦2］
∼
私（ρ，のカ’idV∧吻≧Cm−1Σβ2輌（Mカ）．
β〃 き＝O
Now suppose that the equaHty sign of（4）holds， then by（5）it fb皿ows that
（・） 1。砲・͡一場燗．‘・．．
On the other hand， making use of（2）， we get
（・） ！．K（P，・）一一一場ぷX
カ
and consequently，（6）一・and（7）meanτ（．4x）一（7，。＿、Σβ，． The convetse of this is
‘＝1
垣vial．
The author wishes to express his sincere thanks to Prof． B． Y． Chen who gave
advices．
［1］
［2］
−1＝］
34
［［
［5］
［6］
［7］
REFERENCES
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DEPARTMENT OF MATHEMATICS
SC】ENCE UNWERSITY OF TOKYO
TOKYO， JAPAN
