CHARACTERISTICS OF LOVE WAVE GENERATED AROUND A DIPPING BASEMENT By Susumu NAKAMURA, Iwao SUETOMI, Shinichi AKIYAMA and Nozomu YOSHIDA Source mechanis

【土 木 学 会 論 文 集 第398号/1-101988年10月1

傾 斜 基 盤 の存 在 に よ り生 じるLove波

の特 性

CHARACTERISTICS OF LOVE WAVE GENERATED AROUND A DIPPING BASEMENT

中 村 晋*・ 末 富 岩 雄*・ 秋 山 伸 一 ・*・吉 田 望**

By Susumu NAKAMURA, Iwao SUETOMI, Shinichi AKIYAMA and Nozomu YOSHIDA

Source mechanism and characteristics of the horizontally propagating waves generated around a dipping basement due to the incident SH wave are investigated. A new analitic-al method which combines boundary elements, finite elements and energy transmitting boundary is proposed. Two layered media, the upper layer of which has semi-infinite boundary in one side and a dipping interface in the other side, is used in the analysis. It is found that the incident SH wave is mostly transformed into Love wave whose period is close to Airy phase at the horizontal part of the surface layer in the case that both the ratio of wave impedance and the inclination of basement are small ; all reflected SH wave is predominant in the other case.

Keywords : love wave, all reflected SH wave, dipping basement, new coupling method of BE and FE 1. は じ め に 近年, 高 層 ビル, 長 大橋 梁 等 の 固 有 周 期 の 長 い構造 物 も多 く構 築 され る よ う に な っ た. ま た, 1985年 に 生 じ た メ キ シ コ地 震 で は, 2秒 前 後 に卓 越 周 期 を有 す る地 震 動 に よ って 中 層建 築 構二造 物 が 大 き な地 震 被 害 を受 け た1). こ の よ う な 背 景 か ら, 最 近, 数 秒 か ら10秒 程 度 の 間 に 卓越 周 期 を有 す る, い わ ゆ るや や 長 周 期 地 震 動 の 予 測 に 関 す る 研 究 が 盛 ん に 行 わ れ る よ う に な っ て き た2). や や 長 周 期 地 震 動 の 予 測 に際 して 対 象 と な る地 震 動 の 波 動成 分 に は, 実 体 波 と表 面 波 が あ る… この う ち表 面 波 に つ い て は, 震 源 の 特 性 よ り生 じる表 面 波 と, 堆 積 盆 地, 傾 斜 基盤 を 有 す る 地 盤 に お け る基 盤 の 不 整 形 性 に よ り表 層 の 堆積 層 に2次 的 に 生 じ る表 面 波 の2つ が あ る. この う ち, 後 者 に つ い て は, 木 下3), 瀬 尾4), 鳴 海5)らが関 東 ・ 大 阪 平 野 等 の 沖積 平 野 に お け る地 震 動 の ア レー観 測 に基 づ き そ の存 在 を指 摘 して い る. さ らに, 木 下3)は, 関 東 平 野 の 地 盤構 造 を 傾 斜 基 盤 を有 す る2層 地 盤 にモ デ ル化 し, SH波 の 全 反 射 と 直 達 波 の み を考 慮 した破 線 理 論 的 な 解 析 を行 い, SH波 が 傾 斜 基 盤 と 地表 面 の 間 を屈 折 ・ 反 射 を 繰 り返 す こ と に よ り全 反 射 波 が 発 生 し, そ れ が L0ve波 的 な表 面 波 に成 長 す る こ と を指 摘 して い る. ま

た, Bard and Bouchon6),7), 堀家8)は, AkiandLarner法9) を用 い 堆 積 盆 地 に実 体 波(SH波 等)を 入 射 した際, 盆 地 両 端 部 よ り表 面 波 が発 生 す る こと を指 摘 して い る. 大 槻10)は, 数 値 解 析 結 果 と地 震 観 測 記 録 を比 較 し, 基 盤 の 傾 斜 に よ り表 面 波 が発 生 す る こ と を指 摘 して い る. や や長 周 期 地 震 動 の う ち, 基 盤 の不 整 形 性 に よ り2次 的 に 発 生 す る 表 面 波 を予 測 す る 方 法 と して, 瀬尾4)は全 反 射SH波 に よ り伝 播 機 構 を モ デ ル化 した手 法 を提 案 し て い る. しか し, そ の発 生 機構 つ ま り基 盤 に入 射 した実 体 波 が表 面 波 に変 換 され る過 程 が定 量 的 に 明 らか と さ れ て い な い こ と か ら, そ の よ うな表 面 波 を定 量 的 に予 測 す る ま で に は至 っ て い な い. 本 研 究 で は, ま ず, 基 盤 の不 整 形 性 に よ り2次 的 に発 生 す る表 面 波 地 震 動 を算 出 す る た め, 有 限要 素 法 と境 界 要 素 法 の 結 合 解析法11),12)に有限 要 素 領 域 の 側 方 にLove 波 の よ う に水 平 方 向 に伝 播 す る波 動 を側 方 に透 過 さ せ る 境 界 と して エ ネ ル ギ ー伝 達 境 界 を加 え た新 た な手 法 の提 案 を行 っ た. 次 に, 一 方 に傾 斜 基 盤 を有 す る地 盤 の解 析 を行 い, 得 られ た表 面 波 地 震 動 の性 質 お よ び そ の性 質 に 及 ぼ す地 盤 条 件 お よ び地 震 動 の入 射 条 件 の影 響 を把 握 し *正 会 員 工 修 佐 藤 工 業(株)中 央 技 術 研 究 所 (〒243-02厚 木市三田47-3) **正 会 員 工 博 佐 藤 工 業(株)中 央技 術 研究 所 主席 研 究員 (同上)

340 中 村 ・末 富 ・秋 山 ・吉 田: た. 最 後 に, こ こで得 られ た2次 的 に 発 生 す る 表 面 波 地 震 動 と水 平 成 層 地 盤 に お け る表 面 波地 震 動 を比較 す る こ とに よ り, そ の発 生 機 構 に つ い て検 討 を行 った. 2. 解 析 手 法 Fig. 1に 示 す よ う な傾 斜 基 盤 を有 す る地 盤 に お い て, SH波 が基 盤 に 入 射 した 際, 表 層 に生 じる水 平 方 向 に 伝 播 す る波 動 の振 動 性 状 を 解析 す るた め の 手 法 を示 す. こ の よ うな地 盤 モ デ ル の表 層 地 盤 に 発 生 す る表 面 波 の 応 答 を 算 出 す る 手 法 の1つ で あ る Aki and Larner法 は 傾 斜 基 盤 形 状 の周 期 性 を考 慮 した 手 法 で あ る ため, 表 層 地 盤 の応 答 に は, 基 盤 に入 射 した 地 震 動 に よ る応 答 と傾 斜 基 盤 の 対称 位 置 よ り反 射 した 波 動 に よ る応 答 の2つ が 含 ま れ て い る こ とか ら, 一 方 向 に 伝 播 す る波 動 の み を算 出 す る こ と は困 難 で あ り, 実 用 的 で は な い-有 限 要 素 法13), 境 界 要 素 法14)は, 一 方 向 に伝 播 す る 波 動 の 応 答 を地 層 境 界 面 に お け る地 震 波 の 透 過 ・反 射 の み な らず 回 折 波 の影 響 を も考 慮 して 算 出 で き る. しか し, 有 限 要 素 法 は, 地 震 波 の 入 射 角 等 の 入 射 条 件 の 取 扱 いが 困 難 で あ る. 境 界 要 素 法 で は その 取 扱 いが 容 易 で あ るが, 複 雑 な地 盤 構 造 の 応 答 を算 出 す る際, 有 限 要 素 法 に比 べ て計 算 時 間 が長 く, コ ン ピ ュ ー タ に よ る計 算 時 に大 き な コ ア容 量 が必 要 と な る. こ こで は, 有 限 要 素 法 と境 界 要 素 法 の長 所 を生 か し傾 斜 基 盤 上 の 地 盤 お よ び そ の周 辺 の 表 層 地 盤 を有 限 要 素 法, 基 盤 層 を境 界 要 素 法 に て定 式 化 し, 有 限要 素 領 域 の 側 方 に水 平 方 向 に 伝 播 す る 波 動 を透 過 させ るLysmerの 伝 達 境 界15)を加 え, そ れ ら を結 合 す る こ と に よ り得 られ る新 た な結 合 解 析 手 法 を提 案 す る. (1)基 礎 方 程 式 SH波 の 基 礎 方 程 式 は, 次 式 で 与 え られ る. μ▽2u(x, z, t)-ρu(x, z, t)=0 … (1) こ こ で, μ はLameの 定 数, ρは質 量 密 度, u(x, z, t) とu(x, z, t)は 座 標 位 置(x, z)の 時 刻tに お け る y方 向 地 盤 変 位 と加 速 度 を表 わ す. ま た, ▽2は ラプ ラ シ ア ンで あ る. この 式 をFourier変 換 す る と次 式 の よ う に な る. μ▽2U(x, z, ω)+ρω2U(x, z, ω)=0 … (2) こ こ で, U(z, x, ω)は, 座 標 位 置(x, z)の 円 振 動 数 ω に お け る複 素Fourier振 幅 を表 わす. (2)有 限要 素 領 域 の 定 式化 基 礎 方程 式(2)に 重 み つ き残 差 法 を適 用 し, 離 散 化 す る と有 限 要 素領 域 の 支 配 方 程 式 は次 式 の よ う にな る. Kff Kft Kib Ktf Ktt Ktb Kb. f Kbt Kbb Uf Ut Ub

0

Qt

[M]Qb

(3)

こ こで, Uは 節 点 変 位, Kは 剛性 マ トリ ック ス, Q, は 側 方 境 界 に お け る節 点 力 ベ ク トル, σbは表 面 力 ベ ク ト ル, [H]は 分 布 マ ト リ ッ ク ス を 表 わ す. ま た, 添 字 f, t, わ は, そ れ ぞ れ 有 限 要 素 の 内点, 側 方 境 界 点 お よ び 境 界 要 素 との 境 界 点 で あ る こ と を表 わ す. (3)有 限 要 素 と伝 達 境 界 の 結 合 ま ず, Lysmer15)の 示 した, 剛 基 盤 上 の 水 平 地 盤 に 対 す るLove波 の 固 有 方 程 式 を次 式 に示 す. ([K(h)]+ω2[H])[U]=0 … (4) こ こ で, [κ(h)]は 剛 性 マ トリ ッ ク ス で, 波 数hの 関 数 で あ る. ま た, ω は 円 振 動 数, [H]は 質 量 マ トリッ ク ス を表 わ す. 本 研 究 で 対 象 と して い る地 盤 で は, 基 盤 層 を弾 性 体 と して い る た め, 剛 基 盤 に対 す る式(4)を その ま ま用 い る こ と は で き な い. そ こ で, Chenら がRayleigh波 に 関 して 示 し た 手 法16)と同 様 に, 基 盤 層 と表 層 地 盤 の 変 位 ・応 力 の適 合 条件 と してSH波 の波 動 エ ネ ル ギ ー の下 方 へ の 逸 散 を考 慮 す る 際 に用 い られ て い る下 方 ダ ンパ ー 境 界 を設 け る. す な わ ち, 式(4)に 示 す 質量 マ トリ ッ ク ス を, 次 式 の よ う に表 わ す.

[M] 10

F I Z i I lfir

Vsr

t o.

(5)

こ こ で, ρn, hnは 表 層 地 盤 に お け る最 下 層 の 質 量 密度 お よ び 層 厚 を 表 わ す. ま た, ρr, VS. は基 盤 層 に お け る 質 量 密 度 お よ び せ ん断 波速 度 で あ る. こ の よ う な下 方 ダ ンパ ー境 界 の 有 効 性 を検 討 す る た め, こ こで 示 したLove 波 の 固 有 方 程 式 とHaskellの 手 法18)によ り得 られ るLove波 の 基 本 モ ー ドに 関 す る伝 播 特 性 の比 較 を2層 地 盤 モ デ ル に つ い て行 う. 両 手 法 に よ り得 られ たLove波 の 位 相 速 度 と周 期 の 関 係 をFig. 2に 示 す. 全 体 と して 両 者 は, ほ ぼ 一 致 して い る. 次 に, 前 項 で示 した 有 限要 素領 域 の 支 配方 程 式 と水 平 地 盤 に 対 す るL0ve波 の 固 有 方 程 式 をLysmerに よ り示 され た両 領 域 の境 界 に お ける応 力 の つ り合 い に よ り結 合 す る手 法15)を用 い結 合 す る と次 式 の よ う に な る.

K11

f K1t KJb

Kt1 Ktt

Ktb

Kb/ Kbt Kbb

Uf Ut Ub

0

0

[M]qb

(6)

[Ktt]=[Ktt]-[L]

[L]=i[A][y][H][V][A]

Fig. 1 Illustration of the analitical model.

Bedrock

[A]=hiGi/3[1 0.5 0.5 1]

こ こで, [V]はL0ve波 の 固 有 方 程 式 よ り得 られ るモ ー ダ ル マ ト リ ッ ク ス, [H]は そ の(j, j)成 分 にL0ve 波 のj次 モ ー ドに対 す る波 数hjを 有 す る対 角 マ トリ ッ ク ス, [A]は 層 の せ ん 断 剛 性Gと そ の 層 厚hに よ り表 わ さ れ る マ トリ ック ス で あ る. (4)境 界 要 素 領 域 の 定 式 化 基 盤 層 に お け る あ る 円 振 動 数 ω に対 す る地 盤 変 位U は 次式 の よ うに 下 方 か ら入 射 す る入 射 波 研 と散 乱 波U、 の和 で表 わ され る. Ub=UI+US … (7) 散 乱 波Usが 無 限 遠 に お い て 放 射 条 件 を 満 た して い る と す る と式(2)のGreen関 数 表 示 に よ る 積 分 方 程 式 は 次 式 の よ う に表 わす こ とが で き る.

CUb(XO,

Z0)+ / (Q(r)Ub(x,

z)

- U (r)qb (x, z))d'=

U, (Xo, Z0)•

₍₈₎

U (r)= i (HZ (kr)+HZ (kr'))

こ こ で, U(r)はSH波 のGreen関 数, H2(hr)は 第 2種0次 のHankel関 数, hは 波 数, rはxz面 に お け る座 標 位 置(X0, Z0)か ら座 標 位 置(x, z)ま で の距 離, r'は(X0, Y0) か ら座 標 位 置(x, -z)ま で の 距 離, Ub(x, z)は 未 知 変 位, Q(r)はGreen関 数 に よ り規 定 され る応 力 ベ ク トル(=∂U(r)/∂n, nは 境 界 面 か ら要 素 外 側 へ の単 位 法 線 ベ ク トル), g1(x, z)は 未 知 応 力 ベ ク トル, Cは 境 界 の形 状 に よ り規 定 され る定 数, dFは 境 界 δ+cに 沿 っ た積 分 を表 わ す. 次 に, Fig. 1に 示 す 境 界 領 域 δ, cに つ い て 式(8) を離 散 化 す る. ま ず, c領 域 の 地 盤 変 位 を次 式 の よ う に Love波 の 地 盤 変 位 で表 わせ る と仮 定 す る. Uc(xc)=U(xρ)exp(ilx) … (9) こ こで, U, (xc) は伝 達 境 界 と 境 界 要 素 の 境 界 変 位, U (xρ)は 伝 達 境 界, 有 限 要 素 と境 界 要 素 領 域 の 境 界 点 に お け る 地 盤 変 位 で あ る. hは 水 平 成 層 地 盤 に お け る L0ve波 の 波 数 で あ る が, Love波 の 地 盤 変 位 は, 低 次 モ ー ドほ ど大 き くな る性 質 を有 して い る た め17), こ こ で は基 本 モ ー ドの み を用 い る. 式(9)は δ領 域 の 端 部 xp点 の 地 盤 変 位 とc領 域 に お け る境 界 要 素 の 形 状 関 数 の 積 と な っ て い る た め, 式(8)を 離 散 化 す る 際 の未 知 地 盤 変 位 と して は δ領 域 に お け る地 盤 変 位 の み を考 慮 す れ ば よい. 以 上 よ り式(8)を 離 散 化 す る と次 式 の よ う に な る. [H][Ub]+[G][σb]=[UI] … (10) こ こで, [H], [G]の 成 分 は Hij=∫b+cU(rj)N(ζ)det(J)dΓ Gij=∫b+cQ(rij)N(ζ)det(J)dΓ で 表 わ され, NV(ζ)は 形 状 関 数(6領 域:(1一 ζ)/ζ, c領 域:exp(hx))を 表 わ す. ま た, Jは, 座 標 系 を 全 体 系 か ら局 所 系 へ 変 換 す る 際 のJac0bianマ トリ ッ ク ス で あ る. (5)有 限 要 素 と境 界 要 素 の 結 合 手 法 有 限 要 素 領 域 と 境 界 要 素 領 域 の 境 界 δ領 域 に お け る 地 盤 変位 お よび 表 面 力 の 連続 条 件 は次 式 の よ うに な る. ufb=ubb, qfb+qbb=0 … (11) 式(6), (10), (11)に よ り次 式 が 得 られ る.

Kff

Kft

Kfb

Ktf

Ktt

Ktb

Kbf Kbt Kbb

0

0

H

Uf Ut Ub

0 0

0

0 0

0

00-EM]

0 0

-[G]

0 0 Qb 0 0 0 Uf

(12)

式(12)よ り 有 限 要 素 領 域 と 境 界 要 素 領 域 の 境 界 に お け る 地 盤 変 位Ubが 次 式 の よ う に 得 ら れ る. [Ub]={[H]-[G][M]-1(-[H(bε'][H(ff']-[Kfb'] +[Kbb])}-1[UI] … (13) [H(bε']=[H(bfH(bε], [Kfb']=[KfbKtb]T, [κff']= κffκfb' KtfKtt', ま た, [Ub]が 求 ま れ ば 有 限 要 素 領 域 に お け る 未 知 地 盤 変 位[uf']=[UfUt]Tは 式(12)よ り 次 式 の よ う に 得 ら れ る. [Uf]=-[κff]-1[H(fb'][Ub] … (14) Fig. 2 Comparison of phase velocity by the proposed method to

342 中 村 ・末 富 ・秋 山 ・吉 田: (6) 解 析 手 法 の 検 証 こ こ で は, 有 限 要 素 領 域 に て生 じた波 動 の側 方 境 界 に お け る透 過 に対 す る本 手 法 の有 効 性 の検 討 を行 う た め, 本 提 案 手 法 と境 界 要 素 法 に よ る応 答 値 の比 較 を行 う. 解 析 の対 象 と した の はFig. 3の 地 盤 で, SH波 の 入 射 角 お よ び入 射 波 の周 期 をパ ラ メ ー ター と した㌔ 地 盤 は, 表 層 地 盤 の 層 厚 が100m, せ ん 断 波 速 度 が50m/s, 質 量 密 度 が0. 66t/m3, 基 盤 の傾 斜 角 が45度, せ ん 断 波速 度 が 100m/s, 質 量 密 度 が1.0t/m3の2層 地 盤 と した. 基 盤 に お け るSH波 の入 射 条 件 は, 鉛 直方 向 とSH波 の 入 射 方 向 の 成 す 角(以 後 入 射 角 と よぶ)が0, 90度 お よ び 45度 と し た. ま た, 入 射 波 は, 単 位 変 位 振 幅 を有 す る 調 和 波 と した. そ の 周 期 に は, Love波 のAiry相 を 与 え る周 期6秒 と8, 10秒 と し た. 本 手 法 と境 界 要 素 法 で 得 られ た最 大 地 表 面 変 位 の 差 の 境 界 要 素 法 に よ り得 られ た最 大 地 表 面 変 位 に対 す る比 を Table 1に 示 す. Table 1よ り両 手 法 に よ る 最 大 地 盤 変 位 の 差 異 は, 一 部 を 除 き0∼12%程 度 と小 さい. 次 に, 両 手 法 に よ り 得 ら れ た 地 表 面 に お け る 地 盤 変 位 分 布 を 比 較 す る. Fig. 4に 両 手 法 の 差 異 の小 さいSH波 の 入 射 角 が45度, 周 期8秒 の 場 合, お よび, 差 異 が 大 きいSH波 の入 射 角 が90度, 周 期10秒 の場 合 に つ い て, 地 表 面 変位 の実 部 お よび 虚 部 を示 す. 図 に は, 両手 法 の差 異 が最 大 と な る 位 置 を▼ で 示 して い る. 両 手 法 の 差 異 が 小 さいFig. 4(a) で は, 地 盤 変位 分 布 は 分 布 形 状, 値 と も よ く一致 して い る. ま た, 両 手 法 の差 異 が 大 き いFig. 4(b)で は, 差 が 最 大 と な る の は, 側 方 境 界 の モ デ ル 化 の 影 響 を最 も受 け て い る側 方境 界位 置 で あ り, そ の 周 辺 を除 く とFig. 4(a) 同様 地 盤 変位 分 布, 値 と も よ く一 致 して い る. この こ と よ り, 本提 案 手 法 に お け る側 方 境 界 は, 有 限 要 素 領 域 で 発 生 した 水 平 方 向 に 伝 播 す る波 動 を十 分 に透 過 して い る と考 え られ る. 3. 傾 斜 層 を 有 す る 地 盤 の 応 答 性 状 こ こで は, Fig. 1に 示 した よ う な地 盤 モ デル にSH波 を 入 力 した 際, 表 層 地 盤 に発 生 す る水 平 方 向 に伝 播 す る 地 震動 の 水 平 方 向 伝 播 特 性, 周 波 数 応 答 特 性 お よ び それ らに 及 ぼ す 地 盤 お よ びSH波 の 入 射 条 件 の 影 響 を検 討 す る. 検 討 条 件 と して(1)基盤 の 傾 斜 角, (2)表層 地 盤 と基 盤 層 の 波 動 イ ン ピー ダ ン ス比 お よ び(3)地震 動 の 入 射 角 を用 い る. (1) 解 析 モ デ ル お よび 条 件 解析 に は, 解 析 パ ラ メ ー タ ーが 最 も単 純 で, 解 析 パ ラ メ ー ター と応 答 の 関 係 を把 握 しやす いFig. 5に 示 す2層 地盤 モ デ ル を用 い た. 解析 で は, 地 盤 を弾 性 体 と し た-計 算 に 用 い た 表 層 地 盤 の 層 厚 お よ びせ ん 断 波 速 度, 表 層 地 盤 お よび 基 盤 の 密 度 は図 に 示 して い る. ま た, 解析 に 際 して パ ラ メ ー ター と して 用 い る 基 盤 傾 斜 角(θd), 波 Fig. 3 The analitical model and the material properties.

A: =1. 0 tf /m'

Vs2=100, m/sec

Table 1 Differences ratio of displacement at ground surface.

Fig. 4 Comparison of displacements at ground surface obtained by the proposed method and by the B. E. M.

(a)

●: Real part of Dlsacement(Prsed Methd) ▲: Imaginary part of Digplacement (Poposed Method) ○: Real part of Dspacement (BEM)

△: Imaginayr part of Displacement (BEM)

(b)

Fig. 5 The analitical model and the material constants. pz =1. 0 t+/m3

動 イ ン ピー ダ ンス 比(α=ρ1Vs1/(ρ1V』2))お よ びSH波 の入 射 角(鉛 直 方 向 とSH波 の入 射 方 向 の な す角)の 値 は, そ れ ぞ れTable2に 示 した. こ こ で, 基 盤 に入 射 す るSH波 は, 単 位 変 位 振 幅 を有 す る調 和 波 と し, そ の周 期 も合 わ せ てTable2に 示 した. Fig. 5に 示 した 解 析 モ デ ル の 基 盤 全 面 にSH波 を入 力 した結 果 得 られ る表 層 地 盤 の応 答 に は, 水 平 基 盤 部 に入 射 し たSH波 に よ り表 層 地 盤 に 生 じる実 体 波 と木 下3)が 指 摘 した よ う な傾 斜 基 盤 部 に入 力 したSH波 が地 表 面 と 傾 斜 基 盤 面 の 間 を 多重 反射 を繰 り返 す こと に よ り生 じる 水 平方 向 に伝 播 す る波 動 の両 方 が含 ま れ て い る. こ こで は, 水 平 方 向 に伝 播 す る地 震 動 を対 象 と した表 層 地 盤 の 応 答性 状 の把 握 を 目 的 と して い る こと か ら, 基 盤 に お け るSH波 の 入 力 位 置 は, 傾 斜 基 盤 部 の み と す る. (2)水 平 方 向伝 播 速 度 の 相違 Table2に 示 した 解 析 パ ラ メ ー ター の 全 組 合 せ に つ い て 応 答解 析 を行 い, 表 層 地盤 の 応 答 よ り地 震 動 の 水 平 方 向伝 播速 度 に 及 ぼ す 各 解析 パ ラ メー ター の 影 響 に つ いて 検 討 を行 っ た. こ こで, 地 震 動 の 水 平 方 向 伝 播 速 度 は, 傾 斜 基 盤 上 の表 層地 盤 で は そ の 応 答 に層 厚 の 違 い に よ る 影 響 が み られ る た め, 層 厚 が 一 定 で あ る水 平 地 盤 部 に つ い て算 出 した. 地 震 動 の 水 平 方 向 伝 播 速 度 は, 有 限 要 素 で モ デ ル 化 さ れ た表 層 地 盤 の 地 表 面 に お い て 隣 接 す る2節 点 の 位 相 差 よ り算 出 した 各 水 平 方 向 伝 播 速 度 を水 平 地 盤 部 に つ い て 次式 に よ り平 均 した 値 と した. C= ∑2πLei-a) n

(15)

こ こで, Cは 平 均 伝 播 速 度, D名 は θ要 素 に お け る δ, j 節 点 間 の 距 離, 晩, θ, は4j節 点 に お け る 位 相 角 (s/rad), nは 有 限 要 素 領 域 に お け る水 平 地 盤 部 の 地 表 面 を含 む要 素 の 数 を表 わ す. ま ず, Fig. 6に 波 動 イ ン ピ ー ダ ンス 比 が0.2の 場 合 に つ い てSH波 の 入 射 角 に応 じた地 震 動 の水 平 方 向 伝 播 速 度 を基 盤 傾 斜 角 ご と に 示 す. な お, Fig-6に は, 水 平 地 盤 部 の地 盤 定 数 を 用 いHaskellの 手 法 に よ り算 出 し た L0ve波 の 理 論 位 相 速 度 特 性 を合 わ せ て 示 して い る. ほ と ん ど の入 射 角 に対 して解 析 に よ り得 られ た位 相 速 度 は ほ ぼ 同 じ値 で あ り, Fig. 6で は そ の差 異 が識 別 で き な い. 地 震 動 の 水 平 方 向 伝 播 速 度 は, 基 盤 傾 斜 角 お よびSH波 の入 射 角 に か か わ らずLove波 の理 論 位 相 速 度 特 性 と一 致 して い る. さ らに, Fig. 7に 波 動 イ ン ピ ー ダ ン ス比 が 0. 33お よ び0. 5の 場 合 に つ い てSH波 の 入 射 角 に 応 じ た 地 震 動 伝 播 速 度 とL0ve波 の 理 論 位 相 速 度 特 性 を示 Table 2 Analitical Parameters.

Fig, 6 Comparison of phase velocity computed by the proposed method to that by Haskell's method.

(a) (b)

344 中村 ・末 富 ・秋 山 ・吉 田: す. た だ し, 波 動 イ ン ピー ダ ンス 比 が0. 2の 場 合 と同 様, 地 震 動 の 水 平 方 向伝 播 速 度 に 基 盤 傾 斜 角 の 影 響 が み られ な い ため, こ こで は基 盤 傾 斜 角5度 につ いて の み 示 して い る. 波 動 イ ン ピー ダ ンス 比 が0. 2の 場 合 と同 様, 地 震 動 の 水 平 方 向 伝 播 速 度 は, SH波 の入 射 角 に か か わ らず Love波 の 理 論 位 相 速 度 特 性 と一▲致 して い る. (3)表 層 地 盤 の 応 答 特 性 の 相 違 水 平 方 向 に伝 播 す る地 震 動 に よ る表 層 地 盤 の 周 波 数 応 答 特 性 を把 握 す る. 周 波 数 応 答 特 性 と して は, 地 表 面 変 位 振 幅 と 傾 斜 基 盤 に 入 力 す るSH波 の 振 幅 の 比 を 用 い る. 波 動 イ ン ピー ダ ンス 比 が0. 2, SH波 の入 射 角 が5度, 周 期 が1. o秒 の 場 合 につ い て, 基 盤 傾 斜 角 に応 じた水 平 地 盤 部 の 地 表 面 変 位 振 幅 分 布 をFig. 8(a)に 示 す. さ ら に, Fig. 8(a)で 地 表 面 位 置 に よ る位 盤 変 位 の 差 異 が最 も大 き い, 基 盤 傾 斜 角 が5度 の場 合 に つ い て, SH波 の 入 力周 期 お よび そ の入 射 角 に応 じた 水 平地 盤 部 に お け る 地 表 面 変 位 分 布 をFig. 8(b), (c)に 示 す. 他 の 波 動 イ ン ピー ダ ンス比 に対 して も同様 な傾 向 が み られ る. この よ う な 地 表 面 各 位 置 に お け る地 盤 変 位 の 差 異 は, 丹 羽 ら14)が指 摘 して い る よ う に傾 斜 基 盤 上 の 堆 積 層 中 に 生 じ る次 の3つ の 波 動 の うち(3)の回 折 波 の 影 響 に 起 因 して い ると 考 え られ る. (1)傾 斜 基 盤 端 部 で 発 生 した 表 面 波 (2)地 表 と基 盤 面 の 間 を屈 折, 反 射 を繰 り返 す こ と に よ り生 じ る波 動 (3)回 折 波 こ こで は, 水 平 方 向 に伝 播 す る地 震 動 と して, 上 記(1), (2)項の 波 動 に よ る表 層 地 盤 の 応 答 の 把 握 を 目的 と して い る こ とか ら, 地 表 面 の 応 答 か ら回 折 波 の影 響 を取 り除 く た め, 地 盤 変 位 と して地 表 面 上 の 各 節 点 に お け る地 盤 変 位 を平 均 した値 を用 い る. 応 答 解 析 よ り得 られ た周 波 数 応 答 倍 率 の う ち, Fig. 9 に基 盤 傾 斜 角 が5度 の 場 合 につ いてSH波 の入 射 角 に応 じた周 波 数 応 答 倍 率 を示 す. まず, 水 平 方 向 に伝i播す る地 震 動 に よ る表 層 地 盤 の最 大 周 波 数 応 答 倍 率 と 水 平成 層 地 盤 にお け るSH波 の最 大 周 波 数 応 答 倍 率 の比 に及 ぼ す各 解 析 パ ラメ ー ター の影 響 を検 討 す る. こ こで, 水 平成 層 地 盤 に お けるSH波 の最 大 周 波 数 応 答 倍 率 は, そ の値 が最 も大 き な鉛 直入 射 の場 合 に よ る値 を用 い る. Fig. 10に 波 動 イ ン ピ ー ダ ン ス比 が0. 2, 0. 33の 場 合 の最 大 応 答 倍 率 比 を示 す. これ よ り, 波 動 イ ン ピ ー ダ ン ス比 に か か わ らず, 基 盤 傾 斜 角 が大 き く な る につ れ 水 平 方 向 に伝 播 す る地 震 動 の最 大 応 答 倍 率 比 は小 さ くな っ て い る こ と が わ か る. ま た, 波 動 イ ン ピー ダ ン ス比 が0. 2の 場 合, そ の最 大 応 答 倍 率 比 は基 盤 傾 斜 角 が5度 の 場 合 を除 きSH波 の入 射 角 に か か わ らず 同程 度 の 値 で あ り, そ の値 は1よ り小 さい. す な わ ち, 表 層 Fig. 7 Comparison of phase velocity computed by the proposed method to that by Haskell's method.

(a)

(b)

Fig. 8 Amplitude of displacement at the ground surface. (a) α: 0.2 61: 85. T: 1.00sc (b) a:0. 2 Bd:50 81:850 (c) α30.2 ea: 50 T: 1.08sec

地 盤 の 最 大 周 波 数 応 答 倍 率 は, 水 平 成 層 地 盤 に お け る SH波 の 最 大 周 波 数 応 答 倍 率 よ り小 さ な 値 と な っ て い る. 一 方, 基 盤 傾 斜 角 が5度 の場 合 に は, 表 層 地盤 の 最 大 周 波 数 応 答倍 率 は 水 平 成 層 地 盤 に お け るSH波 の最 大 周 波 数 応 答 倍 率 よ り大 き な 値 と な っ て い る… 波 動 イ ン ピー ダ ン ス比 が0. 33の 場 合 に は, 基 盤 傾 斜 角 の 大 き な 30, 45度 の最 大周 波 数 応 答倍 率 は, SH波 の入 射 角 に か か わ らず同 程 度 の値 と な っ て お り, 表 層 地 盤 の最 大 周 波 数 応 答 倍 率 は 水 平成 層 地盤 に お けるSH波 の最 大 周 波 数 応 答 倍 率 よ り小 さ な値 と な っ て い る. ま た, 基 盤 傾 斜 角 が5度, 15度 の場 合 に は, SH波 の入 射 角 が大 き くな る につ れ 最 大 応 答 倍 率 比 は大 き くな っ て い る… 次 に, 最 大 周 波 数 応 答 倍 率 を与 え る周 期 つ ま り表 層 地 盤 の 固 有 周 期 と各 解 析 パ ラ メ ー タ ーの 関 係 を検 討 す る. Table3に 波 動 イ ン ピー ダ ン ス比 が0. 2の 場 合 に お け る 基 盤 傾 斜 角 とSH波 の入 射 角 に応 じた表 層 地 盤 の地 震 動 の卓 越 周 期 を示 す. た だ し, 卓 越 周 期 に は, SH波 の 入 射 角 に よ る 差 異 が み られ な い た め, Tab-e3に はSH波、 の入 射 角 が85度 の 場 合 の み を示 して い る. Table3よ り, 地 震 動 の 卓 越 周 期 は, 基 盤 の 傾 斜 角 が 大 き くな るに つ れ 短 くな って い る こ とが わ か る. 水 平 地 盤 部 に お け る地 盤 定 数 を用 い て 算 出 したLove波 の理 論 群 速 度 特 性 の 極 小 値 よ り得 られ る卓 越 周 期 は0. 95秒 で あ り, Tab■e3に 示 し た いず れ の 解析 パ ラ メ ー タ ー に よ り得 られ た卓 越周 期 よ り大 き な値 と な って い る … 波 動 イ ン ピー ダ ン ス 比 が0…33の 場 合 に つ い て も, 基 盤 傾 斜 角 が 大 き くな る に つ れ 卓越 周 期 は短 くな って い る. ま た, 波 動 イ ン ピー ダ ンス 比 が0. 5の 場 合 に は 明 瞭 な卓 越 周 期 Fig. 9 Frequency characteristics of magnification factor.

(a) (b) (c)

(a) _(e)

Fig. 10 Ratio of maximum amplitude versus inclination of basement.

(a) (r)

Table 3 Predominant Period versus inclination of basement (a=0. 2, Bt=85).

346 中村 ・末 富 ・秋 山 ・吉 田: が み られ な い. 水 平 方 向 に 伝 播 す る地 震 動 の 卓 越 周 期 は, SH波 の 入 射 角 に よ らず, 基 盤 傾 斜 角 に の み 依 存 し た値 を示 す こ とか ら, この 値 は地 盤 に固 有 の 周 期 と考 え られ る. この 値 は, 水 平 成 層 部 の み な らず, 傾 斜 基 盤 上 の堆 積 層 にお け る応 答 性 状 の 影 響 を受 け て い る. 4. 基 盤 入 射 波 と表 層 地 盤 の 地 表 面 応 答 の 関 係 こ こで は, 傾 斜 基 盤 の 存 在 に よ り生 じるL0ve波 の発 生 量 と そ の発 生 に影 響 を及 ぼ す地 盤 条 件 お よ び地 震 動 の 入 力 条件 の 関 係 よ りLove波 の 発 生 機 構 に つ い て把 握 す る. 前 章 で得 られ た水 平 方 向 に伝 播 す る地 震 動 は, 伝 播 速 度 がLove波 の 理 論 位 相 速 度 と ほ ぼ一 致 して い る こ とか ら, 傾 斜 堆 積 層 内 に て励 起 され たLove波 を含 ん で い る こと は 明 らか で あ る が, これ 以 外 に, 傾 斜 堆積 層 内 に て 多 重 反 射 を繰 り返 す こ と に よ り生 じる全 反 射SH波 の 影 響 も含 ま れ て い る と考 え られ る. と す れ ば, Fig. 9に 示 した 基 盤 の 不 整 形性 に よ り2次 的 に 生 じ る水 平 方 向 に伝 播 す る 地 震 動 の 周 波 数 応 答 倍 率 は, L0ve波 と 全 反 射 SH波 の2つ の 成 分 の 重 ね 合 わせ と考 え られ る. この う ちL0ve波 成 分 の影 響 を把 握 す る ため, 次 式 に示 す よ う に水 平 方 向 に伝 播 す る地 震 動 の 周 波 数 応 答 倍 率(AS(t)) とLove波 の理 論 変 位 応 答 倍 率(A。(t))と の 比 で 得 ら れ るL0ve波 の 影 響 係 数 丁(t)を 算 出 す る. As(t)=AL(t)・T(t) (16)

AL(t)=

v /L1 y-V SI1/ v(l/ cost こ こで, tは 周 期(秒), Vsは 表 層 地 盤 の せ ん 断 波 速 度, Hは 層 厚, C(t)はLove波 の 理 論 位 相 速 度 を表 わ す. L0ve波 の 理 論 周 波 数 応 答 倍 率(AL(t))は, L0ve波 伝 播 時 に お け る地 表 面 変位 と基 盤 変位 の 比 を表 わ し, 水 平 地 盤 部 を水 平 成 層 地 盤 と しHaskel1の 手 法 に よ り算 出 し た-T(t)が1の 場 合, 周 波 数 応 答 倍 率(As(t)) はLove波 の 周 波 数 応 答 倍 率 と 等 しい こ と を意 味 して い る た め, T(t)=1の 周 期 に お け る 周 波 数 応 答 倍 率 は L0ve波 に よる もの で あ る と考 え られ る 注1). T(t)が1以 外 の 値 の 場 合, 周 波 数 応 答 倍 率(As(t)) はL0ve波 と全 反 射SH波 の 影 響 を含 ん で い る と考 え ら れ る. 基 盤 に入 力 したSH波 が 傾 斜 堆 積 層 内 を多 重 反 射 を繰 り返 し, 水 平 地 盤 部 に到 達 す る と き の全 反 射SH波 の 周 波 数 応 答 倍 率AB(t)は, Fig. 11の2層 地 盤 に対 し て 次 式 と な る.

AB(t)=

1/

cos(2πHcosθ0/tVs)

(17)

水 平 地 盤 部 を伝 播 す る波 が すべ て この 全 反 射SH波 と す れ ば, Love波 の 影 響 係 数 丁(t)は, 式(16)よ り, 形 式 的 にAB(t)とLove波 の周 波 数 応 答 倍 率(AL(t)) の 比 と して 表 わ せ る. こ こで, 仇 は全 反 射SH波 の 入 射 角 で あ る. 基 盤 傾 斜 角 が5度 の 場 合 につ いて, この 関 係 を示 す とFig. 11と な る. 全 反 射SH波 に よ るLove波 の影 響 係 数 丁(t)は 周 期0. 8∼1. o秒 の 間 で1よ り大 き く, そ の周 期 の長 短 周 期 側 で1よ り小 さ く, 特 に 短 周 期 側 で は か な り小 さな値 と な って い る. ま ず, Fig. 12に 波 動 イ ン ピ ー ダ ンス 比 がo. 2, SH波 の 入 射 角 が85度 の 場 合 に つ い て 基 盤 傾 斜 角 に 応 じ た L0ve波 の 影 響 係 数 丁(t)と 周 期 の 関 係 を 示 す. これ よ り, 基 盤 傾 斜 角 が5度 の 場 合, 周 期0. 8秒 か ら1. 0秒 に お い てL0ve波 の 影 響 係 数 丁(t)が ほ ぼ1と な り, 傾 斜 基 盤 に入 射 したSH波 は, ほ と ん どがL0ve波 に転 換 さ れ た こ と が わ か る. ま た, 水 平 地 盤 部 に お け る Love波 の 変 位 成 分 が 最 も 大 き く な るAiry相 を 与 え る 周 期 は, 群 速 度 の極 小 値 を 与 え る周 期0…95秒 で あ り, T(t)=1と な る 周 期 と ほ ぼ 一 致 して い る. 他 の 周 期 で

Fig. 11 Coefficient of influence due to Love wave (AS (t)=AS (t))

Fig. 12 Coefficient of influence due to Love wave versus inclination of basement. 注1) Love波 は, 入 射 角 θL=sin一(Vs1/C(t))で, 地 表 面 と 基 盤 面 を全 反 射 し なが ら水 平 に伝 播 す るSH波 で あ る …周 波 数応 答倍 率As(t)が す べ て 仇 の 入 射 角 を 有 し て 水 平 方 向 に伝 播 す る 全 反 射SH波 に よ る も の と す れ ば, cosθ0=±cosθL(t)+Vsltn/H(n=0, 1, 2, … …) を 満 たす 周 期tに てT(t)=1と な る. つ ま り, 周 波 数 応 答 倍 率 が 全 反 射s且 波 に よ る もの と して もT(t)=1 に お け る周 波 数 応 答倍 率 はLove波 に よる もの で あ る.

は, L0ve波 の 影 響 係 数 丁(t)が1よ り か な り小 さ く L0ve波 よ り全 反 射SH波 の影 響 が 支 配 的 で あ る. ま た, 基 盤 傾 斜 角 が5度 よ り大 き い場 合 に は周 期 にか か わ らず Love波 の 影 響 係 数 丁(t)は, 1よ りか な り小 さい こ と か ら全 反 射SH波 の影 響 が 支 配 的 で あ る. 次 に, 基 盤 傾 斜 角 が5度 の 場 合 につ いて, 波 動 イ ン ピ ー ダ ン ス比 が0. 2に 対 す るSH波 の 入 射 角 に応 じ たL0ve 波 の 影 響 係 数 丁(t)と 周 期 の 関 係 をFig. 13に 示 す … こ れ よ り, 鉛 直入 射(乱=0)の 場 合 を除 き, 入 射 角 に か か わ らずLove波 の 影 響 係 数 丁(t)は ほ ぼ 同 程 度 の 値 と な っ て い る. この た め, SH波 の 入 射 角 は傾 斜 基 盤 の 存 在 に よ り生 じ る水 平 方 向 に 伝 播 す る波 動 の 波 動 種 別 お よび周 波 数 応 答 倍 率 を支 配 す る因 子 とな らな い こ とが わ か る. 最 後 に, 基 盤 傾 斜 角 が5度, SH波 の 入 射 角 が85度 の 場 合 につ い て波 動 イ ン ピー ダ ンス 比 に 応 じたLove波 の 影 響 係 数 丁(t)と 周 期 の 関 係 をFig. 14に 示 す. これ よ り, 波 動 イ ン ピ ー ダ ン ス比 が0. 2の 場 合 にL0ve波 の 支 配 的 な周 期0. 8秒 か ら周 期1…0秒 に お い て, 波 動 イ ン ピー ダ ンス 比 が0. 2以 上 のL0ve波 の 影 響 係 数 丁(t) は, 1よ りか な り大 き く周 期 に か か わ らず 全 反 射SH波 の 影 響 が 支配 的 で あ る こと が わ か る. 以 上 よ り, 傾 斜 基 盤 の存 在 に よ りL0ve波 が2次 的 に 発 生 す る た め に は, 基 盤傾 斜 角 お よび 波 動 イ ン ピー ダ ン ス 比 の2つ が 支 配 因 子 で あ り, 両 者 が 小 さ い 場 合 に L0ve波 が2次 的 に発 生 す る こ と が わ か る … 5. 結 論 本 研 究 で は, 単 純 な傾 斜 基 盤 を有 す る2層 地 盤 モ デ ル を用 い た 応 答 解 析 に よ り, 2次 的 に 発 生 す る水 平 方 向 に 伝 播 す る地 震 動 の性 質 お よ び そ の発 生 機 構 に つ い て検 討 を行 っ た. 応 答 解 析 に は, 有 限要 素 法 と境 界要 素 法 の結 合 解 析 法 に 有 限 要 素 領 域 の側 方 にL0ve波 の よ うに水 平 方 向 に伝 播 す る地 震 動 を透 過 さ せ る境 界 と してLysmer の伝 達 境 界 を加 え た新 た な手 法 の提 案 を行 っ た. こ の結 果, 傾 斜 基盤 に 入 力 したSH波 に よ り傾 斜 堆 積 層 内 を多 重 反 射 を繰 り返 す こ と に よ り, 水 平 基 盤 上 の堆 積 層 に生 じる水 平 方 向 に伝 播 す る地 震 動 の 性 質 につ い て 以 下 の よ う な結 果 が得 られ た. (1)水 平 方 向 伝 播 速 度 は, L0ve波 の位 相 速 度 と ほ ぼ一 致 して お り, 基 盤 の不 整 形 性 を表 わす 基 盤 傾 斜 角 お よ びSH波 の 入 射 角 の 影 響 を受 けて い な い. (2)周 波 数 応 答 倍 率(地 表 面 応 答/基 盤 入 射 波)に は, 基 盤 の不 整 形 性 を表 わ す基 盤 傾 斜 角 の影 響 が支 配 的 で あ る. 基 盤 傾 斜 角 が小 さ くな る につ れ, そ の値 は大 き く な る. さ ら に基 盤 傾 斜 角 が 小 さ い場 合 に は, SH波 の 入 射 角 も影 響 す る よう に な り, 入 射 角 が大 き くな る につ れ周 波 数応 答 倍 率 は 大 き くな る. (3)周 波数 応 答倍 率 の最 大値 は, 基 盤 傾 斜 角 が小 さ い 場 合 に 水 平 成 層 地 盤 に お け るSH波 の鉛 直 入射 時 の周 波 数応 答倍 率 の 最 大値 よ り大 き い. (4)水 平 方 向 に伝 播 す る地 震 動 の 卓越 周 期 は, 層 厚, 波 動 イ ン ピー ダ ンス 比 等 の 地 盤 定 数 に 加 え 基 盤傾 斜角 に も依 存 して お り, 基 盤 傾 斜 角 が 大 き くな る に つ れ そ の卓 越 周 期 は短 くな る. さ ら に, 水 平 方 向 に伝 播 す る 地 震 動, 特 にL0ve波 の 発 生 機 構 に つ い て 次 の よ うな 結 果 が 得 られ た. (5)基 盤 傾 斜 角 と波 動 イ ン ピー ダ ンス 比 の 両 方 が 小 さ な場 合 に は, 水 平 地 盤 部 に お け るLove波 のAiry相 を与 え る 周 期 を もつL0ve波 が 発 生 す る. ま た, Airy 相 を与 え る周 期 の 長 短 周 期 側 に お け る地 震 動 の 波 動 成分 は, 全 反 射SH波 がL0ve波 に比 べ て優 勢 で あ る. (6)基 盤 傾 斜 角 お よ び波 動 イ ン ピー ダ ンス 比 が 大 き な場 合 に発 生 す る地 震 動 の 波 動 成 分 は, 周 期 にか か わ ら ず 全 反 射SH波 が 支配 的 で あ る. 水 平 方 向 に伝 播 す る地 震 動 の 発 生 機 構 につ いて の 考 察 を行 う 際 に用 い たL0ve波 の 発 生 率 を表 わす 係 数 は, 地 盤 形 状 に固 有 な値 で あ る と考 え られ る. 今 後, 実 地 盤 と の 対 応 を計 る こ と に よ り, この よ う な地 震 動 を予 測 す る 手 法 へ の 適 用 を検 討 して い き た い と考 え て い る. Fig. 13 Coefficient of influence due to Love wave versus

incident angle of SH wave.

Fig. 14 Coefficient of influence due to Love wave versus ratio of wave impedance.

348 中 村 ・末 富 ・秋 山 ・吉 田:

参 考 文 献

1) Scawthorn, C., Celebi, M, and Prince, J. : Perform-ance Characteristics of Structure, 1985 Mexico City earthquake, The Mexico Earthquake 1985, pp. 217-233, 1986. 2)た と え ば, 井 上 涼 介:や や 長 周 期 帯 域 に お け る 設 計 用 入 力 地 震 動 研 究 の展 望, 土 木 学 会 論 文 報 告 集, 第374号, pp. 1∼23, 1986. 3)木 下 繁 夫:傾 斜 基 盤 に お け るS且 波 の全 反射 伝 播, 地 震, 第38巻, pp. 597∼608, 1985. 4)瀬 尾 和 太:深 い地 盤 の震 動性 状 を 探 る, 第13回 地 盤 震 動 シ ンポ ジ ウム, 日本 建 築 学 会, pp. 27∼34, 1985. 5)鳥 海 勲:堆 積 層 表 面 波 の 構 造 に つ い て一 大 阪 平 野 の 場 合-, 第14回 地 盤 震 動 シ ン ポ ジ ウ ム, 日 本 建 築 学 会, pp. 69∼74, 1986.

6) Bard, Y. P. and Bouchon, M. : The Seismic Response of Sediment-Filled Valleys Part. 1 The case of Incident SB wave, Bull. Seis. Soc. Am., Vol. 70, No. 4, pp. 1263-1286, 1980.

7) Bard, Y. P. and Bouchon, M. : The Two-Dimensional Response of Sediment-Filled Valleys, Bull. Seis. Soc. Am., Vol. 75, No. 2, pp. 519-541, 1985.

8)堀 家 正 則:複 数 の 曲 が っ た境 界 を有 す る 減 衰 の あ る媒 質 の 地 震 動 応 答 計 算 法 へ のAL法 の 拡 張 と そ れ を用 い た堆 積 盆 地 の 地 震 動 特 性, 地 震, 第40巻, pp. 247∼259, 1987.

9) Aki, K. and Lamer, L. K. : Surface motion of a layered medium having Irregular Interface due to Incident SH Waves, J. Geophys. Res., Vol. 75, No. 5, pp. 933-954, 1970. 10)大 槻 明 ・田 蔵 隆 ・清 水 勝 美:傾 斜 基 盤 を有 す る 不 整 形 地 盤 の 地 震 時挙 動 と 地盤 ひ ず み, 土 木学 会 論 文 報告 集, 第350号, PP. 291∼300, 1984… 11)三 田 彰 ・高 梨 和 光:ハ イブ リッ ト法 に よ る波 動 解 析 一 そ の1解 析 手 法 と解 析 精 度 一, 日本 建 築 学 会 学 術 講 演 概 要 集, pp. 815∼816, 1983. 12)秋 山 伸 一 ・宮 原 玄:境 界 要 素 ・有 限 要 素 の結 合 解 析 法 に よ る非 均 質 地 盤 の 動 的 応 答 解 析, 第39回 土 木 学 会 年 次 大 会 講 演 概 要 集, pp. 821∼822, 1984.

13) Lysmer, J., Udake, T., Tsai, T. C. and Seed, H. B. Flush-A Computer Program for Approximate 3-D Analy-sis of Soil-Structure Interaction Problem, Report No. EERC 75-30, Earthquake Engineering Research Center, University of California, 1975.

14)丹 羽 義 政 …広 瀬 壮 一:傾 斜 層 を有 す る地 盤 に お け る理 論 的 地 震 動 解 析, 土 木 学 会 論 文 報 告 集, 第337号, pp. 57 ∼66, 1983 …

15) Lysmer, J, and Waas, G. : Shear Waves in Plane Infinite Structure, A. S. C. E, EM 1, pp. 85-105, 1972. 16) Chen, C. J., Lysmer, J. and Seed, H. B. : Analysis of Local Vaivrations in Free Field seismic ground motion, Earthquake Engineering Research Center, Report No. EERC 81-03, University of California, 1981. 17) Tazime, K. : Maximum Group Velocity, Maximum

Am-plitude and Quarter Wave-Length Law, J. Phys. Earth, Vol. 5, No. 1, pp. 43-50, 1957.

18) Haskell, N. A. : The Dispersion of Surface Waves on Multilayered Media, Bull. Seis. Soc. Am., Vol. 43, No. 2, pp. 17-34, 1953.