基礎数理 AI 第 14 回目

(1)

永幡幸生新潟大学工学部

7^月31^日

永幡幸生基礎数理AI第14回目

(2)

定積分が面積と対応しているのは定義から明らか。

(3)

極座標{ x=rcosθ y =rsinθ

は回転対称性がある設定でよく使われる変数変換である。

定理13

曲線r =f(θ), (α ≤θ≤β) とθ=α, θ=β で囲まれる面積は S = 1

2

∫ _β

α

f²(θ)dθ

(4)

◦^例r =a: ^半径 a^{の円（扇形）}

S = 1 2

∫ _β

α

a²dθ= 1

2a²(β−α)

特にα = 0, β= 2π ^{とすれば円になり} S =πa²

◦^例r =aθ: ^{アルキメデスの螺旋} S = 1

2

∫ _β

α

(aθ)²dθ= 1

6a²(β³−α³)

(5)

定義曲線が{

x=f(t)

y =g(t) , α≤t ≤β で与えられるとき曲線の長さを l =

∫ _β

α

√

(f^′(t))²+ (g^′(t))²dt と定義する。

(6)

命題

特にf(t) =t ^の場合 l =

∫ β α

√

1 + (g^′(t))²dt 極座標でr =f(θ) の場合は l =

∫ _β

α

√

(f(θ))²+ (f^′(θ))²dθ

(7)

◦^例r =a: ^半径 a^{の円（扇形）}

l =

∫ _β

α

√

a²+ 0²dθ=a(β−α)

特にα = 0, β= 2π ^{とすれば円になり} S = 2πa

◦^{例サイクロイド} {

x=a(t−sint)

y =a(1−cost) ^このときx^′=a(1−cost), y^′ =asint より l =

∫ _β

α

a

√

(1−cost)²+ sin²tdt = 4a(cosα

2 −sinβ 2) 特にα = 0, β= 2π でl = 8aになる。

(8)

定義

y=f(x)^上の点 (x,f(x))^での曲率κ^{、曲率半径}ρ ^を κ= f^′′(x)

{1 + (f^′(x))²}^3/2, ρ= 1

|κ| と定義する。

(9)

問題

アステロイドx^2/3+y^2/3 =a^2/3, (x,y ≥0)^{はパラメータ表示} {x=acos³θ

y =asin³θ を持つ。この曲線の長さを求めよ。