解答例＋引用題 文系数学 過去問

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１ 解答解説のページへ 半径 U の球面上に 点 $ % & ' がある。四面体 $%&' の各辺の長さは

2001 東京大学（文系）前期日程 問題

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２ 解答解説のページへ 時刻に原点を出発した点$ %が[\平面上を動く。点$の時刻Wでの座標は

_{W で与えられる。点% は最初は\軸上を\ 座標が増加する方向に一定の速さ}

で動くが点& に到達した後はその点から [軸に平行な直線上を[ 座標が

増加する方向に同じ速さで動く。

W＞のとき三角形$%&の面積を6Wとおく。 関数6WW＞のグラフの概形を描け。

Xを正の実数とするとき ＜W≦Xにおける6Wの最大値を0Xとおく。関数

X

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３ 解答解説のページへ

コインを投げる試行の結果によって数直線上にある 点 $ % を次のように動か

す。

表が出た場合：点$ の座標が点% の座標より大きいときは $ と% を共に正の 方向に動かす。そうでないときは$のみ正の方向に動かす。

裏が出た場合：点% の座標が点$ の座標より大きいときは $ と% を共に正の 方向に動かす。そうでないときは%のみ正の方向に動かす。

最初点$ %は原点にあるものとし上記の試行をQ回繰り返して$と%を動か していった結果$%の到達した点の座標をそれぞれDEとする。

Q 回コインを投げたときの表裏の出方の場合の数Q_{通りのうちD Eとなる場}

2001 東京大学（文系）前期日程 問題

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４ 解答解説のページへ

白石 個と黒石 個の合わせて 個の碁石が横に一列に並んでいる。碁石

がどのように並んでいても次の条件を満たす黒の碁石が少なくとも つあることを

示せ。

その黒の碁石とそれより右にある碁石をすべて除くと残りは白石と黒石が同数

となる。ただし碁石がつも残らない場合も同数とみなす。

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１ 問題のページへ 球面の中心を2&'の中点を0$%の中点を1とすると

対称性から中心2は△$%0上にある。

まず $0 %0 VLQq より△$%0 は正三角形 となる。

U 2%

2$ 20 2&&0 _U また 01 VLQq より

21 _U

△21$に対して

_U U

_{U U}

U

よって _{U より} U

［解 説］

第 問は三角比の空間図形への応用問題です。正四面体ではないものの対称性か

らどの切断面を考えればよいのかは自然に決まります。

2001 東京大学（文系）前期日程 解答解説

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２ 問題のページへ ＜W≦ のとき点% Wであり ≦W のとき

% W となる。

L ＜W≦のとき

W W W W W

6 ………① LL ≦Wのとき

W W ˜ W

6 ………②

①より _{6cW WW WW}

＜W≦における6Wの増減は右表のようになる。 ②と合わせて6Wのグラフは右図のようになる。 ②において6W とすると

_W W

したがって ＜W≦X における6Wの最大値を0Xと すると

L ＜X≦のとき

X 6 X X X

0

LL ≦X≦ のとき 0X 6

LLL ≦Xのとき 0X 6X X よって 0Xのグラフは右図のようになる。

［解 説］

気をつけるのはミスだけという基本題です。

W … …

W

6c −

W

6

2 $ $

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３ 問題のページへ

最初 点$ %はともに原点にあるのでQ回の試行の後 点$ %の距離は

以下である。すなわち D EまたはD Erとなる。

ここでQ 回の試行の後 D Eであるとき Q回目に投げたコインが表裏の いずれでもDzEとなる。

またQ 回の試行の後 D Eであるとき Q回目に投げたコインが裏のと きD EとなりQ 回の試行の後 D Eであるとき Q回目に投げたコインが 表のときD Eとなる。

条件よりQ 回の試行の後D Eとなる場合の数が;_Q DzEとなる場合の数が

Q

Q_;

より

Q Q

Q ;

;

回目の試行の後$%の位置はD E より; となる。

より

Q Q

Q ;

;

˜ ˜

Q

Q ;

;

˜

˜

よって Q Q

Q

; ˜

［解 説］

コインの表裏がどんな出方をしても $ %の距離の差はつねに以下です。この

2001 東京大学（文系）前期日程 解答解説

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４ 問題のページへ

まず左端が黒石の場合この左端の黒の碁石とその右にある碁石をすべて除くと

つの碁石も残らないので条件より白石と黒石が同数となる。

次に右端が黒石の場合この右端の黒の碁石を除くと残りは白石 個と黒石

個となり白石と黒石が同数となる。

したがって以下両端が白石の場合について考える。

ここで左端から N 番目N の黒石とそれより右側にある碁石を

すべて取り除いたときどんな N に対しても白黒同数とならないのは左端が白石と

いうことより白石の個数が黒石の個数よりつねに大きい場合である。

すなわち左端からN番目の黒石の左側にある白石の個数をD_Nとすると

N

DN＞ DN≧N

すると D≧となるが右端が白石なのでD≦である。

以上より両端が白石の場合についても黒の碁石とそれより右にある碁石をすべ

て除くと残りは白石と黒石が同数となる場合がある。

［解 説］

パズルのような問題です。まず碁石の数を少なくして考え題意の成立を確認し

ました。しかしこの証明をどのように記述すればよいのかその方法にずいぶん時