スペクトル解析
（ Spectrum analysis ）
• フーリエ級数 Fourier series
– 波の合成 wave composition and decomposition – Gibbs effect
• フーリエ変換 Fourier Transform
• パワースペクトル Power spectrum
• 離散データのフーリエ展開 For discrete timeseries
– ナイキスト周波数とエイリアジング Nyquist frequency and aliasing
• スペクトルと相関関数 Spectrum and correlation
• クロススペクトルとコヒーレンシー
• スペクトルの推定法と推定誤差
• スペクトル解析の例 applications
フーリエ級数
波の合成
We can see rainbow colors if we pass solar light through a prism.
The light decomposed according to the wavelength is called spectrum.
http://www.shokabo.co.jp/sp_e/optical/solar/sun/sun.htm
フーリエ級数 Fourier series
• 周期性を持った波は、どんなに複雑なもので も、たくさんの単純な波の足し合わせででき ている。 → 単純な波に分解できる。
• Complex signals with finite wavelengths can be explained by composition of simple waves.
http://www.nikonet.or.jp/spring/sanae/report/katati/katati_5.htm
各周波数ごとの波の振幅
周波数1 周波数2 周波数3 Sin 3 1 2
Cos 1 2 3 周波数1 2 3
S C
スペクトル
フーリエ級数による表現は、、、
フーリエ級数
例）矩形波のフーリエ級数表現
-π π
http://jc.maxwell.jp/physicalmath/fourier/index.html
n項目 1項目まで
3項目(n=5)まで
6項目(n=11)まで 緑が再現波形
Contribution from high-frequency terms
第1項から第10項までの和 11項から100項までの和 Gibbs
Gibbs現象現象
関数の不連続点では短波長成分の寄与が顕著になる 塵も積もれば山（崖）となる、、、
Little strokes fell great oaks. Every little bit helps.
複素フーリエ級数
フーリエ変換・積分
C
周期信号 非周期信号
連続 フーリエ級数展開 フーリエ変換 信号 離散スペクトル 連続スペクトル
離散 信号
パワースペクトル power spectrum
フーリエ変換 フーリエ変換の強度
フーリエ逆変換
パワースペクトル power spectrum
Power spectrum density
離散データのフーリエ級数展開
Fourier transform for discrete data series
繰り返すものとして考える (端を「そろえる」必要) この間は関数が一定であるとして 積分を置き換える
n=0,1,・・・・,M-1 m=0,1,・・・・
m
エイリアジング aliasing
2⊿t
t 0
⊿tのサンプリングで表現 できる最も短い波長は2⊿t ナイキスト振動数
（Nyquist frequency） fn = 1/ 2⊿t
ωn=2πfn =π/ ⊿t
⊿t
エイリアジング
Nyquist frequency 実際にはこのような スペクトルが得られ てしまう
エイリアジング周期
エイリアジング aliasing
潮汐成分の残ったデータを⊿t＝24hで 読み取る場合、 2⊿t＝48h以下の周期 の信号はエイリアジングを起こす。
ウィーナーヒンチンの関係
Wiener-Khinchin relation Fourier transform フーリエ変換
自己共分散
関数 スペクトル
フーリエ逆変換 Auto-correlation
function
spectrum
例)
日野(1977)
自己相関 correlation
複素フーリエ成分 Fourier component
Fast Fourier Transform : FFT (Cooley-Tukey法)
Blackman-Tukey法
スペクトルの推定法
Estimation of spectrum
相関法
直接法
直接法 相関法 MEM 生データ
Raw data
スペクトル spectrum
Maximum Entropy Method : MEM
「情報エントロピーを最大にするようにスペクトルを決定する」
方法。ラグの大きいところでの自己相関関数の推定の不安定さ を、情報エントロピーを増加させないように選ぶ。
松山・谷本（2005） SOIインデックスのスペクトル
40−60ヶ月
m＝最適ラグ、打ち切り項数
スペクトルの誤差推定
スペクトルとクロススペクトル
spectrum and cross-spectrum
フーリエ変換 自己共分散
関数 スペクトル
相互相関
関数 クロス・スペクトル
Auto-correlation spectrum
Cross-correlation cross-spectrum
スペクトル解析の実例 スペクトルの傾き
-5/3乗則 ３次元乱流
−3乗則 ２次元乱流
風 流れ
スペクトル解析の実例
風に流れがどのように 応答するか？
７日 Cross-spetrum 流れ
current
風 wind
Current lags the wind by 1-1.5 days
High
coherence
スペクトル解析の実例
周期 実験
観測
２次元スペクトル
波数
林(1980)
