On some variational inequality problems (Nonlinear Analysis and Convex Analysis)

(1)

On

some

variational

inequality problems

横浜創学館高等学校

窪田理英子

(Rieko

Kubota)

YOKOHAMA

SO-GAKUKAN HIGH SCHOOL

1 Introduction

and

Preliminaries

本稿は東京工業大学高橋渉先生，高橋非線形解析研究所竹内幸雄氏との共著論文[12]

”’

TheStructure of Projection Methods

forVariationalInequalityProblems and WeakConvergenceTheorems”’

の概略とその簡単な解説である．

本稿では，$R$ を実数の集合，$N$ を正の整数の集合とする．$H$ を実 Hilbert 空間， $\rangle$ を内

積，$|$嫁$|$ を内積によって定まるノルムとする．以下，$H$ を単に Hilbert 空間と記述する．

$C$ を $H$ の部分集合とし $T$ を $C$ から $H$への写像とする．$F(T)$ を $T$ の不動点の集合とす

る．任意の$x,$ $y\in C$ について $\Vert Tx-Ty\Vert\leq k\Vert x-y\Vert$ となる正の数$k$ が存在するとき，$T$ を

$k$-Lipschitz continuous という．特に，_{$\Vert Tx-Ty\Vert\leq\Vert x-y\Vert$} であるとき非拡大写像という．

$F(T)\neq\emptyset$ であり，任意の$x\in C,$ $\nu\in F(T)$ について $\Vert Tx-v\Vert\leq\Vert x-\nu\Vert$ となるとき，$T$ を

quasi-nonexpansive と呼ぶ．$\Vert Tx-Ty\Vert^{2}\leq\langle Tx-Ty,$$x-y\rangle$ が任意の $x,$ $y\in C$ について成り

立つとき，$T$ をfimly

nonexpansive

という．$T$ がfirmly nonexpansiveならば非拡大である．

記法の習慣に従って $T$ を$A$ に置き換え，$A$ を $C$から $H$ への写像とする．$I$ を $H$上の恒等

写像とする．任意の$x,$ $y\in C$について $\langle x-y,Ax-Ay\rangle\geq 0$ となるとき，$A$ は単調であるとい

う．任意の$x,$ $y\in C$ について，$\langle x-y,Ax-Ay\rangle\geq\alpha\Vert Ax-Ay\Vert^{2}$ となるような $\alpha\in(0,\infty)$ が存

在するとき，$A$ を $\alpha$-逆単調写像という (Liuand Nashed [14] を参照). $A$が$\alpha$-逆単調写像で

あるならば，明らかに$A$ は単調かつ $1/\alpha$-Lipschitz continuousである．$a\in(O,2\alpha)$ の場合，

$I-aA$ は非拡大写像で，任意の$x,$ $y\in C$について次の不等式が成り立つ．

$\Vert(I-aA)x-(I-aA)y\Vert^{2}\leq\Vert x-y\Vert^{2}-a(2\alpha-a)\Vert Ax-Ay\Vert^{2}.$

$C$ を閉凸集合とする．このとき，任意の$x\in H$について $\Vert x-x_{0}\Vert=\min\{\Vert x-y\Vert:y\in C\}$ と

なる唯一の$x_{0}\in C$が存在する．$H$の要素$x$について，$P_{C}x=x_{0}$で定義される $H$から $C$の上

への写像$P_{C}$ は距離射影と呼ばれる．$H$から $C$への写像$T$ が$C$への距離射影であることと，

$x\in H,$ $y\in C$について$0\leq\langle x-Tx,$$Tx-y\rangle$ が成り立つことは同値である．$P_{C}$ は$x\in H,$$y\in C$

について $\Vert x-P_{C}x||^{2}+\Vert P_{C}x-y\Vert^{2}\leq\Vert x-y\Vert^{2}$ を満たしfimly nonexpansive である．

$A$ を $C$から $H$への写像とし，次の様に集合_$VI(C,A)$ を定義する．

$VI(C,A)=\{x\in C:\langle y-x,Ax\rangle\geq 0$ for all $y\in C\}.$

(2)

$C$ を $n$次元ユークリッド空間$R^{n}$ の閉凸部分集合とする．$A$ を $C$から $R^{n}$ への単調な

k-Lipschitz連続写像とし $VI(C,A)\neq\emptyset$ とする．$a\in(O, 1/k)$ について，$C$上の自己写像$V_{a}$ と $U_{a}$

を次のように定義する．

$V_{a}x=P_{C}(I-aA)x,$ $U_{a}x=P_{C}(I-aAV_{a})x$ for $x\in C.$

$x_{1}\in C$ とし，$C$の点列 $\{x_{n}\}$ と $\{y_{n}\}$ を次の様に生成する．

$y_{n}=V_{a}x_{n},$ $x_{n+1}=U_{a}x_{n}$ for $n\in N.$

このExtragradientmethod と呼ばれる反復法はKorplevich [9] によって導入された．これら

の条件の下で，彼は $\{x_{n}\}$ と $\{y_{n}\}$が$VI(C,A)$ の同一の点に収束することを示した．

TakahashiandToyoda[24] は 2003 年に Theoreml.1 を証明し，NadezhkinaandTakahashi[17]

は 2006 年に Extragradient method と関連する _Theorem 1.2を証明した．

Theorem

1.1.

Let$C$ be a closed

convex

subset

of

a Hilbertspace H. Let$A$ be

an

$\alpha-inverse-$

strongly-monotone mapping

_of

$C$into H. Let$\{a_{n}\}$bea sequencein $[c_{1},d_{1}]$ as$0<c_{1}\leq d_{1}<2\alpha.$

For each $n\in N$, let$V_{a_{n}}$ bea

self

mappingon$C$

defined

by_{$V_{a_{n}}x=P_{C}(I-a_{n}A)x$}

for

$x\in C$

.

Let$S$

beanonexpansive setf-mapping onC. Assume$F(S)\cap VI(C,A)\neq\emptyset$

.

Let $\{\alpha_{n}\}$ bea sequencein

$[c_{2},d_{2}]$

as

_{$0<c_{2}\leq d_{2}<1$}

.

Let$x_{1}\in C$andlet$\{x_{n}\}$ and$\{y_{n}\}$ be

sequences

in$C$

defined

by $y_{n}=V_{a_{n}}x_{n},$ $x_{n+1}=\alpha_{n}SV_{a_{n}}x_{n}+(1-\alpha_{n})x_{n}$ for $n\in N.$

Then$\{x_{n}\}$ and$\{y_{n}\}$ convergeweaklytoapoint_{$u\in F(S)\cap VI(C,A)$}

.

Theorem1.2. Let$C$beaclosedconvexsubset

of

aHilbertspace$H$ and$A$bea_monotoneand

k-Lipschitzcontinuous mapping$ofC$into H. Let$\{a_{n}\}$bea sequencein $[c_{1},d_{1}]$as_{$0<c_{1}\leq d_{1}<1/k.$}

For each $n\in N$_, let$V_{a_{n}}$ and$U_{a_{n}}$ bea

self

mappings

on

$C$

defined

by

$V_{a_{n}}x=P_{C}(I-a_{n}A)x,$ $U_{a_{n}}x=P_{C}(I-a_{n}AV_{a_{n}})x$ for $x\in C.$

Let$S$beanonexpansive setf-mappingonC. Assume_{$F(S)\cap VI(C,A)\neq\emptyset$}

.

Let$\{\alpha_{\eta\eta}\}$bea sequence

in $[c2,d_{2}]$ as$0<c_{2}\leq d_{2}<1$

.

Let$x_{1}\in C$andlet $\{x_{n}\},$ $\{y_{n}\},$ $\{z_{n}\}$ besequences in$C$

defined

by

$y_{n}=V_{a_{n}}x_{n},$ $z_{n}=U_{a_{n}}x_{n},$ $x_{n+1}=\alpha_{7n}SU_{a_{n}}x_{n}+(1-\alpha_{n})x_{n}$ for $n\in N.$

Then $\{x_{n}\},$ $\{y_{n}\}$ and$\{z_{n}\}$

converge

weaklyto

a

point$u\in F(S)\cap VI(C,A)$

.

Takahashi and Toyoda [24] と NadezhkinaandTakahashi[17] に動機を得て，変分不等式問

題の_projection_method を考察する．私たちが使用したほとんどのテクニックは [24] と [17]

で既に準備されていた．しかし，彼らはmethodの構造を必ずしも明らかにしていない．私

たちのアプローチは，彼らの手法とは異なりmethodの構造を重視する．私たちの目的は，

(3)

2 Lemmas

この節では，$H$ を Hilbert空間，$I$を $H$上の恒等写像，$P_{C}$ を $H$から閉凸集合$C$への距離

射影とする．Hilbert 空間$H$は次のOpialproperty[18] を持つ．

If$\{x_{n}\}$ isa sequencein$H$ which

converges

weaklyto $u\in H$_,_then

$\lim\inf_{n}\Vert x_{n}-u\Vert<\lim\inf_{n}\Vert x_{n}-v\Vert$ for $\nu\in H$with$v\neq u.$

$S$ を部分集合$C$から $H$への写像とする．_{$I-S$ が}demiclosedat$0$ とは

If$\{x_{n}\}$ is

a

sequence

in$C$which

converges

weakly to$u\in C$and satisfies

$\lim_{n}\Vert Sx_{n}-x_{n}\Vert=0$,then $u\in F(S)$

.

が満たされることである．最初に本稿の議論で必要とした2つの概念を提示した．

次に示す_lemmaは変分不等式問題では基本的で良く知られている．

Lemma2.1. Let$A$ beamapping

of

$C$into $H$ with$VI(C,A)\neq\emptyset$

.

Let$a\in(O,\infty)$ and let $V_{a}$bea

selfmappingon$C$

defined

by_{$V_{a}x=P_{C}(I-aA)x$}

for

$x\in C$

.

_Then$F(V_{a})=VI(C,A)$

.

簡単な計算で次の lemma を導くことができる．このlemma によって，本稿で考察する

method では_VI$(C,A)$ の要素に代えて $\nu i(C,A)$ の要素を求めれば良いことが分る．

Lemma

2.2.

Let$C$beaconvexsubset

of

aHilbertspaceH. $LetA$_bea_mapping

_of

$C$into$H$and

let $vi(C,A)=\{v\in C:\langle z-v,Az\rangle\geq 0$ forall$z\in C\}$

.

Then, the followingshold:

(1) $IfA$ iscontinuous, then $vi(C,A)\subset VI(C,A)$

.

(2) $IfA$ ismonotonethen $\langle y-u,Ay\rangle\geq\langle y-u,Au\rangle\geq 0$

for

_{$u\in VI(C,A)$} and$y\in C.$

Thatis, $ifA$ismonotonethen $VI(C,A)\subset\nu i(C,A)$

.

(3) $IfA$ ismonotoneandcontinuous, then$VI(C,A)=vi(C,A)$

.

本稿の結果を得るために，次のLemma2.3が重要である．

Lemma

2.3.

Let $c>0$ and $\{a_{n}\}\subset[c,\infty$). Let$A$ be a monotone and $k$-Lipschitz continuous

mapping

_of

$C$into$H$with $VI(C,A)\neq\emptyset$

.

Foreach$n\in N$_, let$V_{a_{n}}$ be a selfmapping

on

$C$

defined

by $V_{a_{n}}x=P_{C}(I-a_{n}A)x$

for

$x\in C$

.

Let$\{x_{n}\}$beaboundedsequenceinC.

If

$\lim_{n}\Vert V_{a_{n}}x_{n}-x_{n}\Vert=0$

then the weak limit

_of

any weaklyconvergentsubsequence

_of

$\{x_{n}\}$ is in$VI(C,A)$.

この lemma_{は，projection meﬃod}において $\lim_{n}\Vert V_{a_{n}}x_{n}-x_{n}\Vert=0$ という条件が非常に重要

であることを示唆する．Takahashi-Toyoda[24] の methodでは，Lemma2.3, 2.4 が中心的な

(4)

Lemma

2.4.

$LetA$_be

an

$\alpha-inverse$-strongly-monotone mapping

of

$C$into$H$with$VI(C,A)\neq\emptyset.$ Let$\{a_{n}\}$ be a sequence in $[c,d]$ as$0<c\leq d<2\alpha$

.

For each$n\in N$, let$V_{a_{n}}$ be

a

self

mapping

on $C$

defined

by _{$V_{a_{n}}x=P_{C}(I-a_{n}A)x$}

for

_{$x\in C$}

.

Suppose $\{x_{n}\}$ isa sequence in $C$such that $\lim_{n}\Vert x_{n}-u\Vert=\lim_{n}\Vert V_{a_{n}}x_{n}-u\Vert$

for

$u\in VI(C,A)$. Then, $\lim_{n}\Vert V_{a_{n}}x_{n}-x_{n}\Vert=0.$

Nadezhkina-Takahashi[17]の methodでは，Lemma2.3, 2.5が重要な役割を果たす．Lemma

2.5

は， $\{U_{a_{n}}\}$ の性質を明らかにし，このmethod で$\lim_{n}\Vert V_{a_{n}}x_{n}-x_{n}\Vert=0$ を得るための条件を

提示している．従来$\{U_{a_{n}}\}$ の性質は明確に記述されていなかった．

Lemma

2.5.

Let$A$ be

a

monotone $k$-Lipschitz continuous mapping

of

$C$ into H. Assume that

$VI(C,A)\neq\emptyset$

.

Let$0<d<1/k$ and$\{a_{n}\}$ bea sequence in $(0,d$]. For$n\in N$, let$V_{a_{n}}$ and$U_{a_{n}}$ be

self

mappings

on

$C$

defined

by

Then, thefollowingshold:

(1) $F(V_{a_{n}})=F(U_{a_{n}})=VI(C,A)$

for

$n\in N.$

(2) Each $U_{a}$

.

is quasi nonexpansive with$F(U_{a_{n}})=VI(C,A)$

.

(3) Suppose $\{x_{n}\}$ is

a

sequencesuch that

$\lim_{n}\Vert x_{n}-u\Vert=\lim_{n}\Vert U_{a_{n}}x_{n}-u\Vert$ for $u\in VI(C,A)$

.

Then$\lim_{n}\Vert V_{a}.x_{n}-x_{n}\Vert=0.$

3 Main results

前節で準備したlemmaを使用して次の2つの定理を証明できる．Theorem

3.

1 は

Takahashi-Toyoda[24] の Theorem 1.1の拡張であり，Theorem3.2はNadezhkina-Takahashi[17] の

The-orem

1.2 の拡張である．彼らは $S$ を非拡大写像としたが，$S$がquasi-nonexpansive で$I-S$

が demiclosedat$0$であれば充分であることが自然な考え方によって導かれる．

Theorem

3.1.

Let$C$be a closedconvex subset

of

aHilbertspace H. Let$A$ be an $\alpha-inverse-$

strongly monotonemapping

_of

$C$ intoH. Let $S$ be a

self

mapping

on

C. Assume that$F(S)\cap$

$VI(C,A)\neq\emptyset,$ $S$ is quasi-nonexpansive and$I-S$isdemiclosedatO. Let $\{a_{n}\}$ be asequence in

$[c,d]$ as $0<c\leq d<2\alpha$

.

For each $n\in N$, let $V_{a_{n}}$ be a

self

mappingon $C$

defined

by $V_{a_{n}}x=$

$P_{C}(I-a_{n}A)x$

for

$x\in C$_{. Let} $\{\alpha_{r}\}$ bea sequence in _{$[a, b]$} as$0<a\leq b<1$

.

Let$x_{1}\in C$and let

$\{x_{n}\}$ and$\{y_{n}\}$ be sequences in$C$

defined

by

$y_{n}=V_{a_{n}}x_{n},$ $x_{n+1}=\alpha_{n}SV_{a_{n}}x_{n}+(1-\alpha_{n})x_{n}$ for $n\in N.$

(5)

Theorem

3.2.

Let $C$ be

a

closed

convex

subset

of

a

Hilbert

space

$H$ and $A$ be

a

monotone

and$k$-Lipschitz continuous mapping

of

$C$ into H. Let$S$be a

self

mappingon C. Assume that

$F(S)\cap VI(C,A)\neq\emptyset,$ $S$isquasi-nonexpansive$andI-S$isdemiclosedatO. Let$\{a_{n}\}$be

a

sequence

in $[c,d]$ as_{$0<c\leq d<1/k$}

.

_For_each$n\in N$, let$y_{a_{n}}$ and$U_{a_{n}}$ be self-mappings

on

$C$

defined

by

Let $\{\alpha_{n}\}$ be a sequence in $[a,b]$ as $0<a\leq b<1$

.

Let_{$x_{1}\in C$}and let $\{x_{n}\},$ $\{y_{n}\}$ and $\{z_{n}\}$ be

sequences

_defined

by

$y_{n}=V_{a_{n}}x_{n},$ $z_{n}=U_{a_{n}}x_{n},$ $x_{n+1}=\alpha_{n}SU_{a_{n}}x_{n}+(1-\alpha_{\eta})x_{n}$ for $n\in N.$

Then$\{x_{n}\},$ $\{y_{n}\}$ and$\{z_{n}\}$ converge weaklyto

a

point$u\in F(S)\cap VI(C,A)$

.

4 Applications

$C$ をHilbert空間$H$ の部分集合，$T$ を $C$ から $H$ への写像とする．2010年に，Kocourek,

Takahashi and Yao [101によってgeneralizedhybfid と呼ばれる写像族が導入された．次の条

件を満たす実数$\alpha,$ $\beta$ が存在するとき，$T$は generalized hybrid であるという．

$\alpha\Vert Tx-Ty\Vert^{2}+(1-\alpha)\Vert x-Ty\Vert^{2}\leq\beta\Vert Tx-y\Vert^{2}+(1-\beta)\Vert x-y\Vert^{2}$ _for

$x,$ $y\in C.$

この写像族は，非拡大写像族，

nonspreading

写像族，

hybrid

写像族を含む有用な非線形写

像の族である．

generalized

hybrid写像$T$は，$F(T)\neq\emptyset$であるならば

qauasi-nonexpansive

で

ある．更に，Takahashi,Wong andYao [251 は次のlemma を証明した．

Lemma

4.1.

Let$C$ be a closed

convex

subset

of

aHilbert space$H$ andlet $T$be

a

generalized

hybrid

_self

mapping on C. Let $\{x_{n}\}$ be asequence in $C$ which converges weakly_to _{$u\in C$}and

satisfies

$\lim_{n}\Vert Tx_{n}-x_{n}\Vert=0$

.

Then$u\in F(T)$

.

2008年に，Suzuki [19] は新しい写像族を導入した．$H$の部分集合$C$上の写像$T$が，次の

条件を満たすとき，Condition(C) を満たす写像という．

(C) $\frac{1}{2}\Vert x-Tx\Vert\leq\Vert x-y\Vert$ implies $\Vert Tx-Ty\Vert\leq\Vert x-y\Vert$ for $x,y\in C.$

本稿では，この写像族をClass(C) と呼ぶ．また，ある $s\in[O, \infty$) が存在して，

(E) $\Vert x-Ty\Vert\leq s\Vert x-Tx\Vert+\Vert x-y\Vert$ for $x,y\in C$

であるとき，$T$ をCondition (E) を満たす写像という (Falsetet.al. [6] を参照).

$T$ が非拡大写像ならば Class _(C)である．Suzuki[19] は，$T$ がClass (C) ならば_$s=3$ とし

て Condition(E) を満たすことを示し，また Lemma4.2 を実質的に証明した．Condition(E)

(6)

Lemma

4.2.

Let$C$be

a

closed

convex

subset

of

a

Hilbert

space

$H$and let$T$be

a

self

mapping

on$C$which

satisfies

condition (E)

.

Let$\{x_{n}\}$bea sequencein$C$whichconvergesweakly to$u\in C$

and

_satisfies

$\lim_{n}\Vert Tx_{n}-x_{n}\Vert=0$

.

Then$u\in F(T)$

.

このような研究の成果によって，generalizedhybrid 写像族や condition(E) を満たす写像族など，広範な写像族がTheorem3.1とTheorem3.2の仮定を満たすことがわかる．

Acknowledgements

東京工業大学高橋渉先生の丁寧なご指導に感謝いたします．また，この論稿を発表する機会を与えていただいた新潟大学田中環先生にお礼申し上げます．

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