NII-Electronic Library Service
圏
影
で
、虚数
を
図示す
る
考
え
方
（その
1
） 一一 一基本 とな る放物線 ・直線の影一一一 要 約 田中 成和＊現行の数学理論に よれ ば、2次 方程 式
f
（X）＝g
（X）の解が虚数であるとき、実像 ア1＝f
（X），Y2
＝g
（
X）
には、 確定 した その虚数解 を示す共有点はないと結論する。表にまとめれば （表1）D
＞0
D
＝ 01
）くO
D
＝ 0 方程 式の解 実 数で異なる2つ 実数で伺 値の2つ 虚数で異なる2つ 解なし 共 有点の数 実像上、異なる2点 実像上、接する1点 実像上、共 有点 な し どこに も ない 数が虚数にまで拡張 されたのに対して、図は実像のままというこ とに私は不 自然さ を感 じて、研究 をは じめた．醜
共 有点なし （図D
钁
韈灘
購難
灘
1 ・表の太枠部分を、影上の異 なる2点 へ 修正す るこ と ・放物線・直線の影 を基本 として、3次曲線・円錐曲線・ 正弦・指 数・対数等や、球等の影も考えた x ・実 像 と虚 数 で、影の微積分も表せるよ うにな った1
．放物 線と直線の影2次 方程 式 ex2 ＋
bx
＋c ＝0
の判矧拭 が1
）＜ 0で、虚数解 を もつ場 合の図 示 を考 えることにする 。実 像
｛
；
1
二
轡
＋輯 点・＝
÷
θと驪 ・す ・！
注 ）2つ の実像はそれぞれ ‘ もの’ となり、重解点による実像上の点が ‘ 光源相 当’になって 2つの ‘影’をつ く る と考 Zる、 定義1
；重解点θ に対す る実像上の点 をそれぞれM
，N
と し、M
， Nで実 像 自身を点対称移 動した実の図 を、具 現化 影 （realized shad ・ w ） と名ず ける。大 文字で表 す 。 変 数は、実数X
＝ θ＋’を用 い る。 以 下、具 現化影 を求め て み る。実 像Yl
の任 意の点 をP（Xo，Yo
）と し、 Mに関 して点Pの移動先きの点をP
’（X
，｝ 厂 ）とす る。M は 2点P とP’の中点。 この とき、関係式Y
。＝ ax 。 2 ＋bx
。＋c甼
一e
・ ！・ナ
アー 佛 2 ＋b
・ 。 ・ ・か ち媒 介変数 x。，ア。を黻 して次の公式を得る．
x 。
羅
慰
魂
鵬
繍
瀦 纛 雑
／
θ轡
点 は容 易にわか る。／
具現化 影
y
＝0直線 は 自身に 重なる こと
…公式
2
1
（図3） ＊ 元。吉祥女子高校 一
11
一 N工 工一Eleotronio Libraryこのよ うに して、影の考 え方 を次々と展開 しよ うと思 うのだが、その前に私た ちが 乗 り越 えな けれ．ば な らない壁が
1
つあると私は感じている。その壁 とは、まさに虚数ρ＋gi
の図示の仕方で あ る。虚数 を図示しよ うとす る と、学 校での既 習 事項 として ど うしても複素数平面 （Gauss 平面 ）が頭の中 に 浮 か んできて し まう。複 素数平 面には もちろん長所も あ る。しか し、それ に は短所 もある と私はい いた い。複 素数 平面では、私た ちがい う放物線
Y
＝ X2 等の図 形 を描けないとい うこ とで あ る。独立 変 数 X が 実数で変化する とき、従 属変 数ア は複素 数平 面の実軸．ヒで原点0 からの右半直 線になっ て しま う。他 に も ある。 たとえば、y
＝ （−1
＋i） 4 では argy
・＝540 ° となっ て、従 属変 数y
の複 素数 平面 を2
枚用 意 しな ければな らない．そこで、発 想 を変 えるこ と にした。もは や、虚 数gi
は±90
°曲げない 。 ・＝÷
争
・厩 ・… 驪 ・ ・常 鷹 で・の まま一藷
±2
・・嚊 す・ と きめ る。 そして、た とえば 実数x ＝1
＋2
な らそのま ま実 軸上3に点 を とり、1
＋2＝3 、。數
纛
1
騰
1
齧
鬻
1綴
翻
黶 葺
鋳霧
・ 1． 、， ．購 、獻
1
＋2i
＝ 見かけ3
，一見かけ3
（囁 己の駘 ）
嬲 ナopta・seerning valu ，
虚 数
p
＋gi
＝ 見かけ’p
＋9p
＝見かけp
＋q
（
〃
）
（図4） な どと、見か け で表現して もよい ことにす る。従 属変数
y
につ いて も同様な表 現 とす る， 定義2
；与えられ た実の関数y
＝＝f
（x）le
虚 数 x ＝ θ＋tiを代入してその ま まの数、また は見 か けの数 によっ て揄 、た図形を真影 （natural shadow ｝と名ず け る。 次に、真影の見 かけの数による図形と、具 現化 影の図 形 とが一傲する こ とを確認する。 ・真影につ いてy
＝ ex2 ＋bx
＋ c に虚数x ＝ θ＋tiを代 入す るとy
（θ＋ti
）＝ a（θ＋ti）2 ＋b
（θ＋ti）＋ c＝ （aθ2一α’2 ＋わθ＋c）＋（
2
αθ＋ゐ）が 一一・一そのま まで描いた図一一一一一 嬲 （。
e
・ ．at・ ＋b
θ． 。）． （2
。θ．b
）t ．一一購 。図．．．
」
・具現化影につ い て先の公式 1 に実数．
Y
＝ θ＋ tを代入す る とl
r
（θ・t）＝ −a（θ・t） 2 ＋b
（
θ・t）・ 卜2
・θ｛
θ一2
（θ＋t）｝
一致
i
・ （・θ ・ − at・ ＋
b
θ・ 。）・ （2。θ．b
）t−一一黜 は る図 ．一一一一＿
」
他方、直 線y
＝0
につ いて、 ア（θ＋のの見 かけとr
（
θ＋ t）との確認は容 易である。これは略 す。以 上 によ り、基 本の放物線と直 線の影につ いて、次のことがい え る。 定理1
；θに対す る放 物線の影は また放物 線になる。直 線の影は自分自身に重 な る。 と くに、X，y
，z軸 の影は、それぞれ 自身に重 な る数 直 線 とな る。 （よっ て、この3次 元整勵ま実 と虚の同時共存とな る） 定理2 ；いろいろなθ に対 して そのっ ど影 が きまるから、1
つ の実 像は無 限 個℃影を内包して いる。ax2 ＋
bx
＋ c ＝ oのPdrで は、いろいろな θ とは左辺 が変化 した とき、固定の右辺 すな わ ち直線ア＝
0
の影が そのつ どきま り、1つの直線 の影が無数にあ ることになる． た だ し、すべ て重なる， （図6） 7）NII-Electronic Library Service それでは、慣れる た め に虚 数 を使って グラフを描 くこ とを してみる。 〔例
1
〕関数ン＝ x2 のとき、次の指 示に した がっ てこ の関 数のグラフを描け。なお、変 数X が通 常の 実数で変わ る ときは周知の ことなので、設問としない．（
1
）変 数κがx ＝O
＋tiで変わるとき虚 数のまま描 く （見か けの数でもよい ） （2）変 数 x が x ＝
1
＋ ’ゴて蜀 わる とき 〃 （3
）変 数x がx ＝2
＋tiで変わ る と き． jl X2 アy
（1
＋’）2 ノ“ 、 実像 ！ 、 、12
− 2
12
、 へ 、 （1
＋ 、02
1 ！1 促 κ 10 ノ ！ ノ 丶 丶 、 、 ・2 、」 011 影／
／
（図8 、 、 、（の2 、1
ノ （図9） 〔例2
〕方程式x2 ＝ −2x
−5
の虚数 解 を、影による共有点で図示 せよ。 なお、2
つの実像としてはY
＝ x2 とy
＝ −2x
−5
とを用いよ。 （解 ）解はx ・ −
1
±2i
，y
＝−3
写4
’とな り、下図の2
点A ， Bて甥示され る。（共 役性もわ か る ） 重 腫 点は θ＝ −1
である か ら、各 実像に対 する影 を求めて みる。 放物 線について は 真 影 ：ア（−1
＋の ＝ （−1
＋の2 ＝1
− t2 −2ti
＝ 見 かけ1
− t2 −2t
具現化 影：公 式1
を用いてア「ニ ー
X2
＋0
丿r
＋0
−2
・1
・（−1
）・（−1
−2
丿r
） 二 ＿丿r2
− 4丿r
−2
さ らに、この奕数へX
＝ −1
＋tを代入すれ ば｝「 （−
1
＋t
）＝ 一（−1
＋’）2 −4
（−1
＋ ’）−2
＝1
＿t2 −2
’ 一一一一一一一一一亅 こ の計 算に より、変数が 一 1を基準 と して媒介変数tに よっ て変化 する とき、影の動 きがL一致す る とわか る。 直線につ いては真雷彡：
y
（−1
＋”）＝ −2
（− 1＋ti）−5
＝ −
3
−2ti
−一一一一一
1
＝ 見力擁ナー3
−2t
− ＿，＿＿＿r 騾墜
彎響
いる と・醐 鋤 ち伽 らi
さ らに、この変 数へX
＝−1
＋tを代入すれ ば lY
（＝1
＋t）＝ −2
（−1
＋t）−5
｝
＝ ＿3
＿2t
＿一一一一一一」 「 」 IIlIIIl − 1 ー 一 一＝
一 一 一 一 一13
一 N工 工一Eleotronio Library緲 方
剛
ノ÷
嶺 齦 ・・D … （像・i・圭
・2・
量
… ＝ 一・2嗽 よる 共有 点て鰍 よ。 ただ し、以下の 匚 ＝ コ に適する数 式をいれてから、図 示せ よ。 殿 X ＝［
］
y
＝［
コ
となる・ew
点 は θ一匚
コ
となる・こ の θの値を用いて 各 実像に対する影 を求め てみる。 左 辺の放物線につい ては 鷏 ・Yl
（□
）・；
（匚 ⊃
2 ＋号
＝
［コ
＝ 肋 け
［コ
ロ− − LS：
一 一一
1
具現 化 影 ：公式 1でX
に よ る式 を結 果で示せ ば1
7
， 一［
コ
1
さ らに・・azmaKX −□
を佩 菰 ばi
Y
，（口
）一口
を得る・ 一一 一一 一」 右辺の放物 線 についても同様に考え る． 結果の み を示す． 真影 ・ン、 ・ ’2一 一 「
＝見力1けt2
− 一一一一
｛
具現ltM
；Y
， ＝x2
1
lまた
ろ＝〆
一一一一一一一」 以
L
に より、与え られ た方 程 式 の虚数 解は、（図 12 ）に描いた共有点A， Bの各座標で示 され る。 ’ ：’唇」」：． 膠「 二一：．匚 ：；7
姦
． ：1：：｝1
…薫
i
L：・ ；二i
：… … ．‘’．τ一．：i
．一 rPニーr i ＿一一 ：：．実像rlll 誰 ， lii・・ ．． 乙．．． 、 L．1 、 ヨ ・i
∴ 『．’‘d ．．1：・・ 11 ；’r．． 二二．ゴ；：：： ：三i÷ ：：： h．．．．li
譱 ．・… 1・二…∠lllli
に ：こ ：二二1．」 ：一：：一：二：にi
二 ＝ F三i7 ．il
；…1： ．・・：・ ，．；弓≡・髢デ 卩r ｝1
：罷iii
二≡L ．’一 』il
…：：F、r一」．一「r．i齟 一 ト揖
三・・−1
・一 ． 一． ．．∴ ・ ．i 一・r士＝・一・ ： L魑」r： こ：幽一 ；；幽．亠し：r」二 ；．． ．一 ト ー・ 」 ：．：ひ 三・士；； ； 二 二・」・一＝： 三1，皇．。． ：一＝ ： ＝ 二： 「＝ ： ＝ ：；；i ≡睡 ． 1：二：1・二： ．霊 ．『 n．r 一」」 ；； ：・．・1・≡：… ”：：．：，＿． ：二二： 〒一」幽L κ ＿ ．5−一一 一一、、．し．．： L篠 ＿．． ．」 幽 齟 ヒ ：： ：≡．F；一∴ 一 」』；L＝ π、 一廴』一』』一回L1一幽』 モー．．． ＝ ：1
；奪
型土牌 二淵 ≒ ヨ、渠 三1，雪至 ．一一＿ ． ム 三≡…i
雲…磁 5 ，一ゴ ー＿＿ 一．．，＝叢 蓋籃 1− …
灘 灘
蚤蟇 冒 「r ＝ … ヒ・ … ：：二 ・・叫 ：二 Fゴ π ； r・蕪 彈 讐 …： ＿：． ．一」 」．L −一一一 ．＿＿ 一 」啅一 一占 一．〒， ・一．・・一．・．一・”一一「ニー・ト ー一 一 」一一一「L．． ≒叢譱慈
i
讐 塾 臨 r撫
図 13） F つ臨．：； ．｝ニーレ，＝ コ し＿一；．一亨．一2
次 方程式は一般形と してはた だ1つ ax2 ＋bx
＋c ＝O
だけ であ るか ら、こ の形で虚 数 解 を図示でき ていれ ば十 分 と考 える． しか し、実像の影の話 とな ると目新しいことなので、不 安がのこる。そこで、下 に お おまかなが ら代表 的とみられ る関係 を2
つ 3つ 示 した。影の出来方のガイ ド ラインと して示 した。X2 ＝
k
X2 ＝・mx ＋1・
〆
＋ex
＋ r ＝IX
2 ＋mx ＋n （図13》y
，一、 ！ M 丶 、 ： 、 7 ： 、 メ O ！ρ
、 、 ’ i1 、 N ’ ’ ’ ノ ’ ’ ’ （図t4｝NII-Electronic Library Service
はじめのところで、
y
； cvc2＋bx
＋c とy
＝0
か らつ くったθ を重解点と約束したが、 こ の値は 図解の 中で2
つの実 像の 微分係数 （傾 き ）が一致する点の、また は接点のx 座標 とい うこと もで きる。た だし、こ の言い換えが可能なのは2次 関数 までであ る。3
次以止 になる と少し図の状態 力唆 わ り、直 接的 なこ の言い換えは無理 で、単に重解点θ とい う用 語 とその数 値 と して使っていくこ と を こ とわって お く。 図解での θは、実 像 か ら影へ潜 りこ む独立変数X の値と理解 す る。 さて、放物線 とその具現化影 は対称 で あるから1
つの 工夫を、すなわ ち2
つ の和の半 分を考 えてみる。；
：
鸞
鵬
一2
。、（、．2
。）｝
か ら アぎ
ア・酬
厨
・c を得・・ 得られた 右辺の式 は、θに対す る実像上の点に おける接線とわかる。それは、接点（θ，aθ2 ＋b
θ＋ c＞
と 傾 き＝2a
θ＋b
とか ら直接に接 線を求めてみれ ば接線 ；ア＝ （
2a
θ＋b
）（
x 一θ）
＋ （a θ 2 ＋b
θ＋c）
から
＝ （
2a
θ＋b
）x − a θ2 ＋cとなり、確認できる。 以 上に よ り、放物 線に関わ る接線がわかっ た ときに、放物 繚アの具 現化 影
r
を求め る も う1
つの方法を 得 る．具現化影
Y
＝2
・接線一実像y
−一■公 式3
（なお この公式は、直線から3次曲線 まで成 立す る） 〔例3 〕放物eny
r： x2 ＋k
が直線y
＝4x
−1
に接す ると き、その接 点で実 像 から潜 りこ む放物線の影 を、具現 化影と真影の式とで表せ。さ らに、影 も図 示せ よ。 （解｝接する ときのk
の値 を求める。2つの実像を連立 させて x2 −4x
＋k
＋1
＝0
判 別式D
＝16
−4
（k
＋1
）＝0
からk
＝3
．接点は （2 ，7） 具現化 影 を求め るのに、θ＝2
と公式1
でもよいが、公式3
で具現化 影
r
＝2
（4X
−D
− （X2
＋3）
．・． 】r
＝ −X2
十8X
−5
… （イ〉 実 像のθ＝2
で潜 る媒 介変 数表 示な らX
＝2
＋tを代入 してY
（2
＋ t）＝7
− t2＋4t
次に、真 影はア（
2
＋の二 （2＋ の 2 ＋3 ；7
＿t2＋4ti
＝ 見カヰナ7
− t2 ＋4t
練習2
．次の問い に答えよ。 ・｛
1
：
撃
＋4
・一 図示ぜよ。 … （イ〉’ ’” （ロ） 「 一 一 一 1 伽 」 1・ 1 」 一 ， 一 卩 曹 噌 ゆ えに、（イ）。r（イ） （ロ ） と図 16 一 」．．．」
…ニ
ノ
↑幽¶1．… 」 「．一「T1−」1．．．一 1 、 1 ： 1 ，一
」 ・・」・1 ・ 1嘸 ÷
−1＋ … … ヒ 8 ・1． 、 ；i
1
． 7 、戸＿』∴：＿．．4」 ＿ 、二＿ i 』1． ： ． ＿ ：三
L
，窒
、二、L
：
三 「 l l ．、 ｝ “．1 ｝ 一皿．中L…一．．｝．τ…72・ ・ ：・：O ・i ・ド1
、・ 1 ． ．1P’「一：尸 ，皇 帽冒τ「．1↑ ・；覧 ．・：：．二 ． 一：曽：丁 胃 ： ． 」 「 L − ． 卜 ． 二』ニー二二 ．二 ニー． ． 1コ ニに ． ・．』檬撫
一一「一一． ． ． ： 1“」．冂 」 f ：宕・ 』 i．．4』” 』『 1−−LT− 11一 ト、．1、1L二−r1．111 『イ ．、 ’ニー．：’． ． 「「「．．一「 ．．．．」． ．r齟一．．「． ・』一辷二 11 ．「「→ 「1罰．「“ 門1 噂．．−．「． 1．」、’r「1 ：： 二1 ＿．．、＿、．．．ま、こー ． （図16）七
：
＋2
− ・で …ケ
・k
が… ＋1
・ あることを実像 と影とで 示せ。 接 す る と き、その接点で潜る放物線 1引 1 」 ：：、マど
…鞠
渥
の影を、具現化 影 と真影の式で示せ 影の図 も示 ぜ。 層冒 i． ．1．」jii三．． ≡ii、．、．． 犇 1掘・i ． 三三ヨ三三．．、 三暮≡壬1≡． 二：二二1∴ 』； モ『1“…「 ．i
盤1
三・：2 、 」：．： ．．．一昌F 』 i；．：． 』 i 0 、 iご一．三＿． ：三二：．1 ．圏』i・．！ 1 ．11 ≒ 7r ；∴」』．’” 一’12 ．2．・
鬢
・…樹 難 引
i ll
：一 ・！1・’1・4
」．．・；
2
i・ 1 ・i
．1
． 十幽 ・・ 1：「 1戸1 ・−ii …1「 ． 月i
「 一lli
’ Il ：ll
…： ’ii
卩 F ．： ．1
麹
iiillii
憩．ll
．i｝iiil
葬
i
｝｝liiil il！1 三i
｝i
｛lll
｝i
彗
llli ll！1 ｝三1．lllili摂
liii ．レ
． ・1
…
1
拿
iliil
劉
li1 ・ ： 唱 、1』調
三−．ヨr．P．：F7三7．三．・・蠡
・描
誘
1
（図19）iI 一15
一 N工 工一Eleotronio Library2
．3
次曲線の影3
次 方程 式 は、必ず 1実 根 をもつ ことが知 ちれて いる。 それ を求め る には、カル ダ ノの 公 式 に したが えば よい。いまは、その 1実根がみつかったことを前提と して話を展開する。1
実 根をμ とおく。 先に、すこし特別な形の式X3 ； m （X 一 μ）＋μ3 の場 合 を あつかい、のちに x3 ＋αx2 −
bx
− c ＝O
な る形の式 をあつか うことにする。 以下、判別 式は負で虚 数 解の場 合とする。 方 程式X3 ＝ m （X一μ）＋μ コ に対し、実像は、左右の各式 を
y
と置いて描いた図 とす る。 （1）まず、解 を求める。（x 一μ）（
x2 ＋ μ ＋μ2 −m）
＝O
か ら x ． μ ， 。 ． −U
、V
「Zi
ち （1
）＝4
〃置一3
μ 2 〈 0）2
2
（2 順 解鮴 θ＝ ヱ ，・魏 μ・ −
2
θ礪 う）2
（3 ）真影は、実 像 ハ ＝ X3へ X ＝ θ＋tiを代入したものア1（θ＋”）＝ （θ＋ガ） 3
x
＝ θ 3 −
3
θ t2＋ （3
θ2イ 2）ti… 一、
＝ 肋 け
e3
− 3a2 ＋（3θ2 −t2）t −」
t （seen 血 g value 》なお、右辺 の画 線
Y2
に対 す る真影は 容 易で、Y2
（θ＋ti） ＝ m （θ一 μ）＋ μ3 ＋mtiで示され る。 （4 ＞具現化影につ いて 左辺 の
3
次 曲線 自体の影は、いまこ の時点でわかっていない。（x 一μ）（x2 ＋μ ＋ μ2 −m ）＝0
の形 にして （右辺0の形に留意）、公 式1 ・公 式2を応 用す る。各因数の部分 影を用意 して、考 え をす すめる。2
次 式の部 分：一
X2
＋μκ＋ μ2 −m −2
・1
・θ（
θ一2X
）← θ ， μ が混在 ； −
X2
＋2ex
＋2
θ2− m ← どちちか一方に統一1
次 式の部分 ：X
一μ ← 任意のθで自分 自身に重なるか ら ＝X
＋2
θ 2っ の積（
1
＋2
θX
−X2
＋2ex
＋2
θ2 −m ）＝ 0−
X3
＋ （6
θ2− m ）X
＋ （4
θ3 −26hr
）＝O
か ら、右辺
0
を直線 自身へ も ど して一
X3
＋6
θ2X −4
θ3 ＝ m （X
＋2
θ）−8
θ3 こ の θ表 現か ら、μ表 現へ直せば．
x
・ ＋三
μ・x
．⊥
μ・ ．m （x
，μ）．μ ・2
2
よっ て、は じめ の実像ア1＝ x3 とY2
＝ m （x 一 μ）＋ μ3に対 ずる具現化 影は、関 係μ＝ −2
θのもとma
・・e
・・｛
罧
1
躍
び 一蜘一
篇
llf
建
一蜘 ’ （5＞確認 公式4
で、｝1
（θ＋t）を計算して、真影と比較して み るとY
，（θ＋t）・＝ 一（θ＋ t）
3 ＋6
θ2（θ＋t）−4e3
i
一 θ ・−
3
疏・ ＋（3
θ・ − t・）卜 ＿ ．一一一」
となっ て、実数による具 現化 影の動 きと、真影の動 きとは一致 することが わか る。 （直 線は省 略す ）y
μ 3 P 0 μ 現行 の 数 学 に よ る と （図20）1
醐 ま3つ 共 有点は1つNII-Electronic Library Service
次 に、3次曲線とそ の具現 化影につ いて、先の公式
3
が成り立つこ と を調べる。ン1 ＋Yi
の 半分はy
’卉
ジ ＋（一x3 ＋6
θ2x ＿4
θ32
）一 ・θ・・一・e3
・ た は ・2
…
＋払
他方、点P
（μ， μ 3）
を通 りこ の3次 曲線への接線を直接に求め ると、D
＝ Oのと きの x の値 θで 傾き＝3
θ2とな るか ら，
y − Pt3−
3
θ 2 （x 一μ）1
ノ・ ア・ ・θ 2 ・ −
2
θ3 または ・÷
’・＋F
毎
一救・ ・例・・rw
｛
娯
。一、）．、 の麟 ・ 影の共有、点で図 示せ よ。 （解 ）鰡まx3 ＝ 一
（
x −2
）＋8
カ1ち厘驃て示 ぜ
li
P （2
，8
），A （ −1
＋2
’ ，11
−2i
） ，B
（ −1
−2i
，11
＋2
り 重 解点 は θ＝ −1
で、これ より影は ・真影Yi
（−1
＋の＝（−1
＋ ti）3 ＝−1
＋3
〆 ＋（3
− 〆）’ゴ 曹一゜「 ＝ 見謝 一1
＋3
’2 ＋ （3
− 〆）’一一“Vl ア、（− 1＋の＝ll
−ti
＝ 見 か け11
− ’ ・具 現化影 公式4 で ｝1
＝−X3
＋6X
＋4
となる。r
，（−1
＋ つ＝一（−1
＋t）3 ＋6
（−1
＋t）＋4
＝ 一’＋
3t2
＋（3
− t2）卜 … 一一’！l
、p ， ． ， ・ 鹽 巳Y
，（ −1
＋ り＝11
− t・… ・… … …
i
なお、Yi
＝ろ
の連立を解 けば、実数による3
点（
2
，8
），’（
1
，9
），（−
3
，13
） を得る。 よっ て、虚数 解は図21の共有点A
，B
で図示 され る。 また、2 点A ， Bは図の点N
を中心 と して共役な位置関 係にあ ることもわか るe 接線PM
はy
＝3x
＋2
である 。 （注 ）交点P
， 変 曲点O ， 接点M のx 座 標 を順にκ1，x2，x3 とする と、κ1− x2 ：x2 一κ3＝2 ：1 の性質 が3
次曲線に はある。 軸 ・（1・髄臆
のem
・…1）・・…E
・k
．twEilitJ
・・… … 一 …… 髄
｛
；
一 ・蹶 一 紲 ・ ・ 〃
・ 練習
4
．曲線y
＝ κ3 −2
ーは直Wty
＝ x −2
に接 する という．その接点で潜る この3次 曲線の影の 式 を求 め よ。 卩 U り ． μ「 」 ” ． 〒 「 「 コ ー ． 「 1 ． ． ． − 「 ー 11 ． lI ． ． U 亅 環 」 ． 幽 卩 ＝ L． ． ！ … ” q ． 「 「 卩 ’ − 層 「 ． ° − 滑− の 、 ° ＝ 幽 射uh ° h 「 じF 卩 ． ． − ． ． F7 ． 」 ． 1 「 一． 『 馳．． 唱 2・ 幗 唱 「 1 ， 1 1 幽 ， ． ． ． 」 F ． ． ° ． 」 F F I ． ． ・ ・ − ・ ・ … r − 「 1 層 藍− 「 F ， 1 「 F 「 「 ． ． 層確
¶
」 1 @@@ ． @@ ． @@ @ ． 2…ー<TAB> ． 11 − 脚 ． <TAB><TAB> ． 謝 庸 鴇 桝 ． ． 「 ． → −鬮
臥 <TAB> 川 旧 <TAB><TAB>” ” A ＝ <TAB> − F 匚 ー 11 ． <TAB> − 唱冖゜ − ． − ． − ． 1． 「 ． 」 、 卩E ・ 1 @ ． ． @ 「 「1<TAB>
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則 削 … <TAB>「 Fl 撫 c ° <TAB> 陛 卩 門ロｯI 口 冂 ” ” 肖 <TAB>D川
喇 川 … ． <TAB> ・ 暇 ．ロ ロ 爿 U ’ |<TAB> は 汁 h “ 汗胃 ” 11 踊 ， ． い 目 け<TAB>
” − c 田<TAB> 、 <TAB> 陋 響 ． 5 f I 」 1 脚r
−@
@@ ． − π旨 若ー･田川<TAB> C ” 田 F<TAB> 闇 1 津 珊 ， ， ， 滑 川 引 由 N 、 <TAB>21 11<TAB><TAB><TAB>8 、 − “ 一 ［PhU<TAB>D 唱 ． ．Fr 」1@
1’ II ” ド「 弓 1 ’ ÷ロ 凵 1 1M1 ° <TAB>1 − 1 諺 ー r 卍 <TAB> ， 1 「 II I ． 1171 卜 ・ − 閉 7 i 、 、 ー 。 川 <TAB>r11 1 1<TAB> 桝 油 り『 口 u ー 甘 口ほ t 「 ↑ 卩 @− 悶 卩 け 昌 冂<TAB>
辟丹 ’ ■ 凾 rII 」 1卩 ，● ・ <TAB><TAB> 簸 <TAB><TAB> ．<TAB>1 ー 巨 「
r
： ー − ・ μUU
に F ！ − <TAB> 口 聲 q ． ﾅ1 ． 1@D 「 <TAB>@D ほ 潤 I 「 、 孱 ” ドー
層 ｛ 闘 ． ． ． ． @@I I ト ー <TAB> 一 りH 串 巾、 ・ ・ 鑞 唱 脚 匪 ゜ ー ー ： <TAB><TAB><TAB> ゜ ー 肩 髫 ． 藩 <TAB> 目 g 出 ワ ー …i … …川 <TAB> ． 引 @ 層 「 「 @ − 卩 ． − @1<TAB><TAB><TAB> 「 E1 ． r − 噛
「
卩
ｷ ． ー 「 ー D 、 ． ー ド ほ Fr<TAB> … m[ 脚 「 −「
<TAB>
<TAB><TAB>1 ’ ． − i 叮 <TAB> 百 ｨ 昌口
μ <TAB> ・ 「 − 1 〒 −<TAB>
耶 研 <TAB><TAB><TAB>4 … ． ー 隕<TAB> 脚 目 陸 「−
」
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川 ． r−
」 看 1 ー 可 <TAB><TAB><TAB> 日 hｾ
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梓<TAB> 冂 1 −I
I−
− ． 1 「 」 <TAB> “ 紅 肖”
ほ 胃員
ー ’ ー ほ梶
廿 Ll <TAB> 背 <TAB> ー 「 r ー <TAB> − 瀦M<TAB>
鐸 −<TAB>
田中 …掬
c
1
． 卜 <TAB><TAB>1 し ー | ” 臼 ‘ 昏 [ 「 r − <TAB><TAB><TAB><TAB> 11 撫 ｹ 目舘 <TAB> ー 目悸こ こ で、より一般 な3次 方程 式x3 ＋αr2 −
bx
−c ＝0
の影を考え ることにす る。そのた めの準 備と して、な かで使 用す るい くつかの事項をあげて おく。蹴 繍 黌
こよ り・3me の ’鰤 を求め て おく・・i ・ ・’ ＋ax2 ．
鑾講
愚
鑼
驫
鑼 蠶
ll
以 下、すすめる。
x3 ＋czr2 −
bx
−c ＝O
…x3 ＋αx2 ＝
bx
＋ c… ・つ 囃
｛
瓢
：
r
＝ x2 （x ＋a）x
実 根μか ら
Yl
とY2
との交点はP
（μ， μ 3 ＋αμ）or P （μ，b
μ＋ の となる。さらに
交 点・変 曲点 ・接点のx 座標を求め る と、図 中の 3点 は交点
P
か らA （kO ），y
，の2次 潮 鋤 ・らB （巡 ，0）
，・
3
比AB ・BC ・
2
・1
か ちC
（一μ ＋9
，0
）． なおθ． ．μ＋a2
2
次に、P
を通 りM て接 する接 線は、 その傾きm が 一 ・・（一μ・i
’iga
）・＋・・（一争
・伽穿
圃 か ・ 黝 ・ （μ ＋ α）
13
μ一の （・一μ）・ （…
αμ・） 性質、y
＝2
・接 線一 アを用いれば、ンiに対 す る具現 化 影は
Y
，…｛
（μ＋の13
μ 一α） （嗣 ・（・・ ＋ ・μ・）｝
一（x
・ ＋ax
・）． ．
x
・−Of
・ ＋ （μ ＋・x3
μ一α）x
． μ（μ ・の22
2
よっ て、形 から にも ど して結 論ず けれ ば、まとめて次の公式で示される。公式2はここで使う 。実像
」7＝ x3 ＋ax 2 −
bx
− cただ し、関係
一
2
θ＝ μ ＋a 具現 化 影 ・＝ −x3
−CL￥2 ＋｛
（μ＋αX3
μ一α2
）一 ・｝
x
・ μ（μ昜
の 一； −
X3
一畊 2 ＋（6
θ2 ＋4
θb
−b
）丿r
− （4
θ3 ＋2
θ2a ＋c） …公式5
…公 式5
’ 上 の3
次式の真影 と具 現化 影につ いて、それ ちの図の動き が一 致 す ることを下で確 認す る。 ア1（θ＋”）コ（
θ＋’り
3 ＋a（θ＋”）2 一わ（θ＋”）−0一θ3 ＋（・θL うθ一の一（
3
θ・・）’2＋ ”（
3
θ2 イ 2 ＋2
・θ一う）
一 … a… θ 3 ＋（・θ2 一うθ一・）一（
3
θ・・）〆＋ ’（
・θ’・− tZ＋2
・θ一b
）
一｛
Yi
（
θ・’）
・ 一（
θ・ ’）3− ・（θ・t）2 ＋ （6θ・＋4
・θ一bxe
・’ ）一（4
θ・＋2
。θ・＋。）i
・ ・ 3 ・（a θ2 −
b
θ一・）一（・θ・・）〆＋ ’（
・θ・ − t・ ＋・a θ一b
）
一一」
− 匪 ー 一NII-Electronic Library Service いま
1
っpx3
＋｛lx2
一 一5 ＝0
の 場合は、同様に μ表現と θ 表現に よ る結 果だけを示して おく． 実像Y
＝px3
＋ 卿2 −nt −sた だ し、−
2p
θ＝p
μ＋g
具現化 影Y
・一・・3 −qX2
・｛
（P
μ＋2
；
）x
・・Spa
−9
） 一・！
x
・ μ（ρ参
9
ア
ー・＝ −
pX3
一躰 「2 ＋（6p
θ2 ＋4g
θ一ア）X
− （4p
θ3 ＋292
＋s）3
52
2
…公 式6 〔例5
〕 x3 ＋ − x − 一＝0
の虚数解 を、影による共有点で図 示せ よ ， 実像 はYi
＝ x3 ＋−t
− 一 とン2 ＝0
とす る。 − 1±3i （解 ）方程 式の解は x ＝1
，x ＝2
この θと公式5 ’に よ り、Yi
の具現 化影1
まY
，＝−x3
＋ox
・ ＋ （33
15
：：＋：：）x
−（一＝ ＋＝）2
2
2
2
≡ 一（丿
r
＋2
）（丿r
−1
） 2 1 であ る。θ＝ 一一2
…公式6
「3
52
2
次に、真 影 と具 現化 影の動 きが一致 ずることを確 認 してみる。 ．YT（・・ の・ （・・ ti）3 ＋晝
（・・ti）一書
・
圭
｛
・e3
・・θ一・−6
θ・t2・ ti （・e2
−・t2＋・）｝
1
＝ S ．value of it， 一一一・」 8 を得て、2つの動き （図の形 ）が一致 する と わ か る。よって、虚 数解 は図の 2 点P，Q
で図示 される。 虚数 を使っ て描 く真 影に、これ まで度々、実数 に よる具現化 影で裏付 け を してきた が、そのこ とがい まは少 し煩 わ しい と感 じるe 影 に慣れてきたこのあた りで、 さきの 〔例1
〕を参考に今後は虚数だ けで 影 を描 け る勇 気 も大切であ ることを記 してお く。3
．4
次以上の曲線の影 述べてきた3次式 までは2次 と1次で構 成 され るか ら、重 解点 は1つ で済み、影の扱いは容易であっ た。こ の項で扱う曲綜は、2 次式 が2
つ 以 上で構成 され るか ち、一般的 に異なる重解点を複数もつ。こ の こと が実像の影を複雑にしてい る。 そのよ うな 複雑 なものを、数 学の みならず 物理 ・生物・化学 等の 諸法則でも、手もなく創 り出しかつそれらを整然と した状態で支配してい るこ の宇宙の創造主は、偉大 であ り驚 き というほ かない。事象の内な る秘密 を探 るのは大 変なことだ。 〕覲 醐 鬮 の駘 を最初にと りあ1
デてみるeme 式｛
（x − a） 2 ＋1
｝
｛
の虚 数解 を、影に よ る共 有点で図 示せよ。 （解 ）解 は x ＝ a ±i ， x ＝ a ±2i
対す るアはy
＝O
．重解点 は θ＝ a である． ・真影 X ＝ a ＋ ti を代入 して ア（・＋ の ・｛
（が
＋1
｝
｛
（ti）’＋4
｝
＝ （t2 −
1
）（i2 −4
）一一一冒 の
＝ S、V・lu・ （t 2 −
1
）（〆 −4
）一一｛ 巳 みる 湖 弑｛
卸ア
・1
｝
｛
α宀 4
｝
一 ・ トー 〒 ． 三・三着．三響 又i『． −1齟‘1 干． ． ；： コ享：； ．「r旨 ．L 二：1・・”・ ・’・・ 一：二二 三汗 訳 』一：三．．．’．： 71．．≡ ・’三崟
．’・ ．i：・ 1− ．1； ：穿・：鵠 20 −il圭三，∈慈無 i≧，｝i臨、．・溢 、生 堊圭量妻τ ．．．．、−i．≡” 一＝「署そ ’＝ ：：： i’；’齟’ じ 三：1二τ ：」 三 三主≒三三荘三 ・三羅1
墨
i
翌
萋
蕪
ii
・二‡鶚 ： 羃 丁：＝斗 1 ．」一「． 1．’1 了 ：1：耳：1」： 一 牽 ≡… 1≡毎Oi …爺1、 … 隷 澱 …籌 査 霪rマ三r7 三1ヨ．．三ぎ：≡． マヨ一：：二 ：”：一一一冒寸1回 1：三1三三 ヨ ヨ… 蔦 4｝ヨ≡三歯 一一一一 一 一’一¶ 1 申 ■“冒゜亜 ii籤 讎 課 8i一一・『遊一 〒T 一・コx 簾 ；嵳’；釜Q
輩・勲． 一「 ：．；＝ 〒 ；・一醤 ｛叢＝謀 芸 一．一． 一一1齟．→囓 σ＿｛ 、… ：； ；亭二 一一↓・一一 ＝一・一ユー＝ 個 2皴 三篝 ヱ1
芒： −1，緯 ｝ 4…冊 ヨ・……・薦 …三 匿、rg r−一‘ ・一・’−r一 一19
一 N工 工一Eleotronio Library・顛 それ は、動 卿 ・ ・ と実 像
y
・｛
x2 −2
・ ・＋a2 ＋1
｝
｛
x2 −2ax
＋a2 ・4
｝
とか ちY
−｛
一X2
一・aX ＋a2 ＋1
−・・（a − ・X
）｝
｛
−X2
−2
・・X
・a2 ＋・一・a （a −・X
）｝
＝ （
X2
−2
・zX ＋a2 −1）
（X2
−2aX
＋α2 −4
）1
実爼 ． 。 ＋tでY
（。 ＋t）、＝ （t・ −1）
（
t ・ ・−4
） 一一一一」 を える。 故に、θ＝ a で実像 か ら潜っ た影 は 真 影と具 現化影とで 一致する．よっ て、虚数解は図 24 の 4点 A （a ＋’，0
）， B （a 一ゴ ， 0）， C（a ＋2i
，0
）， D （a −2i
， 0）で図示される。 さて、重 解点が 1種 類な ら、例えば、（x −
3
）（x2 一・2ax
＋az ＋IXx2
−2ax
＋a2 ＋4
）＝・o
，（
x’＋1
）（x2 ＋2
）（x2 ＋3
）＝o
，… ・な どの虚 数解 を影による共 有点て画示す るのは、同様に でき る。 〔例7 〕
（
x −1）
（x2 ＋IXx2
＋2
）＝o
の虚数解を、影の共有点で図 示せ よ。 （解 〉解 はX ＝
1
， x ＝ ±i ， x ＝ ±姦
対 す るアはy
＝ ．重 解点は θ＝0
・真景彡y
（0
＋ti）＝（ti−1X
−’2 ＋1
）（一’2 ＋2
） ＝一（t2 −1
）（t2 −2
）＋n’（t2 −1
）（t2 −2
）一一1 ニ s vぱlue of it， ・具蕘見イ匕影y
＝ （x
−IX
一丿r
2 ＋1
）（−x2
＋2
）＝ （
X
「−1
）（X2
−1
）（X2
−2
） さらに、こ れ にX
＝0
＋tを代入 してY
（0
＋ ’）＝ （’−1
）（〆 −1
）（t ’ −2
）iI
− − − − −ー
− − 一 （解 ） （1
）与式か ら（x − a ）（x ＋a
）
＝O
xe
ま4
点A（α． a4 ）， A ’ （一α， a4 ） ， B（ai ， a4 ）， Bf （ −ai ， a4 ） 重解点 は θ＝0
であ る。 ・真 影 ア1（0
＋の＝ （0＋ti） 4 ・ ’ 4・S ． val・ ・ t ‘ ・ 「 ・具 現化 影は、形r4 − a4 ＝O
の左辺について｝
Y
＝ （−x2
−a2 ）（−x2
＋a2 ）1
” ・ （
X2
＋め
（
X2
−a2 ）l
I＝一（t2 −
1
）（t2 −2
）＋t（t2 − 1）（t2 − 2）一一一1 故 に 実 数解 P （1
，0
）の1
勃 ・、虚ma
ま4
点A （i
，0
）， A ‘ （−i
，・O）， B（Viili
，0
）， B ’ （一、飯
’ ，0
） で図示され る。 〔例8 〕次の方程 式の解 を共有 点で図 示せ よ。ただ し、a ≧0
とする。 実像は各辺 をY1
．Y2
とお く。（1）
x4 ＝α4
これ 尋ま θカs1 種璞頁．
（2 ） x4 ＝ −a4
これ ‘まθカ｛
2
種蔭貢． 2 2 2 2＝
X4
− a4 ＝ Oとして
r
， ＝X4
を得る 。
1
こfte
・X
．O
・tを代 入 してY
，（0
・t） − t ・ 一一t−」
故に、解は図26の4
点で図 示され る。 ー ト 」 ． ， °「 ． ξ X ． ） 5R
じ
→1
… 1． − 層 2 ’ ・ 図 （鋪
》 P … ． 「 、 ． い． ＝ 旧 A 、，， ． − 「 ． r 「 1 ． ： 2 ． − ． ← − 1 ． r ． ． 1 ．． 辱 」 」 ． − 、 川 ． ≡ 叩、 P 「 ー ＝，潜
幽
「 … i 1 亠・ 」． … 一1 ．醐
購
孱
． 5 」 ［ 脚 ． ． 1 」 ． 塔 、 「 鴬． 凵 哩， ． 汁 11 記 ゜ … 翫 ： 弖 ． 」 1 ． − 瀞 …°」 … 距． … 」 1 ° 、 ↓ ’ r ． 冂 一． ° ． 」 【 ー レ 嚠 11 ． 」 L 」 ∬ 」 − − 」 「 f． 1 卩 「 」 口 け 掃 “ ー1kJ 1 i 卩 1 ． ° ． ド 」 ． ° ° ． l I ， 唱 ト 」 F 」 L ． 「 ． 」 ． 」 」 「 ． II I I （2
）与式x4 ＝ −a4 から、
（x2 −
Viiax
＋a2 ）（x2 ＋」
αr ＋a2）＝0
と因数分解 して 觸…
挈 撃 孕
（伽
1
±i）・ x ＝2
（−1
±i）・ 鞠 は ・一 一…NII-Electronic Library Service ・真影
2種 類の重解点
轟
θ ，＝ a， −Vli
θ 、 ＝ a のうち前者に着目 し、それに統一して計算する。ア（θ＋ の＝（θ＋ ti）4，
e
，をあらた め て θ と した＝ θ 4 ＋
4
θ3 ・ti＋6
θ2 ・（ti）1 ＋4
θ・（tり3 ＋（ti）4＝ θ 4 −
6
θ2t2 ＋ t4＋ ガ（4
θ3−4
α2）＝S．Valueof
it．
＝＝＝・ 『 l ・具現化影
与
式 （2
）か ら（x2 − AEax ＋a2 ）（x2 ＋
姦
ar ＋aZ ）＝O
と変形 されていて因数x2 −
h
α ＋a2→
−
X2
−jaX
＋α2 −2
θ（θ一2
．￥）＝ −
x2
＋姦
祕 ＝ ＿X2
＋2ex
因 数x2 ＋ 「
厄
α κ＋a2→
−
X2
＋伽
＋a2 −2
θ（θ一2X
）＝ 一κ 2 ＋
3jaX
＝ ＿X2
＋6ex
積をつ くる←
x2
＋2eXX
−x2
＋6ex
）＝o
X4
− 8θX3
＋12θ2×2 − a4 ＝ −a4 ・・ て・x4 ＝ 一醐
・・・・・…t
・・…」
・・ a … き｛
ア輩
滌
鷺霧
真影 と具現化 影の動 きの一致 を礑 忍す る．それ には こ こでX
＝ θ＋ tを代入すればr
（θ＋ t）＝ （θ＋ t） 4 −8
θ（θ＋t）3＋12
θ2（θ＋ t）2 −4e4
、
．
e4
−6
θ ・ t2 ＋ 〆＋t（4
θ・−4
θ・t・）一一一一一一．．一．
」
・・・・・・… 一一a4 ・左 一鯉
・・ a のとき｛
7
薫
瀞
器 鴛
故 に、虚数解 は図の4点P ，Pノ ，Q
，Q
’とな る。なお、点 R， R’はθ に着 目することで 起 きた無縁 根で ある。 27 図 （ 4 α ー ー II ー ー 1 ー ー 「 櫞 4X ・ ／ 、 F 層 15 撰「 層 」 ‘ I l ， ． 「 唱 」 」 ’ 卩 卩 「 ， ’ 哩 加 f＼
、 θ り ψ 才 R ♂ ’ p ，”
， ’ ， ’ ’ ！璽
＼ 丶 ＼ 、 丶 、 、 丶 、 、 、 、 、 、 P 、 丶 「 〆1
y
丶
〜 ー ー ー ー ー ー ー ’ ． ’ 「 丶、＼
＼
0 、「 鹽゜・ 「 厂 P 「 「 ， し F Q／
’d
， r 厂 ’ ρ ， 「 F 「 ， ’ 〆 ！ ／ ’ ’ ’ ’ ρ 昌 F ’ ’ ♂ ’ ’ ， 1 ■ ー ； 1 ， °」 1 、 「 ー ち− 電 ー− 監 1 」 ー ギ ヤー 、 、 、 、 、 豊 、 」見 鹽 馳、 胃「 」 」 亀 L − 亀 し ー κ 一21
一 N工 工一Eleotronio Library練習
5
．方 程式 xz（x2 ＋1
）（x2 ＋4
）＝0
の 解 を、実像と影に よ る共 有点で図示せ よ。2つの実像はy1
＝ x2 （x2 ＋1
）（x2 ＋4
） ，y2
＝0
とする。以 下の［
：：コ
に適す る数式 をい れ よ。 （解）觸ま x ＝0
， x ＝ ゴ ， x ＝ ±勿sc
るy
はアーo
・ 重解点は踵 類でθ一口
・真影Y1
（□
）一□
’ （□
’＋1
）（口
2 ＋4
）ま とめて 一
［
＝
：＝
＝ コ
「 ・具現 化 影 各 因数に公式1
を適用 しX
でま とめれば 1 「7
， 一匚 ：：：＝ ＝ ：：コ
これに実 変数X
＝口
を似 してまとめればY
，（
口
）
一［＝＝
＝ ：＝ コ
真影と具現 化影の動きが一致 ずる こ とがわかった． 解 を共有点で示 ぜば、図 28の4
点となる。 ー ー ー − ー 」 4 ．円・楕円 ・双 曲線の影 これ ら円 錐曲線の影 を考え るのに、放物 線のと き に お こ なっ た 点対称 移動 を図上 で直 接する と失 敗 した。 こ こ で は独立 変 数の2
次関 数で表 現して、それ に公式1
を適用 する こ と とする。与 え られ た
条
件式 を円x2 ＋
y2
＝ r2 と 直線y ＝ κ ，lkl
≧厂 とす るe さきに解 を求めておくと P（nVi
，k
）とQ
（ −tWi
，k
）． そして、この重 解点は x ＝ θ＝0
である 。 ・真影 x ニ0
＋tiを代 入 してア2 ＝ 《
0
＋ の 2 ＋r2∴
t2 −
y2
＝ −r2直角双曲線
一一一r
x ・具現膨 与：iSUbr ア 2 ． ，一。・ ＋
O
．。 ＋r・1
である2
次関 数 として公式1
を用いれ ば1
72
＝ 一（＿X2
）＋0＋rZ −2
・0
（0 −2X
）1
∴
X
・ −y
・ ＝ −r ・l
i これ に ．￥＝0
÷ tを代入してt2 −Y2
＝ −r2 −」 よって、真影 と具現 化 影の動 きがL ・致す る とわか る．以 上で直線に対す る円の具 現化 影は次 式となる。 鮴｛
繍
1
：
一｛
詳
∵
商
獄 ・…｛
繍
≦
：
一腐
曜：
た だ し、独立変 数
y
、重 解点y
； θ＝O
円 と直線の方 法 を、同様 に、楕 円や 双 曲線 に適 用 していけば、以 下の公 式を得る。丶
、Q
y
／ 共役／ P ／ 鳶
＼
丶 ／ ζ ’ の’ r 0 ’ 」 ．グ
／ ＼丶
．／
、囲＼
耕｛
餓
1
、 一 一｛
讖
ガ
紺仁
マ
i
有
；
ゴ
ー 騾｛
嵩 茜
…公式8
…公式9
NII-Electronic Library Service ア ＼
