共形場理論とモノドロミー保存変形理論

1

共形場理論とモノドロミー保存変形理論

I. Riemann-Hilbert

黒木 玄

最終更新

: 2003

9

16

(

: 2003

9

13

)

目 次

1 Sato-Miwa-Jimbo, Holonomic quantum fields II 1

2 Korotkin

Krichever

2

3

0

Abelian

3

4

4

5

1

5

6

6

7

7

8 Fermion

Schlesinger

7

Notation

添字の

i

ı

1 Sato-Miwa-Jimbo, Holonomic quantum fields II

Sato-Miwa-Jimbo

Holonomic quantum fields II [7]

(Riemann-Hilbert

charged

Fermions

(ホロノミック量子場の理論)

てある

([2] p.108

Y _ij (z) = (w − z) hψ _i ^∗ (w)ψ _j (z)V ₁ (t ₁ ) · · · V _N (t _N )i hV ₁ (t ₁ ) · · · V _N (t _N )i .

ここで,

ψ _j (z)

ψ _i ^∗ (w)

+1, −1

charge (電荷)

charged Fermion

V _a (t _a )

t _a

上の式で行列成分が定義された

n × n

Y (z) = [Y _ij (z)] ⁿ _i,j=1

(1) Y (z)

t 1 , . . . , t N

n × n

t _a

Y (z) = (t _a

GL _n (C)

− t _a ) ^L

; (2) Y (w) = E (正規化の条件).

ここで

E

∗

t ₁ , . . . , t _N

n × n

L _a

n × n

このとき,

w

t _a

w

γ _a

Y (w) = E

Y (w)e ^2πıL

= e ^2πıL

M _a := e ^2πıL

実際には

Sato-Miwa-Jimbo [7]

(共形場理論)

w

t ₁ , . . . , t _N

それを

hyperfunction

Sato-Miwa-Jimbo [7]

holonomic quantum fields

1

Sato-Miwa-Jimbo

2 Korotkin の解と Krichever 構成と共形場理論の関係

Korotkin

(関連の最も最近の仕事は math-ph/0306061 [4])

M _a

(各行各列に 0

1

Y (z)

Riemann

t _a

しかも,その式

(math-ph/0306061 [4]

(4.6))

KP

Baker-Akhiezer

Baker-Akhiezer

1

そのように一般化された

Baker-Akhiezer

Krichever

hep-th/9704090 [5]

(2.3)

Riemann-Hilbert

(math-ph/0306061 [4] (4.6))

Krichever

Baker-Akhiezer

(hep-th/9704090 [5] (2.3))

Riemann

Jacobian

Riemann

prime form

さらに, 共形場理論の言葉を用いれば, Korotkin と

Krichever

Riemann

y(z) (行列値函数ではない)

3

S(z) = h0|ψ ^∗ (w)ψ(z)v ₁ (t ₁ ) · · · v _N (t _N )|Zi h0|v ₁ (t ₁ ) · · · v _N (t _N )|Zi .

ここで,

ψ(z), ψ ^∗ (w)

charged Fermions

|Zi

Riemann

v _a (t _a )

charged Fermions

scalar Boson ϕ(t)

bosonic vertex operator

v _a (t _a ) = :e ^λ

^ϕ(t

⁾ :.

コンパクト

Riemann

Rie- mann

y(z)

Korotkin

そして, 上の

S(z)

τ

τ(t ₁ , . . . , t _N ) = h0|v ₁ (t ₁ ) · · · v _N (t _N )|Zi.

t _a

Virasoro

結論: 複素射影直線上の準置換モノドロミーを持つ

Riemann-Hilbert

Abelian

ここで「Abelian」という用語を使用した理由は次の通り. charged Fermions

ψ(z), ψ ^∗ (w)

Boson-Fermion

ψ(z) = :e ^ϕ(z) :, ψ ^∗ (w) = :e ^−ϕ(w) : :

によって

scalar Boson ϕ(t)

(すなわち Abelian

3 ジーナスが 0 で Abelian な場合

|Z i = |0i

S(z)

0

bosonic vertex operators

h0|:e ^µ

^ϕ(z

⁾ : · · · :e ^µ

^ϕ(z

⁾ :|0i = Y

1≤a<b≤M

(z _a − z _b ) ^µ

^µ

を用いて容易に計算できる. ただし, 左辺が消えないための必要十分条件は

P _M

a=1 µ _a = 0

P _N

a=1 λ a = 0

S(z) = h0|ψ ^∗ (w)ψ(z)v ₁ (t ₁ ) · · · v _N (t _N )|0i

h0|v ₁ (t ₁ ) · · · v _N (t _N )|0i .

(w − z)S(z) = (z − t 1 ) ^λ

· · · (z − t N ) ^λ

(w − t ₁ ) ^λ

· · · (w − t _N ) ^λ

.

よって,

y(z) = (w − z)S(z)

y(z)

(1) y(z)

t ₁ , . . . , t _N

t a

y(z) = (t _a

C ^×

− t _a ) ^λ

; (2) y(w) = 1 (正規化の条件).

よって

GL ₁ (C) = C ^×

Abelian

Riemann-Hilbert

Abelian

4 共形場理論を用いたホロノミック量子場の再構成の可能性

ここまでたどり着けば次の疑問が自然に生じる.

問題

1:

Sato-Miwa-Jimbo

Holonomic quantum fields II [7]

non-Abelian

もしもこの問題が肯定的に解けたならば一般のコンパクト

Riemann

保存変形

(ただし確定特異点型の場合)

されてしまうことになる. なぜならば, 共形場理論はもともと一般のコンパクト

Riemann

Sato-Miwa-Jimbo [7]

(Schlesinger

Schlesinger

Sato-Miwa-Jimbo [7]

1

問題

2:

([3], [6])

さらにジーナスが

0

問題

3:

1

Riemann-Hilbert

q

vertex operator

KZ

I. Frenkel–Reshetikhin [1]

q-vertex operator

q-KZ

1

5

5 _問題 1 の肯定的な解のスケッチ

Abelian

Riemann

line bundle

り, non-Abelian な共形場理論は

vector bundle

以下, rank

n

vector bundle

Abelian

Boson-Fermion

non-Abelian

charged Fermions

scalar Boson

n

出発点になる基本的な場の

operators

scalar Bosons ϕ ₁ (z), . . . , ϕ _n (z)

Fermion

charged Fermions

ψ _i (z) = :e ^ϕ

^(z) :, ψ ^∗ _i (z) = :e ^−ϕ

^(z) :

と構成される. (注意:

i 6= j

ϕ _i (z)

ϕ _j (w)

scalar Bosons

ψ i (z)

ψ _j (w)

ϕ _i (z)

normal ordered product

(cf. affine Lie algebra

I. Frenkel–Kac

通常の

charged Fermions

|0i

n × n

L _a

|L _a i

F _L

(正

7

[ψ ₁ (z)|L _a i, . . . , ψ _n (z)|L _a i] = (原点 0

^L

,



 

ψ ₁ ^∗ (w)|L _a i ...

ψ ^∗ _n (w)|L a i



  = w ^−L

(原点 0

このような表現

F _L

|L _a i

t _a

t _a

|L _a i

V a (t a ) = (点 t a

|L a i)

以上の設定のもとで

Fermions

n × n

Ψ(w, z) =



 

ψ ₁ ^∗ (w)ψ ₁ (z) · · · ψ ^∗ ₁ (w)ψ _n (z)

... ...

ψ ^∗ _n (w)ψ ₁ (z) · · · ψ _n ^∗ (w)ψ _n (z)



 

は各点

t a

z

w

Ψ = (t _a

− t _a ) ^L

(z

t _a

Ψ = (w − t _a ) ^−L

(t _a

(w

t _a

よって,相関函数の行列

hΨ(w, z)V 1 (t 1 ) · · · V N (t N )i = £

hψ _i ^∗ (w)ψ j (w)V 1 (t 1 ) · · · V N (t N )i ¤ _n

i,j=1

は正規化の条件を除けば

Riemann-Hilbert

Y (z)

Y (z) = hΨ(w, z)V ₁ (t ₁ ) · · · V _N (t _N )i

hV ₁ (t ₁ ) · · · V _N (t _N )i E(w, z) dw ^1/2 dz ^1/2 .

E (w, z)

Riemann

prime form

右辺にある

dw ^1/2 dz ^1/2

ψ _i ^∗ (w), ψ _i (z)

half-form

E(w, z)

w, z

dual half-form ((−1/2)-form)

E(w, z)

dw ^−1/2 dz ^−1/2

Y (z)

dw ^1/2 dz ^1/2

Y (z)

z (および w)

(0-form)

Y (z)

τ

τ(t ₁ , . . . , t _N ) = hV ₁ (t ₁ ) · · · V _N (t _N )i.

t _a

Virasoro

以上の共形場の理論を用いた構成は

Sato-Miwa-Jimbo

Holonomic quantum fields II [7]

0

E(w, z) dw ^1/2 dz ^1/2 = w − z

であることに注意すれば, ジーナス

0

Y (z)

Sato-Miwa-Jimbo

Riemann-Hilbert

ただし, 以上の説明でひどく曖昧な点が

2

(1)

|L _a i

F _L

(2)

hΨ(w, z)V 1 (t 1 ) · · · V N (t N )i

この

2

6 相関函数の定義の仕方

相関函数の定義は

Tsuchiya-Ueno-Yamada [9]

conformal block

t _a

(t _a

− t _a ) ^L

, (z − t _a ) ^−L

(t _a

の形をしているもの全体の空間を考え,その元に対応する

Fermion

条件で

conformal block

conformal

blocks

1

L _a

る条件を満たしていなければいけない. 満たしていない場合は

conformal blocks

0

7

7 _{表現空間の構成の仕方}

表現

F _L

簡単のため

L := L _a

ψ _i , ψ _j ^∗

L = L _a

diag(λ ₁ , . . . , λ _n )

L _a

L _a

Abelian

理論と

non-Abelian

すると

ψ _i (z), ψ ^∗ _j (w)

|Li

ψ i (z)|Li = z ^λ

(原点 0

ψ ^∗ _j (w)|Li = w ^−λ

(原点 0

よって,

ψ _i (z)

ψ _j ^∗ (w)

ψ _i (z) = X

z ^−m−1/2 ψ _i [m] (m

−λ _i + 1/2 + Z

ψ _j ^∗ (w) = X

w ^−n−1/2 ψ _j ^∗ [n] (n

λ _j + 1/2 + Z

Boson-Fermion

ψ i [m], ψ _j ^∗ [n]

[ψ _i [m], ψ ^∗ _j [n]] = δ _i,j δ _m+n,0 .

そして, 上の条件から,これらの

|Li

ψ _i [m]|Li = 0 if m ∈ −λ _i + (1/2 + Z) _>0 , ψ _j ^∗ [n]|Li = 0 if n ∈ λ j + (1/2 + Z) >0 .

このような性質を持つ

|Li

ψ _i [m], ψ _j ^∗ [n]

Clifford

F _L = F _L

以上の構成を

n = 1

Abelian

Riemann-Hilber

(もしくは同じことだが Krichever

Baker-Akhiezer

Abelian

8 Fermion の作用による Schlesinger 変換の実現

前節の

L _a

ψ _i , ψ _j ^∗

ψ _a,i , ψ ^∗ _a,j

L _a

diag(λ _a,1 , . . . , λ _a,n )

Schlesinger

F L

Fermion

たとえば,

a 6= b

L _a

i

1

L _b

j

1

Schlesinger

t _a , t _b

|L _a i 7→ | L ˜ _a i = ψ _a,i [−λ _a,i − ¹ ₂ ]|L _a i = I

|z|=ε

dz

2πı z ^−λ

⁻¹ ψ _a,i (z)|L _a i,

|L _b i 7→ | L ˜ _b i = ψ _b,j ^∗ [λ _b,j − ¹ ₂ ]|L _b i = I

|w|=ε

dw

2πı w ^λ

⁻¹ ψ _b,j (w)|L _b i.

実際,

| L ˜ _a i, | L ˜ _b i

ψ a,i (z)| L ˜ a i = z ^λ

⁺¹ (原点 0

L ˜ a i, ψ b,j (z)| L ˜ b i = z ^λ

⁻¹ (原点 0

L ˜ b i.

τ

τ = hV ₁ (t ₁ ) · · · V _N (t _N )i 7→ τ ˜ =

I

|z

−t

|=ε

dz a

2πı I

|w

−t

|=ε

dw b

2πı z ^−λ

⁻¹ w ^λ

⁻¹ hψ ^∗ _b,j (w _b )ψ _a,i (z _a )V ₁ (t ₁ ) · · · V _N (t _N )i.

よって,

τ -quotient ˜ τ /τ

Riemann-Hilbert

Y

参考文献

[1] Frenkel, I. B. and Reshetikhin, N. Yu.: Quantum affine algebras and holonomic difference equations, Comm. Math. Phys. 146 (1992), no. 1, 1–60.

[2]

4,

[3] Jimbo, M., Miwa, T., and Ueno, K.: Monodromy preserving deformation of linear ordinary differential equations with rational coefficients, I, General theory and τ- function, Phys. D 2 (1981), no. 2, 306–352.

[4] Korotkin, D.: Solution of matrix Riemann-Hilbert problems with quasi-permutation monodromy matrices, preprint 2003, math-ph/0306061.

[5] Krichever, I., Wiegmann, P., and Zabrodin, A.: Elliptic solutions to difference non- linear equations and related many-body problems, Commun. Math. Phys. 193 (1998), 373–396, hep-th/9704090.

[6] Miwa, Tetsuji: Clifford operators and Riemann’s monodromy problem, Publ. Res.

Inst. Math. Sci. 17 (1981), no. 2, 665–686.

[7] Sato, Mikio, Miwa, Tetsuji, and Jimbo, Michio: Holonomic quantum fields II, The Riemann-Hilbert problem, Publ. Res. Inst. Math. Sci. 15 (1979), no. 1, 201–278.

[8] Tsuchiya, Akihiro and Kanie, Yukihiro: Vertex operators in conformal field theory on P ¹ and monodromy representations of braid group. Conformal field theory and solvable lattice models (Kyoto, 1986), 297–372, Adv. Stud. Pure Math., 16, Academic Press, Boston, MA, 1988;

Errata: Integrable systems in quantum field theory and statistical mechanics, 675–

682, Adv. Stud. Pure Math., 19, Academic Press, Boston, MA, 1989.

[9] Tsuchiya, Akihiro, Ueno, Kenji, and Yamada, Yasuhiko: Conformal field theory on

universal family of stable curves with gauge symmetries, Integrable systems in quan-

tum field theory and statistical mechanics, 459–566, Adv. Stud. Pure Math., 19,

Academic Press, Boston, MA, 1989.