１ ⑷ 与式＝( ７)²－(２ ５)²＝７－20＝－13 １ ⑸ 与式＝

１

10＝－１ 10

１ ⑵ 与式＝９ａ＋１－６ａ＋４＝３ａ＋５ １ ⑶ 与式＝－

12ｘｙ² ＝－４ｘ²

１ ⑷ 与式＝( ７)²－(２ ５)²＝７－20＝－13 １ ⑸ 与式＝

３× ３＋２ ３＝９ ３

３ ＋２ ３＝３ ３＋２ ３＝５ ３

２

ａ＋２＝Ａとすると，

(ａ＋２)²－10(ａ＋２)＋９＝Ａ²－10Ａ＋９＝Ａ²＋(－１－９)Ａ＋(－１)×(－９)＝(Ａ－１)(Ａ－９)

Ａを元に戻して，(ａ＋２－１)(ａ＋２－９)＝(ａ＋１)(ａ－７)

１ ⑵

２次方程式の解の公式より，ｘ＝－(－１)± (－１)²－４×３×(－２)

２×３ ＝１± 25

６ ＝１±５ ６ よって，ｘ＝１＋５

６ ＝１，ｘ＝１－５ ６ ＝－２

３

１ ⑶

現在の父と英太くんの年齢について，ｘ＋ｙ＝60…①が成り立つ。また，６年後の父と英太くんの 年齢について，ｘ＋６＝３(ｙ＋６)…②が成り立つ。②より，ｘ＋６＝３ｙ＋18

ｘ＝３ｙ＋12…③

①に③を代入してｘを消去すると，３ｙ＋12＋ｙ＝60 ４ｙ＝48

ｙ＝12

③にｙ＝12 を代入すると，ｘ＝３×12＋12

ｘ＝48

よって，現在の父の年齢は 48 歳，現在の英太くんの年齢は 12 歳である。

６年後の父と英太くんの年齢について，ｘ＋６＝３(66－ｘ)

ｘ＋６＝198－３ｘ ４ｘ＝192 ｘ＝48

やや複雑な因数分解の場合，式の一部を別の文字に置きかえるとわかりやすい場合がある。

置きかえた文字を最後に元の式に戻すのを忘れないようにしよう。

攻略へのアプローチ

ｘ²の係数が１ではない２次方程式を解くときは，２次方程式の解の公式を利用する。

２次方程式ａｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の解は，ｘ＝

－ｂ± ｂ²－４ａｃ ２ａ

攻略へのアプローチ

現在の父の年齢をｘ歳，現在の英太くんの年齢をｙ歳として連立方程式を立てる。

６年後，父の年齢は(ｘ＋６)歳，英太くんの年齢は(ｙ＋６)歳と表せる。

攻略へのアプローチ □

現在の父の年齢をｘ歳とすると，現在の英太くんの年齢は(60－ｘ)歳と表せるので，このこと から１次方程式を立てる。６年後，父の年齢は(ｘ＋６)歳，英太くんの年齢は(66－ｘ)歳と表せる。

攻略へのアプローチ □

３

４ ⑴

表より，(階級値)×(度数)の合計が

835

835

25

⑵

度数の合計について，ｘ＋ｙ＋13＋３＋１＝25 より，ｘ＋ｙ＝８…①が成り立つ。

また，(階級値)×(度数)の合計について，15ｘ＋25ｙ＋35×13＋45×３＋55×１＝835 より，

15ｘ＋25ｙ＝190 ３ｘ＋５ｙ＝38…② ②－①×３でｘを消去すると，

５ｙ－３ｙ＝38－24 ２ｙ＝14

ｙ＝７ ①にｙ＝７を代入すると，ｘ＋７＝８ ｘ＝１

⑶

30 人の(階級値)×(度数)の合計は，32×30＝960(㎏)で，25 人の(階級値)×(度数)の合計は，

835

したがって，１年生５人が入った階級は，20 ㎏以上 30 ㎏未満の階級である。

５ ⑴

２＝ａ×(－２)²より，４ａ＝２ ａ＝

２点Ａ，Ｂからの距離が等しい点は，線分ＡＢの垂直二等分線上 にある。したがって，線分ＡＢの垂直二等分線と直線 ℓ との交点が

攻略へのアプローチ

Ｐ Ａ

ℓ Ｂ

Ａ(－２，２)は関数ｙ＝ａｘ²のグラフ上の点なので，ｘ＝－２，ｙ＝２を代入してａの値を 求める。

攻略へのアプローチ

30 人の(階級値)×(度数)の合計から，25 人の(階級値)×(度数)の合計を引くことで，

１年生５人の(階級値)×(度数)の合計を求めることができる。

攻略へのアプローチ

度数分布表から平均値を求めるときは，

{(階級値)×(その階級の度数)}の合計

(度数の合計)

攻略へのアプローチ

10 ㎏以上 20 ㎏未満の階級の度数をｘ人，20 ㎏以上 30 ㎏未満の階級の度数をｙ人として連立方 程式を立てる。10 ㎏以上 20 ㎏未満の階級の(階級値)×(度数)は

15ｘ，20 ㎏以上 30 ㎏未満の

25ｙである。

攻略へのアプローチ

⑵

ｙ＝

２

ｘ²にＢのｘ座標のｘ＝６を代入すると，ｙ＝

２×６²＝18 となるから，Ｂ(６，18)

ｙ＝ｍｘ＋ｎにＡの座標を代入すると，２＝－２ｍ＋ｎ…㋐

ｙ＝ｍｘ＋ｎにＢの座標を代入すると，18＝６ｍ＋ｎ…㋑

㋑－㋐でｎを消去すると，18－２＝６ｍ＋２ｍ 16＝８ｍ

ｍ＝２

㋐にｍ＝２を代入すると，２＝－２×２＋ｎ

ｎ＝６ よって，求める式は，ｙ＝２ｘ＋６

Ａ(－２，２)，Ｂ(６，18)だから，直線ＡＢの傾きは，

18－２

６－(－２)

直線ＡＢの式をｙ＝２ｘ＋ｎとおいてＡ(－２，２)の座標を代入すると，２＝２×(－２)＋ｎより ｎ＝６となるから，直線ＡＢの式はｙ＝２ｘ＋６である。

なお，直線ＡＢの傾きが２とわかったあとは以下のように考えることもできる。

直線ＡＢ上ではｘが１増えるとｙは２増えるとわかるから，Ａ(－２，２)からｘが２増えて０になると，

ｙは４増えて２＋４＝６になるので，直線ＡＢは点(０，６)を通る。よって，直線ＡＢの切片は６だ

ｙ＝ １

２ ｘ²の比例定数は １

２

直線ＡＢの傾きは，

１

２

１

２

よって，直線ＡＢの式はｙ＝２ｘ＋６である。

放物線ｙ＝ｐｘ²上にある２点Ｍ，Ｎのｘ座標がｍ，ｎであるとき，２点Ｍ，Ｎを通る直線の傾きは

ｐ(ｍ＋ｎ)，切片は－ｍｎｐと表せる。

攻略へのアプローチ □

直線の式はｙ＝ｍｘ＋ｎと表せる(ｍ，ｎは定数であり，どのような文字で表してもよい)。

２点Ａ，Ｂの座標をそれぞれｙ＝ｍｘ＋ｎに代入することでｍとｎについての連立方程式ができ るので，それを解けばよい。

攻略へのアプローチ □

２点(ｘ₁，ｙ₁)，(ｘ₂，ｙ₂)を通る直線の傾きはこの２点間の変化の割合と等しいから，

(ｙの増加量)

(ｘの増加量) ＝ ｙ₂－ｙ₁

ｘ₂－ｘ₁

攻略へのアプローチ □

⑶

ｙ＝２ｘ＋６にＣのｙ座標のｙ＝０を代入すると，０＝２ｘ＋６より，

ｘ＝－３となるから，Ｃ(－３，０)，ＣＯ＝３である。４点Ａ，Ｂ，Ｃ，Ｐは同一直線上の点だから，

ＣＡ＝ＰＢより，(ＰとＢのｘ座標の差)＝(ＣとＡのｘ座標の差)＝－２－(－３)＝１

ｙ＝２ｘ＋６にＰのｘ座標のｘ＝５を代入すると，ｙ＝２×５＋６＝16 より，Ｐ(５，16)

直線ＡＢの式はｙ＝２ｘ＋６なので，Ｄ(０，６)，

ＯＤ＝６より，△ＡＯＢ＝

１

２ ×６×{６－(－２)}＝24

△ＣＯＰ＝

１

２ ×３×(ｐ－０)＝

２ｐだから，

△ＡＯＢ＝△ＣＯＰより，24＝３

２ｐ ｐ＝16

ｙ＝２ｘ＋６にＰのｙ座標のｙ＝16 を代入すると，16＝２ｘ＋６より，ｘ＝５となるから，Ｐ(５，16) ６ ⑴

ＱＲ＝２㎝，ＰＲ＝７㎝なので，ｙ＝１

２×２×７＝７

⑵

資料３より，直線ＡＢの切片をＤとすると，

△ＡＯＢ＝ １

２ ×ＯＤ×(ＡとＢのｘ座標の差)で

１

２ ×ＣＯ×(Ｐと Ｏのｙ座標の差)で求められるので，点Ｐのｙ座

攻略へのアプローチ □

座標平面上の三角形の面積の求め方 下図において，△ＯＳＴ＝△ＯＳＲ＋△ＯＴＲ＝

△ＯＭＲ＋△ＯＮＲ＝△ＭＮＲだから，

△ＯＳＴの面積は以下の式で求められる。

△ＯＳＴ＝１

２×ＯＲ×(ＳとＴのｘ座標の差)

Ｓ

Ｔ Ｒ

Ｏ ｘ

ｙ

Ｎ Ｍ

攻略へのアプローチ

資料４

Ｂ Ａ

Ｃ

Ｄ Ｆ Ｅ

Ｑ

Ｐ Ｒ

資料２より，△ＣＯＰと△ＡＯＢは底辺をそれぞれＣＰ，ＡＢとす ると高さが等しいから，面積比は底辺の長さの比に等しくＣＰ：ＡＢ となる。△ＣＯＰ＝△ＡＯＢだから，ＣＰ＝ＡＢである。

ＣＰ＝ＣＡ＋ＡＰ，ＡＢ＝ＰＢ＋ＡＰだから，ＣＡ＝ＰＢである。

このことから，Ｐの座標を求める。

攻略へのアプローチ □

ｘ＝４のとき，点ＰはＢから４－３＝１(㎝)進んだ位置にある

△ＰＱＲ＝１

２×ＱＲ×ＰＲで求められる。

攻略へのアプローチ

資料２

Ｂ

Ｃ Ｏ

Ｐ

ｘ ｙ

Ａ

⑶

点ＰがＢ上にあるとき(資料５参照)，ＡからＢまで

３㎝なので，ｘ＝３，高さは７㎝なので，ｙ＝７

よって，グラフは，点(３，７)，(５，７)，(10，３)，(13，３)，

(14，４)，(16，４)を直線で結んだ形になる(資料１１参照)。

７ ⑴

直線ＡＢを平行移動させて重なる辺は，資料１２の〇印の辺ＤＣ，辺ＥＦ，

辺ＨＧである。

Ｂ Ａ Ｃ

Ｄ(Ｐ) Ｅ Ｆ

Ｑ Ｒ 高さ３㎝

資料７

Ｂ Ａ Ｃ

Ｄ Ｅ(Ｐ) Ｆ

Ｑ Ｒ 高さ３㎝

資料８

Ｂ Ａ Ｃ

Ｄ Ｅ (Ｐ) Ｆ

Ｑ Ｒ 高さ４㎝

資料９

Ｂ Ｃ

Ｄ Ｅ Ｆ

Ｑ Ｒ 高さ４㎝

資料１０

Ａ(Ｐ)

△ＰＱＲについて，底辺をＱＲ＝２㎝，高さを ｈ㎝とすると，ｙ＝１

２×２×ｈ＝ｈなので，ｙの値

は高さに等しい。また，点Ｐは常に線分上を通る

一定の割 合で変化す

攻略へのアプローチ

辺ＡＢと平行な辺は，直線ＡＢを平行移動させて重なる辺である。

攻略へのアプローチ

Ａ Ｂ

Ｄ Ｃ

Ｅ Ｆ

Ｈ Ｇ Ｂ Ａ

Ｄ Ｅ Ｆ

Ｑ Ｒ 高さ７㎝

資料６

(Ｐ) Ｃ (Ｐ) Ｂ

Ｃ

Ｄ Ｆ Ｅ

Ｑ Ｒ 高さ７㎝

資料５

Ａ

４

Ｏ ５ 10 15 ｘ(㎝)

ｙ(㎠)

資料１１

⑵

△ＣＤＢ＝１

２×ＢＣ×ＣＤ＝１

２×１×３＝

３ ２

△ＣＤＢについて，三平方の定理より，ＤＢ＝ ＢＣ²＋ＣＤ²＝ １²＋３²＝

10(㎝)

△ＣＤＢは底辺をＤＢ＝ 10㎝とすると，高さがＣＨとなるので，△ＣＤＢの面積について，

１

２×

10×ＣＨ＝ ３

２

10＝３ 10 10 (㎝)

攻略へのアプローチ

□

10 ＝３ 10 10 (㎝)

同様にして，△ＣＤＢ∽△ＨＣＢであることを利用してＣＨの長さを求めることもできる。

⑶

立体ＢＣＤ‐ＦＧＨの体積は，(１

２×３×１)×４＝６(㎤)

四角形ＤＰＱＢは，上底がＤＰ＝１㎝，下底がＢＱ＝４－１＝３(㎝)，

高さがＢＤ＝ 10㎝の台形であり，面積は１

２×(ＤＰ＋ＢＱ)×ＢＤ＝

１

２×(１＋３)× 10＝２ 10(㎠)だから，四角すいＣ‐ＤＰＱＢの体積は，１

３×２ 10×３ 10

10 ＝２(㎤) したがって，求める体積は，６－２＝４(㎤)

四角すいＱ‐ＣＰＨＧの高さは，ＧＦ＝１㎝である。四角形ＣＰＨＧ

１ １

問題の図２に線分ＣＰ，ＱＣを引く(資料１４参照)。

立体ＣＰＱ‐ＧＨＦの体積は，立体ＢＣＤ‐ＦＧＨの体積から，

四角すいＣ‐ＤＰＱＢの体積を引いて求められる。

四角すいＣ‐ＤＰＱＢの高さは，⑵で求めた距離に等しい。

攻略へのアプローチ □

Ｂ Ｃ Ｄ

Ｐ

Ｈ Ｇ

Ｆ Ｑ

問題の図３に線分ＨＱ，ＧＱを引く(資料１５参照)と，

立体ＣＰＱ‐ＧＨＦの体積は，四角すいＱ‐ＣＰＨＧの体積と，

三角すいＱ‐ＧＨＦの体積の和で求められる。

攻略へのアプローチ □

求める距離は，面ＣＤＢにおいて，点Ｃから線分ＢＤに引いた

垂線ＣＨの長さに等しい(資料１３参照)。△ＣＤＢの面積について

攻略へのアプローチ □

資料１５

Ｃ

Ｐ

資料１３

Ｄ

Ｃ

Ｈ Ｂ

資料１３について，△ＣＤＢ∽△ＨＤＣより，ＣＨの長さを求める。

攻略へのアプローチ □

したがって，立体ＣＰＱ‐ＧＨＦの体積は，

７ ２

１

２

△ＧＨＦ＝

２×３×１＝

３

２

立体ＣＰＱ‐ＧＨＦの体積は，

３

２ × ４＋３＋１

３

資料１６

三角柱を，底面と垂直な３本の辺を通るように切断してできる立体の体積は，

(底面積)×(底面と垂直な辺の長さの平均)で求めることができる。

その理由は，以下の通りである。

三角柱を，底面と垂直な３本の辺を通るように切断してできた立体ＩＪＫ‐ＬＭＮ について，右図のように，ＪＬ，ＪＮを引き，ＭからＮＬに対して，垂線ＭＯ を引く。三角すいＪ‐ＬＭＮと四角すいＪ‐ＩＬＮＫに分けて考える。

△ＬＭＮ＝ １

２ ×ＮＬ×ＭＯである。三角すいＪ‐ＬＭＮの体積は，

１

３×△ＬＭＮ×ＪＭ＝△ＬＭＮ×１

３×ＪＭ…① 四角すいＪ‐ＩＬＮＫの体積は，１

３×{１

２×(ＩＬ＋ＫＮ)×ＮＬ}×ＭＯ＝

１

２ ×ＮＬ×ＭＯ×

３×(ＩＬ＋ＫＮ)＝△ＬＭＮ×１

３×(ＩＬ＋ＫＮ)…② 立体ＩＪＫ‐ＬＭＮの体積は，①＋②より，

△ＬＭＮ×

３×ＪＭ＋△ＬＭＮ×１

３×(ＩＬ＋ＫＮ)＝△ＬＭＮ×１

３×(ＪＭ＋ＩＬ＋ＫＮ)である。

１

３×(ＪＭ＋ＩＬ＋ＫＮ)は底面と垂直な辺の長さの平均だから，三角柱を，底面と垂直な３本の辺 を通るように切断してできる立体の体積は，(底面積)×(底面と垂直な辺の長さの平均)で求める ことができる。ただし，この考え方は三角柱以外では使えないので注意すること。

Ｌ Ｉ

Ｍ Ｋ

Ｏ

Ｎ Ｊ

資料１６より，△ＧＨＦの面積と，３辺ＣＧ，ＰＨ，ＱＦの長さから立体ＣＰＱ‐ＧＨＦの 体積を求めることができる。

攻略へのアプローチ □