EXP TIME(2 p(l) )

(1)

第５章代表的な計算量クラス

5.1.

代表的な時間計算量クラス

P TIME(p(l))

E TIME(2 ^cl )

EXP TIME(2 ^p(l) )

C

集合：計算量クラスＣに入る集合．

C

問題：

C

集合の認識問題

∪ ∪ ^c>1 ^p:

^多項式

≡

≡ ∪ _p:

_多項式

ある問題が

P

に入っていないなら、

現実的には手に負えない

…

1/8

(2)

Chapter 5 Representative Complexity Classes

5.1. Representative time complexity classes

P TIME(p(l))

E TIME(2 ^cl )

EXP TIME(2 ^p(l) )

C set

：

set in the complexity class C

．

C problem

：

problem of recognizing a C set.

∪ ∪ p:polynomial c>1

≡

≡ ∪ p:polynomial

Problems not in P are intractable from the practical viewpoint…

1/8

(3)

例

5.1:

クラス

P, E, EXP

では，多項式時間程度の違いは問題ではない．

P:

多項式 × 多項式

Æ

多項式

E:

２の線形乗 × 多項式

Æ

２の線形乗

EXP:

２の多項式乗 × 多項式

Æ

２の多項式乗

例

5.2: PRIME

の計算量クラス

例

4.7 Æ PRIME TIME(2 ^l )

故に，

PRIME E

定義

5.1. T:

制限時間の集合

TIME(t): T

時間計算量クラス

∈

t ^∈ T

∪

定理

5.1: (1) P =

∪

c>0 TIME(l ^c ), (2) EXP =

∪

c>0 TIME(2 ^l ^c )

余談

: 2002

年に

のアルゴリズムが考案されたので、今では

P

) ( l

⁶

O

2/8

→これを

TIME(T)

と表す．

(4)

Ex.5.1: Polynomial makes no serious difference in the classes P, E, EXP

．

P: polynomial

×

polynomialÆpolynomial

E: linear power of 2

×

polynomial Æ linear power of 2 EXP: poly. power of 2

×

poly. Æ poly. power of 2

Ex.5.2: Complexity class of PRIME Ex.4.7 Æ PRIME TIME(2 ^l ) Thus

，

PRIME E

Def.5.1: T: set of time limits

TIME(t): T time complexity class

∈

t ^∈ T

∪

Theorem5.1 (1) P =

U

TIME(l ^c ), (2) EXP =

U

TIME(2 ^l ^c )

c>0 c>0

time algorithm put it in P!!

) ( l

⁶

O

2/8

→

It is denoted by TIME(T)

．

(5)

定理

5.1: (1) P =

∪

c>0 TIME(l ^c ), (2) EXP =

∪

c>0 TIME(2 ^l ^c )

証明

: (2)

の証明は省略．

T ¹ : n ^c

という形の多項式の集合．

T ₂ :

多項式の全体

Æ T ₁

⊆

T ₂

なので，

TIME(T ₁ )

⊆

TIME(T ₂ ) p:

任意の多項式

(p

は

T ₂

の任意の要素）

多項式

p

の最大次数を

k

とすると，

p(n) = O(n ^k )

定理

4.3

より，

TIME(p(l))

⊆

TIME(l ^k )

⊆

TIME(T ₁ )

したがって，

TIME(T ₁ )

＝

TIME(T ₂ )

証明終

3/8

(6)

Theorem 5.1: (1) P =

∪

c>0 TIME(l ^c ), (2) EXP =

∪

c>0 TIME(2 ^l ^c )

Proof: The proof of (2) is omitted.

T ₁ : set of polynomials of the form of n ^c

．

T ₂ : set of all polynomials

Æ since T ₁

⊆

T ₂

，

TIME(T ₁ )

⊆

TIME(T ₂ ) p: arbitrary polynomial (p is any element of T ₂

）

if the maximum degree of a polynomial p is k

，

p(n) = O(n ^k ) From Theorem 4.3

，

TIME(p(l))

⊆

TIME(l ^k )

⊆

TIME(T ₁ ) Therefore

，

TIME(T ₁ )

＝

TIME(T ₂ )

Q.E.D.

3/8

(7)

例

5.3.

命題論理式評価問題

(PROP-EVAL)

入力：

<F, < a ₁ , a ₂ , … , a _n >>

F

は拡張命題論理式

(a ₁ , a ₂ , … , a _n

）は

F

に対する真理値割り当て質問：

F(a ₁ , a ₂ , … , a _n ) = 1?

∧ ∨ ¬ → ^↔

1 1

(1,1)

0 0

(1,0)

0 1

(0,1)

1 1

(0,0)

x y

((x → y) ∧ (y → x)) x → y

( ￢ x ∨ y) (x,y)

↔

4/8

(8)

Ex.5.3. Problem of evaluating propositional expression(PROP-EVAL) Input

：

<F, < a ₁ , a ₂ , … , a _n >>

F is an extended prop. expression

(a ₁ , a ₂ , … , a _n

）

is a truth assignment to F Question

：

F(a ₁ , a ₂ , … , a _n ) =1?

1 1

(1,1)

0 0

(1,0)

0 1

(0,1)

1 1

(0,0)

x y

((x → y) ∧ (y → x)) x → y

( ￢ x ∨ y) (x,y)

↔

4/8

(9)

例

5.3.

命題論理式評価問題

(PROP-EVAL)

入力：

<F, < a ₁ , a ₂ , … , a _n >>

F

は拡張命題論理式

(a ₁ , a ₂ , … , a _n

）は

F

に対する真理値割り当て質問：

F(a ₁ , a ₂ , … , a _n ) = 1?

拡張命題論理式

F

がコード化されたものから計算木を作る．

計算木は

O(| | ³ )

時間で構成できる．

計算木が得られていれば，ボトムアップ式で

F(a ₁ , a ₂ , … , a _n )

の値は容易に計算可能．

例：

F(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = [x ₁ x ₂ ] [x ₁ x ₃ ]

∧ ∨ ¬ → ^↔

⎡ ⎤ ^F

∧ ^¬ ∨ ^→ ∨

∧ ^→

¬

x ₁ x ₂ x ₃

計算木

F(0,1,0)=1

0 1 0

0 0 1

1 F(1,1,0)=0

1 1 0

0 0 0

0 5/8

よって

PROP-EVAL

∈ P

(10)

Ex.5.3. Problem of evaluating propositional expression(PROP-EVAL) Input

：

<F, < a ₁ , a ₂ , … , a _n >>

F is an extended prop. expression

(a ₁ , a ₂ , … , a _n

）

is a truth assignment to F Question

：

F(a ₁ , a ₂ , … , a _n ) = 1?

Construct a computation tree from a code of ext. prop. expression It is built in time O(| | ³ )

．

If computation tree is available, we can easily obtain the value F(a ₁ , a ₂ , … , a _n ) in a bottom-up fashion.

Ex.

：

F(x ₁ , x ₂ , x ₃ ) = [x ₁ x ₂ ] [x ₁ x ₃ ]

⎡ ⎤ ^F

∧ ^¬ ∨ ^→ ∨

∧ ^→

¬

x ₁ x ₂ x ₃

computation tree

5/8

Hence PROP-EVAL

∈ P

F(0,1,0)=1

0 1 0

0 0 1

1 F(1,1,0)=0

1 1 0

0 0 0

0

(11)

例

5.3.

命題論理式充足性問題：２和積形

(2SAT)

入力：

<F, < a ₁ , a ₂ , … , a _n >> F

は

2

和積形命題論理式質問：

F(a ₁ , a ₂ , … , a _n ) = 1

を満たす割り当てがあるか

?

和積形

:

F = ( ●∨●∨ …

∨●

)

∧

( ●∨ …

∨●

)

∧

…

∧

(…) -

リテラルの論理和の論理積で表現されたもの

k

和積形

(k SAT)

-

和積形の各論理和が

k

個のリテラルを含む

- 3SAT, 4SAT

も同様に定義できる。

6/8

- SAT:

各論理和のリテラルの個数に制限がないもの

- ExSAT:

入力が拡張命題論理式

(

→や

↔

も許す

)

ちょうど

/

たかだか

(12)

Ex. 5.3. 2-Satisfiability (2SAT)

Input

：

<F, < a ₁ , a ₂ , … , a _n >> F is 2-conjunctive normal form

Question

：

Is there any assignment such that F(a ₁ , a ₂ , … , a _n ) = 1?

Conjunctive Normal Form (CNF)

F = ( ●∨●∨ …

∨●

)

∧

( ●∨ …

∨●

)

∧

…

∧

(…) - described by

∧

of

∨

of literals.

k SAT

- Each closure contains k literals

- We can define 3SAT, 4SAT similarly.

6/8

- SAT consists of any CNF.

- ExSAT consists of any extended propositional expression.

exactly/at most

(13)

例

5.4:

到達可能性問題

(ST-CON)

入力：

<G,s,t> :

無向グラフ

G, 1

≦

s,t

≦

n(=|G|)

質問：

G

上で

s

から

t

への道があるか

?

例

5.4:

一筆書き閉路問題

(DEULER)

入力：

<G>:

有向グラフ

G

質問：

G

はオイラー閉路をもつか

?

¾

閉路とは、始点と終点が同じである路

¾

オイラー閉路とは、すべての辺を一度づつ通る閉路

¾

ハミルトン閉路とは、すべての頂点を一度づつ通る閉路

例

5.5:

ハミルトン閉路問題

(DHAM)

入力：

<G>:

有向グラフ

G

質問：

G

はハミルトン閉路をもつか

?

7/8

(14)

Ex. 5.4: Graph reachability problem (ST-CON)

Input

：

<G,s,t> : an undirectd graph G, 1

≦

s,t

≦

n(=|G|) Question

：

Does G have a path from s to t?

Ex. 5.4: Euler cycle problem (DEULER) Input

：

<G>: a directed graph G

Question

：

Does G have an Euler cycle?

¾Cycle is a path that shares two endpoints.

¾Euler cycle is a cycle that visits all edges once.

¾Hamiltonian cycle is a cycle that visits all vertices once.

Ex. 5.5 Hamiltonian cycle problem (DHAM) Input

：

<G>: a directed graph G

Question

：

Does G have a Hamiltonian cycle?

7/8

(15)

知られていること：

¾

以下の問題はP：

9 PROP-EVAL, 2SAT, ST-CON, DEULER

¾

以下の問題はEであることはわかっているが

… 9 3SAT, DHAM

PとEの間にある

(?)

クラスNP

8/8

(16)

It is known that

：

¾The following problems are in

P：

9 PROP-EVAL, 2SAT, ST-CON, DEULER

¾The following problems are in

E

, but…

9 3SAT, DHAM

The class

NP

between

P

and

E

EXP TIME(2 p(l) )

5.1.

P TIME(p(l))

E TIME(2 cl )

EXP TIME(2 p(l) )

C

C

C

∪ ∪ c>1 p:

≡

≡

≡ ∪ p:

P

…

1/8

Chapter 5

Representative Complexity Classes

5.1. Representative time complexity classes

P TIME(p(l))

E TIME(2 cl )

EXP TIME(2 p(l) )

C set

set in the complexity class C

C problem

problem of recognizing a C set.

∪ ∪ p:polynomial c>1

≡

≡

≡ ∪ p:polynomial

Problems not in P are intractable from the practical viewpoint…

1/8

5.1:

P, E, EXP

P:

Æ

E:

Æ

EXP:

Æ

5.2: PRIME

4.7 Æ PRIME TIME(2 l )

PRIME E

5.1. T:

TIME(t): T

∈

∈

t ∈ T

∪

5.1: (1) P =

c>0 TIME(l c ), (2) EXP =

c>0 TIME(2 l c )

: 2002

P

) ( l

O

2/8

TIME(T)

Ex.5.1: Polynomial makes no serious difference in the classes P, E, EXP

P: polynomial

polynomialÆpolynomial

E: linear power of 2

polynomial Æ linear power of 2 EXP: poly. power of 2

poly. Æ poly. power of 2

Ex.5.2: Complexity class of PRIME Ex.4.7 Æ PRIME TIME(2 l ) Thus

PRIME E

Def.5.1: T: set of time limits

TIME(t): T time complexity class

∈

∈

t ∈ T

∪

Theorem5.1 (1) P =

TIME(l c ), (2) EXP =

TIME(2 l c )

c>0 c>0

time algorithm put it in P!!

) ( l

O

2/8

It is denoted by TIME(T)

E TIME(2 ^cl )

EXP TIME(2 ^p(l) )

∪ ∪ ^c>1 ^p:

≡ ∪ _p:

E TIME(2 ^cl )

EXP TIME(2 ^p(l) )

4.7 Æ PRIME TIME(2 ^l )

t ^∈ T

c>0 TIME(l ^c ), (2) EXP =

c>0 TIME(2 ^l ^c )

Ex.5.2: Complexity class of PRIME Ex.4.7 Æ PRIME TIME(2 ^l ) Thus

t ^∈ T

TIME(l ^c ), (2) EXP =

TIME(2 ^l ^c )

c>0 TIME(l ^c ), (2) EXP =

c>0 TIME(2 ^l ^c )

T ¹ : n ^c

T ₂ :

Æ T ₁

T ₂

TIME(T ₁ )

TIME(T ₂ ) p:

T ₂

p(n) = O(n ^k )

TIME(l ^k )

TIME(T ₁ )

TIME(T ₁ )

TIME(T ₂ )

c>0 TIME(l ^c ), (2) EXP =

c>0 TIME(2 ^l ^c )

T ₁ : set of polynomials of the form of n ^c

T ₂ : set of all polynomials

Æ since T ₁

T ₂

TIME(T ₁ )

TIME(T ₂ ) p: arbitrary polynomial (p is any element of T ₂

p(n) = O(n ^k ) From Theorem 4.3

TIME(l ^k )

TIME(T ₁ ) Therefore

TIME(T ₁ )

TIME(T ₂ )

<F, < a ₁ , a ₂ , … , a _n >>

(a ₁ , a ₂ , … , a _n

F(a ₁ , a ₂ , … , a _n ) = 1?

∧ ∨ ¬ → ^↔

<F, < a ₁ , a ₂ , … , a _n >>

(a ₁ , a ₂ , … , a _n

F(a ₁ , a ₂ , … , a _n ) =1?