§2. 黒体放射と ステファン・ボルツマンの法則

§2. 黒体放射と

ステファン・ボルツマンの法則

2-1. 放射 (radiation) に関する基本 的な事柄 (復習)

•

 “

”

–

𝜆

𝜈

𝑐 = 𝜈𝜆

– 𝑐

(

)

𝜆

ν

宇宙に存在するすべての物体はその温度 に応じて放射

(

)

人、地球、

大気、雲、

ストーブ

….

•

 visible (VIS)

•

 ultraviolet (UV)

– UV-A (315-400 nm) – UV-B (280-315 nm) – UV-C (100-280 nm)

•

*  infrared (IR)

– 近赤外(0.78-3 μm; near infrared; NR) – 中赤外(3-6 μm; middle infrared; MIR) – 遠赤外(6-1000 μm; far infrared; FIR)

(大気放射学の基礎)

*気象では 近赤外0.78-5 μm, 赤外5μm～ とすることがある。

ホッキョクグマ (白熊)

http://en.wikipedia.org/wiki/Polar_bear

2-2. 放射の基本量

面積

𝑆

Ω ≡ ^𝑆

𝑟

:

(sr)

•

Ω

•

(𝑟, 𝜃, 𝜙)

(大気放射学の基礎)

(問)

•

(sr)

レポート①

•

※ “

(sr)”

“

”

•

5

9

(

) 20:00

𝑑Ω = 𝑑𝑆 𝑟 ²

𝑑𝑆

(大気放射学の基礎)

放射輝度 * ( 放射の強さ ) 𝐼 _𝜆

•

𝑑𝐴

𝜃

𝑑Ω

•

𝜆

𝜆 + 𝑑𝜆

𝑑𝑡

𝑑𝐸 _𝜆

𝑑𝐸 _𝜆 = 𝐼 _𝜆 𝑑𝐴 cos 𝜃𝑑𝜆𝑑𝑡 𝑑Ω

放射輝度

𝐼 _𝜆 = ^{𝑑𝐸 𝜆}

𝑑𝐴 cos 𝜃𝑑𝜆𝑑𝑡𝑑Ω [W m ⁻² sr ⁻¹ μm ⁻¹ ] 𝑑𝐴

𝜃

*

𝑑𝐴 cos 𝜃

•

•

𝑑Ω → 0

•

𝐼 (

) 𝐼 = න

0

∞

𝐼 _𝜆 𝑑𝜆

放射フラックス * ( 放射束密度 ) 𝐹 _𝜆

•

𝑑𝐴

(

𝑑𝐴

) ^

𝐹 _𝜆 ≡ න 𝐼 _𝜆 cos 𝜃 𝑑Ω

𝐹 _𝜆 = න

𝜙=0 2𝜋

න

𝜃=0 𝜋

2

𝐼 _𝜆 (𝜃, 𝜙) cos 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙

次元は、 エネルギー 面積・時間・波長

•

𝐼 _𝜆

(

)

※各自計算してみよう。

𝐹 _𝜆 = 𝐼 _𝜆 න

𝜙=0 2𝜋

න

𝜃=0 𝜋 2

cos 𝜃 sin 𝜃 𝑑𝜃𝑑𝜙

= 2𝜋𝐼 _𝜆 න

0 𝜋

2

cos 𝜃 sin 𝜃𝑑𝜃

= 𝜋𝐼 _𝜆 (sin ² 𝜋/2 − sin ² (0) = 𝜋𝐼 _𝜆

2-3. 黒体放射 (blackbody radiation)

•

(blackbody)

–

(

)

–

•

𝐵 _𝜆

–



𝐵 _𝜆 𝑇 = 2ℎ𝑐 ² 𝜆 ⁵ 𝑒

ℎ𝑐

𝑘 _𝐵 𝜆𝑇 − 1

ℎ (

; Planck constant) = 6.62607 × 10

Js

𝑘

(

; Boltzmann constant) = 1.38065 × 10

JK

※

(

)

温度

𝑇

𝜆

プランク関数 (Planck function)

(大気放射学の基礎)

様々な温度におけるプランク関数

波長

太陽放射

～

6000K

地球放射

～

300 K

高温ほど波長の短い放射を射出

放射輝度

•

𝑇

𝑑𝐵

(𝑇)

𝑑𝜆 = 0

から求めることができる

(

)

•

𝜆

𝑇



(Wien’s displacement law)

𝜆 _𝑚𝑎𝑥 = ^𝐶

𝑇

英文名 記号 単位 関係式

放射輝度 ₍放 射強度)

Radiance

(radiant intensity ) 𝐼

W m

sr

μm

𝐼

= 𝑑𝐸

𝑑𝐴 cos 𝜃𝑑𝜆𝑑𝑡 𝑑Ω

放射フラックス

(放射束密度、

放射フラックス 密度)

Radiant flux

(radiant flux density)

𝐹

W m

μm

𝐹

≡ න 𝐼

cos 𝜃 𝑑Ω

黒体の放射強

度 (等方的)

Blackbody radiation 𝐵

^{W m}

^sr

^μm

𝐵

𝑇

= 2ℎ𝑐

𝜆

𝑒

ℎ𝑐

𝑘_𝐵𝜆𝑇

− 1

2-4. ステファン・ボルツマンの法則

•

𝐵 _𝜆

(

)

𝐵 𝑇 = න

0

∞ 2ℎ𝑐 ²

𝜆 ⁵ 𝑒

ℎ𝑐

𝑘 _𝐵 𝜆𝑇 − 1

𝑑𝜆

𝐵 𝑇 = 2𝜋 ⁴ 𝑘 ⁴

15𝑐 ² ℎ ³ 𝑇 ⁴

𝐵 𝑇 ∝ 𝑇 ⁴

Stefan-Boltzmann law of radiation

•

𝐹 𝑇 = 𝜋𝐵 𝑇 = 𝜎𝑇 ⁴

𝜎

𝜎 = 2𝜋

𝑘

15𝑐

ℎ

= 5.6705 × 10

Wm

K

黒体から放射されるすべての波長の 放射エネルギーは

絶対温度の４乗に比例する。

黒体放射は 等方的なので

2-5. キルヒホッフの法則

(Kirchhoff’s law)

•

•

•

–

•

𝑗

𝑘

𝑗

= 𝑘

𝐵

(𝑇)

𝑗

𝑘

= 𝐵

(𝑇)

•

𝜀 _𝜆

–

𝐵 _𝜆 𝑇

•

𝑎 _𝜆

–

𝐵 _𝜆 𝑇

•

𝜀 _𝜆 = 𝑎 _𝜆 = 1

•

𝜀 _𝜆 = 𝑎 _𝜆

–

𝜀 _𝜆 = 𝑎 _𝜆 < 1

LTE 近似

•

(local thermodynamic equilibrium: LTE)

–

–

(70 km

)

(

)

(※参考) サーモグラフィー

Twitter @predators_jp

CORONA

GH-B128F

オムロン 耳式体温計

MC-510

ヒトの気温の感じ方は？

(※参考)

(※参考) 放射温度計

※非接触温度センサー

• OMRON D6T-44L-06

(※参考) 実験してみよう！

•

①

IH

➁ フライパン

(IH

)

➂ サーモグラフィー

,

•

①フライパンを加熱

(

)

➁フライパンの表面と裏面に手をかざしてみよう。違いはあるかな？

(

)

➂フライパン表面と裏面の温度を測定してみよう。

※

•

=1

(

)

(※参考)

•

𝜀 × 𝐵 𝑇

(

𝐵 𝑇

)

•

𝑥 = (1 − 𝜀)² とおけば、

𝜀 + 𝜀 1 − 𝜀

+ 𝜀 1 − 𝜀

+ ⋯ = 𝜀(1 + 𝑥 + 𝑥

+ ⋯ )

ここで𝑆_𝑛 = 1 + 𝑥 + 𝑥² + ⋯ + 𝑥^𝑛 とする。

両辺に𝑥をかけて1を加えると 𝑥𝑆_𝑛 + 1 = 𝑆_𝑛 + 𝑥^𝑛+1となるので、

𝑆_𝑛 = 1 − 𝑥^𝑛+1 1 − 𝑥

|𝑥| < 1 のとき、𝑛 → ∞ とすると𝑆_𝑛→∞ = ¹

1−𝑥

従って𝜀 + 𝜀 1 − 𝜀 ² + 𝜀 1 − 𝜀 ⁴ + ⋯ = ^𝜀

1− 1−𝜀 ² = ¹

2−𝜀

•

:

𝜀 1 − 𝜀 + 𝜀 1 − 𝜀 ³ + ⋯ = 1 − 𝜀 2 − 𝜀

•

1

2 − 𝜀 + 1 − 𝜀

2 − 𝜀 = 1

𝜀

𝜀(1 − 𝜀)

𝜀(1 − 𝜀)

𝜀(1 − 𝜀)

𝜀(1 − 𝜀)

𝜀(1 − 𝜀)

•

(パリティブックス) 戸田盛和著

参考文献

•

•

•

•

•

(問)

•

①放射強度、放射フラックス

➁プランク関数

➂ステファン・ボルツマンの法則

④キルヒホッフの法則

ハロ ( かさ )

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皆既日食

2009

7

22

11

31

56

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皆既日食 (金環日食)

日時：

2012

5

21

7

34

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