半無限弾性体上の円板の動的コンプライアンス問題 : その2. 鉛直高次モード

幟 　 　文｝ UDC ：624

．

073 ：624

．

042

．

7 ；620

．

1 日本 建 築 学 会構造系論文報告集 第 371 号

・

昭和 62 年 1月

半 無 限

弾

性 体 上

の

_円

_板

の

_{動 的}

コ

ン

プ

ラ

イ

ア

ン

ス

_問

題

そ の

2

．鉛 直高次

モ

ー

ド 正 会 員

　東

原

紘

道

＊ 　 L 研究の概 要 　本 研 究は_， 半 無 限 弾 性 体の表 面にあっ て， 鉛 直 方 向に 微 小 振 幅の単 振 動 を する円 板 と半 無 限 体の動 的 相 互 作 用 を考 察する もの である

。

こ こ で円板の力 学 的 特 性は

一

切 間わな い。 剛 体であっ て も変 形する物 体でもよい し_， あ るいは軸 対称な上 部 構 造 を伴っ ていて も差し支えない

。

　動的コ ンプライア ン ス問 題と呼ばれ る こ の問 題の解 析 的 研 究は_， 点 加 振 源の問 題から剛 体 円 板の問題へ _{と拡 張} さ れて きて い る1） 。 剛 体 円 板の 軸 対 称モ

ー

ドの 問 題は

Robertson

に よっ て始め て厳 密に解か れ た2｝

。

こ れ は

，

円板 直下で の変 位の条 件

，

およ び 自由 表 面の応 力の条 件 を表 現 する

2

個の積 分 方 程 式 を解くもの で_，

dual

　

integ

−

ral　equations の _方法と呼ば れて い る

。

　

dual

　intergral equations の方 法は剛 体 円板の ほかの振 動モ

ー

ドに も同 じよ うに_有効である3｝ 。 他 方で接 触 面 変 位 と接 触 応 力 と は

，

円板も し く は そ れ を含む 上部 構 造の 運 動 方 程 式に よっ て関 係づ けら れ る。 こうして上 述の積 分 方 程 式 と運 動方程 式の組は

，

半無 限 弾 性 体と 上部 構 造の連 成 振 動 を 完全に_{規 定}す る。 　 積 分 方 程 式の_{解 法}の_{骨 子}は次の _{よ う}である。 ま ず

，

同 次形で あ る自由表面の方程 式を自動 的に満 足す る よう に

，

未知関数の変

_換

を行う

。

これを変位条件

_求

に代入 し て

，

単

1

の_{積分方程 式 を得}る。 結 果は第 2種の フ レ ドホ ル ム型積分方程 式に な るの でt これ を数 値 的に解く。 　 特に 円板が剛体であ る場合には変位が

一

様とい う条 件 に な り積分方程 式は比 較 的 単 純にな る。 　さ ら に井口 ら は中心部分も し く は周 辺 部 分が剛 体であ るよ うな弾 性 円板につ い て動 的コ ン プライアン ス_問題 を 解いて い る41

。

これ は方 法論と し て は上 記の_{解 法}を忠 実 に拡 張し たもの に なっ ている

。

　こ れらの方 法は， 自由 表 面の条 件を消 去す る よ う な特 殊な形の式の範囲内で_， 運 動 方程 式の_解を構 成し よ う と す るもの であ る。 し た がっ て複 雑な問 題に は適 用で き な い _（現 実に は井口 ら の結 果が その限 界 を画 していると思 わ れ る）

。

液 体を含む円 筒タンク等の問 題に直 接 適 用 す る た めに は_，も う少し異なっ た アプロ

ー

チ が 必要で あ る。 拿 埼玉大学　助 教 授

・

工博 　 ｛昭 和 60 年6月 19日原 稿受 理〕 こ れ に_対し て_筆者は1つ の手 法を提 示し た5）

_。

_{こ れ は接} 触面変位を接 触 応 力に直接に関係づ け る積 分 方 程 式を用 い るもの であっ て

，

半無 限弾性 体の混合境界値問題に対 す るグリ

ー

ン_{関 数}を 陽 に表示 す る手法であ る。 　こ の理論を用い る と， 半無 限弾性 体の影 響が

，

接 触 面 で の量の あいだの条 件のみで_表現さ れ るの で

，

以後は上 部 構 造の運 動 方 程 式の解 法だ け に な る

。

し た がっ て

，

適 切な離散化手法 を併用す れば， 複雑な上部構造の動的コ ン プライアン ス 問題が解か れ う る

。

前報におい ては鉛直 振 動の う ちで も軸 対 称の もの につ いてのみ考 察し た

。

し か しこ の手 法は， 高 次の フ

ー

リエ 次数に対応する ほ か の 鉛 直 振 動に も拡 張し う る。 これ が本論 文の主な内容であ る

。

　以 下で は， 接 触面の せ ん断力を無視す る。 ま た浮き 上 がりも発 生 しない もの とす る

。

第 2 章で は 理論式を誘導 し， その結 果 を， 従 来の手 法に よっ て解が得ら れて いる 剛 体円板のロ ッキングモ

ー

ドに適 用し て そ の妥 当性を検 証 する

。

その結 果 を第 3章で示す

。

　2

．

理 論 解 析 　円 柱 座標 （r， θ， z）を，　z ≧

0

が半 無限弾 性 体と な るよ うに とり

，

地 表 面にお け る変 位 を （u

，

v

，

　w）と す る

。

単 振 動する解 を θ方 向に フ

ー

リエ分 解 し た 式 は妹 沢に よっ て与え ら れ てい る6）

。

以 下で はこの次数を m で表す。 また地 表 面に お け る垂直応力を σ と す る。 前 報によれば次 式が成 立つ5｝：

　　

　

w・（r）

−

txc

°

　… （s）階 ・・）

ds −

・

……

（

1

）

　　

　

Wm

（… ）

一

が

∫

論

み臨 （・・）齔

…・

・

（・） 　 　　

F

（κ）

＝

（

k2

＋_βつ2

− 4d

_β

h

’

・

………

　（3 ） 　 　 　 t　 　 　 　t こ こに

・

α2＋ a：

・

・

fl

’

− hZ− b2

・　a ’ 一 、

豊

。

・8 一

 

ρ は弾 性 体の密 度

，

λとμは

Lame

の定数

，

ω は振 動 数

，

み は m 次

Bessel

関 数である

。

　

前 報では特に m ＝ O_{に対し て式 （}2 ）_{の計算を行い} ， 積 分 核

w

。　（r　；8）を具 体 的に決 定した

。

こ の結 果 を参 考に し な が ら，

一

_{般の m に} 対して Wm を決 定する の が 本研 究の 目的で あ る

。

し た がっ て本 報は前 報の直 接 的な 拡張にあ た る。

一 39 一

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service

Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

　ま ず前報にならっ て，

　　　

w

・・（・…s）

一

ゲ

匿

・

∫

儒

ゐ伽 ）ゐ（h・｝dk

］

　　 　 　 　　 　 　 　

・

・

『

・

…『

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

4−・

・

・

・

…

　（4 ）

　

　　

・

一

∬

｛

論

・ c

］

・・（・・）… （・・）

dk

・

一 …

（・） 　 　 　 1 　　 　 　 　　 　 　 　　こ こ に 　 C

＝

・

一

一

…凾

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（6 ） 　　 　 　 　

2

（

b2一

α2） 式 （4 ）は _既 の_特異部分を第 2項と し て分 離し たもの で あ る。 　 第

2

項の定積分 は解 析 的に実 行で き ない の でな んら か の_{数 値 計 算}が 必要であ る。 前報で用い たよ うに

，

特に m ≡

O

の と き は次の関係が成り立ち

，

第

2

_項は第

1

種完 全楕円積分

K

。で表さ れ る ：

　

　

　

f

，　 M 　・・（　・・　・｝・・（

ks

〕

dh

一

髪

∫

i

〆

一

農

。stt

　

　　弓

臨

（

37

）

， ・≦・＜r

…一 ・

・

………

（

7

） こ の公式に倣っ て次の よ うに書

_く

：

　

　　

∫

 

ゐ伽 》

J

・（

h

・）

dk

−

÷

．　

K

・

（

8r

）

　 　 　 ，

0

≦sくr

・

　 　 　　 　 　　 　 　

……・

…・

………・

……一 …・

・

（8 ） 吉田

・

酪 ・式 （・）を （m

−

t

’次の第 ・種・レジャ ン ドル_関数で表 示し た の ち， 漸化式に よっ て， 第

1

種お よ び第

2

種 完全楕円積分で表 示してい る？） 。 し た がっ て

Km

（x_）は，　

lxl

→

1

の と き対 数 型で発

散

し

，

これ が 肱 の特異 性を も た ら す こ と が 理解さ れ る。 具体的に積分表 示式は次のよ う に な る ： 　 　 　　 　 　　 　 咢　COS 　mt

Km

（x_）　＝

iMJI

卜 xt。 。s，

t

・

_{cosl 飢 sh ゴ}1 （xcost ）｝

dt，

況＝ 偶数 置 1

∬

1

彎

誌

，

’

_sin　

i

_糀　sin

−

1_{僑COS の｝}

d

_診

，鵠

＝

奇数， 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

《9）

Km

の関 数 形の概 要 を 図

一

1に示 す

。

　x→ 0の と き

K

． は m 次の オ

ー

ダ

ー

で 0に収 束 する こと が式 （8）か らわ か る。 K_m（x） 　 4

一

₄₀

一

3 2 1 O　 　 　 x O　 　　 　 　 　　 　O

．

5　　 　 　 　　 　 　LO 図

一

1　

一

般 化さ れ た楕 円 積 分 m

＝

o m

＝

1 　 　 　 m

＝

2

　

次に式 （5 ）の積 分 を行 う

。

m

＝O

の場 合に対 して前 報で積分を実 行した過 程を検 討し て み る と_， 次の よ う な 関 係を満 足 する関数 Hm が見い だ され るな らば，

一

_般の 仞 に対し て も

，

前報の手 法が適用で き ること が理 解さ れる

。

　 　 　

Hn

（

h

）十

H

_”（

一

　

h

_）＝

2

　

Jm

_｛　

k

_）

一 ……・

……一 …

_（10_） m ＝

O

_の場 合_{に は}確_{か に}次_式が式 （

10

）_{を満 足 する}s｝ 。

　　　

跚 一

吉

∬

_ε一 ・

d

θ

・

…・

・

…・

……一

…・

_（・1_） しか し式 （

10

）は

一

般 的に成 立 するもの では ない

。

左 辺 は 必 ら ず偶 関 数で ある の に対し て_， 右辺は_奇数 次の m に対 し て は奇 関数と な る か らで あ る。 し か し

，

奇 数の m に対 して は次 式 を 満 足す る関数 Hm が見い ださ れ れ ば_， m

＝

Oの_場合の_計算法が利用で き るこ _とは明 らかで ある。

　　　　　　　嚠

　　　

Hm

（

k

）

− Hs

（

− h

）F2 　

W

』（

_．

k

）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（14 ） 幸いなことに_{， 奇}数の m に_対して式 （14 ）を満 足し

，

偶 数の m に対し て式 （

40

）を満足す る解析関数

Hm

が 存 在する

。

す な わち

　

　

　

H ・

（・）・＝

　

；

：

（

1

・‘一’

”

f

（

：

蓋）

・ ・ ・・

……・

・

…・

・

（15） こ こで かっ こ内の 2段書きの上側は m が偶数の場合を 示し_， 下 側は m が_奇数の_場合を示す。 以 下 同様とする。 これに よっ て， 前報で提 示し た積分 法が そ の ま ま適用 可 能 と なる

。

その結 果は次のよ う に な る

。

　

　

　

・一

一

π κ

癬

・蠢け

，

xs ）・

f

， “

htt

／

． 。

1

（

h

）

　

　

　

　

・

_{H ：（}

_{hr ，k}

・）

dh

・

∬

1

叢

漏

耐

F

　 　 　　

・

Fs

（

h

）

H

讒（

hr

，　

hs

｝

dic◆

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（16） こ こ ‘こ

　　

F，〔

h

＞

＝

（2ke

− b

： ）t

，

　F_，（

k

_）

＝

4_鳶2_》

履

言

『

V

秤

，

　　　　

瓦  三

4

κ2

碑

_》

秤

　　　

H：（x

，

_y）

−

s

［

G

・｛・

，

y）±

IJ

− （・・）N・（y）＋

J．

〈y）

N ．

c

・）

1

］ 　 　 　　 　 　　 十

iJtl

（x＞

Jm

（

tt

）

………・

………・

…・

（

17

）

　

　

　

G

・（・v，　y）

一

圭

∬

鬮

祕

・

∬

に

蓋

｝

m ＆

d

・

　　　　　

1

・・

Sinlxsina ・

−

ysina1

・

．

………・

（18）

　

　

　

腓

圭

∬

膿｝

・

醐

に

砦

｝

翩 　 　 　　 　 　　 　 　

・

・

…

　∴

・

甲

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



一

・

・

・

・

・

・

…

_（

19

_＞ ただし式 （

17

）の複 号 と 式 〔

18

）

，

（

19

）の中かっ こは

，

上段が m

＝

偶 数， 下 段が m

＝

奇 数の場 合 を表す

。

　以上に よ り_， 任 意の鉛 直 高 次モ

ー

ドに対し て も， 軸 対 称の場 合と完全 に 同 型の公 式 が 成 立 す ること が明ら か と なっ た。 すなわち 　 　

’

　　　

ω ・ω

一

去

∬

・砺（・）噺 ・・）

ds ・

一

：

一

・

………

（2・_） N工 工

一

Eleotronio _Library

こ こ に 噺 ・・｝

訓

肚

咢

κ・

（

÷

）

｝

， ・≦・＜r 　 　 　

・

一 ………・

………

（21） 　

3

．

数 値 計 算 　 （1） 積 分 核 　式 （21）の例とし て_， m

＝

1， ボア ッソ ン比 り

＝

0

．

25

，

無 次 元 振 動 数

＝

bR

＝

5

．

0の場 合 を 図

一

2に与え る。 た だ し関 数 値は無 次 元 量である

RW

． 〔r

，

　s）である

。

対 称 性を考慮 し て_， r ＞8 部 分に実 数 部を_， 8＞ r 部 分に虚 数 部 を示 す。 実 数 部が対 角 線 上に対 数 型 特 異 点 を有 する こと は m

＝

0の場 合と同 様で あ る。 m

＝

1の場 合にはs ＝

0

の と き実数部が0に な る のが特 徴 的であ る_。 　 （

2

） 剛体円板の ロッキング振 動 （m

＝1

） 　m ＝

0

の場 合 と 同様の離 散 化 をする

。

すな わ ち区 間（

e，

R

）を適当に分割し_， 各 小 区 間 内で σ が直 線 的に変 化す る も のとす れば， 式 （

20

）は次の よ うにな る。

　　　

φ

1r

｝

ユ

［w、］

1

σ

1

…一 ………・

………一 …

（

22

） 　 　 　 μ こ こにφは回転角，

Ir

｝は端点 を含む分割点の座標か ら 成るベ ク

_ト

ル

，

1

σ｝は分割点にお け る σ の値か ら成るべ OL 目 O

咽

_り

U ロ コ 山 OU 口 呵

咽

H 仙 日 OU 0

．

R

【

切

響

OU 霜 6 り   HO 工皿 dginary 　Part Distance ｛r， 図

一2

積 分 核 ” 旨 晒 画

一

幻 o 餌

由

・1 　肪 0

．

5 ／ 0 ／

鵬

0

．

O vヒ0

．

2

商

・・ 0　　 　　 　　 ユ 　 　NondimensiorLal 　Frequency 図

一

3　コ _ンプラ イ アンス_{関 数} 5 ク トル であ る。 既 も各 小区間内で直 線的に 変化 す る と して行 列 隅 が計算さ れ る。 た だ特異点近傍の み は特 別 に次 式で評 価する

。

十 分 小さい正 数 δ に_対し て

　　　

「‘” ei 。。（。鳳 ，，。）

d

。≒

2

（卜 ・） △

．

。

．

。（。）

　

　　

f

，

i

−

e 孕

　 　 　

π 　　 　 　　 　 　 　　

・

・

…・

・

…・

………・

・

…・

…・

……

（23 ）

　

　

　

・一

（

　　

一

21

吾δ

）

f

。 ’ ・… θ＋・δ・ ・s2・

d

・

　

　

　

　

・

9

・

∬

。、。 ，．

諜

，．。。 ，

de

　

　

　

　

・

∫

 

・s・θ （1＋ ・）・

一

・ ・s’・

d

・

−

9

　　 　 　　 　 　 　　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

一

一

・

・

・

・

…

　（24 ） 　いま 円板の

1

つ の _直径のまわ りのモ

ー

メン トを

M

と す ると， μ

R3

φ／

M

＝

f

，＋伍で定義さ れ る， 静的コ ン プ ライア ンス で正規化し たコ ンプライアン ス_関数が式 （22 ） の解か ら計 算さ れ る

。

い くつ か の ケ

ー

スに対す るコンプ ライア ン ス _関数 を 図

一3

に示す

。

結 果は

dual

　

integral

equatiens _法の_差分解と図 化の_{誤 差}の_{範 囲}で

一

致し てい る3） 。 これ は前章で与え た結果の検証になっ て い る

。

　次に μ で除して無 次元化し た接 触圧の振 幅の分 布を 図

一4

に示す。

q

れ は レ

＝0．5

の例で あ り

，

図 中の数 字 は無次元振 動数であ る。 これ が 2以 下で は図で見 分 けら れ る ほ どの差 は 生 じ ない

。

こ の _{結 果}は （0

，R

）を50等 分し た場合の結果であ る が， これ を

10

等 分に して も顕 著な差異は中心 か らの距離が0

．

8R 以上の周 辺部で生 じ るのみであ り

，

こ れ に対応 して コンプライアン ス関 数 皿 の

Φ

N 口 U噛 　 H 囑 口 O 周 0励 環 四 目

咽

唱 口 OZ 2 10 543

．

1 Distdnce R 図

一

4　応 力の分布 （5［ c4） 〔3， 〔2｝ （1）

一

₄₁

一

Architectural Institute of Japan

NII-Electronic Library Service

Arohiteotural エnstitute 　of 　Japan

1 　 　 工 2h 噂

一

〇 〇   の 呵 ‘ 0 　 0 　 　 　 Distance ｛r_） 　 　 　 図

一

5　接 触圧の位 相お くれ R の数 値は ほとんど変 化し ない

。

　右 側のかっ こ 内の数字は外周部で の応力の大き さであ る

。

こ れ が_有限で あ るの は数 値 計 算の_{限 界}である。 しか し十 分に_細かい_分割に よっ て特異点の ご く近 傍まで応 力 を 正 確にとら え るこ と が可能であ る

。

　 図

一5

は図

一4

と同じ例に お ける

，

接 触 圧の振 動の位 相の変位の位相か ら の遅れで あ る。 図 中の数 字は無 次 元 振 動 数で あ る

。

これ が0にな る と き曲線は横 軸に

一

致す る

。

これ らの_曲線が すべ て （0

，

π）にあることは_， すべ ての点か ら振動エ _ネルギ

ー

が放射さ れ逸散することを意 味す るが， こ の逸散量は位相遅れの sin に比 例 する も の であ る。 し た がっ て無 次 元 振 動 数が3をこえて増 大す る と き， 特に中心 に近い部分か らのエ ネル ギ

ー

逸 散が顕 著に な る こと が わか る

。

　

4

．

結 　 論 　 半 無 限 弾 性 体 上で高 次モ

ー

ドの鉛 直振 動 をする円板の 接 触 面に お け る鉛 直変位と圧 力と を関係づ ける積 分 変 換 を求め た

。

これは

dual

　integral　equations _法の よ う な媒 介 変 数 を含 まない の で

，

その ま ま上 部 構 造の運 動 方 程 式 と連 立さ せ うる

。

こ れ は適 切な離 散 化 手 法によっ て解か れ る9 　ま た公 式の誘 導に際し て 円板の_{力 学 条 件 （剛 体}である な ど）は

一

切 利 用し て い ない の で， 対象と す る円板の力 学 的 性 質には何ら制 約 がない

。

さ ら に特異点の処 理を含 めて計 算が容 易に精 度 よ くで き る

。

　

検証の た め剛 体円板のロ ッキングモ

ー

ドに本 手 法を適 用し

，

既 往の研 究 と 同

一

の コ ン プライアン ス関 数を得た。 参考文献

1_＞Lamb

_，

　H

．

　On　the　Propagation　of　Tlemors　 ove 【 the 　 　Surface　of　an　Elastic　Solid

，

　Philosophical　Transactions

　　of　the　Royal　Society　ol　London

，

　Series　A

．

　Vol

．

203

，

　 　pp

．

1

−

42

，

　1904

2）　Robertson

，

1

．

A

．

：Forced　Vertical　vibration 　of　a　r量gid

　　circular 　disc　on　a　semi

−

infinite　elastic　solid

，

　Proceedings

　　of　the　Cambridge　Philosophical　Society

，

　Voi

．

62

，

　Series

　 　A

．

　pp

．

547

−

553

_，

₁₉₆₆

3＞ Luco

，

　

J．

　E

．

，

Westmann

，

　R

．

　A

．

：Dynamic　Response　of

　　

Circular

　

Footings

，

　

Journal

　of　the　Engineering　Mecha

−

　 　nics　Division

，

　ASCE

，

　

Vol．

97

，

　_pp

．

1381

−

1395

，

1971

4） Iguchi

，

　M

．

，

Luco_，　

J，

E

．

：Vibratio皿 of　Flexible　Plate

　　on　Viscoelastic　Medium

，

　

Journal

　of　the　Engineering

　　Mechanics　Division

，

　ASCE

，

　Vol

．

108

，　pp

．

1103

−

1120

，

　 　19825 ） 東原紘道 ：半無 限 弾 性 体 上の 円板の動 的コ ンプラ イ アン 　 　ス問 題

，

そ のL 軸 対称 鉛 直振動

，

日 本 建 築 学 会 構 造 系 　 　論 文 報 告 集 第349_号， 50

−

58頁

，

1985 6） 妹 沢 克 惟 ；方 位 的 分 布をもつ レ

ー

レ

ー

_波の_研究

，

_{東 大地} 　 　震研彙報第6号

．

1

−

8頁

，

1928 7｝ 吉田長 行

，

藤 谷義信 ：_{弾 性}地 盤 に お け る リング状 線 加 振 　 　解

，

構 造 工 学 論 文 集Vol

．

31　B

，

23

−

34頁

，

1985 8） 小 林俊 夫 ：半 無 限弾 性 体 地 表 面 点 加 振 解の無 限 積 分 を 有 　　限積分 で表わ す方法

，

日 本建 築 学 会 論 文 報 告 集第 302号， 　 　29

−

35頁

，

1981

一

₄₂

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

SYNOPSIS

UDC:624.073:624.042.7:620.1

A

FORMULATION

OF

DYNAMIC

COMPLIANCE

OF

A

CIRCULAR

DISC

Partll

:

Higher

vertical modes

byDr.

_HIROMICHI

_HIGASHIHARA,

Member of A,I,J.

Dynamic

compliance of a circular

disc

is

investigated

for

higher

vertical modes,

The

vertical

displacernent

of

the

disc

is

expressed

in

terms of a

linear

integraltransformation of the normal stress of contact.

This

formula

is

derived

solely

from

the

dynamics

of the elastic medium _;consequently, no restriction

is

imposed

on the mecha-nical _propertiesof the

disc,

The

integral

kernel,

which isobtained

for

the

first

time, isexpressed as a

defiriite

integral

of some

higher

functigns

which are regular and can

be

evaluated easily.

By

solving simttltaneously the

basic

equation _presented

here

and theequation of motion of the

disc,

one can readily takethe

dynamical

interaction

between

the

disc

and

theelactic medium intoaccount.

The

present

formula

is

then examined numerically

by

applying totherocking mode of a rigid

disc

whose result

is

known.

The

result obtained

is

identical

tothat of the conventional method.