(Kazuhiro Ichihara) 奈良女子大学理学部 日本学術振興会特別研究員

BRAIDS AND NIELSEN-THURSTON TYPES OF AUTOMORPHISMS OF PUNCTURED SURFACES

市原 一裕

(Kazuhiro Ichihara)

奈良女子大学理学部 日本学術振興会特別研究員 (PD)

(茂手木公彦氏 (日本大学文理学部) との共同研究)

Abstract. Let F be a compact orientable surface with negative Euler characteristic.

Denote by

; n) a subgroup of Diff(F ) consisting of automorphisms ϕ each of which satisfies (1) ϕ({x

, . . . , x

, . . . , x

ϕ(D

D

) = D

D

for n distinguished points x

and its diskal neighborhood D

(i = 1, . . . , n) and (2) ϕ is isotopic to the identity map on F . Then by restricting the automorphisms in

; n) to ˆ F = F

int(D

D

), we have automorphisms of ˆ F , which form a subgroup

F ; n) of Diff( ˆ F ). We give a Nielsen-Thurston classification of elements of

F ;n) using braids in F

I which characterize the elements of

F ;n).

1. 曲面の自己同型写像のニールセン・サーストン分類

本稿を通して、負のオイラー標数を持つコンパクト向き付け可能曲面を F で表し、その 自己同型写像 (=向きを保つ自己同相写像) を f で表すことにする。曲面の自己同型写像に 関して、次の分類定理が基本的である。

定理. f は次のいずれかの性質を持つ自己同型写像 g : F → F にイソトピック。

• ( 周期的 ) ある自然数 p が存在して、g

が恒等写像 id. に一致。

• ( 可約 ) F 上に、本質的 1 次元部分多様体 C (i.e. 互いに交わらず、どの 2 本も互 いに平行でなく、それぞれが本質的な (i.e. ディスクを囲まず境界平行でもない ) 単純閉曲線の族 ) が存在して、f (C) = C。

• ( 擬アノソフ ) F 上に互いに横断的な測度付き葉層 (F

, µ

), (F

, µ

) と、ある正 実数 λ が存在して、f (F

, µ

) = (F

,

µ

)、f (F

, µ

) = (F

, λµ

) を満たす。

詳しい定義や証明などは、[11]、[3]、[2] などを参照。

これに基づいて、f とイソトピックな g が周期的のとき、 「f のニールセン・サーストン 型は周期型」ということにする。同様に、可約型、擬アノソフ型も定義する。

註 1. 周期的かつ可約な自己同型写像は存在する (最も簡単な例は恒等写像 id.) が、一方、

擬アノソフ写像は周期型にも可約型にもなりえないことが知られている。従って以降では、

擬アノソフ型の定義を「周期型でも可約型でもない」と考えても良い。

自然な問題として、ここで考えたいのは

「‘穴をあける’ という操作による F 上の自己同型写像のニールセン・サーストン型の変化」

である。問題を正確に述べるため、記号の準備をする。F 上の n 個の点 x

, · · · , x

、及び、

それらの互いに交わらない正則近傍 D

(1 ≤ i ≤ n) をとり固定する。そして、以降では、

F の自己同型写像 f は、次の条件 (∗) を満たしていると仮定する。

(∗)

 



 

f ({x

, · · · , x

}) = {x

, · · · , x

}

f (D

∪ · · · ∪ D

) = D

∪ · · · ∪ D

更に、 F ˆ で F − int(D

∪ · · · ∪ D

) を表し、 f ˆ で f |

を表すことにする。

- r

r r · · · r x

x

x

g g _{· · ·} g

© f © f ˆ

F F ˆ

このとき、次の問題が自然に考えられる。

問題 1. f と f ˆ のニールセン・サーストン型にはどのような関係があるか?

例えば、 f ˆ が周期型ならば f も周期型になり、 f ˆ が可約型ならば f も可約型になることが、

定義から容易に分かる。従って註 1 をあわせると、

「f が擬アノソフ型ならば、 f ˆ も擬アノソフ型」

がわかる。つまり、次が本質的な問題となる。

問題 2. f が周期型または可約型のとき、いつ f ˆ は擬アノソフ型になるか?

註 2. 感覚的には、‘十分複雑な’ 自己同型写像は擬アノソフ型になる、つまり、擬アノソフ 型がジェネリックである、と信じられている。問題 2 に対し、(なんらかの意味で) この ‘感 覚’ を数学的に定量化することが本研究の目的の一つである。

以下、本稿では、最も単純であろう f が id. にイソトピックな場合 を、特に取り上げる ことにする。定義より明らかに f は周期型かつ可約型である。この場合の問題を正確に述 べるために次の集合を導入しておく。

S(F ; n) = {f : F の自己同型写像 | f は (∗) を満たし、F 上で id. とイソトピック } すると考えたい問題は、

問題 3. どのような S(F ; n) の元 f に対して、 f ˆ は擬アノソフ型になるか?

となる。

2. 1 点穴空きの場合 (以前の結果)

今回の結果を述べる前に、用語などの関連もあるので、動機となった「一つだけ穴をあ ける場合」の結果を振り返っておく（[7]）。

一つ穴をあける場合、つまり n = 1 の場合は、もともと I. Kra [10] によって研究され、

実際、タイヒミューラー空間論を用いて、問題 3 に対する完全な解答が与えられている。

プレプリント [7] では、トポロジー、特に 3 次元多様体論を用いて、その別証明を与えた。

定理 1 (Kra [10], Ichihara-Motegi [7]). F を種数が 2 以上の閉曲面とする。f ∈ S(F ; 1) に 対し、 f ˆ が ( ˆ F 上で ) 擬アノソフ型となるための必要十分条件は、f に付随する閉曲線が stably filling であることである。

ここで、 f ∈ S(F ; 1) に付随する閉曲線 とは、 f から id. までのイソトピー J : F ×I → F (i.e. x ∈ F に対し、J(x, 0) = f (x) かつ J (x, 1) = x) を一つ選んだ時、c(t) = J(x

, t) で 定義される F 上の閉曲線 c のことである。

実際、c のホモトピー類はイソトピー J の取り方によらない。更に、f, f

∈ S (F; 1) が 基点 x

をとめて F 上でホモトピック (= ˆ f と f ˆ

が F ˆ 上でイソトピック) である必要十分条 件は、対応する閉曲線 c と c

がホモトピックであることである。詳しくは、例えば Birman [1] を参照のこと。

また、F 上の閉曲線 c が filling であるとは、C が F 上の全ての本質的な単純閉曲線と交 わる (=F − c の領域はディスクか ∂F の正則近傍) ことである。さらに、c が stably filling であるとは、c とホモトピックな全ての c

が filling であることと定義する。

F

c

Figure 1. Stably filling な閉曲線の例 [7]

註 3. 上例の閉曲線が stably filling であることは、プレプリント [7] では双曲幾何を用い て証明した。実際、与えられた F 上の閉曲線が stably filling であるかどうかの組み合わ せ的な必要十分条件も知られている [4]。

註 4. 論文 [6] では、註 2 で述べた問題を動機として次を証明した:

定理. F 上の本質的かつ原始的な閉曲線のホモトピー類の集合に、論文 [5] で導入した位相

をいれたとき、stably filling な閉曲線のホモトピー類がなす部分集合は開かつ稠密。

3. 主結果

今回の主結果は、定理 1 の一般の F 、n への拡張版である。同様の結果が、[8]、[9] によ り、タイヒミューラー空間論を用いても得られている。

定理 2. F のオイラー標数が負であるとする。f ∈ S (F; n) に対し、 f ˆ が ( ˆ F 上で ) 擬アノ ソフ型となるための必要十分条件は、f に付随するブレイドが充複である ことである。

ここで、 f ∈ S(F ; n) に付随するブレイド とは、 f から id. までのイソトピー J : F ×I → F を一つ選んだ時、各 i-ストリング t

: I → F × I が、t

(s) = (J (x

, s), s) で定義される F × I 内のブレイド b

:= (t

(I), . . . , t

(I), F × I) のこととする。

実際、F × I 内のブレイドの集合に、同値関係

ブレイド b と b

が同値 ⇔

 

 

 

 

 

 

 



F × I のアンビエント・イソトピー G

が存在して、

・ F × {0, 1} の任意の点 x に対し、 G

(x) = x

・ G

(F × {s}) = F × {s}

・ G

= id., G

(b) = b

を定義した時、次が成立する。

命題. 対応 f 7→ b

は、群 { f ˆ | f ∈ S(F ; n)}/h イソトピー i と、群 {F × I 内のブレイド の集合 }/h 同値 i の間の同型写像を導く。

また、F × I 内のブレイド b が、

(1) 平行族 (parallel family)、周辺族 (peripheral families) を含まず（下図参照）、

(2) b と同値な任意のブレイド b

に対し、F 上の閉曲線 p(b

) は filling

（但し、p : F × I → F は第一成分への射影）。

を満たすとき、充複 であると呼ぶことにする。

F {0}

F {1}

(1)

h(D I D I)²

peripheral family

(2)

F I

F {1}

F {0}

N

1 2

m

parallel family

4. Kra の定理の拡張

定理 2 の系として、Kra の定理の部分的な拡張版を与えることができる。

まずその為、f ∈ S (F ; n) に対して、f に付随する閉曲線族 C

= {c

, . . . , c

} を、f に 付随するブレイドから射影 p : F × I → F で得られる F 上の閉曲線族と定義する。

註 5. この定義は n = 1 のとき、前の定義と一致する。また n > 1 の時、各 c

と t

が 対応するわけではないので、C

と b

の成分数は一致しない。正確には、各 c

は、b

の p((∪t

) ∩ (F × {0})) = p((∪t

) ∩ (F × {1})) を満たす、極小部分族 {t

, . . . , t

} に対応 している。

定理の主張を述べるため、もういくつか言葉を用意する。

• F 上の閉曲線 c が 原始的 であるとは、c が他のどの閉曲線の p 回巻き (p > 1) と もホモトピックにならないこととする。

• F 上の閉曲線族 C = {c

, · · · , c

}、C

= {c

, · · · , c

} に対して、

– C と C

が 同値 であるとは、各成分 c

と c

がホモトピック（i = 1, . . . , m）で あることとする。

– C が 本質的 であるとは、任意の成分 c

が本質的閉曲線であり、どの２つの成 分もホモトピックでないこととする。

– C が stably filling であるとは、C と同値なすべての閉曲線族 C が filling であ ることとする。

以上の定義のもと、定理 2 から次が得られる。

定理 3. f に付随する閉曲線族 C

= {c

, . . . , c

} が本質的かつ stably filling で、さらに、

全ての成分 c

が原始的ならば、 f ˆ は ( ˆ F 上で ) 擬アノソフ型になる。

定義を確認すれば分かるが、これは Kra の定理（n = 1 の場合）の十分条件の拡張に なっている。

References

1. J.S. Birman; Braids, links, and mapping class groups, Annals of Mathematics Studies, No.

Princeton University Press, Princeton, N.J., 1974.

2. A.J. Casson and S.A. Bleiler; Automorphisms of surfaces after Nielsen and Thurston, London Math- ematical Society Student Texts,

Cambridge University Press, Cambridge, 1988.

3. A. Fathi, F. Laudenbach and V. Poenaru; Travaux de Thurston sur les surfaces, Asterisque

(1979).

4. J. Hass and P. Scott; Intersections of curves on surfaces, Israel J. Math.

(1985), no. 1-2, 90–120.

5. K. Ichihara; The space of closed geodesics on a surface, Interdiscip. Inform. Sci.

(2003), no. 1, 23–25.

6. K. Ichihara and K. Motegi; Stably filling curves on a surface, Kobe J. Math.

(2002), 61–66.

7. K. Ichihara and K. Motegi; Braids and Nielsen-Thurston types of automorphisms of punctured surfaces, in preparation.

8. Y. Imayoshi, M. Ito and H. Yamamoto; On the Nielsen-Thurston-Bers type of some self-maps of Riemann surfaces with two specified points, to appear in Osaka J. Math.

(2003), no. 3.

9. Y. Imayoshi, M. Ito and H. Yamamoto; A reducibility problem for monodromy of some surface bundles, preprint.

10. I. Kra; On the Nielsen-Thurston-Bers type of some self-maps of Riemann surfaces, Acta Math.

(1981), 231–270.

11. W.P. Thurston; On the geometry and dynamics of diffeomorphisms of surfaces, Bull. Amer. Math.

Soc.

(1988), no. 2, 417–431.

630–8506

(PD). JSPS research fellow, Department of Information and Computer Sciences, Faculty of Science, Nara Women’s University, Kita-Uoya Nishimachi, Nara 630-8506.

E-mail address:ichihara@vivaldi.ics.nara-wu.ac.jp