平成２４年度　東京工業大学　解答例

平成２４年度　東京工業大学　解答例　

1.

　

f

x

= (2x − x

²

− y

²

)e

^−x−y

, f

y

= (2y − x

²

− y

²

)e

^−x−y

, f

xx

= ( − 4x + 2 + x

²

+ y

²

)e

^−x−y

, f

xy

= ( − 2x − 2y + x

²

+ y

²

)e

^−x−y

, f

yy

= ( − 4y + 2 + x

²

+ y

²

)e

^−x−y．

f

x

= 0, f

y

= 0

とおくと，

2x − x

²

− y

²

= 2y − x

²

− y

²

= 0

より，

x = y

． これを

2x − x

²

− y

²

= 0

に代入して，2x(x

− 1) = 0．

よって，極値の候補者は

(x, y) = (0, 0), (1, 1)

．

D(x, y) = { f

xy

}

²

− f

xx

f

yy

= { ( − 2x − 2y + x

²

+ y

²

)

²

− ( − 4x + 2 + x

²

+ y

²

)( − 4y + 2 + x

²

+ y

²

) } e

^−2x−2y とおくと，

(x, y) = (0, 0)

のとき，

D(0, 0) = − 4 < 0

．

f

xy

(0, 0) = 2 > 0.

よって，

(x, y) = (0, 0)

で極小になり，極小値は

f (0, 0) = 0

．

(x, y) = (1, 1)

のとき，

D(1, 1) = 4e

⁻⁴

> 0

だから，

(x, y) = (1, 1)

では極値をもたない．

2.

　

x = r cos θ, y = r sin θ

とおくと，ヤコビアンは

r

．

Z

_∞

0

Z

_∞

0

e

^{−x2−xy−y2}

dxdy = Z

^π₂

0

Z

_∞

0

re

^{−r2(1+cosθsinθ)}

drdθ

= Z

^π₂

0

h

− 1

2(1 + cos θ sin θ) e

^{−r2(1+cosθsinθ)}

i

_∞

0

dθ

= Z

^π₂

0

1

2(1 + cos θ sin θ) dθ = Z

^π₂

0

1 2 + sin 2θ dθ 2θ = t

とおくと，

= Z

π

0 1 2

dt 2 + sin t

． さらに，

tan t

2 = u

とおくと，

=

Z

_∞

0 1 2

2du 1+u²

2 +

_1+u^2u2

= 1 2

Z

_∞

0

1

u

²

+ u + 1 du = 1 2

Z

_∞

0

¡ 1 u +

¹₂

¢

2

+

³₄

du

= 1 2

√ 2 3

h

tan

⁻¹

u +

¹₂

√3 2

i

_∞

0

= 1

√ 3

³ π 2 − π

6

´

= π 3 √

3

．

3.

　

(1)

　

| A − λE | =

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

− 1 − λ 1 1

1 − 1 − λ 1

1 1 − 1 − λ

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

=

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

1 − λ 1 1

1 − λ − 1 − λ 1 1 − λ 1 − 1 − λ

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

1

=

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

1 − λ 1 1

0 − 2 − λ 0

0 0 − 2 − λ

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

= (1 − λ)(2 + λ)

²

= 0

とおくと，

λ = 1, − 2

（

2

重解）．

(2)

　

λ = 1

のとき，

⎧ ⎪

⎨

⎪ ⎩

− 2x + y + z = 0 x − 2y + z = 0 x + y − 2z = 0

から，

x = y = z

．

よって，

⎛

⎜ ⎝ x y z

⎞

⎟ ⎠ = t

1

⎛

⎜ ⎝ 1 1 1

⎞

⎟ ⎠

（

t

1は

0

でない任意の実数）

(= t

1

p

1とおく

)

．

λ = − 2

のとき，

x + y + z = 0

から，

x = − y − z

．

⎛

⎜ ⎝ x y z

⎞

⎟ ⎠ =

⎛

⎜ ⎝

− y − z y z

⎞

⎟ ⎠ =

⎛

⎜ ⎝

− y y 0

⎞

⎟ ⎠ +

⎛

⎜ ⎝

− z 0 z

⎞

⎟ ⎠ = t

2

⎛

⎜ ⎝

− 1 1 0

⎞

⎟ ⎠ + t

3

⎛

⎜ ⎝

− 1 0 1

⎞

⎟ ⎠

（

t

2

, t

3は

0

でない任意の実数）

(= t

2

p

2

+ t

3

p

3とおく

)

．

p

₁

⊥ p

₂

, p

₁

⊥ p

₃ ですが，

p

₂ と

p

₃ は直交していませんから，

平面

x + y + z = 0

上にあって，例えば，

p

2と直交するベクトル

⎛

⎜ ⎝ a b c

⎞

⎟ ⎠

を求めます．

⎛

⎜ ⎝

− 1 1 0

⎞

⎟ ⎠ ·

⎛

⎜ ⎝ a b c

⎞

⎟ ⎠ = 0

から，

− a + b = 0

．これと，

a + b + c = 0

であることから，

a = b, c = − 2a

． よって，

⎛

⎜ ⎝ a b c

⎞

⎟ ⎠ = t

⁰₃

⎛

⎜ ⎝ 1 1

− 2

⎞

⎟ ⎠

（t⁰₃は

0

でない任意の実数）

(= t

⁰₃

p

⁰₃とおく)．

　

(

参考：　

(Ap

⁰₃

) = A(p

₂

− 2p

₃

) = − 2p

₂

− 2( − 2p

₃

) = − 2(p

₂

− 2p

₃

) = − 2p

⁰₃ ですか ら，

p

⁰₃ も固有値

− 2

の固有ベクトルです．

)

上の互いに直交する各固有ベクトルの単位ベクトルを用いて，

直交行列

P

を

P =

⎛

⎜ ⎜

⎝

√1

3

−

^√1₂ ^√1₆

√1 3

√1 2

√1 6

√1

3

0 −

^√2₆

⎞

⎟ ⎟

⎠

とおくと，

P

⁻¹

AP =

⎛

⎜ ⎝

1 0 0

0 − 2 0 0 0 − 2

⎞

⎟ ⎠

．

なお，ここで作った

P

について，

| P | = − 1

です．（

P

の任意の

2

列を入れ替えると

| P | = 1

となります．）

4.

　

2

| A | =

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

a 1 0 1 a 1 0 1 a

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯

= a

³

− 2a = a(a

²

− 2) 6 = 0

より，

A

が逆行列をもつための条件は，

a 6 = 0, a 6 = ± √ 2

．

A

⁻¹

= 1

| A |

⎛

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎜

⎜ ⎝

¯ ¯

¯ ¯

¯ a 1 1 a

¯ ¯

¯ ¯

¯ −

¯ ¯

¯ ¯

¯ 1 0 1 a

¯ ¯

¯ ¯

¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ 1 0 a 1

¯ ¯

¯ ¯

¯

−

¯ ¯

¯ ¯

¯ 1 1 0 a

¯ ¯

¯ ¯

¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ a 0 0 a

¯ ¯

¯ ¯

¯ −

¯ ¯

¯ ¯

¯ a 0 1 1

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ ¯ 1 a 0 1

¯ ¯

¯ ¯

¯ −

¯ ¯

¯ ¯

¯ a 1 0 1

¯ ¯

¯ ¯

¯

¯ ¯

¯ ¯

¯ a 1 1 a

¯ ¯

¯ ¯

¯

⎞

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎟

⎟ ⎠

= 1

a(a

²

− 2)

⎛

⎜ ⎝

a

²

− 1 − a 1

− a a

²

− a 1 − a a

²

− 1

⎞

⎟ ⎠

．

3