微分の意味と円周率の計算

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微分の意味と円周率の計算

黒田紘敏（理学研究院数学部門）

数理解析学特論A /フロンティア数理物質科学II 第3回

2020年5月28日

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Review

＜高校で学習する微分法の応用＞

接線の方程式関数の極値グラフの概形方程式の解の個数不等式の証明

＜代表的な微分公式＞

(xⁿ)^′ = nxⁿ⁻¹ (e^x)^′ =e^x (logx)^′ = 1 x (sinx)^′ = cosx (cosx)^′ =−sinx (tanx)^′ = 1

cos²x

数理解析学特論A (第3回) 微分の意味と円周率の計算 2020年5月28日 2 / 27

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Review

Theorem (接線の方程式)

曲線 y= f(x)^のx= a^{における接線}(tangent line)の方程式は y = f^′(a)(x−a)+ f(a)

で与えられる．

(Ref. http://www.ftext.org/text/subsubsection/2469)

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Problem

Problem1

曲線の接線とは何か？(What is a tangent line of a curve?)

A y=f(x)

l

l A y=f(x)

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Problem

Problem

曲線C: y= x³^{のグラフの}x=0における接線l^{の方程式を求めよ．ま} た，グラフCと接線lの概形を描け．

(Find the equation of the tangent line latx= 0in the graph of the curve C: y = x³. Also, draw an outline of the graphCand the tangentl.)

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Aim and Contents

Aim

直感的な表現を含まない微分の意味を学び，代表的な例を通して自然科学に応用する方法の一端を理解する．

(Learn the meaning of differentiation that does not include intuitive

expressions, and understand some of the methods of applying it to natural science and so on through typical examples.)

Contents

1 Introduction

2 微分の定義再考(differentiation)

3 テイラー展開(Taylor expansion)

4 円周率π^の計算(Calculate of the ratio of the circumference of a circle to its diameter)

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Answer of Problem 1

A graph usually approaches some line when we expand around some point A on the graph. This line is called the tangent line at A.

A y=f(x)

The graph below doesnotapproach any line even if we expand around x =0. So the function y=|x|is not differentiable atx=0.

y=|x|

O

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Approximate calculation by tangent line

Problem 3

sin 59^◦の近似値を求めよ．

f(x)= sinxとおく．y = f(x)のx=π/3における接線は y = f^′

(π 3

) ( x− π

3 )+ f

(π 3

)= 1 2 x+

√3 2 − π

6 なので，x ≒π/3ならば

sinx≒ 1 2 x+

√3 2 − π

6

が成り立つ．そこで，x=59^◦ =59π/180とすれば

sin 59^◦ ≒

√3 2 − π

360 ≒ 1.7320

2 − 3.1415

360 = 0.85727· · ·

(Remark)^{数理解析学特論}sin 59^{A (第}³^◦^回)=0.857167微分の意味と円周率の計算in the trigonometric function table.2020年5月28日 8 / 27

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Error of Approximate calculation by tangent line

今回求めた近似値は

sin 59^◦ ≒

√3 2 − π

360 = 0.85727· · ·

で，三角関数表にあるsin 59^◦ =0.857167· · · ^{と比較すれば小数第}³^位まで正しい．接線で近似してもそれなりによい値のように見える．

しかしながら，現実の問題では真の値がわからないため，誤差をこのように見積もることはできない．実際，真の値がわかっていれば近似値を苦労して求める意味は（計算手法の精度評価以外には）あまりないように思う．(However, the error cannot be estimated in this way because the true value is not known in the actual problem.)

Problem 4

真の値がわかっていない場合に，接線で求めた近似値の誤差はどのように評価すればよいか．(How to estimate the error of the approximated value obtained by the tangent line when the true value is not known.)

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Deﬁnition of differential

Deﬁnition (微分係数(differential coefﬁcient))

関数 f(x)^がx= a^{で微分可能}(Differentiable)であるとは，極限 f^′(a) = lim

x→a

f(x)− f(a) x−a

が収束すること．このとき，上の極限値を x= aでの微分係数という．

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Deﬁnition of differential

f^′(a) = lim

x→a

f(x)− f(a) x−a

上の定義式を

xlim→a

f(x)− f(a)

x−a = f^′(a) ⇐⇒ lim

x→a

f(x)− {f^′(a)(x−a)+ f(a)}

x−a = 0

と見れば，右側で分母より分子が速く0に収束するときの直線の傾きが微分係数であると理解できる．

(It can be understood on the right side that the slope of the line whenthe numerator converges to 0 faster than the denominator is the differential coefﬁcient.)

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First-order approximation（1次近似）

xlim→a

f(x)− {f^′(a)(x−a)+ f(a)}

x−a =0

より，次のように考えられる．

f(x)− {f^′(a)(x−a)+ f(a)}= terms of(x−a)²,(x−a)³,(x−a)⁴, . . .

1次近似の公式

f(x)を滑らかな関数(smooth function)とすると

f(x) ≒ f(a)+ f^′(a)(x−a) (|x−a| ≪ 1)

が成り立つ．誤差はおよそC|x−a|²^{程度で，定数}Cは2階微分 f^′′の大きさに依存する．

(The error is aboutC|x−a|², and the constantCdepends on the value of the second derivative f^′′.)

微分可能であるとは1次近似ができることである．

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Taylor expansion (Maclaurin expansion)

|x|< 1ならば，無限等比級数(inﬁnite geometric series)の公式より 1

1−x =1+x+x²+x³+· · ·=∑^∞

n=0

xⁿ

が成り立つ．このように，多くの関数をべき級数（無限次の“多項式”）で表すことができる．もし関数 f(x)^が

f(x) = a0+a1x+a2x²+a3x³+· · ·+anxⁿ+· · · と表せるならば，次の公式

a_n= f⁽ⁿ⁾(0)

n! , f(x) =∑^∞

n=0

f⁽ⁿ⁾(0) n! xⁿ

が成り立つ．これをx =0におけるテイラー展開という．

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Taylor expansion (Maclaurin expansion)

Example

e^x =1+x+ x² 2 + x³

6 +· · ·= ∑^∞

n=0

xⁿ n!

sinx= x− x³ 6 + x⁵

120− x⁷

5040 +· · ·=∑^∞

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ⁺¹ (2n+1)!

cosx= 1− x² 2 + x⁴

24 − x⁶

720 +· · ·=∑^∞

n=0

(−1)ⁿx²ⁿ (2n)!

log(1+x) = x− x² 2 + x³

3 − x⁴

4 +· · ·= ∑^∞

n=1

(−1)ⁿ⁻¹xⁿ

n (|x|<1)

√1+x =1+ x 2 − x²

8 + x³

16 − · · · (|x| <1)

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Polynomial approximation（多項式近似）

x =0におけるe^xのテイラー展開は e^x= 1+x+ x²

2 + x³

6 +· · ·=∑^∞

n=0

xⁿ n!

である．ここで xⁿ(n≥ 7)の項を無視すれば e^x ≒1+x+ x²

2 + x³ 6 + x⁴

24 + x⁵ 120+ x⁶

720 となる．さらに x=1を代入して

e ≒1+1+ 1 2 + 1

6 + 1 24 + 1

120+ 1

720 = 1957

720 =2.71805· · · このようにeの近似値が計算できる．

(Remark) 無視した最初の項は1/7!= 1/5040=0.0001984· · · ^(error).

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The circular constantπ

Deﬁnition (The circular constant,円周率)

円の周長の直径に対する比率を円周率といい，π^で表す．

（円周率は様々な定義があり，これを起点とすると解析学では不便なところもあるが今日は細かいところは気にしない）

The value of the circular constant π

3.1415926535897932384626433832795028841971· · · 2020年現在，円周率は50兆桁以上計算されている．

(As of 2020,πis calculated to be more than 50 trillion digits.)

Problem

πの値はどのように計算されているのか？

(How is the value ofπcalculated?)

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Calculation of the circular constantπ

(2003年東京大学入試)

円周率が3.05より大きいことを証明せよ．

半径1の円に内接する正8角形の1辺の長さをa^{とする．余弦定理より} a² =1+1−2 cos 45^◦ = 2− √

2

である．一方，図形より

2π > 8a ∴ π² >16a² となるから，√

2=1.414· · ·<1.415と合わせて

16a² >16(2−1.415)=9.36, 3.05² =9.3025 よりπ² > 16a² >3.05²が成り立つ．よって，π > 3.05である．

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例えば内接正12角形を考えれば，同様にして新しい評価π > 3.1を得られる．図形的には内接正 n^角形の nを大きくすれば円に近づいていくので，得られる評価の精度がよくなるとが期待される．

(Graphically, if the number n of sides of an inscribed regular n-sided polygon is increased, it approaches a circle, so the accuracy of the obtained evaluation is expected to improve.)

しかし，nが大きいときにはsin²_n^π などの三角関数の値はよくわからない．また，正多角形を内接および外接させるアプローチで小数点以下の桁数を増やすのは大変なため，高精度な計算法としては適さない．

(However, it is generally difficult to find the value of a trigonometric function. Also, it is difficult to increase the number of digits after the decimal point by the approach of inscribing regular polygons, so it is not suitable as a highly accurate calculation method.)

Problem

どうすれば円周率の高精度の近似計算をできるか？

(How can we make a highly accurate approximation ofπ?)

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Taylor expansion of the inverse tangent function

x =tanθ(−π/2< θ < π/2)の逆関数をθ= arctanxで表す．

x= tanθ ⇐⇒ θ= arctanx

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Taylor expansion of the inverse tangent function

Theorem

d

dx arctanx= 1 1+x²

|t|<1ならば 1

1+ t² = 1

1−(−t²) =1+(−t²)+(−t²)²+(−t²)³+· · · であるから，両辺を積分すれば

∫ _x

0

1

1+t² d t =

∫ _x

0

(1− t²+ t⁴−t⁶+· · ·) d t

arctanx= x− x³ 3 + x⁵

5 − x⁷

7 +· · · (|x| ≤1) より，x=1を代入して

π

4 = 1− 1 3 + 1

5 − 1

7 +· · ·=∑^∞

n=0

(−1)ⁿ 2n+1

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数学専攻院生向けの数学的補足

1 y= arctanx^より x= tany^{である．よって} dx

dy = 1

cos²y =1+tan²y =1+x² なので，逆関数の微分法よりy^′ = dy

dx = 1 1+ x²

2

∫ _x

0

∑∞ n=0

(−t²)ⁿd t =∑^∞

n=0

∫ _x

0

(−t²)ⁿd tと積分と無限和の交換が出来るのは|x|<1のとき．収束半径の内部であれば項別積分できる．

3 |x|<1で成り立つ等式

arctanx= x− x³ 3 + x⁵

5 − x⁷ 7 +· · ·

においてx =±1を代入しても等式が成り立つのはアーベルの連続性定理より．x =1のときに収束することは，交代級数に関するライプニッツの定理よりわかる．

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π

4 = 1− 1 3 + 1

5 − 1

7 +· · ·=∑^∞

n=0

(−1)ⁿ 2n+1

そこで，十分大きなm^に対して S_m=

∑m n=0

(−1)ⁿ 2n+1

を計算すれば，π/4の近似値が得られるはずである…しかし，この無限級数の一般項は収束速度が n⁻¹と遅すぎるため，近似値を計算してみても

4S₁₀ = 3.2323, 4S₃₀ =3.1738, 4S₃₁ =3.1103

となる．m= 50としても，最後の項が1/101=0.00990· · · ^{なので，こ} れらを足し引きしたら小数第2位まですら合わないのも自然である．そのため，高精度で計算するためには無限級数による表示を改良する必要がある．

(23)

Basic idea to compute the circular constantπ 計算速度向上のために，逆三角関数のべき級数展開を工夫する．

Famous formula

arctan1

2 +arctan1 3 = π

4

α =arctan¹

2, β=arctan¹

3 とおくと

tanα = 1

2, tanβ= 1

3, 0< β < α < π 4 である．よって，加法定理より

tan(α+β) = tanα+tanβ 1−tanαtanβ =

1 2 + ¹₃

1− ¹₆ =1, 0 < α+β < π 2

なのでα+β=π/4となる．これが示すべき等式である．

(24)

Machin’s formula（マチンの公式）

Theorem (1706, Machin) 4 arctan 1

5 −arctan 1 239 = π

4

証明は加法定理を用いて同様に出来る．これにarctanx^{のテイラー展開} を代入して

π 4 =4

∑∞ n=0

(−1)ⁿ 2n+1

(1 5

)2n+1

−∑^∞

n=0

(−1)ⁿ 2n+1

( 1 239

)2n+1

∴ π 4 = lim

m→∞





3m∑+2 n=0

(−1)ⁿ 2n+1 · 4

5²ⁿ⁺¹ −

∑m n=0

(−1)ⁿ 2n+1 · 1

239²ⁿ⁺¹





収束の速度はかなりよくなっている．このような公式は他にも多く発明されている．(The convergence speed is considerably improved.)

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History

Theorem (1982,高野喜久雄) 12 arctan 1

49 +32 arctan 1

57 −5 arctan 1

239 +12 arctan 1

110443 = π 4

(Historyの一部)

2002,東京大学金田康正教授が約1.2兆桁まで計算

2009,筑波大学高橋大介准教授（現教授）が約2.6兆桁まで計算

2011,会社員の近藤茂と米国大学院生のアレクサンダー・J・イーが

約5兆桁まで計算．当時のギネス記録

2011,近藤茂とアレクサンダー・J・イーが約10兆桁まで計算

2013,近藤茂とアレクサンダー・J・イーが約12.1兆桁まで計算

2019.3.14,グーグルの岩尾エマはるかが約31.4兆桁まで計算

2020, Timothy Mullicanが50兆桁まで計算

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Conclusion

(Today’s topics)

接線による1次近似計算テイラー展開

円周率π^の計算

微分法とは関数を多項式で近似するための道具である．実は関数の多項式の近似による結果として，関数の極値がわかるという仕組みである．

例えば f^′(0)=0, f^′′(0)>0ならば，3次以上の項を無視できて f(x) = f(0)+ f^′(0)x+ f^′′(0)

2 x²+ f^′′′(0)

6 x³+· · ·≒ f(0)+ f^′′(0) 2 x² とできる．よって，下に凸な放物線なので x=0で極小となる．これが高校数学IIIで習う「2次導関数を用いた極値判定」の定理の説明である．

多変数関数の極値判定はこのアイデアに基づいている．

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References

神永正博，「超」入門微分積分(ブルーバックス)，講談社，2012.

中村滋，数学のかんどころ22円周率歴史と数理,共立出版，2013.

川添充・岡本真彦，思考ツールとしての数学，共立出版，2012.

Wikipedia :円周率，円周率の歴史.

荒木修・齋藤智彦，本質から理解する数学的手法，裳華房，2016.

相良紘著，化学工学会編，化学工学のための数学の使い方，丸善出版，

2014.

千葉逸人，工学部で学ぶ数学新装版，プレアデス出版，2009.

杉浦光夫，基礎数学2解析入門I，東京大学出版会，1980.