1．はじめに

(1)

空気室に入射する浅水波ソリトンの減衰空気室を直列に2つ接続した場合

加地渉＊1，山本吉範＊2

Da皿ping of the Shallow−Water Soliton incident upon the air pump roo皿一 a case of that two air pu皿p roo皿s are connected in series 一

Wataru KAJI and Yoshinori YAMAMOTO

In this paper， dissipated vave energy， that i s， output energy of the wave power device of a shallow−water soliton runs into the two air pump rooms conneeted in series i s described． By assuming the attenuat ion power proportional to average speed of vertical direction of vave surface， the air pump rooms are replaced by three barriers． The basic equation in case of one air pump room i s established， and this basic equation is extended and is used for this research． The effeet of the width L of the air pump rooms， which is a parameter of this basic equation， is analyzed numericaliy，

and the dissipated energy characteristic curve of a shallow−water soliton i s p1otted．

Key ords二Wave， Potential Flow， Natural Energy， Shallow−Water Soliton， Damping， Ocean Engineering

1．はじめに

浅水波ソリトンを利用して波力発電を行い，環境にやさしいクリーンなエネルギーを得ようとする研

究がある1）．浅水波ソリトンは，代表波長に比べて短

い水深で発生する非線形波であり，波の分散性と浅いことによる非線形性がバランスすることにより形

成される．浜辺にうち寄せる波はこの種の波であり，

特長として粒子性を有する非常に安定なエネルギー集中波である．また，この波の存在は100年以上も

前に運河で観察されている．

日本は海に囲まれた国であり，周辺には多くの浅海域が存在する．その海域に存在する波は，周期的な波であっても浅水波ソリトンの連なりとして表示

できるこζが知られていう2）．ζのことから，沿岸部

や浅海域における波力発電に於いて，浅水波ソリト

ンのエネルギー特性を知ることは有用であり，浅海域波力発電の実用化を促進すると共に，非線形波動

現象の理解をさらに深めることができる．

本論文では，浅水ソリトンのエネルギー利用に関

する考察1）を基本に，空気室を2つに増やした場合を

考察した．前論文では，空気室が1つの場合のモデルの設定と数値解析を実行し，減衰エネルギーと空

気室の幅および減衰定数との関係を明らかにした．

この結果より，外部に取り出すエネルギーの大きさに伴い，空気室の幅をどの程度に設定すべきかという，最適設計上の問題に有用な示唆を得た．本論文

＊1津山工業高等専門学校機械・制御システム工学専攻 2年

＊2津山工業高等専門学校電子制御工学科

では，この結果を基に，その拡張として2つの空気室を直列に並べた場合の減衰エネルギー特性につい

て考察したので報告する．

2．問題の定式化

浅海域の波の振る舞いについて考えるが，浅海域を単位幅の水槽と見立て，水平方向に進行する前進波と反射した後の後退波のみを取り扱えば，空間を

二次元として議論できる．

本論で扱う流体は水であり，厳密には粘性を考慮すべきであるが，本流体系では粘性の影響は水槽の底近傍と空気室の側壁近傍でのみ出てくると考えられる．底面と側壁の間隔が十分開いていれば粘性効果を小さくする事が出来るD．よって底面と側壁の間隔を十分開ける事によって流体の粘性を無視する事

にする．

Kl

π：円周率，

ρ：流体密度妨

万：φの平均傾

E ：位置エネルギー，

ア

g：重力加速度，r：

1：代表波長，

κ：水平座標関数，

2・1使用記号

本論中に使用する主な記号を以下に示す．

α：非線形パラメータ， β：分散パラメータ ζ ：減衰定数防：j領域の波高：edge−1ayer境界変数，λ：初期波の位相速度

a：代表波高

ノ領域の速度ポテンシャル

E，：運動エネルギー

k：一定水深

水面からのバリアの無次元長さ

t：時間変数

z：鉛直座標関数

一17一

(2)

津山高専紀要第44号（2002）

峨tt ￠J，のtでの2階偏微分， c：減衰定数 f，ノ領域の最低次の速度ポテンシャル

2・2空気室の設定

振動水柱式波力発電装置の構成の概略を図1に示す．この装置は，空気室に波が入射すると室内の空

Z Turbine generator

ｫ昆

Air pu皿P 窒盾盾香@1

Air pu皿P 窒盾庶M2

O

qegion工

ムち κ

P

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／

^／／／ ^／

Fig． 1 Model of the wave power device 気が外に押し出されるため，空気の流れが発生する．

その空気流により，空気室上部に設けたタービンを回転させ発電させる．この時，波は空気を圧縮して仕事をしているので，波の持つエネルギーは減衰する事になる．空気室内での減衰は，タービンの特性などを考慮した場合，複雑であるため減衰定数が全ての要因を含んでいるものとして導入する．よって本研究ではバリアを3っ並べ，バリア間に鉛直方向の平均速度に比例した減衰力を仮定する事で空気室に見立てるのである．このバリアは厚さが無視できる垂直な壁とし，水面から突き出て底面には隙間が

ある．なお，水深は無次元化されており，1である．

2・3 浅水波領域の基礎方程式

まず，流体の特性は非圧縮，非粘性の完全流体と仮定し，主なし二次元ポテンシャル流れについて考える．前述のように空気室を設定し，減衰のある浅水波を扱えるように，従来のBoussinesqの理論3）の拡張を行うが，定式化に際して，バリア近傍では他の領域と同等に扱う事が困難である事に注意が必要である．それはバリア近傍では流れの急激な変化が非常に狭い範囲（この領域をedge−1ayerと呼ぶ）で起こるためである．そこで，edge−layer理論をここ

でも導入する1）・4）．以下に各領域の基礎方程式及び境界条件を示す．

β鵜＋幅＝O，f・r−1＜・＜α防，

￠J・，．＝ O， at z ＝一1，

ny1・4＋￠1・・，t＋9［（￠…，・ア＋去（A ・，・ア］一・・

at z＝aql．4，

rp・・3＋￠…，t＋9［転ア＋施

at z＝＝any2．3，

￠」・，z−firpJ・，t−afi￠J・，．nyJ・，．：O， at z＝arpJ・・

（1）

（2）

（3）

ア﹈

＋ζφ2．，＝0，

1霧

添字ノ（躍1，2，3，4）は式の属している領域を示してしており，ノ＝1・4は空気室外．ノ＝2・3は空気室内で

あることを意味している．山中のコンマのあとの変数はその変数で偏微分している事を表す．また，こ

こで座標（X，z），時間t，速度ポテンシャルφ（X， Z，t）

及び波高η（x，t）は無次元化されており，その式を以下に示す．

・÷÷照準ψ＝φ嘉＝砂

（9）

なお，星印（うは有次元量である．無次元化にともなって，減衰定数として，次のものを用いる．即ち，

clζ＝

}莇・ ^（10）

パラメータのαとβは十分小さい無次元量で

α一号β＝誓（11）

である．なお，無次元化したLaplaceの方程式（1）の解は

礁←βγ（z ＋ 1）2n 02nfj ，（12（2n）1 ox2n）

である3）．

領域間の境界条件は，1っのバリアについて求めれ

ば十分なので，領域1と領域2での境界条件のみを

示す1）．即ち，

fi，．一 f2，．＝O（afii 2，fi3 2），（13）

ん一ん一β 12κ1ん＋0傾112，β3 2）．（14）

ここでん1は

である．

Kl一藻?j｝

3．系のエネルギーと計算結果

系の初期値として，杉本らのソリトン解

！一一右剛D（・＋・at−C）1

（15）

（16）

をバリアから十分離れた位置からの入射波として用

いる4）．これは，計算結果の比較を行うためにも，文献（1）と同じにしておく必要があるためである．ここ一6・Z＝1＋α／2，D＝レα／圃12であり，Cは

t＝0での波のピーク位置を与える．水槽の垂直壁は反射波の影響を少なくするためにバリアから十分離れたところに設ける．また，バリア近傍では波の挙動が複雑になる事から，きざみ幅を他の部分よりも

小さく設定した．

一18一

(3)

空気室に入射する浅水波ソリトンの減衰空気室を直列に2つ接続した場合加地・山本

3・1系のエネルギー

この系の全エネルギーは運動エネルギー一一 E，とポ

テンシャルエネルギーEの和で表される．この系は単位奥行きを考えているので，無次元化された運動

エネルギーとポテンシャルエネルギーはそれぞれ，

E・一 ¥ぱ1蹟φ〔去￠z吻〕奴

E．＝去丙ゲ1爵微

（17）

（18）

となる．波の散逸されたエネルギーは波の初期エネ

ルギーの減少分として求めることができる．また，

バリアの深さによって波の反射が変わるが，ソリトンが1つのバリアに入射するとき，バリアの深さが水深の半分以内なら反射がほとんど起きないことがわかっている1）ので，以後数値計算はr＝0．5で行

う．

→987654ヨ21000000ロ00 簡q電

D

i c＝at ＋ iζ昌05 一一 1 C＝1．0 ＋

3・2計算結果

空気室の幅4，L2を変化させたときの減衰エネルギーをそれぞれ図2と図3に示す．この2つの図と，

文献（1）の空気室が1っの時の空気室の幅に対する減

衰エネルギーの結果との比較から，空気室を2っ直列に接続した方がエネルギーの取り出せる量が多く

なることがわかる．また，このような空気室を設計

する際に，問題となるのは空気室の幅4，L，であり，

この2つのパラメータを小さくすることにより，よりコンパクトにすることが必要である．4を固定し，

L2を変化させたもの（L2／L，）と，4を変化させ， L2 を固定したもの（ム／L2）を図4に示す．

，

09 F−

ee p一

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O6

討。．5

0．1

巳3

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01 F

1 1 li：gg＝

i 1 …

^{求≠奄潤@＋}

o

ロロるコるユ

Ll／L2

Fig・ 2 Ratio EDζ of the dissipated energy to

the incident one against the width 4（α／β＝9． 25，

α＝0．1，r＝0．5，L2 一1．0）

ロロおぢ

L2／L隻

Fig・ 3 Ratio EDζ of the dissipated energy to the incident one against the widthゐ2（α／β；9．25，

α 一〇．1，r＝0．5．4；LO）

1

og

DB O7 06 ぎ05

04

0ヨ

02 nt

o

i L且／五2一一一

l i L／L，一一

O O．5 1 15 2

為屯orら！恥

Fig 4 Ratio E．4 of the dissipated energy to

the incident one against the width L，， L，（〈1 ＝1．0，

a／！7 一9． 25， a 一〇． 1， r−O． 5， Li or L2 ＝1． 0）

図4より，L2を変化させ，ムを固定したものの方が，ピークが左にずれていることがわかる．これは，L，

ではL2に比べ，取り出せるエネルギーがいく分か少ないためであるからと考えられる．この結果から，

直列に接続する場合，L2は4に比べコンパクトに

した方が取り出せるエネルギーが大きいことがわかった．そのため，実際に設置する際に有利となると

考えられる．また，文献（1）の結果と図（3），図（4）を

比較し，取り出せるエネルギーの比を表1，表2に示す．なお，2つの空気室の幅を足したL，＋L2と，1 っの場合の空気室の幅しが同じになるようにして比

較している．

Table 1 Ratio of the dissipated energy of the width L and width （L2／Li）

L2／右＝0．0

@，L＝1，0

L2／ム＝05，

@ L；15

五2／ム＝1．0，

@L＝2．0

ζ＝0．1 1．00 1．38

L65

ζ＝0．5 1．00 1．51

L76

ζ＝1．0 1．00

L65

1．93

一19一

(4)

津山高専紀要第44号（2002）

Table 2 Ratio of the dissipated energy of the

・idth L・nd・idth仏／L，）

ム／L2＝0．0・

@L＝1．0

ム／L2＝05・

@ 五＝L5

ム／五、＝1．0・

@ゐ＝2．0

ζ＝0．1 1．00 1．38 1．65

ζ＝0．5 1．00 1．51 1．76

ζ＝1．0 1．00 1．62 1．93

この2つの表より，空気室が1つの場合と，2つの場

合の減衰エネルギーの比の値がわかる．ζ が大きい

方が，また空気室の幅が大きい方が比の値が大きくなる．図4と表より，空気室の幅が変わり比の値が大きく変わっても，減衰エネルギーの量そのものには大きな違いがないことがわかる．また表より，

L2 IL，＝O， L，／L2＝0での各エネルギーの値の比が1．00になり，文献（1）の結果と一致していることから本数値計算の正しさを立証することができる．

これまでは散逸エネルギーについて考えてきたが，

空気室周辺での浅水ソリトンの挙動を図5に示す．

図5において，バリアの位置はx＝8とx＝9と

x・＝10である．この位置では波が不連続になっていることがわかる．バリアを通過するたびに僅かな反射が起きているが，安定して伝播しており，t＝2．8

とt＝6．4のときの波高のピークを比較することで，

浅水ソリトンの減衰を観察できる．

4．おわりに

固定された振動水柱形波力発電装置のモデルとして，空気室を直列に2つ並べたときの浅水ソリトン

のエネルギー特性を調べた．そして文献（1）の結果と比較した結果，

（1）4が代表波長程度の幅があれば，L2は．L，よ

りもコンパクトに収めることができる．

（2）空気室は2っ直列に並べた方が得られるエネルギーは大きく，空気室の幅が大きい方が減衰エネ

ルギーの比の値が大きくなる．

が得られた．これらから，浅水ソリトンの性質をより有効に利用するには空気室を複数個並べた方がよ

いことが明確になった．

参考文献

（1）山本，鈴木，浅水波ソリトンのエネルギー利用に関する考察，日本機械学会論文集B編，67，

（No．656），（2001）， 948．

（2） Stiassinie M， Peregrine D． H．， J． Fluid Mech．

97，（1980）， 783．

（3） Whitham G． B．， Linear and nonlinear waves，

Wiley−lnterscience，（1974），431−484．

（4）杉本信正，ながれ，6，（1987），319．

1

0

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一一一 P−JJxl〈一 1一一一T t一一一一一Hl−fi 一一 i 一一一一 1 6 1

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どアむロれ

Fig． 5 Wave motion around the air pump roo皿

（α／β＝9．25，α＝0．1，r＝0．5，ζ＝0．5，ム＝五2＝1，0）

一20一

1．はじめに

Wataru KAJI and Yoshinori YAMAMOTO

and the dissipated energy characteristic curve of a shallow−water soliton i s p1otted．

Key ords二Wave， Potential Flow， Natural Energy， Shallow−Water Soliton， Damping， Ocean Engineering

浅水波ソリトンを利用して波力発電を行い，環境 にやさしいクリーンなエネルギーを得ようとする研

い水深で発生する非線形波であり，波の分散性と浅 いことによる非線形性がバランスすることにより形

特長として粒子性を有する非常に安定なエネルギー 集中波である．また，この波の存在は100年以上も

日本は海に囲まれた国であり，周辺には多くの浅 海域が存在する．その海域に存在する波は，周期的 な波であっても浅水波ソリトンの連なりとして表示

や浅海域における波力発電に於いて，浅水波ソリト

ンのエネルギー特性を知ることは有用であり，浅海 域波力発電の実用化を促進すると共に，非線形波動

本論文では，浅水ソリトンのエネルギー利用に関

考察した．前論文では，空気室が1つの場合のモデ ルの設定と数値解析を実行し，減衰エネルギーと空

この結果より，外部に取り出すエネルギーの大きさ に伴い，空気室の幅をどの程度に設定すべきかとい う，最適設計上の問題に有用な示唆を得た．本論文

では，この結果を基に，その拡張として2つの空気 室を直列に並べた場合の減衰エネルギー特性につい

浅海域の波の振る舞いについて考えるが，浅海域 を単位幅の水槽と見立て，水平方向に進行する前進 波と反射した後の後退波のみを取り扱えば，空間を

にする．

万：φの平均傾

g：重力加速度，r：

α：非線形パラメータ， β：分散パラメータ ζ ：減衰定数 防：j領域の波高 ：edge−1ayer境界変数，λ：初期波の位相速度

E，：運動エネルギー

水面からのバリアの無次元長さ

z：鉛直座標関数

峨tt ￠J，のtでの2階偏微分， c：減衰定数 f， ノ領域の最低次の速度ポテンシャル

振動水柱式波力発電装置の構成の概略を図1に示 す．この装置は，空気室に波が入射すると室内の空

Z Turbine generator

O

qegion工

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2・3 浅水波領域の基礎方程式

￠J・，． ＝ O， at z ＝一1，

＋ζφ2．，＝0，

あることを意味している．山中のコンマのあとの変 数はその変数で偏微分している事を表す．また，こ

（9）

パラメータのαとβは十分小さい無次元量で

である3）．

領域間の境界条件は，1っのバリアについて求めれ

fi，． 一 f2，． ＝O（afii 2，fi3 2）， （13）

である．

系の初期値として，杉本らのソリトン解

をバリアから十分離れた位置からの入射波として用

t＝0での波のピーク位置を与える．水槽の垂直壁は 反射波の影響を少なくするためにバリアから十分離 れたところに設ける．また，バリア近傍では波の挙 動が複雑になる事から，きざみ幅を他の部分よりも

テンシャルエネルギーEの和で表される．この系は 単位奥行きを考えているので，無次元化された運動

となる．波の散逸されたエネルギーは波の初期エネ

バリアの深さによって波の反射が変わるが，ソリト ンが1つのバリアに入射するとき，バリアの深さが 水深の半分以内なら反射がほとんど起きないことが わかっている1）ので，以後数値計算はr＝0．5で行

D

i c＝at ＋ iζ昌05 一一 1 C＝1．0 ＋

空気室の幅4，L2を変化させたときの減衰エネル ギーをそれぞれ図2と図3に示す．この2つの図と，

衰エネルギーの結果との比較から，空気室を2っ直 列に接続した方がエネルギーの取り出せる量が多く

なることがわかる．また，このような空気室を設計

この2つのパラメータを小さくすることにより，よ りコンパクトにすることが必要である．4を固定し，

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討。．5

巳3

1 1 li：gg＝

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the incident one against the width 4（α／β＝9． 25，

α＝0．1，r＝0．5，L2 一1．0）

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α 一〇．1，r＝0．5．4；LO）

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the incident one against the width L，， L， （〈1 ＝1．0，

ではL2に比べ，取り出せるエネルギーがいく分か少 ないためであるからと考えられる．この結果から，

した方が取り出せるエネルギーが大きいことがわか った．そのため，実際に設置する際に有利となると

比較し，取り出せるエネルギーの比を表1，表2に示 す．なお，2つの空気室の幅を足したL，＋L2と，1 っの場合の空気室の幅しが同じになるようにして比

L2／右＝0．0

@，L＝1，0

ζ＝0．1 1．00 1．38

ζ＝0．5 1．00 1．51

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・idth L・nd・idth仏／L，）

ム／L2＝05・

ζ＝0．1 1．00 1．38 1．65

ζ＝0．5 1．00 1．51 1．76

ζ＝1．0 1．00 1．62 1．93

この2つの表より，空気室が1つの場合と，2つの場

浅水波ソリトンを利用して波力発電を行い，環境にやさしいクリーンなエネルギーを得ようとする研

い水深で発生する非線形波であり，波の分散性と浅いことによる非線形性がバランスすることにより形

特長として粒子性を有する非常に安定なエネルギー集中波である．また，この波の存在は100年以上も

日本は海に囲まれた国であり，周辺には多くの浅海域が存在する．その海域に存在する波は，周期的な波であっても浅水波ソリトンの連なりとして表示

ンのエネルギー特性を知ることは有用であり，浅海域波力発電の実用化を促進すると共に，非線形波動

考察した．前論文では，空気室が1つの場合のモデルの設定と数値解析を実行し，減衰エネルギーと空

この結果より，外部に取り出すエネルギーの大きさに伴い，空気室の幅をどの程度に設定すべきかという，最適設計上の問題に有用な示唆を得た．本論文

では，この結果を基に，その拡張として2つの空気室を直列に並べた場合の減衰エネルギー特性につい

浅海域の波の振る舞いについて考えるが，浅海域を単位幅の水槽と見立て，水平方向に進行する前進波と反射した後の後退波のみを取り扱えば，空間を

α：非線形パラメータ， β：分散パラメータ ζ ：減衰定数防：j領域の波高：edge−1ayer境界変数，λ：初期波の位相速度

峨tt ￠J，のtでの2階偏微分， c：減衰定数 f，ノ領域の最低次の速度ポテンシャル

振動水柱式波力発電装置の構成の概略を図1に示す．この装置は，空気室に波が入射すると室内の空

ムち κ

￠J・，．＝ O， at z ＝一1，

あることを意味している．山中のコンマのあとの変数はその変数で偏微分している事を表す．また，こ

fi，．一 f2，．＝O（afii 2，fi3 2），（13）

t＝0での波のピーク位置を与える．水槽の垂直壁は反射波の影響を少なくするためにバリアから十分離れたところに設ける．また，バリア近傍では波の挙動が複雑になる事から，きざみ幅を他の部分よりも

テンシャルエネルギーEの和で表される．この系は単位奥行きを考えているので，無次元化された運動

バリアの深さによって波の反射が変わるが，ソリトンが1つのバリアに入射するとき，バリアの深さが水深の半分以内なら反射がほとんど起きないことがわかっている1）ので，以後数値計算はr＝0．5で行

空気室の幅4，L2を変化させたときの減衰エネルギーをそれぞれ図2と図3に示す．この2つの図と，

衰エネルギーの結果との比較から，空気室を2っ直列に接続した方がエネルギーの取り出せる量が多く

この2つのパラメータを小さくすることにより，よりコンパクトにすることが必要である．4を固定し，

^{求≠奄潤@＋}

ロロおぢ

the incident one against the width L，， L，（〈1 ＝1．0，

ではL2に比べ，取り出せるエネルギーがいく分か少ないためであるからと考えられる．この結果から，

した方が取り出せるエネルギーが大きいことがわかった．そのため，実際に設置する際に有利となると

比較し，取り出せるエネルギーの比を表1，表2に示す．なお，2つの空気室の幅を足したL，＋L2と，1 っの場合の空気室の幅しが同じになるようにして比

方が，また空気室の幅が大きい方が比の値が大きくなる．図4と表より，空気室の幅が変わり比の値が大きく変わっても，減衰エネルギーの量そのものには大きな違いがないことがわかる．また表より，

x・＝10である．この位置では波が不連続になっていることがわかる．バリアを通過するたびに僅かな反射が起きているが，安定して伝播しており，t＝2．8

固定された振動水柱形波力発電装置のモデルとして，空気室を直列に2つ並べたときの浅水ソリトン

（2）空気室は2っ直列に並べた方が得られるエネルギーは大きく，空気室の幅が大きい方が減衰エネ

が得られた．これらから，浅水ソリトンの性質をより有効に利用するには空気室を複数個並べた方がよ

（No．656），（2001）， 948．

97，（1980）， 783．

Wiley−lnterscience，（1974），431−484．

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おアロれ

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