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(2) 㛵ᩘf(x)ࡀ
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(3) 㛵ᩘf(x)ࡀ(1)ࡢ᮲௳(A)ࢆࡳࡓࡍࡁ, F x( n)㸦ࡓࡔࡋ, nࡣṇࡢᩚᩘ㸧ࢆ
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C
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F G H I J
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ྑᅗࡢࡼ࠺࡞ᅄゅᙧABCD࠾࠸࡚, ┤⥺AB ┤⥺CDࡢⅬE, ┤⥺BC┤⥺ADࡢⅬF, ┤⥺BD┤⥺EFࡢⅬR, ┤⥺RC┤⥺ABࡢ ⅬGࡀ࠼ࡽࢀࡓࡍࡿࠋ
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B
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D
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㸫8㸫
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㸫9㸫
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㸫10㸫
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１ 問題のページへ
I[ I [ はI [ が周期の周期関数であることを表す。
その例として I VLQ[ S[があげられる。
) [ H[I [ より ) [c H[I [ H[Ic [ H[
^
Ic [ I [`
条件%より ) [c ≦となりこれより) [ は単調非増加。 よって D E＜ ならば) D ≧) E
条件$より正の整数Qに対して帰納的に I[ Q I [ が成立する。
よって ) [ Q H[ Q I[ Q H HQ [I [ H ) [Q より正の整数Qに対して ) [ ≧) [ Q と合わせて ) [ ≧H ) [Q H ) [Q ≧
よって任意の[において) [ ≦すなわちH[I [ ≦からI [ ≦
すると I F ≧となるFが存在すれば I F である。
またあるFでI F であれば ) F
より ) [ は単調非増加関数なので ) F ≧) F より ) F H ) F
よって F [ F≦ ≦ において ) [ すなわちI [
条件$よりすべての[でI [
［解 説］
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２ 問題のページへ
正三角形は△$(,△%)-△&*.△'+/のつより正三角形を与える
点の選び方は通りとなる。
正三角形でない二等辺三角形の総数は頂点をつ決めると底辺の決め方は
通りずつなので u 通りとなる。
の正三角形と合わせて 通り。
円の直径が直角三角形の斜辺となることに着目する。
まず斜辺を つ決めるともう つの頂点の決め方は 通りずつとなる。また 斜辺の決め方は通りなので直角三角形を与える点の選び方は u 通り となる。
点$を頂点にもつ三角形を考えても一般性は失われない。
L 直角三角形の場合
$* が斜辺となるので互いに合同でない三角形の他の頂点の選び方は % & 'の通りとなる。
LL 鈍角三角形の場合
対称性を考えると最大辺となるのは$)$($'$&である。
互いに合同でない三角形の他の頂点の選び方は最大辺が $) または$(のと
き%&の通りずつ$'または$&のとき%だけの通りずつ合わせて
u u 通りとなる。
LLL 鋭角三角形の場合
対称性を考えると最大辺となるのは$)$(である。
互いに合同でない三角形の他の頂点の選び方は最大辺が$)のとき+ ,の
通り$(のとき,だけの通り合わせて 通りとなる。
LLLLLLより互いに合同でない三角形は 個ある。
［解 説］
からまでは有名問題です。昨年も会津大でQ等分の場合の類題が出ています。
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３ 問題のページへ
[ VLQW W FRVW………① \ FRVW W VLQW………②
①より G[GW FRVWFRVW W VLQW WVLQW
②より G\GW VLQWVLQW W FRVW WFRVW
W … S
… S
G[
GW ＋ ＋ [ S
G\
GW ＋ − \ S
G[
GW G\GW W W W W W
§©¨ ·¹¸ VLQ FRV から曲線&の長さOは
O W GW ªW ¬« º¼»
³
S S S
点3における接線の方向ベクトルすなわち法線の法線ベクトルが G[
GW G\GW W VLQ FRV W W
§
©¨ ·¹¸ と表せる。
Wzのとき法線の方程式は
VLQ W [VLQW W FRV FRV W W \FRVW W VLQ W
[VLQW \ FRVW ………③
原点から③に下ろした垂線は法線ベクトルを FRV VLQ W W とおけるので
[FRVW \ VLQW ………④
③と④の交点4 [ \が法線上で原点までの距離が最短となる点である。 ③×[＋④×\より [ \ VLQW [ VLQW [
[ \
………⑤
③×\−④×[より [ \ FRVW \ FRVW \ [ \
………⑥
⑤⑥より
[ [ \ \ [ \よって [ \
ここで ＜ ≦W Sから≦VLQW≦ ≦FRVW＜より ≦ ≦[ ≦ ＜\
またW のとき 3 から法線は\ で表され 4 となる。 以上より点4の軌跡は円[ \ （[≧）
0 \
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WVLQWGW
>
WFRVW@
FRVWGW
³
³
S S S S6
³
\G[³
FRVW W VLQW VLQW WGW
S S
³
W W W W W W GW VLQFRV VLQ
S
ここでより
³
SWVLQWGW Sまた
W GW
³
S S S>
@
W FRV WGW ® W VLQ W WVLQ WGW WVLQ WGW
¯
½ ¾ ¿
³
S S³
S³
S S>
@
WVLQWGW WFRVW
³
FRVWGW³
S S
S
S
よって6 S S S S S S
［解 説］
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4A 問題のページへ
[ \≧ ≧から [\\[ [ \≧ なので [\≧\[
よって [[≧\\
まず [ \ ] ≧ [ \ ] ≧ [ \ ] よりを用いて [ \ ]
[ \ ] [ \ ][ \ ]
≧ ………①
ここで [[ ≧ [ [\ ] ………②
\
\ [ \\ ]
≧ ………③
]
] [ ]\ ]
≧ ………④
②＋③＋④より [[ \\ ]] ≧[[\\]] ………⑤
①⑤より [[ \\ ]] ≧ [ \ ][ \ ]
ここで②の等号成立は \ ] または [ すなわち\ ] または
[ のときである。
また③の等号成立は [ ] または \ すなわち[ ] または
\ のときである。
さらに④の等号成立は [ \ または ] すなわち[ \ または
] のときである。
以上をまとめると[ \ ]の少なくともつがのときである。このとき①の 等号も成立する。
求める等号成立条件は[\]の少なくともつがである。
［解 説］
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4B 問題のページへ
数学的帰納法により証明する。
L Q のとき 左辺 右辺
なので成立。
LL Q Nのとき N N N Nと仮定する。
両辺Nとすると
NN N N N N
上式の右辺 N
^
N N N`
NN NよってQ N のときも成立。
LLLよりすべての自然数Qで Q Q Q Q
P P P
N段めの個数をDNとすると DN N N
求めるタイルの個数を1Pとすると 1P DN N P N
P
N P
¦
¦
正三角柱のつのブロックの体積をYととするとY 求める台全体の体積を9とすると
9 1 1 1 1 Q Y Y 1 N N
N Q
N Q
¦
¦
^
`
Q Q Q Q Q Q Q Q Q
［解 説］
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4C 問題のページへ
△%(5において直線%)('5*が点&で交わるのでチェバの定理より
%*
*()5()5''% から %**( )5()'%5'………①
△5(%と直線$)に対してメネラウスの定理を適用して 5)
)(($$%%''5 から %$$( 5))(%''5………②
①②より %**( %$$(………③
(% [Dより $* *( [D %* [D D [D
③より
[ D [ D
D [ D
よって[ [
また△$('と直線%)に対してメネラウスの定理を適用して (%
%$)'$)'&&( から '&&( %$(%)'$) DD
(& &'より \
さらに四角形$%&'が円に内接するとき方べきの定理より
(% ($ (& (' から D D E E D E
よって D Eとなり ]
［解 説］
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5D 問題のページへ
34 24 23 QE PFP Q P QPD PD QE PFP Q
56 26 25 QD PEP Q P QQF QD PE QFP Q
ここで D E FRVq
また同様にして E F F D
D E F なので
34 56
P Q PD QE PF QD PE QF
P Q PQ P PQ Q PQ Q PQ P PQ
よって 34 56A
点3456は同一平面上にある条件は直線34と56が交わることなので
23 34 25W V56
となる定数WVが存在することである。
P
P Q D W PD QE PFP Q P Q F VQ QD PE QFP Q
D E Fが次独立より P WP VQ ………①
WQ VP………②
WP Q VQ ………③ ①③よりP QかつW V
②に代入してW V
以上より点3456は同一平面上にある条件は P Q
このとき3456の交点*はW より
2* 2334 D D E F D E F
また 2* D E F
$* 2* D D E F
$* D E F
2
$
% & 3
4 5
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同様にして %* D E F &* D E Fなので %* &*
以上より *は正四面体2$%&に外接する球の中心であり球の半径は とな
る。
［解 説］
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5E 問題のページへ
I [ [ N[ N N [ Nとすると
I N N NN から I [ [[ N[N
I [ の解は [ [ N r N L Nr L
よって ] ] N L
] N L ] とおくことができる。
点] ] ]が一直線上にある条件は ] ]が 虚数のときN となり ] ]が実数のとき
] ] からN となる。 以上より N
点] ] ]が直角三角形をつくるとき ] ] ] Sから]と]を結ぶ線分と実軸
]と]を結ぶ線分と実軸のなす角はともにS となる。
N＞のとき NWDQS N WDQS
N Nから N
N＜のとき NWDQS N WDQS
N Nから N
以上より N r
] ] ] から N N r
L N のとき
原点と]を結ぶ線分と実軸原点と]を結ぶ線分 と実軸のなす角はともにS
なので 点] ] ]を
回転してできる点Z Z Z は正六角形の隣り合 う頂点となる。
回転角Tが≦ ≦T Sから条件をみたす
Z Z Zの配置は右図のようになる。すなわち
2 ．] ．] ．] 2 ．] ．] ．] 2 ．] ．] ．] ．Z
．Z ．Z
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点が点Lに回転する場合よりT Sとなる。
LL N のとき
原点と]を結ぶ線分と実軸原点と]を結ぶ線分と実軸のなす角はともにS なので 点] ] ]を回転してできる点Z Z Z は正六角形の一つお きの頂点となる。
回転角Tが≦ ≦T Sから条件をみたすZ Z Zの配置は下図のようにな る。すなわち点 が点 L L L に回転する場合よりそれぞれ
T S S S となる。
LLLより N のときT S N のときT S S S
［解 説］
文系の方にも類題がありそちらは問題文の冒頭に N が正と書かれているために
場合分けも必要なくさらりと解けるのですが理系ではこの「正」という条件がな いためにN が負や の場合も考える必要があります。このためかなり注意深く論 理を進めていかなくてはいけません。
．Z
．Z ．Z
2
．Z
．Z ．Z
2
．Z
．Z
．Z
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5F 問題のページへ
次関数\ D[E[ F のグラフが[軸と接することより
EDF E DF………①
①よりEは偶数となりE 。また1が奇数よりFは奇数となる。
L E のとき
①よりDF となるがD≧からF となりFが奇数ということに反する。
LL E のとき
①よりDF となり D≧から D F 。このとき 1
LLL E のとき
①よりDF となりD≧Fが奇数から D F 。このとき 1 。
LY E のとき
①よりDF となりD≧Fが奇数から D F 。
このとき 1 1 1 。
Y E のとき
①よりDF となり ≦ ≦D Fが奇数から適する D F は存在しない。
以上より 1
正しくない。反例 1 D
[軸との交点を[ P Q （P Q＜ ）とすると
\ D[ E[ F D [ P [ Q ……②となり条件より
³
PQD [ P [ Q G[ から D Q P D Q P （≦ ≦D ≦Q P ）DPQが整数より D Q P
よって②より \ [ P [ P [ P[P P ……③
≦ ≦E ≦ ≦F から ≦P≦ ≦ P P ≦
≦ ≦P かつ≦ ≦P ≦ ≦P でPは整数よりP
③は\ [[でD E F となり以上より1
［解 説］
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5G 問題のページへ
円が共有点をもつ条件は中心間距離が半径の差以上半径の和以下より 5 U O 5 U ≦ ≦
放物線は準線が[軸で\軸と正の部分で交わることより[軸の上方にあり
焦点) V W から頂点 V W で頂点と焦点の距離がW
からその方程式は [ V W \ W
………①
点$ D を通るのでV W D W
V W DW
V W D D………②
よって②から点)は中心 D半径D
の円を描く。ただしW＞より原点を除く。
さて①が点3 S T （T＞）を通るときS V W T W
から
V S W T T………③
②は V W D D（Wz）………④
ここで③と④をともにみたす V W が存在するSTの関係が求める条件なので の結果から
L Szのとき
T D ≦ ST D ≦T D より T D ≦S T D ≦T D 左側の不等式はつねに成立するので右側の不等式を変形して
S DT T D S
≦ ≧
LL S のとき
③はV W T Tとなり求める条件はT D
LLLより T≧D S（Sz） T D（S ）
［解 説］
の設問は一見とは無関係と見えるものの解のネックとなる部分での結 果を利用します。従来から誘導のうまさには定評のある九大らしい問題です。
0
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)VW $
