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線型空間
線型空間の公理
集合 V が次の条件（(I)：(1)∼(4)、(II)：(1)∼(4)）を満たすとき、V を K 上の線型空間（ベ クトル空間、vector space）と呼び、V の要素をベクトル（vector）、K の要素をスカラー （scalor）と呼ぶ。K が C のときは複素線型空間、K が R のときは実線型空間という。 (I) 任意の x, y ∈ V に対して、和 x + y ∈ V が定義されている。この演算を加法といい、 次の四つの公理を満たす： (1) (x + y) + z = x + (y + z)（結合法則） (2) x + y = y + x（交換法則） (3) V の一つの要素 0（零ベクトルと呼ぶ）が存在し、任意の x ∈ V に対して、 x + 0 = x が成り立つ。 (4) 任意の x ∈ V に対して、x + x = 0 となる x ∈ V が存在する。これを x の逆ベクト ルといい、−x と表す。 (II) 任意の x ∈ V , および任意の α ∈ K に対して、スカラー倍 αx ∈ V が定義されてい る。この演算をスカラー乗法といい、次の四つの公理を満たす： (1) (α + β)x = αx + βx (2) α(x + y) = αx + αy (3) α(βx) = (αβ)x (4) 1x = x 注. (2)より、(3)や(4)が成り立てば、 x + 0 = 0 + x = x, x + (−x) = (−x) + x = 0 がそれぞれ成り立つ。 注.線型空間V の任意の要素x, yに対して、減法が次のように定義される： x − y = x + (−y). 注. 零ベクトルは、存在すれば一意である。実際、二つの零ベクトル0, 0 ∈ V が存在したとする と、0= 0+ 0 = 0であるから、0 = 0である。
注. x ∈ V の逆ベクトル−xは、存在すれば一意である。実際、任意のx ∈ V に対し、二つの逆ベ クトルx, x∈ V が存在したとすると、x= x+0 = x+(x+x) = (x+x)+x = 0+x = x であるから、x= xである。 注. 0x = 0が成り立つ。実際、x = 1x = (1 + 0)x = 1x + 0x = x + 0xと、零ベクトルの一意存 在性から、0x = 0が成り立つ。左辺はxの0倍、右辺は零ベクトルであるので、この両辺は概念 的に全く異なるものであり、この等式は自明でない！ことに注意せよ。 注. (−1)x = −xが成り立つ。実際、0 = 0x = (1 + (−1))x = 1x + (−1)x = x + (−1)xと、逆ベ クトルの一意存在性から、(−1)x = −xが成り立つ。左辺はxの−1倍、右辺はxの逆ベクトルで あるので、この両辺は概念的に全く異なるものであり、この等式は自明でない！ことに注意せよ。 1. 線型空間の例 1 R の要素を成分とする n 次列ベクトル全体を Rnとおく： Rn = x1 x2 ... xn x1, x2, . . . , xn ∈ R . 集合Rnにおいて、和とスカラー倍を次のように定義する： x1 x2 ... xn + y1 y2 ... yn = x1+ y1 x2+ y2 ... xn+ yn , α x1 x2 ... xn = αx1 αx2 ... αxn . このとき、集合RnがR 上の線型空間をなすことは、線型空間の公理 (I)(II) の全てをチェッ クすることによって確認される。（零ベクトルは0 =t(0, 0, . . . , 0), t(x1, x2, . . . , xn) の逆ベ クトルはt(−x1,−x2, . . . ,−xn) である。） 注. Rnはn次元ユークリッド空間（Euclidean space）と呼ばれる。2次元ユークリッド空間R2 の要素は「平面ベクトル」、3次元ユークリッド空間R3の要素は「空間ベクトル」に相当する。 問題 1. R の要素を成分とする m × n 型行列全体を M(m, n; R) とおく： M (m, n; R) = a11 · · · a1n ... · · · ... am1 · · · amn aij ∈ R, 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n . 集合 M(m, n; R) は、通常の行列の和とスカラー倍（実数倍）について、R 上 の線型空間をなすことを確認せよ。
2. 線型空間の例 2 R から R への関数全体のなす集合を F とする。任意の f, g ∈ F と α ∈ R について、和 f + g とスカラー倍 αf を、任意の x ∈ R に対して、 (f + g)(x) = f (x) + g(x), (αf )(x) = αf (x) と定義する。このとき、F はR 上の線型空間をなす。実際、公理 (I)(1)(2) はよいであろ う。零ベクトルとしては、恒等的に0 である関数（そのような関数記号はないので、仮に f0(x) ≡ 0 とでもしておけばよい）をとり、関数 f の逆ベクトルとしては、任意の x ∈ R に対して、 ¯f (x) = −f(x) と定義される関数 ¯f をとればよい。公理 (II) についても一つ一 つ確認していけばよい。したがって、公理より0f = f0, (−1)f = ¯f を導くことも容易で ある。 注.通常、関数f¯は−fと表される。また、f0(x) = 0(x)とでも表せば、f − f = 0である。もち ろん、これは関数f、すなわちF の要素としてのベクトルとf の逆ベクトルの和が零ベクトルに 等しいということ、すなわち定義から、任意のxについてf(x) − f(x) = 0(x)が成り立つことを 示しているのであり、したがって、実数の引き算、例えば3 − 3 = 0とは全く異なる集合上での演 算である。しかし、3 − 3 = 0の計算とf − f = 0の計算を混同しても間違いはおこらない。その 理由はFとRが共に「線型空間」をなしているからで、お陰で、集合上の差異を意識することな く、慣れ親しんだ計算と同様に計算ができるのである。加えて、記号法のマジックである。 問題 2. 実数列全体の集合を P とおく：P = {{an}n=1,2,...| an ∈ R, n ∈ N}. 任 意の{an}, {bn} ∈ P と α ∈ R に対し、和 {an} + {bn} とスカラー倍 α{an} を、 {an} + {bn} = {an+ bn}, α{an} = {αan} と定義する。このとき、P はR 上の線型空間をなすことを示せ。 注.以上の例と問題からわかるように、数ベクトル以外に、行列や関数、数列もベクトルと見なす ことができる。 部分空間 線型空間 V の部分集合 W が、V と同じ演算によってそれ自身線型空間をなすならば、W は V の線形部分空間（vector subspace）、もしくは略して部分空間と呼ぶ。W (= φ) が部 分空間をなすかどうかの判定は、公理(I)(II) の全てにわたって調べる必要はない。実は、 次の二つの条件が必要十分である： x, y ∈ W =⇒ x + y ∈ W, x ∈ W, α ∈ R =⇒ αx ∈ W.
実際、必要性は明らかなので、十分性をチェックすればよい。まず、W は V の部分集合、 かつ和とスカラー倍について閉じていることから、公理(I)(1)(2) と (II)(1)∼(4) は成立す る。(I)(3)(4) がさしあたり不明である（0 ∈ V だが、0 ∈ W であるかどうか不明。また、 x ∈ W に対して、−x ∈ V ではあるが、−x ∈ W かどうか不明）。しかし上の 2 番目の 条件で、α = 0 とおけば、0x = 0 ∈ W であることがわかり、また、α = −1 とおけば、 (−1)x = −x ∈ W であることがわかる。 注. V 自身、および{0}はそれぞれV の部分空間である。 3. 部分空間の例 1 (1) n 次実正方行列全体 M(n; R) = M(n, n; R) において、対称行列全体 S, 交代行列全体 A, 上三角行列全体 U はどれも M(n; R) の部分空間である。 (2) F は §2. と同じとする。このとき、 C0 = {f ∈ F | f (x) は R 上いたるところで連続 } C1 = {f ∈ C0| f(x) は R 上いたるところで微分可能 } とすると、C0は F の、C1は C0の部分空間をなす。しかし、 F − C0 = {f ∈ F | f (x) は少なくとも一点で不連続 } は、F の部分空間をなさない。 (3) P は問題 2. と同じとする。このとき、 Gλ = {{an} ∈ P | an+1 = λan(n ∈ N )} とすると、Gλは P の部分空間をなす。しかし、 Aλ = {{an} ∈ P | an+1 = an+ λ (n ∈ N )} は、λ= 0 のとき P の部分空間をなさない。 問題 3. 上の各例を確かめよ。 4. 部分空間の例 2 a1, a2, . . . , anを与えられた実定数とし、少なくとも一つは0 でない、すなわち (a1, a2, . . . , an) = (0, 0, . . . , 0) とする。R 上の線型空間 Rn= x1 x2 ... xn x1, x2, . . . , xn∈ R において、
Hcn= x1 x2 ... xn ∈ Rn a1x1+ a2x2+ · · · + anxn= c とおくと、H0nは部分空間をなすが、c= 0 のとき、Hcnは部分空間をなさない。実際、任 意の x1 x2 ... xn , y1 y2 ... yn ∈ Hn c と α∈ R に対して、 a1(x1+ y1) + a2(x2+ y2) + · · · + an(xn+ yn) = 2c a1(αx1) + a2(αx2) + · · · + an(αxn) = α(a1x1 + a2x2 + · · · + anxn) = αc であるので、Hcnは c = 0 のときのみ和とスカラー倍について閉じる。 注. Hc3はR3内で平面をなす。このアナロジーで、HcnをRnの超平面（hyperplane）と呼ぶ。Hc2 は平面R2内の直線だが、これも特別な平面とみなす。また、H0nは原点を通る超平面であり、部 分空間をなす。原点を通らない超平面Hcn (c = 0)は、零ベクトルがその要素に含まれず部分空間 にならない。 問題 4. 以下の R 上の線型空間 R3の部分集合のうち、R3の部分空間をなす ものを選べ。 (1) W1= x y z x + y + z = 1 (2) W2= x y z |x| ≤ 1, |y| ≤ 1, |z| ≤ 1 (3) W3= x y z xyz = 1 (4) W4= x y z x 2 = y 3 = z 4 (5) W5= x y z x 2+ y2+ z2 = 1 (6) W6= x y z x = y = z (7) W7= x y z x − 1 = y = z (8) W8= x y z x 2+ y2+ z2< 1
5. 線型結合 V を R 上の線型空間とする。このとき、a1, a2, . . . , am ∈ V , λ1, λ2, . . . , λm ∈ R に対し、 λ1a1+ λ2a2+ · · · + λmam をa1, a2, . . . , amの線型結合（1 次結合、linear combination）という。 与えられたa1, a2, . . . , am ∈ V に対し、これらの線型結合で表されるベクトル全体の集合 を S とおく： S = {λ1a1+ λ2a2+ · · · + λmam| λ1, λ2, . . . , λm ∈ R}. このとき、S は V の部分空間をなす。 問題 5. これを確かめよ。 定義. この S を a1, a2, . . . , amで張られる（もしくは、生成される）空間と呼び、 span[a1, a2, . . . , am] あるいは、 G(a1, a2, . . . , am), {{a1, a2, . . . , am}}, [a1, a2, . . . , am] などと表す。 6. 張られる空間 R3のベクトルa1 = 1 0 0 , a2 = 0 −1 1 , a3 = 1 −1 1 に対し、 span[a1, a2, a3] = λ1+ λ3 −λ2− λ3 λ2+ λ3 λ1, λ2, λ3 ∈ R = µ1 −µ2 µ2 µ1, µ2 ∈ R = x y z y + z = 0 = span[a1, a2] であるので、a1, a2, a3で張られる空間は、a1, a2で張られる空間に等しい。実際、a3 = a1+ a2であるので、a1, a2で張られる空間の生成にa3は寄与しない。 注. span[a1, a2]はR3において、a1とa2を含む平面を表す。これが「a1, a2の 張る 空間」と呼 ぶ由来である。 問題 6. V を R 上の線型空間とする。V の要素 a1, a2, . . . , amで張られる空間 span[a1, a2, . . . , am] に b が含まれていれば、
span[a1, a2, . . . , am, b] = span[a1, a2, . . . , am] であることを示せ。 線型独立性 線型空間 V の要素a1, a2, . . . , amについて、少なくとも一つは残りの m− 1 個の線型結合 で表されるとき、a1, a2, . . . , amは線型従属（1 次従属、linearly dependent）であるとい う。そうでないとき、線型独立（1 次独立、linearly independent）であるという。言い換 えると、次の定理になる。 定理. (1) a1, a2, . . . , amが線型従属である。 ⇐⇒ λ1a1+ λ2a2+ · · · + λmam = 0 (λ1, λ2, . . . , λm) = (0, 0, . . . , 0) となる λ1, λ2, . . . , λmが存在する。 (2) a1, a2, . . . , amが線型独立である。 ⇐⇒ λ1a1+ λ2a2+ · · · + λmam = 0 ならば (λ1, λ2, . . . , λm) = (0, 0, . . . , 0) である。 7. R2における線型独立性 R2において、次のベクトルの組a, b の線型独立性を判定してみよう： a = 12 7 − k , b = 7 + k 4 . αa + βb = 0 とおくと、 12α + (7 + k)β = 0, (7 − k)α + 4β = 0, より、上の式を4 倍、下の式を 7 + k 倍 すると、 48α + (28 + 4k)β = 0, (49 − k2)α + (28 + k)β = 0. 上の式から下の式を引いて、(k 2− 1)α = 0 を得 る。よって、k = ±1 ならば、α = 0. これより、β = 0 を得る。k = 1 のときは、上の式 も下の式も3α + 2β = 0 となり、k = −1 のときは、上の式も下の式も 2α + β = 0 となる ので、(α, β) = (0, 0) である適当な α, β を用いて、αa + βb = 0 とすることができる。（実 際、例えば、k = 1 のときは、−2a + 3b = 0, k = −1 のときは、−a + 2b = 0 である。） 以上より、a, b は、k = ±1 のとき線型独立、k = ±1 のとき線型従属である。 注. a, b ∈ R2 について、αa + βb = 0とおく。α = 0とすると、a = −β αb, β = 0とすると、 b = −αβaであるから、(α, β) = (0, 0)のとき、a, bのどちらか一方が他方のスカラー倍で表され る。このとき、a, bは線型従属である。したがって、a, bが線型独立であるとき、いずれの一方も 他方のスカラー倍では表されない。ゆえに、 a, b ∈ R2が線型従属 ⇐⇒ a, b ∈ R2が同一直線上にある a, b ∈ R2が線型独立 ⇐⇒ a, b ∈ R2が同一直線上にない
という幾何学的解釈ができる。 問題 7. R2のベクトルa1 = a c , a2 = b d について, (1) a1, a2が線型独立であるためには, ad − bc = 0 が必要十分であることを 示せ. (2) ad − bc = 0 であるとき, R2の基本ベクトルe1, e2をa1, a2の線型結合と して表せ. 8. R3における線型独立性 R3において、次のベクトルの組a, b, c の線型独立性を判定してみよう： a = 0 1 1 , b = 0 −1 1 , c = k 0 1 . αa + βb + γc = 0 とおくと、γk = 0, α = β, α + β + γ = 0 を得る。よって、k = 0 のと き、γ = 0, したがって α = β = 0 を得る。k = 0 のとき、γ = −2α, α = β, したがって (α, β, γ) = (0, 0, 0) である α, β, γ を用いて、αa + βb + γc = 0 とすることができる。例え ば、a + b − 2c = 0. 以上より、a, b, c は、k = 0 のとき線型独立、k = 0 のとき線型従属 である。 注. a, b, c ∈ R3について、αa + βb + γc = 0とおく。α = 0とすると、a = −βαb − γαc, すなわ ち、aはbとcの線型結合で表される。言い換えると、aはbとcの張る平面内のベクトルであ る。このとき、a, b, cは線型従属である。β = 0, γ = 0のときも同様である。そうでないとき、線 型独立であるのだから、 a, b, c ∈ R3が線型従属 ⇐⇒ a, b, c ∈ R3が同一平面上にある a, b, c ∈ R3が線型独立 ⇐⇒ a, b, c ∈ R3が同一平面上にない という幾何学的解釈ができる。 問題 8. 以下の R3の各組のベクトルについて、線型独立か線型従属かを判定 せよ。 (1) a = 1 −1 0 , b = 1 3 −1 , c = 5 3 2 (2) a = 0 1 0 , b = 2 1 0 , c = 3 4 7 (3) a = 1 1 0 , b = 1 0 1 , c = 0 1 1 (4) a = 1 0 1 , b = 1 1 0 , c = 0 1 1 , d = 1 1 1
(5) a = 1 1 0 , b = 1 0 k , c = 2 3 1 (kについて場合分けせよ。) 9. Rnにおける線型独立性 Rnにおいて、a1, a2, . . . , anの線型独立性を判定するには、λ1a1+ λ2a2 + · · · + λnan= 0 として、(λ1, λ2, . . . , λn) = (0, 0, . . . , 0) かそうでないかを判定する。言い換えれば、 a1, a2, . . . , anを列ベクトルとする n 次正方行列 A と、n 次列ベクトルλ =t(λ1, λ2, . . . , λn) を用いると、λ についての連立 1 次方程式 Aλ = 0 について、解が自明解 λ = 0 しかない か、そうでないかを判定することに等しい。以上の考察は次の問題(A) の伏線である。 問題 9. 以下の問題を解け。 (A) n 次実正方行列 A の n 個の列ベクトル a1, a2, . . . , anが線型従属であるた めには、det A = 0 が必要十分であることを示せ。 (B) Rnの k 個のベクトルa1, . . . , akと n 次実正則行列 P について、a1, . . . , ak が線型独立であることと、Pa1, . . . , P akが線型独立であることは同値である ことを示せ。 10. 一般の線型空間 V における線型独立性 R 上の線型空間 V のベクトル a1, a2が線型独立ならばつねに、「aa1+ ba2, ca1 + da2が 線型独立である」ことがいえるのは、a, b, c, d の間にいかなる条件が成立するときかを考 えてみよう。 · · · aa1+ ba2, ca1+ da2が線型独立であるためには、α(aa1+ ba2) + β(ca1+ da2) = 0 ならば、α = β = 0 がいえなければならず、a1, a2の線型独立から、そ れは、α, β についての連立1 次方程式 αa + βc = 0 αb + βd = 0 が自明解 α= β = 0 しかもたない ことに等しいい。したがって、そのための条件は ad− bc = 0 である。 問題 10. V を R 上の線型空間とする。このとき、以下の問題を解け。 (A) a, b, c ∈ V が線型独立であるならば、 (1) a, b, c のどの 2 つの組も線型独立であることを示せ。 (2) a + b, b + c, c + a も線型独立であることを示せ。 (3) a, a + b + c, a − b − c は線型従属であることを示せ。 (4) x = a + b − 2c, y = a − b − c, z = a + c は線型独立であることを示せ。 (5) u = a + b − 3c, v = a + 3b − c, w = b + c は線型従属であることを示せ。
(B) a1, a2, . . . , am ∈ V , および任意のスカラー c2, c3, . . . , cm ∈ R に対し、 a1 = a1+ c2a2+ c3a3+ · · · + cmam とおく。このとき, a1, a2, . . . , amが線型独立ならば、a1, a2, . . . , amも線型独 立であることを示せ。 (C) a1, a2, . . . , ak ∈ V が線型独立であるならば、a1, a2, . . . , ak ∈ V の線型結 合による表現は一意的である： c1a1+ c2a2+ · · · + ckak = c1a1+ c2a2 + · · · + ckak =⇒ c1 = c1, c2= c2, . . . , ck= ck, ことを示せ。また、逆も成り立つことを示せ。 線型独立性と階数の関係 問題9.(B) を用いると、次の定理が証明される。 定理. 行列 A について、 rank A = (A の線型独立な列ベクトルの最大個数) = (A の線型独立な行ベクトルの最大個数) が成り立つ。 これより、次の系が導かれる。 系. n 次正方行列 A = (a1, a2, . . . , an) について、 rank A = n ⇐⇒ a1, a2, . . . , anは線型独立 が成り立つ。 いままでの知識をまとめると、n 次実正方行列 A= (a1, a2, . . . , an) について、以下の条 件は全て同値であることがわかる。 (1) A は n 次正則行列である。 (2) rank A = n である。 (3) A の n 個の列ベクトル a1, a2, . . . , anは線型独立である。 (4) det A = 0 である。 (5) x ∈ Rnについての連立1 次方程式 Ax = b が唯一の解をもつ（b ∈ Rn）。 (6) x ∈ Rnについての連立1 次方程式 Ax = 0 は自明な解しかもたない。 (7) A は行の基本変形のみで単位行列になる。
11. 基底 線型空間 V の要素a1, a2, . . . , an∈ V について、 (1) span[a1, a2, . . . , an] = V (2) a1, a2, . . . , anは線型独立である。 が成り立つとき、a1, a2, . . . , anは V の基底（basis）をなすといい、 a1, a2, . . . , an などと表す。 例えば、R 上の線型空間 Rn= x1 x2 ... xn x1, x2, . . . , xn∈ R において、基本ベクトル e1 = 1 0 ... 0 , e2 = 0 1 ... 0 , . . . , en= 0 0 ... 1 は基底を与える。実際、Rnの任意のベクトルx = x1 x2 ... xn は、 (1) x = x1e1+ x2e2+ · · · + xnenと表すことができ、 (2) x1e1+ x2e2+ · · · + xnen= 0 とおけば、 x1 x2 ... xn = 0 0 ... 0 であるので、e1, e2, . . . , en は線型独立である。 注.この基底e1, e2, . . . , enをRnの標準基底と呼ぶ。 問題 11. 次の各問に答えよ。 (1) Rnにおいて、a1 = 0 1 ... 1 , a2 = 1 0 ... 1 , . . . , an = 1 1 ... 0 は基底を与えること を示せ。
(2) R 上の線型空間 C の基底を求めよ。 (3) C 上の線型空間 C の基底を求めよ。 (4) R 上の線型空間 V において、a, b がその基底ならば、a + b, a − b も その基底であることを示せ。 12. 次元 問題11.(4) でみたように、基底の取り方は一意的でない。しかし、その基底を構成するベ クトルの個数は一定である。したがって次の定義が意味をもつ。 定義. 線型空間 V の基底が n 個のとき、V は n 次元であるといい、dim V = n と表す。 注.問題11.(2)(3)でみたように、R上の線型空間Cは2次元、C上の線型空間Cは1次元であ る。つまり同じ集合Cであるにもかかわらず次元が異なっている。これは、線型空間の次元は線 型空間を作る集合によってではなく、線型空間の構造（演算など）によって定まる量であること を示唆している。 注. V の中に線型独立なベクトルがいくつでも取っていけるとき、V は無限次元であるという。（こ れに対し基底の個数が有限個の空間の次元は、有限次元という。）例えば、xの実係数多項式全体 の集合P において、f0(x) = 1, f1(x) = x, f2(x) = x2, . . . , fn(x) = xn, . . .は、基底を与え、Pは 無限次元である。 問題 12. 以下の各線型空間の基底と次元をそれぞれ求めよ。 (1) W = x y z ∈ R 3 x = y = z (2) H = x1 x2 x3 x4 ∈ R4 x1 + x2+ x3+ x4 = 0 (3) R 上の線型空間 C2 (4) C 上の線型空間 C2 補充定理 n 次元線型空間 V の部分空間 W が基底a1, a2, . . . , ak をもつとき、適当な n − k 個の V のベクトルb1, b2, . . . , bn−kをとれば、a1, a2, . . . , ak, b1, b2, . . . , bn−k が V の基底となる。 注. この定理は「勝手にV のベクトルをk個とってきたとき、それらが線型独立ならば、それら を含む形でV の基底を構成することができる」ということを主張している。
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線型空間（解答例）
解答 1. (I) 任意の A, B ∈ M(m, n; R) について、通常の行列の和 A + B ∈ M(m, n; R) が 定義されている。また、公理(1)(2) も満たされ、(3) 零ベクトルとして、m × n 型零行列 Om,n, (4)A の逆ベクトルとして、−A をとればよい。 (II) 任意の A ∈ M(m, n; R) と α ∈ R について、通常の行列の実数倍 αA ∈ M(m, n; R) が定義されている。公理(1)∼(4) を満たすことはよいであろう。 解答 2. 公理 (I)(1) は、 ({an} + {bn}) + {cn} = {an+ bn} + {cn} = {(an+ bn) + cn} = {an+ (bn+ cn)} = {an} + {bn+ cn} = {an} + ({bn} + {cn}) のようにして、満たされることがわかる。(2) も同様。(3) 零ベクトルとしては、0 が並ん だ数列（そのような記号はないので、仮に{zn} : z1 = 0, z2 = 0, . . . とする。）、(4){an} の 逆ベクトルとしては、{an} = {−an} と定義される数列 {an} をとればよい。 注. {zn} = {0}, {an} = −{an}と表すと、なおのことわかりやすい。 解答 3. (1) S, A, U ⊂ M(n; R) であり、例えば、対称行列同士の和も、対称行列の実数倍 もまた対称行列になるので、S は M(n; R) の部分空間をなす。A, U についても同様。 (2) C1 ⊂ C0 ⊂ F であり、連続関数同士の和も、連続関数の実数倍もまた連続関数にな るので、C0 は F の部分空間をなす。同様に C1も C0の部分空間をなす。また、任意の f ∈ F − C0に対し、これを0 倍すると、0f (x) ≡ 0 (∀x ∈ R), すなわち、恒等的に 0 の定 数関数である。これは連続なので0f ∈ F − C0. したがって、F − C0は、F の部分空間 をなさない。(3) Gλ ⊂ P であり、{an}, {bn} ∈ Gλに対し、an+1+ bn+1 = λan+ λbn = λ(an+ bn) よ
り、{an} + {bn} = {an+ bn} ∈ Gλ. また、α ∈ R に対し、αan+1 = αλan= λ(αan) より、
α{an} = {αan} ∈ Gλ. ∴ Gλは部分空間。
次に、Aλ ⊂ P であるが、{an}, {bn} ∈ Aλに対し、an+1 + bn+1 = an+ λan+ bn+ λ =
an + bn + 2λ より、λ = 0 のとき、{an} + {bn} = {an + bn} ∈ Aλ, λ = 0 のとき、 {an} + {bn} ∈ A0. また、α ∈ R に対し、αan+1= α(an+ λ) = αan+ αλ より、λ = 0 の
とき、α{an} = {αan} ∈ Aλ, λ = 0 のとき、α{an} ∈ A0. よって、A0は P の部分空間を
なし、Aλ (λ = 0) は部分空間をなさない。 解答 4. (4)(6) のみ部分空間。実際、W4 = t 2 3 4 t ∈ R , W6 = t 1 1 1 t∈ R と 書け、両方とも原点を通る直線である。部分空間となるための条件をチェックすることは
容易であろう。その他の集合が部分空間にならない理由は以下の通り。まず(1)(3)(5)(7) については、零ベクトル 0 0 0 をそれぞれの集合に含まないので部分空間ではない。(2)(8) については、各集合のある要素 x y z と α∈ R に対し、α x y z が各集合の要素とならない ことを見ればよい。例えば、a = 1 2 1 1 1 とおくと、(2) において a ∈ W2であるが3a ∈ W2 であり、(8) において a ∈ W8であるが2a ∈ W8である。 解答 5. 任意の S の要素 x, y は、x = λ1a1 + · · · + λmam, y = µ1a1 + · · · + µmam と 書けるので、x + y = (λ1 + µ1)a1 + · · · + (λm + µm)am ∈ S. また、α ∈ R に対し、 αx = (αλ1)a1+ · · · + (αλm)am ∈ S であるから。 解答 6. 包含関係 span[a1, a2, . . . , am, b] ⊃ span[a1, a2, . . . , am] は明らかであろう。実際、 x ∈ span[a1, a2, . . . , am] ならば、 x = λ1a1+ λ2a2+ · · · + λmam = λ1a1 + λ2a2+ · · · + λmam+ 0b より、x ∈ span[a1, a2, . . . , am, b] である。 逆に、x ∈ span[a1, a2, . . . , am, b] ならば、b ∈ span[a1, a2, . . . , am] より、 b = λ1a1+ λ2a2+ · · · + λmam と書け、ゆえに、 x = µ1a1+ · · · + µmam+ µm+1b = (µ1+ µm+1λ1)a1+ · · · + (µm+ µm+1λm)am より、x ∈ span[a1, a2, . . . , am]. よって、逆の包含関係 span[a1, a2, . . . , am, b] ⊂ span[a1, a2, . . . , am] が成り立つ。 ∴ span[a1, a2, . . . , am, b] = span[a1, a2, . . . , am]. 解答 7. (1) αa1+ βa2 = 0 とする。よって、 aα + bβ = 0, cα + dβ = 0. すなわち、α, β について の連立1 次方程式 a b c d α β = 0 0 が成り立つ。 （必要性）a1, a2は線型独立であるとする。このとき、ad− bc = 0 とすると、自明解 α = β = 0 以外の解が存在するので矛盾。∴ ad − bc = 0.
（十分性）ad−bc = 0とすると、行列 a b c d は正則なので逆行列をもち、 α β = 0 0 . すなわち、a1, a2は線型独立である。 注. 問題9.(A)はこの問題のRnのバージョンである。参照せよ。 (2) αa1+βa2 = a b c d α β = 1 0 = e1を解いて、 α β = 1 ad− bc d −b −c a 1 0 = 1 ad− bc d −c . ∴e1 = 1 ad− bc(da1 − ca2). 同様に、e2 = 1 ad− bc(−ba1+ aa2). 解答 8. (1) αa + βb + γc = 0 とおくと、 α + β + 5γ = 0, −α + 3β + 3γ = 0, −β + 2γ = 0, を得る。第3 式より、 β = 2γ. 第 2 式に代入して、α = 9γ. さらに第 1 式に代入して、16γ = 0. ∴ γ = 0. ∴ α = β = 0. よって線型独立。同様に、(2) 線型独立、(3) 線型独立、(4) 線型従属、(5)k = 1 なら線型独立、k= 1 なら線型従属、がわかる。 解答 9. (A) α1, α2, . . . , αn ∈ R に対し, α1a1+ · · · + αnan= A α1 ... αn = 0 · · · (♦) とおく. det A = 0 ならば, A は正則で, (α1, . . . , αnの連立1 次方程式としてみたときの) (♦) の解は自明解 α1 = · · · = αn = 0 のみ. ∴ a1, . . . , anは線型独立. det A = 0 ならば, (♦) は非自明解 (α1, . . . , αn) = (0, . . . , 0) をもつ. ∴ a1, . . . , anは線型従属. (B) α1(P a1) + · · · + αk(P ak) = P (α1a1+ · · · + αkak) = 0 ならば、P−1を両辺の左からか けて、α1a1+ · · · + αkak= 0. よって、a1, . . . , akが線型独立ならば、α1 = · · · = αk = 0. ∴ Pa1, . . . , P αkは線型独立。逆も同様に示せる。 解答 10. (A) α, β, γ ∈ R とする. (1) a, b, c のある 2 つの組, 例えば a, b, が線型従属であったとすると, a = αb とかける. これはa, b, c の線型独立性に矛盾. (2) α(a + b) + β(b + c) + γ(c + a) = (α + γ)a + (α + β)b + (β + γ)c = 0 と a, b, c の線 型独立性から, α + γ = α + β = β + γ = 0. よって, α = β = γ = 0. ∴ 線型独立. (3) αa + β(a + b + c) + γ(a − b − c) = (α + β + γ)a + (β − γ)b + (β − γ)c = 0 と a, b, c
(4) αx + βy + γz = (α + β + γ)a + (α − β)b + (−2α − β + γ)c = 0 と, a, b, c の線型 独立性より, α + β + γ = α − β = −2α − β + γ = 0. これより, α = β = γ = 0. ∴ x, y, z は線型独立. (5) αu + βv + γw = (α + β)a + (α + 3β + γ)b + (−3α − β + γ)c = 0 と, a, b, c の線型 独立性より, α + β = α + 3β + γ = −3α − β + γ = 0. これより, β = −α, γ = 2α と なるので, u, v, w は線型従属. (B) b1, b2, . . . , bm ∈ F に対し, b1a1+ b2a2+ · · · + bmam = b1a1+ (b1c2 + b2)a2+ · · · + (b1cm+ bm)am = 0 とおく. a1, a2, . . . , amの線型独立性より, b1 = b1c2 + b2 = · · · = b1cm+ bm = 0. よって, b1 = b2 = · · · = bm = 0. ∴ a1, a2, . . . , amも線型独立. (C) c1a1+ c2a2+ · · · + ckak = c1a1 + c2a2 + · · · + ckak とおくと、(c1 − c1)a1 + (c2− c2)a2 + · · · + (ck − ck)ak = 0 となる。a1, a2, . . . , akは線型独立であるから、c1 − c1 = c2− c2 = · · · = ck− ck= 0. すなわち、c1 = c1, c2 = c2, . . . , ck= ck. 逆は、c1 = c2 = · · · = ck = 0 のときを考えれば、a1, a2, . . . , akが線型独立であることが わかる。 解答 11. (1) Rnの任意のベクトルx = x1 x2 ... xn は、基本ベクトルe1, e2, . . . , enを用い て、x = n i=1 xiei のように表されるが、ai = 1 − ei, 1 = 1 1 ... 1 (i = 1, . . . , n) で あるので、x = − n i=1 xiai + n k=1 xk1 = n i=1 n k=1xk n− 1 − xi ai とa1, a2, . . . , an の 線型結合でも表される。また、 n i=1 xiai = 0 とおけば、 n i=1 xi1 = n i=1 xiei. よって、 n i=1 xi = x1 = x2 = · · · = xn. これより、x1 = x2 = · · · = xn= 0 となり、a1, a2, . . . , an は線型独立であることがわかる。よって、a1, a2, . . . , an は Rnの基底を与える。 (2) C の要素 x は、α1, α2 ∈ R と e1 = 1, e2 = i を用いて、x = α1e1+ α2e2と一意に表 されるので、e1, e2 = 1, i は R 上の線型空間 C の基底を与える。 (3) C の要素 x は、α = x ∈ C と e = 1 を用いて、x = αe と一意に表されるので、 e = 1 は C 上の線型空間 C の基底を与える。
(4) V の要素 x は、α, β ∈ R を用いて、x = αa + βb と一意に表される。一方、λ = α + β
2 , µ =
α− β
2 とおけば、αa + βb = λ(a + b) + µ(a − b) となるので、x は、
a + b, a − b の線型結合でも表される。また、λ(a + b) + µ(a − b) = 0 とすると、a, b
の線型独立性より、λ+ µ = λ − µ = 0. よって、λ = µ = 0. だから、a + b, a − b も 線型独立である。∴ a + b, a − b も基底を与える。 解答 12. (1) a = 1 1 1 とおくと、W = {ta | t ∈ R} と書けるので、W は基底 a の R 3 の1 次元部分空間（直線）である。 (2) a = −1 1 0 0 , b = −1 0 1 0 , c = −1 0 0 1 とおくと、H = {ra + sb + tc | r, s, t ∈ R} と書き 表すことができる。よって、H は基底がa, b, c である R4の3 次元部分空間（超平面） である。 (3) e1 = 1 0 , e2 = 0 1 , e3 = i 0 , e4 = 0 i とおくと、R 上の線型空間 C2の要素 z1 z2 は、R の要素 a, b, c, d を用いて、 z1 z2 = ae1+ be2+ ce3+ de4と書けるので、C2 は基底e1, e2, e3, e4 の 4 次元線型空間である。 (4) e1 = 1 0 , e2 = 0 1 とおくと、C 上の線型空間 C2 の要素 z1 z2 は、C の要素 a = z1, b = z2を用いて、 z1 z2 = ae1+ be2と書けるので、C2は基底e 1, e2 の 2 次元線 型空間である。
