数学2・数学演習2 No.8 2004.12. 2
2.2 微分積分学の基本定理 担当：市原
定理 19 (微分積分学の基本定理) 任意の連続関数y=f(x)と定数aに対して, Z x
a
f(t)dtをxの関数だと思って微分すると,その導関数は,再びy =f(x)になる: µZ x
a
f(t)dt
¶0
=f(x) また関数y=f(x)の導関数y=f0(x)が連続であるとき,
Z x
a
f0(t)dt =f(x)−f(a) が成り立つ.
¶ 原始関数 ³
連続関数y =f(x)に対して, F0(x) = f(x)となる関数y =F(x)をy =f(x)の原 始関数という.
µ ´
定理 20 (原始関数) 連続関数y =f(x)の原始関数は無数にあり, y =F(x)をひ とつの原始関数とすると,他の全ての原始関数はF(x) +Cと, 定数Cを加えるこ とにより得られる.
¶ 不定積分 ³
連続関数y=f(x)の原始関数を全てまとめて, Z
f(x)dxと表し, y=f(x)の不定 積分という.
つまり,y =F(x)をy=f(x)のひとつの原始関数としたとき, Z
f(x)dx =F(x) +C となる. この定数Cを積分定数という.
連続関数y =f(x)から不定積分 Z
f(x)dxを求めることを積分するという.
µ ´
定理 21 (定積分と原始関数) y=f(x)を連続関数, y =F(x)をy=f(x)の原始 関数とすると Z b
a
f(x)dx= [F(x)]ba =F(b)−F(a)
21
定理 22 (基本的な不定積分) 以下,Cは積分定数.
(1) Z
k dx=kx+C, ただしk は定数 (2)
Z
xn dx= xn+1
n+ 1 +C, ただし n6=−1 (3)
Z 1
x dx= log|x|+C (4)
Z
ex dx=ex+C (5)
Z
cosx dx= sinx+C (6)
Z
sinx dx=−cosx+C (7)
Z 1
cos2x dx= tanx+C (8)
Z 1
√1−x2 dx = arcsinx+C (9)
Z −1
√1−x2 dx = arccosx+C (10)
Z 1
1 +x2 dx= arctanx+C
定理 23 (不定積分の基本性質) y=f(x), y=g(x)は連続関数. (1)
Z
{f(x) +g(x)} dx= Z
f(x) dx+ Z
g(x) dx (2)
Z
{f(x)−g(x)} dx= Z
f(x)dx− Z
g(x) dx (3)
Z
{λ·f(x)} dx =λ Z
f(x) dx, ただし λ は定数
例題 18 次の関数の不定積分を求めなさい. (1) y=ex
(2) y= 2 sin 2x+ 3 cosx
(3) y= tan2x
(4) y= 2x+2
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