学術俯瞰講義
学術俯瞰講義
「数学を創る」
「数学を創る」
－数学者達の挑戦－
2009年度冬学期
2009年度冬学期
第
13回「文化と数学」
第
数
」
2010/1/21 岡本和夫
数学に関する余談（常識）
数学に関する余談（常識）
Vヨーロッパ中世の自由７学科
論理学 文法 修辞学
論理学、文法、修辞学
Vマテマ４学科
幾何学、算術、天文学、音楽
V解析
(analysis)と総合(synthesis)
V解析
(analysis)と総合(synthesis)
Pierre de Fermat
素数
2nは素数か？
1
2
F(n)
=
2n+
3
1
2
)
0
F(
15
1
2
)
1
F(
3
1
2
)
0
F(
2 1+
=
=
17
1
2
)
2
F(
5
1
2
)
1
F(
4 2+
=
=
257
1
2
)
3
F(
17
1
2
)
2
F(
8 4+
=
=
65537
1
2
)
4
F(
257
1
2
)
3
F(
16 8+
=
=
65537
1
2
)
4
F(
=
16+
=
4294967297
1
2
)
5
F(
32+
670047
641
4294967297
1
2
)
5
F(
32×
=
+
=
670047
641
×
=
オイラ が
オイラーが
証明した
証明した
1
2
)
5
F(
5
)
2
32+1
F(
=
32+
,
,
5
,
2
7=
=
=
b
c
ab
a
,
2
2
2
,
,
,
4 28 32=
,
2
,
4 28= a
125
128
3
,
2
3−
=
−
=
a
b
a
1
5
3
16
2
,
125
128
3
4=
=
×
+
=
=
a
b
1
5
3
16
2
=
=
×
+
1
)
1
)
((
)
5
(
=
a
4a
−
b
3b
+
+
F
,
1
)
1
(
4 4+
−
+
=
a
c
c
)
1
)(
1
)(
1
(
1
)
(
2 4−
=
−
+
+
c
c
c
c
1
(
c
1
)(
c
+ c
1
)(
+
1
)
c
で割り切れる
は
1
641
)
5
(
c
+
F
(
5
)
は
c
+
1
=
641
で割り切れる
F
Leonhard Euler
1707-1783
何のために証明するのか
何のために証明するのか
で
は
1238926361
552897
)
8
(
F
割り切れる
で割り切れる
は
5
2
1
)
3310
(
⋅
3313+
F
(
)
注意！ 素数であることは 比較的簡単 判定 きるが 比較的簡単に判定できるが， 素因数を見つけることは飛躍的に困難数学に期待されていること
数学に期待されていること
明晰 ある と
V明晰であること
V想像力をゆたかにすること
像
を
す
V知的好奇心を身につけること
V数学を使うことの楽しみ
数学を創るとは？
数学を創るとは？
数学
数理モデル数学
事実を発見し言語
道具
事実を発見し 世界を創る数学
数学
数学
純粋数学と応用数学
純粋数学と応用数学
V数学から数学を創る
純粋数学
純粋数学
V自然現象や社会現象から数学を創る
自然現象や社会現象から数学を創る
応用数学
数学についてもう一言
数学についてもう一言
ば
V学ぶ立場から言えば・・・
それから こっち あっち これ 数 学 これ 学 あれ数学の役割
数学の役割
ば
V科学技術の中で見れば・・・
あっち こっち 数学 数学 あれや これや どれや あれや新しい使い道
曲線を描く
CADの基礎にある数学
曲線
( ) (
(
t
)
(
t
)
)
の接線ベクトル
曲線
( ) (
x
,
y
=
x
(
t
),
y
(
t
)
)
の接線ベクトル
⎞ ⎛ d d ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ = ( 0), (t0) dt dy t dt dx vv
y t y 0 t x t の増える方向 xベジエ
3次曲線
3 3 2 2 2 1 3 0(
1
t
)
3
a
t
(
1
t
)
3
a
t
(
1
t
)
a
t
a
x
=
−
+
−
+
−
+
3 3 2 2 2 1 3 0(
1
t
)
3
b
t
(
1
t
)
3
b
t
(
1
t
)
b
t
b
y
=
−
+
−
+
−
+
d
( )
d
1 03
3
0
a
a
dt
dx
=
−
+
( )
3 23
3
1
a
a
dt
dx
+
−
=
( )
0
3
b
03
b
1dy
+
−
=
dy
( )
1
3
b
23
b
3dt
+
−
=
( )
0 1dt
dt
( )
1
3
b
2+
3
b
3 お る接線ベク 0 = t における接線ベクトルは⎞
⎛
⎞
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
−
1 1 0 03
3
b
a
b
a
⎠
⎝
⎠
⎝
b
0b
1) , ( P2 a2 b2 ) ( P b ) , ( P3 a3 b3 ) , ( P0 a0 b0 ) , ( P11 ( a11 , b11 )
ベジ
3次曲線
ベジエ
3次曲線
P 2 P P3 1 P 0 P3 2 2 3 3 2 2 3 3 3 2 2 2 1 3 0
)
1
(
3
)
1
(
3
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
3
)
1
(
t
b
t
t
b
t
t
b
t
b
t
a
t
t
a
t
t
a
t
a
x
=
−
+
−
+
−
+
3 3 2 2 2 1 3 0(
1
t
)
3
b
t
(
1
t
)
3
b
t
(
1
t
)
b
t
b
y
=
−
+
−
+
−
+
(
)
3 3 2 2 33
3
uv
u
v
v
u
v
u
+
+
+
=
+
より(
)
(
1)
1 ) 1 ( 3 ) 1 ( 3 ) 1 ( − t 3 + t − t 2 + t2 − t + t3 = − t + t 3 = 因数分解3 2 2 3 3 3 2 2 2 1 3 0
)
1
(
3
)
1
(
3
)
1
(
)
1
(
3
)
1
(
3
)
1
(
t
a
t
t
a
t
t
a
t
a
x
=
−
+
−
+
−
+
a x − = 3 2 2 3)
1
(
3
)
1
(
3
)
1
(
t
a
t
t
a
t
t
a
t
a
a
=
−
+
−
+
−
+
(
)
(
)
(
)
(
)
3 3 2 2 2 1 3 0 a (1 t) 3 a a t(1 t) 3 a a t (1 t) a a t a a x − + − − + − − + − − = − b y − =(
)
(
)
(
)
(
)
3 3 2 2 2 1 3 0 b (1 t) 3 b b t(1 t) 3 b b t (1 t) b b t b − − + − − + − − + −平行移動しても図形は変わらない
平行移動 平行移動
出典http://de.wikipedia.org/w/index.php?title=Datei:Avignon_Panorama.jpg&filetimestamp=20090930184559
Pierre Bézier
Pierre Bézier
1910-1999
Photo from Systeme d'information sur le patronat français
まず歴史から学ぼう
まず歴史から学ぼう
V 元来私の教育主義は自然の原則に重きを おいて 数と理と の のものを本にし おいて、数と理とこの二つのものを本にし て、人間万事有形の経営はすべてソレカ ラ割り出して行きたい ラ割り出して行きたい V 都て事物を詮索するには、枝末を払いて その本源に遡り、止る所の本位を求めざ るべからず。かくの如くすれば、議論の箇 条は次第に減じて、その本位は益確実な るべし。学ぶ とはどういうことか
学ぶ、とはどういうことか
太極旗
太極旗
太極と卦
太極と卦
泰
泰
卦と爻
卦と爻
易経
易経
學
教
私は自分のもっている
ものしか教えることは
し
教
できないが、相手は、
できな
が、相手は、
それ以上のことを學ぶ
それ以上のことを學ぶ
ことができる
ことができる。
科学の発展
展
表示を変える
見方を変える
見方を変える
調和振動の方程式
調和振動の方程式
2d
0
2 2 2=
+ x
dt
x
d
ω
dt
v
dt
dx =
単独2階微分方程式dx
dt
dv
2 単独2階微分方程式dt
dx
v
=
dt
x
2ω
−
=
連立微分方程式フックの法則
2d
フックの法則
k0
2 2 2=
+
x
dt
x
d
ω
kx − X 0 xd
2kx
dt
x
d
m
2=
−
2 m k = 2 ωdt
m全エネルギー
全 ネルギ
v dx v dt = dv 2 2 22
1
2
1
x
v
H
=
+
ω
x dt dv = −ω22
2
0 ) ( 2 2 2 = − + = + = v x xv dt dx x dt dv v dt dH ω ω ω dt dt dt 2 2 2 ) ( 1 ) ( 1 t x t v h = + ωh
H
=
0 0 ( ) 2 ) ( 2 v t x t h = + ωh H = h は
xv
座標平面内の楕円を表す Hxv
v 1 1 は 座標平面内の楕円を表す h x v2 + 2 2 = 2 1 2 1 ω 0 t ● x t ● 相空間 相空間 という 軸方向をみれば振動している x 軸方向をみれば振動している xハミルトニアン
ハミルトニアン
1
1
v dt dx = 2 2 22
1
2
1
x
v
H
=
+
ω
x dt dv ω2 − =2
2
dt H dx ∂ v H dt dx ∂ ∂ = 力学の方程式の 基本形 x H dt dv ∂ ∂ − = 基本形調和振動子
ものの見方を変える
調和振動子
ものの見方を変える
1 1 2 2 2 1 2 1 x p H = + ψ これは単なる記号で、関数 に対して Hψ だけが 意味を持 と考える 2 意味を持つと考える。 ψ ψ ψ 2 2 2 2 1 2 1 x dx d H = − +2 2 1 1 H 2 2 2 2 p x H = + Hψ において 2 2 2 : dx d p ψ ⇒ − ψ x2
ψ
:⇒ x2ψ
2x
は掛けられるだけだがp
2 は微分になる 2 1 1 dx
は掛けられるだけだがp
は微分になる 2 2 2 1 2 1 x dx d H = − + 量 化 と言う d p :⇒ 1 量子化、と言う dx i p :⇒シュレーディンガー方程式
シュレーディンガー方程式
2 1 1 d 2 2 2 1 2 1 x dx d H = − + バネの運動から 形式的にではあるがψ
ψ
E
H
=
形式的にではあるが 量子力学 に発展しているψ
ψ
に発展している ∞ <∫
−∞∞ dx 2ψ
E
この条件を実現する を固有値という⎞ ⎛ 1 ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛− = 2 0 2 1 exp x ψ 2 2 2 2 1 2 1 x dx d H = − + 0 0 2 1 ψ ψ = H
ψ
ψ
E
H
=
∫
∞ < ∞ ∞ dx 2ψ
n E = 1 +∫
−∞ が成り立つのは En + n の場合だけ 2 0 ) ( ψ ψ = H x H (x) x が成り立つのは の場合だけ は の多項式 0 ) ( ψ ψ n Hn x Hn(x) x となる は の多項式 となる若者に求められる能力
若者に求められる能力
V大学が求めるもの
V企業が求めるもの
V企業が求めるもの
みんな V専門職能力
V共通な能力
みんな 勝手なこと 言ってる！ V共通な能力
コミュニケーション能力
言ってる！プレゼンテーション 送り手 送り手 受け手
M
T
C
P
=
×
×
伝えたい内容 C 伝えたい内容 伝える技術 受け手の意欲 C T M 1 0 ≤ T ≤ 1 ≤ M 受け手の意欲 M M ≤1で おまえはどうなんだ！
で、おまえはどうなんだ！
V 数学の中から問題を発見し数学を使って数学で表 現している V 普通の純粋数学者 （のつもり） （のつもり）私の数学
可積分系
パンルヴェ方程式
パンルヴェ方程式
少しだけ専門の話をしますと
少しだけ専門の話をしますと、
可積分系の理論です。
u
u
u
u
∂
+
∂
=
∂
6
3x
u
x
t
=
∂
+
∂
∂
36
これは非線型の波を表す
KdV 方程式 す
KdV 方程式です。
津波に関係しています。
津波に関係しています。
20世紀後半に、数学に新しい視点が
復活します
復活します。
標語的に言うと、
カオス ソリトン フラクタル
カオス、ソリトン、フラクタル
です。
KdV方程式はソリトン方程式です。
イメージをつかむため、
KdV方程式をデジタルで表すと
KdV方程式をデジタルで表すと、
000000000 0000000000 0011000010 0000111100 右側と左側はずっと0が並んでいる ルール 左から順番に1を次の0の場所に移す。 空いた場所は0を書く。
000000000 0000000000 0011000010 0000111100 000000000 0000000000 1100110001 0000000011 箱球系のソリトン 箱球系のソリトン
000000000 0000000000 0011000010 0000111100 000000000 0000000000 1100110001 0000000011 000000000 1100000000 0011001110 0000000000 4個の固まりが追いついて
000000000 0000000000 0011000010 0000111100 000000000 0000000000 1100110001 0000000011 000000000 1100000000 0011001110 0000000000 000000000 0011110000 0000110001 0000000000 0000110001 0011110000 000000000 0000000000 追い越す
000000000 0000000000 0011000010 0000111100 000000000 0000000000 1100110001 0000000011 000000000 1100000000 0011001110 0000000000 000000000 0011110000 0000110001 0000000000 0000110001 0011110000 000000000 0000000000 000000000 1000001111 0000001100 0000000000
000000000 0000000000 0011000010 0000111100 000000000 0000000000 1100110001 0000000011 000000000 1100000000 0011001110 0000000000 000000000 0011110000 0000110001 0000000000 0000110001 0011110000 000000000 0000000000 000000000 1000001111 0000001100 0000000000 111100000 0100000000 0000000011 0000000000 0000000011 0100000000 111100000 0000000000
000000000 0000000000 0011000010 0000111100 000000000 0000000000 1100110001 0000000011 000000000 1100000000 0011001110 0000000000 000000000 0011110000 0000110001 0000000000 0000110001 0011110000 000000000 0000000000 000000000 1000001111 0000001100 0000000000 111100000 0100000000 0000000011 0000000000 0000000011 0100000000 111100000 0000000000 000011110 1011000000 0000000000 0000000000 2個の固まりが追いついて追い越す
000000000 0000000000 0011000010 0000111100 000000000 0000000000 1100110001 0000000011 000000000 1100000000 0011001110 0000000000 000000000 0011110000 0000110001 0000000000 0000110001 0011110000 000000000 0000000000 000000000 1000001111 0000001100 0000000000 111100000 0100000000 0000000011 0000000000 0000000011 0100000000 111100000 0000000000 000011110 1011000000 0000000000 0000000000 000000001 0100110000 0000000000 0000000000 状況が逆転している
2
α
+
+
=
y
xy
d
y
d
3 2 22
dx
2これはパンルヴェ方程式です
これはパンルヴェ方程式です。
Paul Painlevé 1863-1933
