y = (x 2 − 3)e − x のグラフの概形を描いて下さい。

１

.

関数

y = (x ² − 3)e ^{− x}

のグラフの概形を描いて下さい。

配点：１０点 シラバス達成度目標：（ア）

解答例

まず、関数を微分してみると、

y ⁰ (x) = (2x − x ² + 3)e ^{− x} = (3 − x)(1 + x)e ^{− x}

であるから、

y ⁰ (x) = 0

^となる

x

^は

3, − 1

^である。

グラフを描くにあたって必要となる極限値も計算しておくと、

x →−1 lim y(x) = lim

x →−1 (x ² − 3)e ^{− x} = 1

x lim →1 y(x) = lim

x →1 (x ² − 3)e ^{− x} = 0

x →−1 lim y ⁰ (x) = lim

x →−1 (3 − x)(1 + x)e ^{− x} = −1

x lim →1 y ⁰ (x) = lim

x →1 (3 − x)(1 + x)e ^{− x} = 0

であるから、増減表は

x −1 · · · − 1 · · · 3 · · · 1 y(x) 1 & − 2e % 6e ^{− 3} & 0

y ⁰ (x) −1 − 0 + 0 − 0

となって、グラフの概形は次の通り。

２

.

関数

h(x, y) = °

x ² + y ² ¢ 2

− 2 °

x ² − y ² ¢

の極値を全て求めて下さい。

配点：１５点 シラバス達成度目標：（エ）

解答例

まず必要となる偏導関数を求めておく。

@h(x, y)

@x = 2(x ² + y ² )2x − 4x = 4x(x ² + y ² − 1)

@h(x, y)

@y = 2(x ² + y ² )2y + 4y = 4y(x ² + y ² + 1)

@ ² h(x, y)

@x ² = 4(x ² + y ² − 1) + 4x(2x) = 4(3x ² + y ² − 1)

@ ² h(x, y)

@y ² = 4(x ² + y ² + 1) + 4y(2y) = 4(x ² + 3y ² + 1)

@ ² h(x, y)

@y@x = 8xy

すると、

gradh(x, y) = 0

^となる

(x, y)

^{は、連立方程式：}

 



4x(x ² + y ² − 1) = 0 4y(x ² + y ² + 1) = 0

の解として求まる。第２式から

y = 0

であるので、これを第１式に代入すると、

x(x ² − 1) = 0

^{となって、}

x = 0, ± 1

である。従って、極値の候補点は

(0, 0), (1, 0), ( − 1, 0)

の３点となる。

更に２階微分の作る行列式を見ると、どうせこの３点でしか見ないのだから

y = 0

としてしまえば

Ø Ø Ø Ø Ø

h _xx h _xy h _xy h _yy Ø Ø Ø Ø Ø =

Ø Ø Ø Ø Ø

4(3x ² + y ² − 1) 8xy 8xy 4(x ² + 3y ² + 1)

Ø Ø Ø Ø Ø

= Ø Ø Ø Ø Ø

4(3x ² − 1) 0 0 4(x ² + 1)

Ø Ø Ø Ø Ø

= 16(x ² + 1)(3x ² − 1)

となって、

(0, 0)

では負、それ以外の２点では正となる事が分かる。

極値であるためにはこの行列式は正でなければならないので、候補は２点

(1, 0), ( − 1, 0)

^{に絞られた。}

更に

(1, 1)-

成分の符号を見るとどちらの場合も正であるからこれらの点では 極小値である事が分かる。また、

h( ± 1, 0) = − 1

なのでその極小値は

− 1

である。

解答：点

( ± 1, 0)

において極小値

− 1

をとる。

３

.

次の議論の誤りを指摘して下さい。

µ

− 1 x

∂ ₀

= 1 x ²

なので、

Z 1

− 1

1 x ² dx =

∑

− 1 x

∏ 1

− 1

= − 2

となる。

配点：１０点 シラバス達成度目標：（ア）、（イ）

解答例

被積分関数は積分範囲内の点

x = 0

において不連続であり、当然微分不可能 でもある。従って式：

µ

− 1 x

∂ ₀

= 1 x ²

は積分範囲内の点

x = 0

において成り立っていない。従って関数

− _x ¹

^は、関数

_x ¹

² の区間

( − 1, 1)

における原始関数ではないので、上の様な計算は成り立たない。

この積分は本来２つの広義積分：

lim c ↑ 0

Z c

− 1

1

x ² dx, lim

d ↓ 0

Z 1

d

1 x ² dx

がともに存在する時にそれらの和として定義されるべきものである。

しかし、

Z c

− 1

1 x ² dx =

∑

− 1 x

∏ c

− 1

= − 1

c − 1 → 1 Z 1

d

1 x ² dx =

∑

− 1 x

∏ 1

d

= − 1 + 1 d → 1

であるから、広義積分として

Z 1

− 1

1

x ² dx = 1

となる。

４

.

次の積分を計算して下さい：

（１）

Z

^π₄

0

tan ² x dx

（２）

Z 1

x ² √

x ² + 1 dx

（３）

Z Z

D

xy ² dxdy

配点：（１）、（２）１０点、（３）１５点 シラバス達成度目標：（イ）、（オ）

解答例

（１）

Z

^π₄

0

tan ² x dx = Z

^π₄

0

sin ² x cos ² x dx

= Z

^π₄

0

1 − cos ² x cos ² x dx

= Z

^π₄

0

µ 1 cos ² x − 1

∂ dx

= [tan x − x] ₀

^π4

= 1 − π 4

（１）別解

tan x = y

^{とおけば、}

_cos ¹

2

x dx = dy

^より

dx = cos ² xdy

^{であるが、}

tan ² x = y ² 1 − cos ² x

cos ² x = y ²

1 = (1 + y ² ) cos ² x cos ² x = 1

1 + y ²

なので

Z

^π₄

0

tan ² x dx = Z 1

0

y ² 1 1 + y ² dy

= Z 1

0

1 + y ² − 1 1 + y ² dy

= Z 1

0

µ

1 − 1 1 + y ²

∂ dy

= £

y − Tan ^{− 1} y § 1 0

= 1 − π

4

を得る。

（２）

√

x ² + 1 = t − x

^{とおけば、}

x ² + 1 = t ² − 2tx + x ² 2tx = t ² − 1

x = t ² − 1 2t

であり、更にこれを微分して

dx

dt = 2t · 2t − 2(t ² − 1) 4t ²

= t ² + 1 2t ²

を得る。また、

p x ² + 1 = t − x

= t − t ² − 1 2t

= t ² + 1 2t

でもあるので、結局この置換により積分は

Z 1

x ² √

x ² + 1 dx =

Z 4t ² (t ² − 1) ²

2t t ² + 1

t ² + 1 2t ² dt

=

Z 4t (t ² − 1) ² dt

= − 2

t ² − 1 + C

= − 1 tx + C

= − 1

x( √

x ² + 1 + x) + C

= −

√ x ² + 1 − x

x + C

= −

√ x ² + 1

x + C

となる（

C

は任意の定数）。

（３） この積分領域

D

は、連立不等式：

 



0 < y < x 0 < x < 2

で書けるので、２重積分を逐次積分に直すと

Z Z

D

xy ² dxdy = Z Z

(0< y < x 0< x <2

xy ² dxdy

= Z 2

0

Z x 0

xy ² dydx

= Z 2

0

∑ 1 3 xy ³

∏ x 0

dx

= Z 2

0

1 3 x ⁴ dx

=

∑ 1 15 x ⁵

∏ 2

0

= 32

15

５

.

球：

x ² + y ² + z ² ≤ 5 ²

と円柱：

x ² + y ² ≤ 3 ²

の交わった部分の体積を 求めて下さい。

配点：１０点 シラバス達成度目標：（ウ）

解答例

この立体を

z

軸に垂直な平面で切ってみると、

z

^{を定数だと思えば}

 



x ² + y ² ≤ 5 ² − z ² x ² + y ² ≤ 3 ²

であるから、この断面は円であり、その半径は

 



√ 5 ² − z ² − 5 < z < − 4, 4 < z < 5

3 − 4 < z < 4

である。

従って求める立体の体積

V

は、

V = Z ₋ 4

− 5

π(5 ² − z ² )dz + Z 4

− 4

π3 ² dz + Z 5

4

π(5 ² − z ² )dz

であるが、第１の積分と第３の積分は同じ値となるので

= 72π + 2π Z 5

4

(5 ² − z ² )dz

= 122π − 2π Z 5

4

z ² dz

= 122π − 2π

∑ 1 3 z ³

∏ 5

4

= 122π − 2π 3

° 5 ³ − 4 ³ ¢

= 244 3 π

６

.

微分方程式

y ⁰⁰ (x) − 5y ⁰ (x) + 6y(x) = 2e ^x

について、以下の問いに答えて下さい。

（１）この方程式の左辺を

µ d

dx − 2

∂ µ d dx − 3

∂

y(x) = 2e ^x

と分解して、

µ d dx − 3

∂

y(x) = w(x)

と置いて得られる

w(x)

の方程式：

µ d dx − 2

∂

w(x) = 2e ^x

の一般項を求めて下さい。

（２）更にその結果を用いて元の方程式の一般解を求めて下さい。

配点：各１０点 シラバス達成度目標：（カ）

解答例

（１）両辺に指数関数を掛けて整理すれば

µ d

dx − 2

∂

w(x) = 2e ^x

e ^{− 2x} w ⁰ (x) − 2e ^{− 2x} w(x) = 2e ^{− x}

° e ^{− 2x} w(x) ¢ ₀

= 2e ^{− x} e ^{− 2x} w(x) = − 2e ^{− x} + C

w(x) = − 2e ^x + Ce ^2x

となって一般解が求まる（

C

^{は任意の定数）。}

（２）上の結果によれば

µ d

dx − 3

∂

y(x) = − 2e ^x + Ce ^2x e ^{− 3x} y ⁰ (x) − 3e ^{− 3x} y(x) = − 2e ^{− 2x} + Ce ^{− x}

° e ^{− 3x} y(x) ¢ ₀

= − 2e ^{− 2x} + Ce ^{− x} e ^{− 3x} y(x) = e ^{− 2x} + Ce ^{− x} + D

y(x) = e ^x + Ce ^2x + De ^3x

を得る（

C, D

は任意の定数）。