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単元：数学Iの「２次関数」 難易度：「基礎」
＊難易度は、「基礎」「標準」「発展」「難問」に分けています。
「基礎」は教科書基本レベル。「標準」は定期試験向け、入試の基本問題。「発展」は国 公立大学、MARCH、関関同立の志望者向け。「難問」は難関大学（上位国立、早慶、理 科大）の志望者向け。
問題
方程式kx2+(k−1)x+2=0の実数解の個数を求めよ。ただし、kは定数とする。
【解説】
「２次方程式の実数解の個数ね。じゃあ、判別式を使えばいいな」と考える人がいます。
でも、気を付けないとだめですよ。今回k = 0のときは、与えられた方程式は２次方程 式ではなくなってしまうよね。気を付けてくださいね。
判別式を使うときの注意点
判別式を使えるのは２次方程式のときだけ！方程式でx2の係数が文字を含んだ式の ときは気を付ける！！
【解答】
（I）k= 0のとき
＊k= 0のとき、与えられた方程式kx2+(k−1)x+2= 0は２次方程式でなくなる！だか
このとき、kx2+(k−1)x+2=0は0·x2+(0−1)x+2=0つまり−x+2=0よりx=2と なる。
よって、k=0のとき方程式の実数解の個数は１個。
⇑ 少し混乱する人がいるけど、気を付けてくださいね。今回、与えられた方程式を解い たらx= 2だったんだよね。つまり、この方程式はx =2という実数解を１個もちます。
だから、方程式の実数解の個数も１個です。
（II）k=\ 0のとき
⇑k =\ 0のとき、方程式kx2+(k−1)x+2=0は２次方程式！だから、判別式が使えます。
方程式kx2+(k−1)x+2=0の判別式をDとする。
D=(k−1)2−4·k·2◀ D=b2−4acより！今回は、a= k,b= k−1,c=2
=k2−2k+1−8k
=k2−10k+1
k2−10k+1= 0の解を求める。
解の公式よりk= −(−5)± √
(−5)2−1·1
1 =5± √
24=5±2√ 6
＊解の公式でax2+bx+c=0で、bが２で割れるときは、ax2+2b′x+c= 0で x= −b′± √
b′2−ac
a の公式を使った方が計算がラクですよ。
別に、公式x = −b± √
b2−ac
2a でもできます。ですが、この形ですると必ず約分しない といけないのでジャッカン計算がメンドウです。数学は時間との勝負となるので、でき たら覚えておいてくださいね。
（i）D< 0のとき
k2−10k+1< 0となる、この２次不等式を解くと5−2√
6<k< 5+2√
6となる。
今回でてきた解の5−2√
6 < k < 5+2√
6がk =\ 0を満たしているので、5−2√
6 < k <
5+2√
6はすべてOKです。
また、今回の場合何も説明なしで5−2√
6 > 0と書いてもおそらく大丈夫です。ただ、
ルートを含んだ数を厳密に大小比較するときは、上記のように２乗をして考えますよ。
たまに出てくるので覚えておいてくださいね。
（ii）D= 0のとき
k2−10k+1= 0より、k= 5±2√
6となる。これはk=0をみたす。
⇑k = 5±2√
6はk =\ 0をみたすのは、当たり前だよね。ただ、今回もk =\ 0のもとで考 えているので書いています。
（iii）D> 0のとき
k2−10k+1> 0となる、この２次不等式を解くとk<5−2√
6,5+2√
6<kとなる。
k =\ 0となることとあわせると、k< 0,0<k <5−2√
6,5+2√
6<kのとき、実数解は２ 個である。
⇑ 少しややこしいけど、k<5−2√
6かつk <0は、k<0または0< k<5−2√
6ですよ。
厳密に言えば「または」なんですけど、「または」は省略することもありますよ。
以上より、k< 0,0 < k < 5−2√
6,5+2√
6 < kのとき実数解2個。k = 0,k = 5±2√ 6 のとき実数解1個。5−2√
6 < k < 5+2√
6のとき、実数解0個。
今回の問題はどうだったでしょうか。ポイントしては、１つだけです。一見２次方程式 に見えても、x2の係数が０だったら２次方程式になりません。
そのことに気を付けてくださいね、という問題です。それでは、頑張ってください。
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河見賢司
