Biomedical Fuzzy Systems Association
NII-Electronic Library Service Biomedioal Fuzzy Systems Assooiation
6
電h
Annua1
Meeting
ofBiornedical
Fuzzy
Systems
Association
（Kitakyushu，December
21−22
，1993
）pp．
85・
94
フ ァ ジ ィ 推 論
法
に お い てmax と min の
使
用 は適
当
か ？Are
maxand
min
suitable
operations
for
fuzzy
reasoning
皿ethods ？
水 本 雅
晴
Masah3ru
MIZUMOTO
大 阪電気 通 僑 大 学
Osaka
Electro
−・
Co
皿municatiOnUniversity
This
paper
discusses
atopic
whether皿ax
and
国
in
operations
used
in
fuzzy
reason 五ng瓢ethods
such
as
min
−
max−
gravity
methodare
suitable
operations
。
It
is
shown
through
severa 正
exa 皿
Ples
that
屋ax
operation
is
notsuitable
when
it
is
used
in
the
aggregation
of
fuzzy
reasoning
results
．
贓・re・ver
・
・1ternative
。pe
・ati。ns are rec・幽 end ・d
t
・ usein
fuzzy
，eas 。ning 皿ethods．
1
．
は
じ
め
に
マ ム
ダ
ニ の フ ァ ジ ィ 推 論 法 「皿in
−
max一
重 心法
」はフ ァ ジ ィ 制 御 法と して最 も よ く使 用 さ れ て お り、
数多
くの フ ァ ジ ィ 制 御 用ソ フ トウエ アツー
ル やハー
ド ウエ ア に この 手法 が搭 載 さ れて い る。 この マ ムダ ニ の フ ァ ジィ推 論 法が最も よ く用い ら れて い る理 由はマ ム ダニ が 最 初に定 式 化し、 ス チ
ー
ム エ ン ジ ン の制 御 に成 功し た 。 その後、棒
立て や セメ ン ト キル ン制 御 な ど先 駆 的な フ ァ ジ ィ制 御で もマ ム ダニ の方 法が使わ れ、 ま た
、
大半の フ ァ ジィ 応 用 製 品で も使われて きた。 フ ァ ジ ィ推 論 チ ッ プや ワ ァ ジ イ ソ フ ト ウエ ア ッ
ー
ル に 搭 載 さ れ、客
社が販 売 してい る。 何故 min や max を使 うの か とい o た 理論 的 根拠 は乏 しい が、 そ れ な りの成 果 を あげ てお り
、
図 に よっ て簡 単に説 明で き る 。 とい っ た もの で あろ う。し か しな が ら
、
何 故 min、
max の使 用が良
v の か や、1
本
当に よい の か とい っ た検
討 も な く、
た だ 単に、 有 名な 会 社の製 品だ か ら と か、
有 名な人が使
っ てい る方 法 である か ら とヤ、 っ た 理 由で採 用 し てい る のが大 半であ る。’
以下 の
議
論で は、 max や 威n の長 所を認め なが ら も、
フ ァ ジ ィ推 論法
に使
用 し た場 合に は、 zaax や min は非 線 形 性の 強い 演 算で あ るた め 、 推 諭 過 程は直 感に合っ た もの で は な く、 した が っ て、
必 ず し も理に適 っ た フ ァ ジ ィ推 論 法で はない こ とを 指 摘す る。 特に、
推論結 果の 「統 合」の 際の max 演 算 の 使用 は適 当で ない こ と をい くつ か の 例 を用い て 議 論 す る。2
¢
min
−
max一
重’心、法
規 則1
：AIandB1
⇒C1
規則 n：An
andBn
＝》Cn
事 実訟2
』a
巫LL
＿
〔1
） 結 論；C
’
ISBN
4
−
938715
−
02
−
3
一
85
一
N工 工一
Eleotronio Libraryi
e
1
0
1
0
b
1
”
…
騨
騨
鱒
｝
・…
y
四
…
呷
｝
3B
Oy畔
騨
”
”
■
B
a“
｝
2
B
”
．
Ox｝
O
…
｝
O鬯
X．
曽 ．
1A2
《 3 《 XoC1
！丶！
kC
・’髄
嘩
∵
（墨
裕
Zoc
ヲ
濾
…
血
y
。図
1min
−
max一 重 心 法
な る フ ァ ジ ィ推 論 形 式 に 対するマ ム ダニ の 「墨i
舮 臼ax一
震心 法 」 は以下 の よ うに議 論さ れ る（
図1
参
照）
。事
実「
x。
andy。
」 とフ ァ ジ ィ 規 則の 前 件 部 「Ai
andBi
」 ｛i
−1
，…，
n） との 適 合 度hi
は 、 min （臨 A ｝を使用 す
るこ とに よ りhi
＝PAi （x
。
｝A
ABi
（y 。
） ｛2
） と与え ら れ る。 こ れ よ り、
各 フ ァ ジ ィ 規 則 に よる推 論 結果C
ゴ は次の よ うに求め られ る。ACi ・
｛z｝＝
hi
A
μ
Ci
（z ）（
3
）式（
1
）の最 終的 な結 論で あるC
’ は、 tuax ← v｝ を用い るこ とに よ り、C1
’ ，…，
Cn
’ か ら 次の よ うに 「統 合 」さ れ る。μ
C
・
ω ＝ μCl
’（z｝v’
”
・ μCn
・（z）（
4
｝この 最
終
的 な統 合 結 果C
’
の代 表 値 z。 はC
’ の 重 心値
と して与
え ら れ る。この 睡n嚠 ax
一
重 心 法に よ るフ ァ ジ ィ推
論は min と max とい う非 線 形 性の強い 演 算 を 用 い てい る こ と か ら、
その 推 論 過 程は必 ず し も直 感 に合っ た もの で は ない 。 こ の こ と を以下 で示そ う。3
． max
に よ る「統 合
」につ い てまず
、
max を用い た 推 論 結 果の 「統 合 」 （式 （4
）参照）
か ら始 め よう 。た とえば、 図
1
の推 論 過 程に お い て、
3
番
目の 規 則か ら得 られ る推 論結
果C3
’ は、 簸 終 的な統 合 結 果C
’ に 埋 も れ る形と なっ て い る。 す な わ ち、
統 合 結 果C
’
はCl
’
とC2
’
だ け で 決 定 さ れ て お り、C3
° は無 視 さ れ た格 好に なっ て い る。 し たがっ て、
重 心値
の算
出 にはC3
’ は 影響
を与え な か っ た こ とに な る。 し か し、
実際 問題 とし て は、C3
’ の 影 響 を少な か らず 考 慮 に入 れ るべ きで あ ろ う 。一
86
一
Biomedical Fuzzy Systems Association
NII-Electronic Library Service Biomedioal Fuzzy Systems Assooiation
c
， N−・
一
・
iLc
，／
z11
▲ △ z．
（
a）
推
論 結 果
が右 側
に沢 山
あ る 場合
△（
b
）
加
算
で統 合
し た場 合
図
2
フ ァジ
ィ推 論 結
果
の統 合
も う
1
つ の 例を与え て み よ う。 多 くの 推 論 結 果が図2
（a｝の よ うに右側 にか た まっ てい る と し よ う。 こ の よ うな場 合、
右 側に沢 山の推 論 結 果が存
在し てい る か ら、 代 表 点 z。 は中 央（▲ ）よ り少 し右 寄 りに あ る と考え る の は 自 然 であ ろ う。 し か し なが ら、 nax で統 合 す る と統 合 結 果は一
番 外 側の 推 論 結 果C
’
i
：一
致 し、 そ の代
表 点（
重 心 値 ） z。 は中 央（▲ ）に来
て し まv丶 常識 にあ わ ない こ とにな るDこ の よ うに max で 統 合 する と
、 内
側 に ある多
くの 推 諭 結 果の影 響が無 視さ れ て しま うこ とにな る。 この こ と か ら、 た と え ば 図1
の 規 則3
は重 心 値の 算出に貢 献 し てい ない の で 、 規 則3
を少 しぐらい変
更 して も 重心 値は変
勉
し ない こ とが わかる。 した が っ て、 Nax で競
合 する と、
フ ァ ジ ィ規 則の チ ュ r ニ ング が 困 難 に な るt
とが わ か る で あろ う。こ れ に 対し て
、
nax で 続 合 する と、 重要で ない（
とい うよ りは、 小さ な） 推 論 結 果を無 視 する こ とがで き、 冗 畏 性の ある（
悪 くい えぱ、
鈍 感な）フ ァ ジ ィ コ ン トロー
ラを構 成す るこ と がで きるの で よい方
法である との 意 見がある。 し か し な が ら、 どの ファ ジ ィ規 則か らの推 論 績
果 が重 要で あ る か否か の 判 断はい つ 、 どの よ うに する か定かで ない し、
小さ な 推 論 結 果が 重 要な意味
を 持つ 場 合 も ある。max で統 合 し た
場
合の 重 心 値は、 統 合 結 果の形が極
め て複
雑に な る ため予 想が つ きに く く、
い わ ば神 憑 り的な様 相 を呈 する。 ま た、
重 心値
を解 析 的に 求め る場
合も極
め て煩 雑 に な り ［1
】、 その 結果 も必 ずし も 理 に適っ た もの で は ない 。た と えば
、
次の フ ァ ジ ィ推 論 形式 を 見 て み よう。 規 躍1
；〜
Ll
⇒捻
規 則2
：鵡
⇒k2
事 実： x （5
｝ 結 論 ：y
こ こ で、
前 件部 の フ ァ ジ ィ集 合Ll
（
xl ぐ らい）
とL2
は嗣
じ幅の 三角 型であ り、 図3
の ように高さ0．5
で交 わ る もの とする。娯
L
，践
に『
）い て も 同 様で ある。 する と、 x に対 す る 結 論 シは1
0
x1 x2 Xt x x21
一
yt
Y2
yty1Y2
図
3
囓
式
（5
）の説 明 図
一
87
一
N工 工一
Eleotronio Librarya （
3
−
a ｝Yl
＋ （1−
a ）（24
・
a ）y2
x2−
xy ＝
2
（1
・a−・
a・）・
a ＝颪
丁
（
6
》 と与 えら れ るが ［1
］、 非常 に複 雑 な形 を してい る。 【参 考 】 驚 略 化 推 論 法や代 数積
一
加算一
重心 法 ［2，4
］で は、
y
＝
ay1 ＋ ｛1
−
a 》y2｛
7
） とい っ た極 め て 簡 単な形で表わ さ れる 。式 （
5
》を組み 合わ せ た規 則
1
：誤
⇒誤
去尾貝
1
亅2
：9
糯＞9
（
8
）規 則
3
：kl
u ＞無
な る フ ァ ジ ィ規 則 と その 推 論 結 果 を 求め る と 図4
、
5
の よ うに な り、
奇妙
な曲 線が得 ら れ て い る。’
Xto
xユー
yt
O
yl
喧
XlYl
0
曽
y
！O
Xt−
yt
o
yt
図
4
式
（8
）の フ ァ ジ ィ 集 合’Xt
O
図
5
式
（
8
）
の推
論 結 果
Xl
一
88
一
Biomedical Fuzzy Systems Association
NII-Electronic Library Service Biomedioal Fuzzy Systems Assooiation
0
．
6
0
，6
0
．
6
重心
y
。25
／3
7
．
520
／3
・ ・↑
1
・y
。（a ） 推
論 縮 果
一
一
．
一 …．
．
．．
、
．
．
廼
Q
ン
一 一
一
一
…
■…一
… ・
一
一
一
つ
＿＿一
一
一
i
，
1・
1，
0［
1y
5
10
（b
）重 心 値
図
6
式 （
9
）の推 論 結
果 とax で
統 合
し た場 合
の 重心 殖
次に、
後件
部が ファ ジ ィ集 合で な く実 数 値で あ る ような簡 略 化 し たフ ァ ジ ィ規 則 規 則1
： 義1
⇒ y規 則
2
：A2
⇒5
（
9
） 規 輿嚇3
：A3
昌
＞10
に対して、 後 件 部y
，5 ，10
の 適 合 度が 図6
（a｝の ように す べ て0．
6
で あっ た と き に、 後 件 部 y の値
に よっ て推 論 結 果の重 心値
が どの ように変 化 する か を示
した の が図6
（b
｝で あ る。一
般 的に、 重 心 値Y 。
は ・…
辱
ll6
＋ ． °お
警
5
＋ ＋ 。1
蠢
6x1
° ・ y／3
・5
（10
｝ と与 えら れ る が、後
件 部 が一
一
致 して い る 場 合、 例 え ばy
雲5
で ある場 合 、 nax 〔＝
v）で統 合 する と、
その重 心 値は・
Y
・
一 ＝ （°器
lill
il
：
lx1
°・
・…11
・ の ように 与 え られ る。 図6
｛b
）か ら わ か る よ うにy
畧5
の と こ ろ で 不連
続な重 心 値が得 ら れ る こ と に な る。
同様な こ と が y＝
10
の とこ ろ で も見 受け ら れ る。【参
考lmax
で な く 加算
（＋｝で統 合を行 うと、連続
的な結 果 ｛式UOD
が得 られる。式 （
9
｝の後件
部 をフ ァ ジ ィ集 合
£，旻
，
聡
（すべ て幅2
｝に拡
張 し、 max で統 合 しく
図7
（a ）参 照）
、 フ ァ ジ ィ集 合裏
を変 化させ た場 合、統合 結
果 の 重 心 値 yr は図7
（b
）の よ う な 曲線
として与 えら れ る。後
件 部 が ファ ジ ィ集
合で あ るの で図6Cb
｝の よ うな 不 連 続な結 果は 得ら れ て い ない が、 非 常に複 雑な曲
線が得 られ てい る こ と が わか る。 【参
考 】nax でな く 加算 ｛＋｝で 統 合を行 うと、
簡 単に な り、 式ae
｝の 直 線 式（
図7
（b
）の 点 線 部 を含
む直 線）
で表 さ れる。上 の 例の よ う な 簡 単な 推論 形 式に対 して も、 nax で統
合
を行 うと不 連 続的で直 感に合
わ な い 結 果や複 雑 な推論結
果 が 得ら れ る こ と が わ か る。 こ の よ うに複 雑で 直感
に合わ ない 推 論 結果 を 得 る こ と か ら こそ、
滋n一
巴a虻
重 心 法 は良い フ ァ ジ ィ推 論法で ある、
と は 到底い え な い で あ ろう。一
89
一
N工 工一
Eleotronio Library5
y
昂 ！L ！ 丶L
4
5
6
y
个
9
10
11
y
。 （a） max に よ る統 合
と そ の重
心Y
。10
9
7
．
5
6
5
1
3
5
7
8
10
12
（b
） フ ァ ジィ 集 合X
を 変 化 させ た場 合の 重 心 値y。
図7
フ ァ ジ ィ集 合の 統 合と重 心 値4
。
mi 紘 に ょ る「適 合度
」 と「
推 飴結果」
の算幽
次に、
風in
演算
に よ る適 合度
hi
（
式 （2
｝）と推 論結
果Ci
’
（
式 （3
））
の箕
出につ い て議 論 しよう。 まず、 適 合 度 の彜 出か ら 始 め よ う。4 ・1
旦
in
暑二よ
ng1U1Le
≧」
座墨
た と え ば、 臠
1
の1 番
目の 規 則に おい て、 式（2
）よ り、 高さ a とb
の 前n を 取る こ と に よ り、 すな わち 小さい方
の 値b
で結 論』
Cl
の 頭切 りを行っ て い る。 しか し な が ら、 こ の 場 合、
a の値
が少
しぐ らい 変 化して 蛤（
詳し くは、
b
以上の範 囲 を動
い て も）
、 常に適
合 度b
で頭 切 り を 行 うこと に な る。 つ まり、 nin を用い る と高 さ a の変
化が無 視 さ れ る こ と に なっ て しま う。 【参 考 】 a の 変 化も考 慮 に 入 れ るに は式 （2
）を代 数 積で置 き換 え れ ば よい こ と がわか る。4 ．
2
min に よ る推 論 結果
＿
£ 麺
鑑
盧 式 （3
）に よる 推 論 結果Ci ’
の 求め 方を考えて み よう。 た とえば、
図8
（a）で zl、
z2 で の一
go
一
Biomedical Fuzzy Systems Association
NII-Electronic Library Service Blomedloal Fuzzy Systems Assoolatlon
ρ
Ci
，
，
尋
丶〉
く
・・ ’hi
z1
呂2
zl
z2
（
a）
＊ ＝ 〈 （而 の（
h
） ＊ ＝・
（代 数 積
）図
8
・Ci
・（・） ＝hi
＊ ・Ci
（・） 高さ （ 墳 献 度’
と考 え られ る）はrk
の 方力稿 い が、
hi
との nin （＾） を取る と 同 じ高 さに なっ て し ま う。 すな わち、 nin を用 い る と、 貢 献 度の強 さが継 承ざ
れ ない とい うこ と に な る。
【參 考 】鹹 n の 代わ りに 代 数 積 を 用い る と、
貢 献 度の強
さを継 承す る こ と がで きる （図8
（b
）参照）
。以 上の こ と か ら、 臓ax と 羅
in
をフ ァ ジ ィ推 論 法に使用 し た場 合 、 必 ず し も直
感に合 う も の で な い こ と が示さ れ た。 特 に」
圏ax に よ る統合
は適
切で ない こ とがう
なずける で あろ う。次 に、 い くつ かの可 能 性 も 含め て
、
max と ein 以外
の 演 算に よる統 合 、 適 合度、
推 論 結 果の 算出 につ い て議
論 して み よ う。5
・
そ の他
の フ γ ジィ 演 算 に よ る統a
．適合
度お よび 推 論結
果の算
出ま ず、 代表 的 な積 演 算 （
t
一
罰or盈）、
和 演 算 （t−
conon ）、 お よ び平 均 演 算 をま と めてお く と表
1
、
2
の よう
に な る 【3
］。各演 算
に対
しては図9
の ような順 序関係が得
ら れ る 。5 ・
1
一
推論 結 果の 統 合に関 し て は
、
式 （4
）を一
般 化してμ
C
軍 （z ）鴇
μ
C1
・
（z）［＋ユ
e・
・
［＋］
μ
Cn
・
（z）（
12
｝ の よ うに与え る こと が で きる。統 合 演 算子 ［＋］と して 、 た とえば足
算
｛＋）を使 用す る こ と が で きる。 この 場合、
図2
（b
） の よ う に各
推 論 結 果を 上に足 し上げて い くこ と に な り、
右側 にある多
くの 推 論 結 果の 影響 を考 慮に 入れ る こと が で き る。 結 局、 重 心 値 も右寄
りの点
（△ 〕に なる こ と が うか が え 、 直感
に あっ て い る とい えよう 。（
注）
足 算 ｛＋｝を用
い て統 合
す る と、
図2
（b
）の ようにC
’ の 高さ が1
を 越え る こと がある。 そ の 場 合、算
術 平 均や 正 規 化 す る こ と に よりC
’
の 高さ を1
以 下 に押さ えるこ と がで きる が、
重心 値を得 る点か らい え ば、
足算の ま まで あろ うと算 術 平 均や正 規化を行お うと同 じ 重心 値が 得ら れ るの で、
足算
の ま ま で 十 分で ある とい え る。こ の よ うに足 算以
外
に算
術 平 均 も統 合演算
として使
用ur能
であるこ と が わ か っ た が 、他
に も 表1
の和 演 算や表2
の 算 術平 均、
双 対 な 鯛 勲 平均、 双
対 な幾何平均
とい っ た平 均演 鋒
が使男
可 能で あ る。 すなわ ち、 図9
で 『算 術 平 均以 上 のは統 合 演 算 と して
用 可 陰で
幾
．
ゑ
亅 こ と が い える。 し か し な が ら、
積 演 算 も含
め て幾 何 平 均や 調 和平 均が統 合 演 算と し て不
適 当な 理 由は、表 1
と2
に おい て a とb
の どれ か がO
で あれ ば演 算 結果 がO
に な り、 これ よ り、
互 い に素 な推 論 結果 を 統 合す る と空集
合 に な っ て し ま う か らで ある 。一
般 的 に、 推 論 結果 の統 合 に は、各推
論 結 果の影 響 を考慮
に入れる とい っ た 意味で、 足 算 とい っ た加 法 性 を 宥 す る演 鐔
の使 用が 望 まれ る。一
91
−
’ N工 工一
Eleotronlo Llbraryに
幽
ニ
ー
激 烈 和 限 界 和 ア イ ン シ ユ タ イ ン 和 代 数 報 ハ マ ハ ー 和 maX 双 対 な 調 和 平 均双
対 な 幾 侮 平 均算
術 平 均 幾 何 平 均 調 和 平 均 職i
且 ハ マ ハ ー 積代
数 積 ア イ ン シ ユ タ イ ン積
限 界 積 激 烈 積 図9
条
種 演 算 の 順序
関 係5
．
2
適 Aの
算 出
につ い て式
｛2
｝の一
般 化 として、hi
＝
μ
Ai
（x。
｝＊1
Pt
Bi
（y。
｝ （13
｝ の ように演 算 ＊1 を使 用 する こ とに よ り適
合度
を求
め るこ とが で きる。 こ の ような演
算 ＊1 と して 、 図9
で「幾
何平
均以 下 の演
算 は適 合 度 演 算 として 使 用 可 能で ある」こ とが い え るが 、 限 界 積や激烈積で は演 算 結 畢が す ぐに0
にな り適 当 と はい え ない 。 し たがっ て 『義
’
均 以 下で代 数以上 の
演算
は適合 演
算と し て使可 能で ある亅と改め る こ とが で き る。 代 数 積 も
o
に近い 結 果 になっ て し ま う欠 点が あ るので、 代 数 積 と min の中 問にあるハ マ ハー
積（表
1
）
や幾何
平 均 などの 使 用が考 えられる。一
92
一
Biomedical Fuzzy Systems Association
NII-Electronic Library Service Biomedioal Fuzzy Systems Assooiation
特に、
前
件 部の個 数が 異な るフ ァ ジ ィ 規 則が混 在 した 場 合に は 、 代数 積に よる 適 合 度の 算 出に は 注意 を要 する。 た とえば、前件
部寮
5
個の 場合、
0
．
5
の グ レー
ド に対
して0
，
55
犀 0．03125
と か な り小さ な適 合 度が得ら れ、 前 件 部が2
個
の場 合に は、0．
52
＝0
．
25
の適 合 度が 得 ら れ る。 こ の よ うに前件 部の個 数が 適 合 度の 算 出に大き な影 響 を与え る こ と が わ か る。 こ れ を回 避 する方 法 と して、 前 件 部の個 数が 大 きい もの （■ 個 とす る）
を、 個 数の1 番
小さ い もの（
n 個 とする）
の レベ ル に合わせ る という
意 味で、 大 きい 個数
の 場 合の適 合 度 を n／n 乗 す る こ とが考
え ら れ る。 た とえば、
上 の例で、 前 件 部が5
個の 場 合の 適 合 度 （O．
p3125
）を2
／5
乗 し、2
個の 場 合の レベ ル に合わ せ ようとい うもの で あ る 。 惨考
揃
件 部の 個数が 大 きい もの ｝・合 わ せ る1
・は、 個 数が 小 さい 場 合の 適合 度 を 。／。 乗 すれ ば よい 。こ れ は 幾 何 平 均を使用 する ことに相 当して い る。 例 えば
、
前 件 部が5
個の 場 合、
グ レー
ド
0．
5
に対 する幾 何 平 均は （0
．
5xO
．
5xO
．
5xO
．
5xO ．
5
）レ 5＝O．
5
と な り
、
前 件 部2
個 の 場合 と一
致 する。 ま た、 幾何 平均
は ein の場 合 と違
っ て、 お互い の影響
を考慮
にい れ る こと が で き、 前 件部 の個 数の影 響 を 余 り受
け ない の で、
「合
度hi
の算
出 に幾 ロ平 均の使
用 は 面 白い 亅とい え よう。
min に よ る適 合 度の 算 出は
、
4
．
1
節 で述べ た よ う な欠 点はある が、
演 算 結 果は す ぐに0
に 近 い 値に は な ら な く、
前 件 部 の個 数の 影 響 を余 り受け ない 。 した が っ て、
前 件 部の個 数が 異 なる フ ァ ジ ィ 規 則が 混 在す る場合 に は、
唾n に よる適 合 度の 算出 は有 効徃
を発揮 す る。 よっ て 、一
般 的に、
適 合 度 演 算 として は uin 演 算は 悪 く は な い とい え る 。5
．
3
推
論 結 果Ci
’ の算
出につ い て 式 の一
般 形 としてμ
Ci
・
（z｝三
hi
＊2 μCi
（z ）｛
14
） な る演 算
＊2 の使 用が考え ら れるが、 こ の 演算
＊2 と し て は、
図9
でf
幾 n 平 均 以下 の演
は推 論 結果 を求め る演 算と し て
使
可 能で ある」 とい え る。
積 演
算
に よる推 論結
果 を示 すζ
図10
の よう
に な る。 min を使 用し た場 合、Ci
の低い 部分 は そ の ま ま残 るが 、高
い 部 分はカ ッ ト さ れて い る。 代 数 積で は、
低 くな る がCi
の 形 状 を 残 して い る。 限 界 積や激 烈 積では 、 低い 部 分が削 除さ れ、高
い 部 分の 形 状 を保持
して い る 。 こ の こ と か ら、 小さ な演 算 ほ どCi
の 高い 部 分を生 か してい るの で、 掌2 と して は小 さ な演 算ほ ど よい もの とい えよ う。
【参
考 】 激犁
積
‘1
｝場
合 は、 後 件 部が実
数値
で ある ファ ジ ィ規 則（
すな わ ち 、簡
略 化 推 論 法）
に還元 さ れ る。限 界
hi
0
2
！3
1
図
10
積 演 算
に よ る推
論 結 果
Ci
’一
93
一
N工 工一
Eleotronio Library化 させ た場 合 の 重 心値 Z
。
を算 出す る と以下 の よ うに なる。 z。 ・｛
幣
；…
幾 何 平 均の 場 合…
皿in
の 場 合…
代数積
の場 合…
限 界 積の場 合・
u 激 烈 積の場 合 ｛15
｝ 厳n の場 合、 他の 演算
の 場 合とは 反対に、hi
を 小 さ くして い くと重 心 値は2
／3
の 点か ら1
／2
へ 移 動 する 。6
．
むすび フ ァ ジ ィ推 論 法に min と max を使 用 し た場 合、 「齢
度 」や 雛 論 結剰 の算 出に は 躪 演算
は悪 く ない とい え る・ree
こ、前
件 都の 個数
が 異 なる フ 。 ジ ィ規 則t
・混在
し た場 合 の適 合
度の計 禦 こは ・i
噸 剿 ま悪 くtz
い ． し か しなが ら、推
論 結 果の 隴 合j
に 剛 演算
を使
用 し た場
合、 直 観 に合わ ない 場 合が多
く、
max演 算
の 使 用は適切 でない とい え よう
。 統 合の 際に は、
加 箕 とい っ た加 法 性 を 有 する演 算 を使
用 した 方が よい ように 思 わ れる。以 上 の こ とか ら
、葡
件 部の 個 数が 同じ フ ァ ジ ィ規 則に対 す るフ ァ ジ ィ推 論 法と して は 、 「代 数積
一
hll
＃一
重 心渕
が推 奨 され・ 前 件 部の個 数が異な 碍 創 二は、 「
（mi，玳 鰍
）．
加 算一
重 心 法 」や 「｛幾 何 平 均／代数 積 ｝一
加 算一
重 心 法 」 な ど が興 味 深い ［4
−
8
】。参 考
文献
1．
水本、
フ ァ ジ ィ推論 法に よる 補 閥、軆 5
ロラ
ァ ジ ィ シ ス テ ム シ ン ポ ジ ウム 講 演 論 文 集 、．
pp ．
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、1989
．
2
・
水 本・
フ ・ ジ ィの改
善
法 側一
代
数積
一
加算
一
重 心 法に よ る場 合一
、篁
髄
シ ス テ ム シ ンポ ジウ ム演
論
文集
、pp ．
9
−
13
、1990 ．
3・
Mizum
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・・
M
・
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1
、Cases
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