Practical Formulas to Calculate Suspender Tension Based on Frequency
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(2) 西 南 交 通 大 学 学 报. ８２４. 第５０ 卷. ｆｏｒｍｕｌａｓ. １４. ５. ６７. ８. ９. １０. １１. １２. １３. １４. . 中 ，横 向 发 生 位 移 ，同时与吊杆中心线相切的线段 ，吊杆横向位 产 生 一 个 剪切角γ． 在张拉力作用下 ． 移 为ｕ（，）是 随 坐 标 轴ｘ 和 时 间ｔ 连 续 变 化 的 函 数 取 吊 杆 上 一 微 段ｄｘ 为 隔离体 ，吊杆受力见图１，图 中 ，ｆ 为 第 一阶频率 图１ 所示 ，微段吊杆在运 ．如 动 过 程 中 处 于 动 平 衡 状 态 ，由 水 平 力 及 力 矩 平 衡 条 件 可 得 Ｑ ｙ ＝ｍ ， ｘ ｔ （１） Ｍ ｙ θ ＝Ｔ ＋ Ｑ － ρＩ ， ｘ ｘ ｔ 剪 力 ；ｍ 为吊杆的线密度 ；Ｍ 为弯矩 ； 式 中 ：Ｑ 为 Ｔ为 拉 力 ；ρ 为 材 料 的 质 量密度 ；Ｉ 为截面惯性矩 ； 截 面 转 角 ． θ为 根 据 吊 杆 弯曲理论 ，剪力Ｑ 与剪切角γ 的关 系 式 为 Ｑ ＝ Ｓ ＳＧγ， （２） 式 中 ：Ｓ 为 ． 截 面 有 效 剪 切 系 数 ；Ｇ 为 剪 切 模 量 由 图１ 可 知 ，截 面 转 角θ 和 剪 切 角γ 的 关 系 为 ｙ （３） γ ＝ － θ． ｘ 由 式 （１）～ （３）可 得 １ θ ｙ ｙ （４） ＝ － ｍ ． ｘ ｘ Ｓ ＳＧ ｔ ｘ ｔ. １. ２. ２. ２. ２. }. ｃ. ｃ. . ２. ２. ２. ２. ｃ. １５. ∂ ∂ . . +. . . . ∂ ∂ . . =. . ∂ ∂. . . . +. . . . 拱 桥 吊 杆 是 结 构 的 关 键 构 件 之 一 ，直 接 承 受 、传 递 结 构 的 荷 载 ，由 于 系 杆 拱 桥 属 于 内 部 高 次 超 静 定 结 构 ，调 整 任 意 吊 杆 的 张 拉 力 将 使 结 构 内 力 重 分 布 ，改 ［ ］ 动 测 定 法是 目 前 工 程 中 普 变 结 构 的 受 力 状 态 ．振 遍 应 用 的 测 定 吊 杆 张 力 的 方 法 ，该 方 法 将 索 理 想 化 为 张 紧 的 弦 于 计 算 式 中 受 到 复 杂 边 界 条 件 、垂 度 、抗 ．由 弯 刚 度 等 的 影 响 ，造 成 吊 杆 实 际 受 力 与 理 论 计 算 不 一 致 ．这 些 不 确 定 因 素 的 影 响 ，有 时 会 带 来 不 可 接 受 的 ［］，许 误 差 ，需 要 对 弦 公 式 进 行 修 正 多 学 者 为 了 精 确 ［ ］提 ．孙 永 明 出 了 考 虑 计 算 索 力 ，进 行 了 大 量 的 研 究 ［ ］ 端 部 性 质 影 响 的 修 正 索 力 计 算 公 式 ；Ｚｕｉ 考 虑 吊 杆 弯 曲 刚 度 和 垂 度 ，建 立 了 近 似 解 低 阶 频 率 估 算 索 力 公 ［ ］ 式 ；任 伟 新 等采 用 能 量 法 和 曲 线 拟 合 法 ，分 别 建 立 了 考 虑索垂度和弯曲刚度的基频索力计算公式 ； ［ ］ 出 了 考 虑 吊 杆 抗 弯 刚 度 、垂 度 延 伸 特 性 的 Ａｒｍｉｎ 给 统 一 解 ，并 提 供 了 确 定索振动方式和对应频率的方 ［ ］ 法 ；田 广 宇研 究 了 位 移 测 量 误 差 对 基 于 静 力 位 移 的 ［ ］ 索 力 识 别 结 果 的 影 响 ；Ｙｏｚｏ 等 采 用 渐 近 式 分 析 得 ［ ］ 出 了 索 的 模 态 阻 尼 比 ；刘 钊基 于 能 量 法 求 解 了 索 力 ［ ］ 计 算 公 式 ；Ｎａｍ 等 认 为 索 的 柔 性 减 小 阻 尼 约２０％ ， ．以 同 时 增 加 了 阻 尼 器 的 阻 尼 系 数 上 学 者 从 索 的 边 界 ． 条 件 、抗 弯 刚 度 及 垂 度 等 方 面 研 究 了 索 的 计 算 方 法 但 是 根 据 吊 杆 的 振 动 特 性 发 现 ，以 上 研 究 均 没 有 考 虑 转 动 惯 量 和 剪 切 变 形 及 两 者 耦 合 作 用 下 对 索 力 的 影 ［ ］ 响 ；张 戎 令 等基 于 结 构 振 动 理 论 ，建 立 了 吊 杆 索 力 计 算 公 式 ，考 虑 了 转 动 惯 量 和 剪 切 变 形 耦 合 影 响 ．实 际 吊 杆 是 由 高 强 钢 绞 丝 和ＰＥ（ｐｏｌｙｅｔｈｙｌｅｎｅ）护 套 两 种 材 料 组 成 ，实 际 频 率 为 两 者 的 耦 合 频 率 ；吊 杆 的 边 界 条 件 在 不 同 结 构 中 差 异 较 大 ；吊 杆 有 效 长 度 在 实 际 中 亦 难 以 确 定 实 际 索 力 计 算 中 需 要 一 种 综 合 考 虑 以 ．在 上 影 响 的 有 效 方 法 ． 本 文 根 据 已 有 研 究 成 果 及 吊 杆 的 动 力 特 性 ，结 合 抗 弯 刚 度 的 影 响 ，同 时 考 虑 转 动 惯 量 和 剪 切 变 形 的 影 响 及 其 耦 合 作 用 ，推 导 了 吊 杆 铰 接 下 索 力 计 算 公 式 ；在 索 力 计 算式中 ，频率受到索结构自身和外 界 因 素 的 影 响 较多 ，其对索力计算值影响较大 ；根 据 实 测 频 率 对 索 力 灵 敏 度 进 行 分 析 ，给 出 了 索 力 计 算 的 实 用 公 式 ． . . . 图１ 吊 杆 微 段 隔 离 体 受 力 图 Ｆｉｇ． １ Ｆｏｒｃｅ ｄｉａｇｒａｍ ｏｆ ｔｈｅ ｍｉｃｒｏｅｌｅｍｅｎｔ ｏｆ ｓｕｓｐｅｎｄｅｒ. 根 据吊杆结构的弯曲理论 ，弯矩Ｍ 与曲率 关 系 为 θ ／ ｘ 的 １ 吊 杆受力分析及求解 （５） 吊 杆 是 由 等 直 径 的 钢 绞 丝 制 成 ，假 设 其 为 等 截 Ｍ ＝ － ＥＩ θｘ． 抗 弯 刚 度ＥＩ 均 为 常 量 ；在振动 将 面 ，则 截 面 面 积Ｓ 和 式 （２）、（５）代 入 式 （１），并 对ｘ 求 导 ，可 得.
(3) 第５ 期. 张 戎 令 ，等 ：基 于 频 率 计 算 系 杆 拱 桥 吊 杆 张 拉 力 的 实 用 公 式. ２. ２ ｘ. ( － ＥＩ θｘ ) ＝ ｙ θ ｙ （６） ｍ － ( ρＩ ＋Ｔ ． ) ｘ ｔ ｔ ｘ 将 式 （４）代 入 式 （６）整 理 可 得 ( ｍ ｔｙ ＋ ＥＩ ｘｙ ) － ρＩ ｘ ｙｔ － ｍ ｙ ｙ ｙ ＥＩ － ρＩ －Ｔ ＝ ０． （７ ） ) Ｓ ＡＧ ( ｔ ｘ ｔ ｘ 为 简 化 分 析 ，假设位移函数随时间简谐变化 ， 令 （８） ｙ（ｘ， ｔ）＝ Ｙ（ｘ）ｓｉｎ（ωｔ）， 式 中 ：Ｙ（ｘ）为 吊 杆 振 动形状 ，不随时间变化 ；ω 为 ． 吊 杆 振 动 频 率 式 （８）代 入 式 （７），并 令 ｍω －Ｔ ρＩω ω ρＩ ， ｋ ＝ ｍＥＩω － ＳｍＳＧＥＩ ， ｋ ＝ ＋ ＋ ＥＩ Ｓ ＳＧ ＥＩ 可 得 Ｙ （ ）（ｘ）＋ ｋ Ｙ″（ｘ）－ ｋ Ｙ（ｘ）＝ ０． （９） 设 解 的 形 式 为Ｙ （Ｘ）＝ Ａｅ ，将其代入式（９ ）， 得 （１０） （β ＋ ｋ β － ｋ ）Ａｅ ＝ ０． 令 ｋ ＋ ４ｋ ＋ ｋ ｋ ＋ ４ｋ － ｋ 槡 槡 ， ， α ＝槡 α ＝槡 ２ ２ 槡 槡 （１１） 因 此 ，式 （１０）的 解 为 β ＝ － α ｉ， β ＝ －α ， β ＝α ． β ＝ － α ｉ， 将β ～ β 代 入Ｙ（Ｘ）＝ Ａｅ ，用双曲函数和三 角 函 数 替 换 指 数 函 数 ，得 Ｙ（ｘ）＝ ξ ｓｉｎ α ｘ ＋ ξ ｃｏｓ α ｘ ＋ （１２） ξ ｓｉｎｈ α ｘ ＋ ξ ｃｏｓｈ α ｘ， 式 中 ：ξ 、ξ 、ξ 、ξ 为 吊 杆 的 振 动 形 状 ． 根 据 吊 杆 的受力情况 ，假设两端为铰接 ，杆长 为ｌ，则 边 界 条 件 为 ｘ ＝ ０， Ｙ（０ ）＝ ０ ， Ｍ（０ ）＝ ＥＩＹ″（０ ）＝ ０ ， ｘ ＝ ｌ， Ｙ（ｌ）＝ ０ ， Ｍ（ｌ）＝ ＥＩＹ″（ｌ）＝ ０． 根 据 边 界 条 件 可 解 得 ： … ，∞ ． （１３） ｎ ＝ １， ２， α ｌ ＝ ｎ π， 将α 、α 代 入 式 （１１），通过ｋ 、ｋ 中各参数的 关 系 ，可 求 出 吊 杆 两 端 铰 接 情 况 下 索 力 的 计 算 式 为 ２. ２. ２. ２. ２. ２. ２. ２. ４. ２. ４. ２. ４. ２. ４. ２. ２. ２. ４. ２. ｃ. ２. ２. ２. ２ １. ４. ４ ２. ｃ. ４. ｃ. ２ １. ４ ２. βｘ. ４. ２ １. ２. ４ ２. βｘ. ４ １. ４ ２. ２ １. ４ １. １. ４ ２. ２ １. ２. １. １. ２. １. ３. ２. ４. βｘ. １. ４. １. １. ３. ２. １. ２. ３. ２. ４. １. ２. . ４. . ４ π２ Ｉｍｆ Ｓ ｃ ＳＧ. ２ ｎ. －. １６ π２ Ｉｌ２ ｍρｆ Ｓ ｃ ＳＧｎ２. ８２５ ４ ｎ. ，. （１４）. ． 式 中 ：ｆ 为 第ｎ 阶 频 率 式 （１４）中 第１ 项 为 经 典 弦 振 动基本方程 ；第２ 项 考 虑 抗 弯 刚 度 的 影 响 ；第３ 项 考 虑 转 动 惯 量 的影 响 ；第４ 项 考 虑 剪切变形的影响 ；第５ 项为吊杆转 ． 动 惯 量 和 剪 切 变 形 二 者 耦 合 影 响 在 不考虑转动惯量和剪切变形的影响时 ， 为 式 （１４）变 ４ｍｌ ｆ ｎ π ＥＩ （１５） Ｔ＝ － ． ｎ ｌ 在 不 考 虑 转 动 惯 量 和 剪 切 变 形 和 抗 弯 刚 度 时 ， 式 （１４）变 为 ４ｍｌ ｆ （１６） Ｔ＝ ． ｎ 文 中 推 导 的 式 （１４ ）虽在理论上完善了吊杆张 拉 力 的 计 算 公 式 ，但 一 方 面 由 于 考 虑 转 动 惯 量 和 剪 切 变 形 的 索 力 公 式 是 基 于 梁 理 论 进 行 分 析 的 ，实 际 中 的 索 不 完 全 等 同 于 梁 ，剪 切 变 形 和 转 动 惯 量 对 高 频 会 有 些 影 响 ；另一方面公式中涉及到剪切系数 、 抗 弯 刚 度 等 参 数 ，在实际结构中难以准确计算 ，即 使 通 过 实 际 索 力 将 剪 切 变 形 、转 动 惯 量 及 其 耦 合 项 进 行 简 化 、拟 合 后 ，计 算 式 中 参 数 较 多 ，依 然 较 难 准 确 计 算 出 与 实 际 符 合 的 索 力 此 ，结 合 吊 杆 长 度 ， ．因 基 于 实 际 频 率 与 索 力 的 关 系 ，通 过 频 率 的 灵 敏 度 分 析 ，修 正 本 文 推 导的公式 ，进而得到计算吊杆张力 的 实 用 公 式 ． ｎ. ２. ２ ｎ. ２. ２. ２. ２. ２. ２ ｎ. ２. ２. ２ . 频率灵敏度分析. 试验概况 实 际 工 程１ ～ １２８ ｍ 系杆拱桥为研究对象 ， 以 其 吊杆采用ＰＥＳＣ７０８５ 丝 ７ ｍｍ 的低松弛环氧 喷 涂 高 强 钢 丝 成 品 吊 杆 ，标 准 强 度 为１ ６７０ ＭＰａ，弹 性 模 量 为１９５ ＧＰａ，截 面 面 积 为３ ２７１ ｍｍ ，吊杆直 径 为７１． ２ ｍｍ，单位长度质量为２５． ７ ｋｇ ／ ｍ，抗弯 刚度 为２４６． １ ｋＮ· 桥 吊 杆 布 置 及 编 号 见 图２． ｍ ．拱. ２． １ . ２. ２. ｎ. １. ２ １. ２. ４ｍｌ２ ｆ Ｔ＝ ｎ２. ２ ｎ. ｎ２ π２ ＥＩ － ＋ ４ π２ ρＩｆ２ｎ ＋ ｌ２. ４ ２. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 图吊 杆 编 号 及 布 置 形 式. ２ Ｆｉｇ． ２ Ｓｕｓｐｅｎｄｅｒ ｎｕｍｂｅｒ ａｎｄ ａｒｒａｎｇｅｍｅｎｔ.
(4) 西 南 交 通 大 学 学 报 第５０ 卷 每 一 对 吊 杆 有两根吊杆 ，分别记为Ａ、Ｂ． 实际 共６８ 根 ，数量较多 ，因此选取典型吊杆进行分析 ， 杆 （１７ 吊杆）、５ 吊杆（１３ 吊杆）、９ 吊 吊 杆 顶 端 并 非 穿过拱肋 ，而是固定在下弦管下缘 ， 分 别 选１ 吊 杆 ，即选取拱桥最短 、中间 、最长吊杆为研究对象 ， 并 安 装 有 球 形 支 座 ，其 简 化 成 铰 接 更 为 合 理 ． 据分析 分 析 吊 杆 频 差 与 阶 数 的 关 系 杆 各 阶 频 率 变 化 情 ２． ２ 数 ．吊 现 场 采 用 频 率 法 进 行 索 力 测 试 ，由 于 实 际 吊 杆 况 见 图３，图 中 ，ｆ 为 一 阶 频 率 ，Ｈｚ． ８２６. ＃. ＃. ＃. ＃. ＃. １. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ＃. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . （ｂ）１ 吊 杆Ｂ、１７ 吊 杆Ａ. ＃. . . . .
(5). （ａ）１ 吊 杆Ａ、１７ 吊 杆Ｂ ＃. . . . . （ｃ）５ 吊 杆Ａ、１３ 吊 杆Ｂ. ＃. ＃. . . . . . . . . . . . ＃. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(6). . . .
(7). （ｄ）５ 吊 杆Ｂ、１３ 吊 杆Ａ （ｅ）９ 吊 杆Ａ、９ 吊 杆Ｂ 图３ 不 同 吊 杆 频 谱 图 ＃. ＃. ＃. ＃. Ｆｉｇ． ３ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｓｐｅｃｔｒａ ｏｆ ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ ｓｕｓｐｅｎｄｅｒｓ. 由 图３ 可 以看出 ，虽然吊杆约束形式相同 、材 ．有 料 相 同 、长 度 相 同 ，但 对 应 的 同 阶 频 率 相 差 较 大 些 吊杆只有３ ～ ８ 阶频率 ，甚至只有１ 阶频率（如 １ 吊 杆Ａ 和１７ 吊 杆Ｂ 所 示 ），即 使有高阶频率（如 杆Ａ），按 照 频 率 识 别 法 ，在 平 均 谱 图 中 找 右 线９ 吊 . ＃. ＃. ＃. 出从 大 到 小 排 列 的１０ 阶 峰 值 ：① 用 其 它 值 除 以 最 小 值 ，若 结 果 大 部 分 为 整 数 ，则 最 小 值 即 为 基 频 ，若 结 果 大 部 分 约 为０． ５ 的 整 数 倍 ，则 用 最 小 值 减 去频 差 就 是 基频 ；② 对１０ 个峰值求最大公约数 ，这个 上 方 法 很 难 精 确 得 出 反 应 ．以 最 大 公 约 数 就 是 基 频.
(8) 第５ 期 张 戎 令 ，等 ：基 于 频 率 计 算 系 杆 拱 桥 吊 杆 张 拉 力 的 实 用 公 式 ８２７ 实 际 索 力 的 基 频 于实际吊杆在转动惯量 、剪切 阶 ，不同吊 数 的 拟 合 曲线见图４． 由图４ 可以看出 ．由 变 形 、吊杆有效长度 、钢绞线和ＰＥ 护套耦合频率 杆 、不 同 阶 频 率 差拟合有线性和非线性曲线 ，非线 等 因 素 影响下 ，导致实测索力频率随着阶数的提 性 曲 线 又 有 二 次 、三次曲线的不确定性 时由于 ．同 高 ，频 差 越 大 图３ 中 右线９ Ａ 吊杆为例 ，１ 阶频 现场索力测试传感器通常布置在距吊杆下端 ．以 率 为２． １４８ ０ Ｈｚ，１０ 阶频率对应求出的基频为 ３． ５ ｍ 处 （以 本 桥 为 例 ），这 样 通 过 频 率 法 测 得 的频 频率对应求出的基频为 率 以 高 阶 频 率 为主 ，因此 ，直接通过高阶频率差求 ２． ５０４ ９ Ｈｚ， １３ 阶 见 高 阶 频 差 作 为 基 频 误 差 很 大 基 频 会 造 成 基 频 值 识 别 变 大 ，从 而 导 致 索 力 识 别 值 ３． ００５ ０ Ｈｚ． 可 ． 大 为 了 确 定 出 精 确 的 索 力 ，分 析 了 各 阶 频 率 差 与 偏 ． ＃. . . . . . . .
(9)
(10) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ＃. . . . . . . . . . （ｂ）５ 吊 杆ＡＢ、１３ 吊 杆ＡＢ 图４ 索 力 频 率 差 拟 合. ＃. . . . . （ａ）１ 吊 杆ＡＢ、１７ 吊 杆ＡＢ. . . . . . .
(11). ＃. . . . . . . . . .
(12). . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(13)
(14)
(15) . . . . . . . .
(16) . . （ｃ）９ 吊 杆Ａ、９ 吊 杆Ｂ. ＃. ＃. ＃. Ｆｉｇ． ４ Ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｆｉｔｔｉｎｇ ｏｆ ｃａｂｌｅ ｆｏｒｃｅ. 通 过 以 上 不 同 吊 杆 频 率 和 频 率 差 分 析 ，本 文 通 过 各 吊 杆 一 阶 频 率 的 分 析 ，根 据 实 际 张 拉 力 反 推 部 分 吊 杆 的 理 论 频 率 ，将 实 际 张 拉 测 得 的 频 率 与 理 论 频 率 进 行 拟 合 ，进而得到频率的修正值 ，推导出适 用 的 索 力 计 算 简 化 公 式 ． 为 了 修 正 频 率 ，同 时 保 证 修 正 后 频 率 的 精 度 满 足 要 求 ，通 过１ ～ ９ 吊杆的拟合 ，将所有吊杆统一. . ＃. ＃. ．通 成 一 条 曲 线 后 ，难以保证修正后的精度 过各个 实 测 吊 杆 的 频 率分布特点 ，按照不同吊杆长度 ，将 长度范围 ，分别进行拟合分析 体 吊 杆 分 成３ 个 ．具 分 析 见 图５、图６． 通 过１ ～ ９ 吊杆（９ 吊杆仅统计Ａ）实测频率 和 理 论 频 率 的 曲 线 拟 合 分 析 ，得 到 索 力 计 算 实 用 的 公 式 为 ｌ ＜ １４． ９６６ ｍ， ｉ ＝ １， Ｉｌ ｍρｋ ｆ ＥＩ ， １４． ９６６ｍ≤ｌ ＜ １９． ９０５ ｍ， ｉ ＝ ２， （１７） － ９． ８６０ － １５７． ７５４ Ｓ ＳＧ ｌ ｌ≥１９． ９０５ ｍ， ｉ ＝ ３， ２. Ｔ ＝ ４ｍｌ２ ｋ２ｉ ｆ. ２ １. ４ ｉ. ＃. ２. . . . . . . . . . . . . . ＃. {. ４ １. ｃ. . ＃. . . . . . . . . . . . . . . . .
(17) . . . .
(18) . . ＃. ～ ２＃. 吊 杆. . . .
(19) . .
(20)
(21) . . .
(22). . . . （ｂ）３ ～ ４ 吊 杆 杆 理 论 频 率 与 吊 杆 长 度 拟 合 关 系 图５ １ ～ ９ 吊 ＃. ＃. ＃. ＃. Ｆｉｇ． ５ Ｆｉｔｔｅｄ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｔｈｅｏｒｅｔｉｃ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎｄ ｓｕｓｐｅｎｄｅｒ ｌｅｎｇｔｈ ｆｏｒ １ ＃ ～ ９ ＃ ｓｕｓｐｅｎｄｅｒｓ.
(23) . .
(24) .
(25) . （ａ）１. . . . （ｃ）５. ＃. ～ ９＃. 吊 杆. .
(26) 西 南 交 通 大 学 学 报 别 取１，２，３． 式 中 ：ｋ ＝ ｆ ／ ｆ ，这里 ，ｆ 为ｉ 值时吊杆的理论频 分 时吊杆的实测频率 ，ｉ 根据吊杆长度 率 ，ｆ 为ｉ 值. 第５０ 卷. ８２８. ｉ. ｔｉ. ａｉ. ｔｉ. ａｉ. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
(27) . . . . . . .
(28) . . . . （ａ）１.
(29) ＃. ～２. ＃. . . . . .
(30). .
(31) . . . . . . . 吊 杆.
(32). . . . . . . ＃.
(33). . .
(34) . （ｂ）３ ～ ４ 吊 杆 （ｃ）５ 杆 实 测 频 率 与 吊 杆 长 度 拟 合 关 系 曲 线 图６ １ ～ ９ 吊 ＃. . ＃. ＃. ～９. ＃. 吊 杆. ＃. Ｆｉｇ． ６ Ｆｉｔｔｅｄ ｒｅｌａｔｉｏｎｓｈｉｐ ｂｅｔｗｅｅｎ ｍｅａｓｕｒｅｄ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ ａｎｄ ｓｕｓｐｅｎｄｅｒ ｌｅｎｇｔｈ ｆｏｒ １ ＃ ～ ９ ＃ ｓｕｓｐｅｎｄｅｒｓ. 为 研 究 对 象 ，进 行 理 论 计 算 张 拉 力 与 实 际 张 拉 力 对 ．计 算参数取值（见２． １ 试验概况）均以实 比 分 析 为 ．具 系 杆 拱 桥进行取值 了 验证式（１７ ）与实际的吻合性 ，将本座桥 际 体分析结果详见表１，表 ． 梁 剩余的未分析吊杆（９ 吊杆Ｂ ～ １７ 吊杆ＡＢ ）做 中 基 频 为 第 一 阶 固 有 频 率. ３ . 算例分析. ＃. ＃. 表 张拉索力计算比较. １ Ｔａｂ． １ Ｓｕｓｐｅｎｄｅｒ ｔｅｎｓｉｏｎ ｃｏｍｐａｒｉｓｏｎ. 频 修 正修 正 后式 （１４） 式 （１５） 式 （１６）文 献 ［９］式 （１７） 实 际 张 拉式 （１７）与 实 际 吊 杆基 吊 杆 编 号长 值基 频／ Ｈｚ ／ ｋＮ ／ ｋＮ ／ ｋＮ ／ ｋＮ ／ ｋＮ 索 力／ ｋＮ 索 力 误 差／ ％ ／ｍ ／ Ｈｚ ９＃ Ｂ. ２３． ９０１. ２． １９２. ０． ８４６. １． ８５４. １９８. ２７８. ２８２. ２２３. １９２. ２００. － ４． ０. １０ ＃ Ａ. ２３． ６７６. ２． １９７. ０． ８６５. １． ９００. ２０４. ２７４. ２７８. ２１９. １９８. ２００. － ０． ８. １０ ＃ Ｂ. ２３． ６３７. ２． ２２６. ０． ８６７. １． ９３０. ２１０. ２８０. ２８５. ２２４. ２０８. ２００. ４． ０. １１ Ａ. ２２． ９６１. ２． ４６１. ０． ８９０. ２． １８９. ２５５. ３２４. ３２８. ２６１. ２４６. ２５０. － １． ７. １１ ＃ Ｂ. ２２． ８８２. ２． ４９０. ０． ８９０. ２． ２１６. ２６０. ３２９. ３３４. ２６５. ２５０. ２５０. － ０． １. ＃. ２１． ７５８. ２． ９７９. ０． ８７６. ２． ６０９. ３２６. ４２７. ４３２. ３４７. ３２１. ３２５. － １． ３. ＃. １２ Ｂ. ２１． ６３９. ２． ９７９. ０． ８７４. ２． ６０３. ３２１. ４２２. ４２７. ３４３. ３１６. ３２５. － ２． ８. １３ ＃ Ａ. ２０． ０６３. ３． ３６９. ０． ８８０. ２． ９６５. ３５８. ４６４. ４７０. ３７５. ３５３. ３５０. ０． ９. １３ Ｂ. １９． ９０５. ３． ４１８. ０． ８８７. ３． ０３１. ３６８. ４７０. ４７６. ３８０. ３６３. ３５０. ３． ８. １４ ＃ Ａ. １７． ８７８. ４． ００４. ０． ８６７. ３． ４７２. ３８８. ５１９. ５２７. ４１７. ３９２. ３７５. ４． ６. １４ ＃ Ｂ. １７． ６８０. ４． ０５３. ０． ８５９. ３． ４８２. ３８２. ５２０. ５２８. ４１７. ３８７. ３７５. ３． ２. １５ Ａ. １５． ２０４. ４． ７８５. ０． ８２８. ３． ９６２. ３６３. ５３４. ５４４. ４３６. ３６４. ３７５. － ３． ０. １５ ＃ Ｂ. １４． ９６６. ４． ９３２. ０． ８３０. ４． ０９４. ３７５. ５４９. ５６０. ４４９. ３７４. ３７５. － ０． ２. ＃. １２． ０３９. ６． ４４５. ０． ７９１. ５． ０９６. ３７０. ６０２. ６１９. ４７５. ３６１. ３５０. ３． ２. ＃. １６ Ｂ. １１． ７６２. ６． ５９２. ０． ７５８. ４． ９９７. ３３８. ６００. ６１８. ４７１. ３５３. ３５０. ０． ９. １７ ＃ Ａ. ８． ３８４. １０． ６１８. ０． ６７６. ７． １８１. ３３８. ７８０. ８１５. ５８２. ３５９. ３５０. ２． ７. ８． ０６７. １０． ９６２. ０． ６７９. ７． ４４５. ３３４. ７６７. ８０４. ５６４. ３３４. ３５０. － ４． ７. ＃. １２ Ａ. ＃. ＃. １６ Ａ. ＃. １７ Ｂ. 由表１ 可看出 ：修正前式（１４ ）最大误差为 尽 管修正前式（１４ ）有个别索力误差比 － ５． ２％ ， 式 （１７）误 差 小 ，但 式 （１４ ）平均误差为０． ８％ ；实用 式 （１７）在 式（１４ ）的基础上大大的简化了计算 ，而 且 计 算 出 的 索 力 与 实 际 索 力 吻 合 较 好 ，理 论 计 算 最 均 误 差 仅 为０． ３％ ，误 差 均控制 大 误 差 为４． ７％ ，平 . 以 内 ，修 正 后 索 力 整 体 误 差 更 小 ，索 力 受 力更 均 匀 ，可 以 满 足 实际索力张拉控制要求 虑到实 ．考 际 吊 杆 边 界 的 复 杂 性 和 吊 杆 振 动 特 性 ，特 别 是 对 短 吊 杆 和 下 端 张 拉 的 拱 桥 吊 杆 ，为 了 减 少 边 界 条 件 的 影 响 ，建 议 将 索 力 传 感 器 尽 量 布 置 在 索 的 中 间 位 置 或 尽 量 远 离 张 拉端的位置 ，以减小固定端的影响 ，. ５． ０％.
(35) 第５ 期 张 戎 令 ，等 ：基 于 频 率 计 算 系 杆 拱 桥 吊 杆 张 拉 力 的 实 用 公 式 ８２９ 准 确 测 得索的实际振动频率 ，保证索力计算的准 ［７］ 孙永明，孙航，任远． 频率法计算匀质竖直拉索索力 的 实 用 公 式 ［Ｊ］． 工 程 力 学 ，２０１３，３０（４）：２１１２１８． 确 性 ． ４ . ＳＵＮ Ｙｏｎｇｍｉｎｇ. 结 论. 本 文 通 过 吊杆振动力学理论分析并结合实测 试 验 ，验 证 了 系 杆 拱 桥 吊 杆 索 力 计 算 简 化 分 析 方 法 的 有 效 性 ，得 出 以 下 结 论 ： （１）弦 振 动 理论公式及考虑抗弯刚度公式是 本 文 的 特 例 ，即 本 文 公 式 在 不 考 虑 转 动 惯 量 和 剪 切 变 形 影 响时 ，可得仅考虑抗弯刚度的索力计算公 式 ；同 时 不 考 虑 抗弯刚度时 ，可得经典的弦振动理 论 公 式 ； （２）本 文 吊 杆索力计算实用公式误差可以控 ．计 内 ，能够保证索力控制的精度要求 制 在５％ 以 算 中 直 接应用一阶频率进行计算 ，公式计算简单 方 便 ． 致谢：兰州交通大学青年科技基金项目资助 （２０１２０２８）． 参考文献： Ｊ. Ｈａｎｇ. ， ＲＥＮ. Ｙｕａｎ． Ｐｒａｃｔｉｃａｌ. ｆｏｒｍｕｌａｓ ｔｏ ｃａｌｃｕｌａｔｅ ｔｅｎｓｉｏｎｓ ｏｆ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｃａｂｌｅ ｗｉｔｈ. . ［１］ ＲＵＳＳＥＬＬ. ， ＳＵＮ. Ｃ. ， ＬＡＲＤＮＥＲ. Ｔ. Ｊ．. Ｅｘｐｅｒｉｍｅｎｔａｌ. ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｆｒｅｑｕｅｎｃｉｅｓ ａｎｄ ｔｅｎｓｉｏｎ ｆｏｒ ｅｌａｓｔｉｃ. ｕｎｉｆｏｒｍ. ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ. ｂｙ. ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ. ［］. ｍｅｔｈｏｄ Ｊ ．. Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２０１３ ，３０ （４ ）：２１１２１８． ［８］ ＺＵＩ Ｈ，ＳＨＩＮＫＥ Ｔ，ＮＡＭＩＴＡ Ｙ． Ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｆｏｒ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｂｌｅ ｔｅｎｓｉｏｎ ｂｙ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ＡＳＣＥ， １９９６ ， １２２ （６ ）：６５１６５６． ［９］ 任伟新 ，陈刚 基频计算拉索拉力的适用公式 ． 由 ［Ｊ］． 土 木 工 程 学 报 ，２００５，３８（１１）：２６３１． ＲＥＮ Ｗｅｉｘｉｎ， ＣＨＥＮ Ｇａｎｇ． Ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｔｏ ｄｅｔｅｒｍｉｎｅ ｃａｂｌｅ ｔｅｎｓｉｏｎ ｂｙ ｕｓｉｎｇ ｃａｂｌｅ ｆｕｎｄａｍｅｎｔａｌ. ［］ （ ）：２６３１． ［１０］ ＡＲＭＩＮ Ｂ， ＨＡＢＩＢ. ， ，. ｆｒｅｑｕｅｎｃｙ Ｊ ． Ｃｈｉｎａ Ｃｉｖｉｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｊｏｕｒｎａｌ ２００５. ３８ １１. Ｔ．. Ｕｎｉｆｉｅｄ ｆｉｎｉｔｅ ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ. ［］ ， ，： ［１１］ 田 广 宇 ，郭彦林 ，张博浩 ，等 辐式屋盖结构的一 ． 车 种 索 力 识 别 方 法的误差研究［Ｊ］． 工程力学 ，２０１３， ３０ （３ ）：１２６１３２． ＴＩＡＮ Ｇｕａｎｇｙｕ，ＧＵＯ Ｙａｎｌｉｎ，ＺＨＡＮＧ Ｂｏｈａｏ，ｅｔ ａｌ． ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｆｒｅｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｂｌｅｓ Ｊ ． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ. Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ １２４ １１ １３１３１３２２．. Ｒｅｓｅａｒｃｈ ｏｎ ｅｒｒｏｒ ｏｆ ａ ｃａｂｌｅ ｆｏｒｃｅ ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄｆｏｒ. ［］. ｓｐｏｋｅ ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ｒｏｏｆｓ Ｊ ． Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ. ，. ２０１３ ，３０ （３ ）：１２６１３２． ［］ ， ， ［１２］ ＹＯＺＯ Ｆｕｊｉｎｏ． Ｄｅｓｉｇｎ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｆｏｒ ｄａｍｐｉｎｇ ｏｆ ａ ｓｔａｙ １９９８ ，２４ （１０ ）：１０６７１０７２． ｃａｂｌｅ ｗｉｔｈ ａ ｄａｍｐｅｒ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ ［２］ ＫＩＭ Ｂ Ｈ，ＰＡＲＫ Ｔ． Ｅｓｔｉｍａｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｂｌｅ ｔｅｎｓｉｏｎ ｆｏｒｃｅ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００８ ，１３４ （２ ）：２６９２７８． ｓｕｉｎｇ ｔｈｅ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｂａｓｅｄ ｓｙｓｔｅｍ ｉｄｅｎｔｉｆｉｃａｔｉｏｎ ［ ］ 刘 钊 于 能 量 法 的 系 杆 拱 桥 最 优 吊 杆 内 力 的 确 定 １３ ． 基 ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎ， ２００７ ， ［Ｊ］． 工 程 力 学 ，２００９（８）：１６８１７３． ３０４ （３ ／ ４ ／ ５ ）：６６０６７６． ＬＩＵ Ｚｈａｏ． Ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｏｐｔｉｍａｌ ｈａｎｇｅｒ ｆｏｒｃｅｓ ［３］ ＣＥＢＡＬＬＯＳ Ｍ Ａ，ＰＲＡＴＯ Ｃ Ａ． Ｄｅｔｅｒｍｉｎａｔｉｏｎ ｏｆ ｔｈｅ ｆｏｒ ｔｉｅｄａｒｃｈｂｒｉｄｇｅｓ ｂａｓｅｄ ｏｎ ｅｎｅｒｇｙ ｍｅｔｈｏｄｓ［Ｊ］． ａｘｉａｌ ｆｏｒｃｅ ｏｎ ｓｔａｙ ｃａｂｌｅｓ ａｃｃｏｕｎｔｉｎｇ ｆｏｒ ｔｈｅｉｒ ｂｅｎｄｉｎｇ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２００９ （８ ）：１６８１７３． ｓｔｉｆｆｎｅｓｓ［Ｊ］． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ ｓｏｕｎｄ ａｎｄ Ｖｉｂｒａｔｉｏｎｇ，２００８ ， ［ ］ １４ ＮＡＭ Ｈｏａｎｇ， ＹＯＺＯ Ｆｕｊｉｎｏ． Ａｎａｌｙｔｉｃａｌ ｓｔｕｄｙ ｏｎ ３１７ （１ ／ ２ ）：１２７１４１． ｂｅｎｄｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔｓ ｉｎ ａ ｓｔａｙ ｃａｂｌｅ ｗｉｔｈ ａ ｄａｍｐｅｒ［Ｊ］． ［４］ ＭＡ Ｈａｉｔａｏ． Ｅｘａｃｔ ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ ｏｆ ａｘｉａｌ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｐｒｏｂｌｅｍｓ Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ，２００７ ，１３３ ，１１ ： ｏｆ ｅｌａｓｔｉｃ ｂａｒｓ［Ｊ］． Ｉｎｔｅｒｎａｔｉｏｎａｌ Ｊｏｕｒｎａｌ ｆｏｒ Ｎｕｍｅｒｉｃａｌ １２４１１２４６． Ｍｅｔｈｏｄｓ ｉｎ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ，２００８ ，７５ （２ ）：２４１２５２． １５ ． 考 ［ ］ 张 戎 令 ，王起才 ，马丽娜 ，等 虑转动惯量和剪切 ［５］ ＭＥＨＲＡＢＩ Ａ Ｂ， ＴＡＢＡＴＡＢＡＩ Ｈ． Ａ ｕｎｉｆｉｅｄ ｆｉｎｉｔｅ 变 形 耦 合 的 铰 接 吊 杆 索力实用计算公式［Ｊ］． 中国 ｄｉｆｆｅｒｅｎｃｅ ｆｏｒｍｕｌａｔｉｏｎ ｆｏｒ ｆｒｅｅ ｖｉｂｒａｔｉｏｎ ｏｆ ｃａｂｌｅｓ［Ｊ］． 铁 道 科 学 ，２０１４，３５（５）：３０３７． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｓｔｒｕｃｔｕｒａｌ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ， ＡＳＣＥ， １９９８ ， ＺＨＡＮＧ Ｒｏｎｇｌｉｎｇ ，ＷＡＮＧ Ｑｉｃａｉ，ＭＡ Ｌｉｎａ，ｅｔ ａｌ． １２４ （１１ ）：１３１３１３２２． Ｐｒａｃｔｉｃａｌ ｆｏｒｍｕｌａｓ ｆｏｒ ｃａｂｌｅ ｆｏｒｃｅ ｏｆ ｈｉｎｇｅｄ ｓｕｓｐｅｎｄｅｒ ． 端 ［６］ 孙 永 明 ，李 惠 部 性 质 对 频 率 法 测 量 竖 直 拉 索 索 力 ｃｏｎｓｉｄｅｒｉｎｇ ｔｈｅ ｃｏｕｐｌｉｎｇ ｅｆｆｅｃｔｓ ｏｆ ｍｏｍｅｎｔ ｏｆ ｉｎｅｒｔｉａ 影 响 分 析 ［Ｊ］． 工 程 力 学 ，２０１３，３０（８）：１０１７． ａｎｄ ｓｈｅａｒｉｎｇ ｄｅｆｏｒｍａｔｉｏｎ［Ｊ］． Ｃｈｉｎａ Ｒａｉｌｗａｙ Ｓｃｉｅｎｃｅ， ＳＵＮ Ｙｏｎｇｍｉｎｇ，ＬＩ Ｈｕｉ． Ｅｆｆｅｃｔ ｏｆ ｅｘｔｒｅｍｅ ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ ｏｆ ，３５（５）：３０３７． ２０１４ ｖｅｒｔｉｃａｌ ｃａｂｌｅ ｏｎ ｔｈｅ ｃａｂｌｅ ｆｏｒｃｅ ｍｅａｓｕｒｅｍｅｎｔ ｂｙ ｆｒｅｑｕｅｎｃｙｂａｓｅｄ ｍｅｔｈｏｄ［Ｊ］． Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ， （中文编辑：秦 瑜 英文编辑：兰俊思） ２０１３ ，３０ （８ ）：１０１７． ｃａｂｌｅｓ Ｊ ． Ｊｏｕｒｎａｌ ｏｆ Ｅｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇ Ｍｅｃｈａｎｉｃｓ ＡＳＣＥ.
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