non-white入力を受ける履歴型多質点系のランダム応答解析

【研 究 論 文】 UDC ：624

．

042

．

7；62〔｝

．

1 日本 建 築 学 会 構造 系 論 文 報 告 集 第 347

．

号

・

昭和 60 年 1月

non

−white

_入

_力

を

受

け る

履 歴 型

多質点系

の

ラ

ン

ダ

ム

応

_答解析

正 会 員 正 会 員

和

木

泉

村

正

正

哲

＊

彦

＊＊ 　

L

序 　建 築 構造物の_耐震 構 造安全性 評 価に おい て， 入力地震 動の不確 定性を考慮し た構 造 物モデル の応 答解析が 必要 であ る との視点か ら

，

筆 者ら は文 献

1

＞

，2

）に おい て マ ル コ フ連 鎖確率モ デル を用いた履歴系の ランダム_応答を 求め る解析手法を展 開し

，

そ れ ら を定常お よび振幅非定

常な Gaussian　white 　noise を受け る完全弾塑性型 1質

点 系の非定常ランダム_応答を求め る場合に適用して き た。 こ の手 法は

，

荷 重

一

変 位 （P

一

δ）平 面を有 限 個の領 域に分 割する こ とに より P

一

δ平 面上の応答 位 置を離 散 化 し

，

これ らの離散化さ れ た応答 位 置を応答の状態 量 と み な し

，

これら の_状態上に_応答が存在す る確率分布 （確 率 関数）を非定常に求め ること を 基本と す るe そ して

，

こ の_確率分布の推 移に対してマ ル コフ運鎖を仮 定し， 応 答の 状態 間の期 待推移回数に よ り規 定 さ れ る推移マ ト リックス を求め るこ とによ り， 応 答の状 態 上の確 率分布 を非定常に求め る の で あ る。 この手法に よ れば， 同時に 最大応答お よ び極値応答の確率分布

，

初通過 破壊確率を も容 易に求め ること がで き る

。

　ところで

，

履 歴系の ランダム応 答に関す る研究に おい て は

，一

部の研 究 （文献3 ）

，

4 ））を除い て入力をwhite noise と して いるの が ほ と ん どであ る

。

し か し な が ら

，

一

_{般に建築構 造 物の受け る 地震 動が}

_，

_{地 盤の存在等に よ} り non

−

white _性を示す こ と を考え る と

，

入力と して non

−

white 　noise を 対象と する必 要 が あ る

。

ま た， 非 線

形性の強い_{履 歴 型多質}点系の ラン ダム応答を， 質点 数が

増え て も効 率よ く求め られ る こと が 望 ましい

。

本 報 告で は こ れ らの点 を鑑み

，

マ ルコ フ連 鎖 確 率モデル による履 歴系の ラン ダム応 答解析 手 法 を， non

−

white 　nQise の

一

種で ある振 幅 非 定 常な

filtered

　

Gaussian

　_{white 　noise を}

受け る，

Bilinear

型 多 質 点せん断 系に適用 する場 合の理 論的 拡 張お よびそ れ ら理論 解と

Monte

　

Carlo

_{法に ょ る} シ ミュ レ

ー

シ ョ ン解との比 較 検 討 を行 う。 　2

．

解 析 手 順 ＊ _{東 北大 学 　 教 授}

・

_{工 博} ＊＊ 東北 大学 　大学院 生 　 〔昭 和59年 4月 10日 原 稿 受 理 日

，

昭 和59年8月6日 改 訂 原 稿 受 理 　 日

，

討 論 期 限 昭 和60年4月末 日〉 　マ ル コフ連鎖 確 率モ デル に よ り 履 歴 型質 点 系の ラ ンダ ム応 答 解 析を行う場 合の_手順は， 以下の よ うにまとめる こと がで き る （文献1 ））

。

｝ 1 ＞ 2 ） ） 34 ）

5

） 6 ） 7 ） 8

P 一

δ平 面を

，

履 歴特 性 を考 慮 して有 限な n 個の 領域 　

8

＝

iSi

，

　

S2，

…，

　

Si．

…，

　

S

。卜

…・

…・

…・

…・

・

…

（1＞ に分 割 し， これ ら を応答の状態量 と み な す

。

時 刻 tに応答が状態

S

‘ （ま た は単に状 態

i

と呼 ぶ ）に存 在して いる確 率を

Ps

（t）と して

，

ベ _{ク ト} ル

P

〔t）を次の ご と く定 義す る。 　P〈t）

＝

IPI

（t｝

，

　P2（t_）

，

…



，

　P‘（t）

，

一

・

・

Pn （t｝ト

噛

幽

・

・

凾

（2 ） P（t｝は応 答の状態

S

上の確 率 分 布 （確 率 関数） その もの であ り

，

応 答ベ ク トル と呼ぶこと に す る。 初 通 過 破 壊の 基 準と な る応 答の状態を定め る

。

初期 状態にお け る 応 答の 状 態

S

上の応 答ベ ク ト ル

P

（t。）を設定す る

。

応 答の状態

i

か ら

j

へ の 単位 時_間当た りの期 待 推 移 回 数μw（tm）を設 定す る

。

時 点

tm

か ら tm

．

1 へ の 推 移マ トリッ クス πtM　tm一 をμ‘，（の に基づき作 成す る。μ‘，（t”）（i，

j

＝

1

−

_{n ）} を む 要 素 とするマ トリッ ク スをA（

tm

）と お く と πtM　tm

＋

1 _は 冶 …

一

・xp

（

∬

＋

’

A

（・）

d

・

）

　　 　　≒explA （tm）（tPt＋1

−

tm｝｝

…

　

…・

…・

…

（3） と表 すこと がで き る

。

時 点

tm

に お ける応 答の状 態

S

上の応 答ベ ク トル P（tm）（n 次の行ベ ク トル ）に推 移マ ト リッ クス rrt

”

’　tm

＋

1 _{（n 次の正方マ トリッ ク ス ）を掛け る}こと に より

，

P （

tm

．1） を 求 める。 　 P（置m＋

’

1）

＝

P （tm）πtmtm

＋

ltt

・

tt・

・

tt・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（4） 5 ）

〜

7 ＞の手 順 を入力の継 続 時 間 tm

。

に し たがい

，

m

＝

O

−

（m 。

−

1）に おい て繰り返す

。

　 従っ て

，

基 本 的に は履 歴 系が多 質 点 系であっ ても

，

各 質 点ご とに応 答の状態間で の単 位 時 間 当た りの期 待推 移 回 数μw（t）を 適切に設 定す るこ と がで き れば

，

各質点ご と に独 立に確 率 応 答

P

（

t

、）（

i＝

1

−

m 。） を算 出する こと が で きる わ けで あ る

。

こ こ で問 題とな る の は

，

こ の手法

一

₃₉

一

を対 象 と している履 歴 系に適用す る場 合に

，

応答の状 態 間で の単 位 時 間 当た りの期 待 推 移回数 μv（t）（

i，

j

；

1

〜

_{n）す な わ ちマ ト リ} ック ス A （

t

）をい かに_{設 定}す る か で ある。 こ の

A

（

t

）に は， 入 力 と履 歴系の特性が非定常 に取 込ま れ な け ればな ら ない

。

　本 論で対 象と す る

，

振幅非 定 常な

filtered

　

Gaussian

white 　noise を受け るBilinear型 多 質 点せ ん断系におい て は_{， 次}に述べ _{る ご と く} μ”（

t

）を設 定す る も の と す る。

　

ま ず

h

質 点の荷 重

一

_{層 間 変 位 （}

P

，

一

δ，）平 面をFig

．

1 の よ うに n _個の_{領 域}に分 割 し， 状 態

1

お よ び状

ma

　n を 初 通 過 破 壊の基 準と す る。 こ の質 点の応 答の状態

i

か ら

j

へ の_{単 位 時 間 当}た り の期 待 推 移回数 Vtu（t）は

，

既 報 （文献 1），

2

））の場 合 と 同 様に， 状態

i

に対 応づけら れ た線形系kLt （Fig

．

2参 照 ）に関す る閾値横断 問 題か ら近 似す る もの とす る

。

こ の閾値は

_，

Bilinear_系のエ _ネ ル _ギ

ー一

_定則に基づ き状 態

i

と状

me

　

j

の 幾 何 学 的 関 係 か ら決定さ れ る。 　この ように し て与え ら れ る Pt‘

Kt

）　Li

，

次の よ う に整 理さ れる （文 献1＞）

。

　a

．

_（i

＝

2

〜

_n

−

L

_ノ≠

i，



1，

_n）

　　　

kSttJ（

t

）

＝

髭レゴヒ〔

t

）

一

斥レ施（

t

）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…　

（5 ） 　 b

．

　（i

＝

2

〜

n

−

1，　

j

＝ 1

，

　n）

　　　

hSttJ（

t

）

＝

なレ査（

t

）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

6

） 　c

．

_（‘＝

1，

n

，

_{」≠ の}

　　　

尾μ‘，〔

t

）

＝0・・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

・

・

…

　

一・

・

7r・

…

　

P呷

・

・

・

…　r

（

7

） 　

d ．

　（

i＝

1

〜

n _） 　 　　kPt“〈t）

＝一

Σ二塩μ‘丿ω∵

………・

…・

…・

…・

…・

…

（8） 　 　 　 ’キt

　

（

5

）

〜

（

8

）式に出て くる 産崛 （

t

）， 別氛の は

，

平 均 値 0の_{定 常}ガ ウス_{過 程}が Fig

．

2に示さ れ る よ う な線形系 kLs の変位上の閾 値 両 1

，

　k τ t、を

，

単 位 時間当た りに正 勾 配で横 断す る期待回数の形で表せ る もの とする

。

こ の 閾値hXJ、，　i、XJ！は

，

弾 塑 性 応 答 と線 形 弾 性 応 答のポテン シ ャ ルエ _ネルギ

ー

を

_等

置す

_う

ことによっ て

，Fig．

2に示 さ れ る ご とく状 態

i

と状態 ノの _{幾 何 学 的 関 係}か ら定め

P

。

s1 認 舳 SL

嵐

d

6

、

一

₄₀

一

Fig

_．

　lDiscretized　Response

．

State

．

る。 閾値を

一

般に sXA とすれ ば， ，ul （t）は 次 式の ご と く

表 現さ れ る。

… ω

一

、

黠騾

〕）

・

exp

｛

、。

蟲

ω，

｝

……・

_（・）

こ こ に

T

。（

t

）は

，・

入 力で あ る

filtered

　Gaussian　white

noise 　Z_（

t

_）の _{時 刻}

t

に お け る レベ ル ∬（t）に より規 定 さ

れ る量であり

，

対応す る線形系

CLS

（t）（corresponding

linear

　system ） （後 述）が零 初 期 条 件の も とで レベ ル

1

（

t

）な る定常な

filtered

　

Gaussian

　white 　noise　zo（τ）を

受け た場 合の ．

L

、の 非 定 常出 力応 答x（τ）が状態 iに平 均 的に滞 在してい る 時 間 を 意 味 す る

。

（9）式に お ける 歹」匚（

To

（

t

））， 歹鼠τoω ）は， そ れ ぞ れこ の x（τ）

，

叙τ）の標 準 偏 差 応 答 kσx（τ）

，

kα±（τ）を［0

，

　T。（t）］に お い て時 間 平 均し た もの であ る

。T

。（t）は ・

∫

 

（・｛・）・・）・・

− 1 ……・

・

……・

…一 ・

・

（

1

_・） とし て

，

状 態

_．

i

が他の_状態に移 行す る場 合の基 準と なる 閾 値 Xv _（

Fig．

3

_参照）をx_（r_）が超 過 する期 待 回 数 が

1

P

， ’

藷

’ _1∠］触 

冨

_{△ 細c}

’

’　

．

’

∠コハa 瓠

＝

ム ハED ’ ’ 1

　　　一

kXjl

＝

　AC ’

一

’　　　　 　

．

k茂」2i 俎 ’ ’

’

●

b　　e a　’ ’

．

　

　

　

　

　

　

1 ’ ’

　　　　　．

　

　

．

ll

撫 i

／

　　

1

　 　 ノ　　 　　　 　　　 　　

，

卩

卜

　

　

　

　

　

　

，

　　

1

’

i

’

1　

　

　

　

　

　

．

o ’4　　 　 　　 　 　　 　 　CD ’ ’ c 、

　　　L

　 　

6

、 ’ ’ Sj ’ ’

’

Si

’

’ ’ ん

L

Fig

_．

_2　Thresho互

d

　Va且ues　sc，

匚

and　fpxJ2 　associa しed　with 　ut‘i

．

kP ’ ’ ’ ’ ’ ’

覧

’ B ’ C ’ ’

●

　’ ’ ’

’

1

∠コ  3 △_胚 E ’

■

一

’ ’ Xy

＝

詔

’

’ _驂 Si ’ 　　Si＋1

．

1

’

・

，A ED

6

’

と な る時 間を もっ て 定め る

。

こ こ に N ；（1（t）；τ）は， x （τ）が閾値Xy を単位時 間 当た りに正 勾 配で横 断す る期 待 回 数であ る

。

　前 述の

‘

対 応 する線 形系

’

CLS

（

t

）とは_， 時 刻 tにお け る

Bihnear

型 多 質点せ ん断系

NLS

（

t

＞の 各 質 点の _{応 答} が状 態 i（

h，

t）〈

h

＝ 1

〜K

，　

K

：質 点 数 ）で あ る と き

，

これ らの状 態に対 応す る線形 系inL、か ら構 成さ れ る線形 多 質点せ ん断 系を指す

。

す な わ ち，

CLS

（t）と は NLS （t）の 各質点の 応 答の 状 態

i

（

h

，

　t）（

h ＝

1

〜K

）に 関して定ま る層 間 塑性 変形 σκω （

Fig．

2参 照 ）を介して

，

，L‘をせ ん断 型に結合し た線形 系である

。

　

ところで

，

この

CLS

（

t

｝は

，

各 、tLt 上 の原 点 （

Fig．

2

の

A

点 ）か らの_変位， 速 度を状 態 変 数とし て運動方程式 を たてる と， こ の運 動 方 程 式は

，

ひ粛 ）の ない場 合の線形 多質 点せ ん断 系

CLSO

（

t

）の層 間 変 位

，

層 間速度に関す る運 動 方 程式 と_等価 に な るの で

，

h σx〔r）

，

　 _hax（τ）は

CLSO

（

t

）の

h

質 点の層 間 変 位

，

層 間 速 度の _{標 準偏}差 応 答と して_求め るこ と がで き る

。

　

定 常

filtered

　

Gaussian

　white 　noise　2。（τ｝は

，

以τ。）を

パ ワ

ー

スペ _{ク ト}ル レベ _ル

S

_。（

t

_）の 定常

Gaussian

　white noise と す る と

，

以 下の よ う に 以 諭 を 受ける線 形1自 由 度 系の絶 対 加 速 度 応 答の_{定常 部分}と し て表さ れる （文 献5））。 　 　 　 U＋2hgt・。む＋ω加 ＝

−

tLK　r。）

…・

・

………

（ll）

　　　

・、（Te

）

一 ・（・｝・ 臨 ）

……・

………・

…・

………

（12）

　　　

x。（τ）

＝

z、（τ）

………・

…・

…・

・

…・

…・

…・

…・

……

（13 ）

　　　

r

＝

To

一

τOeo

　

（τ≧

0

）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

曾

・

・

・

・

・

・

…

　

一・

・

…

　

（14 ） 　 　　rOco≧

1

／（

hg

ωg）

・

・

…………

　

…・

………・

…・

（15＞ 従っ て

，

z。（τ）の レ ベ ル ∬（t）を 示す指 標 として ω（τ。）の パ ワ

ー

ス ペ ク トル レ ベ ル

S

。（t）を用いるこ と が で き， 以 後

S

。（t）をもっ て

1

（

t

）を表す も の と す る

。

　

次 に レ ベ ル

1

（

t

）＝

S

_。（t）な る定 常

filtered

　

Gaussian

white 　noise 　z。（τ）を受け る

CLSO

（零 初期 条 件 ）の

k

質 点の 層 間変 位， 層 間 速 度の標 準 偏 差 応 答κax（τ｝

，

kOth（τ）を示す。

一

般にkσx（τ）

，

 磁τ）は， 次 式の よ うに 表 現す るこ と が で きる

。

　　　

hσ

k

（τ）＝＝_κσ

is

（1

− 9−

（τ））

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

（

16

）

　　　

、σ茎（T）三 、σ認

1− 9t

（r））

・

・

一・

…・

…・

………・

一 ・

（

17

） こ こ に kaxs

，

、adrs は， それ ぞれ

k

質 点の層 間 変 位

，

層 間 速 度の標 準偏 差応答の定常値である

。g

．（τ）

，

　

g

£（τ）は 過 渡 応 答 性状を表す部分で

，

τ の増 加 と と もに 1か ら

0

へ _{変 調}し な が ら減 少し て い く関数で あ る。 icars

，

　kσdesは， 線形システム の周 波 数 領 域にお け る 入出 力 間の_関係お よ びパ ワ

ー

ス ペ ク トル密 度 関 数と二 _乗平均 値の関 係か ら解 析 的に求め るこ と がで き る （文 献6｝）

。一

方

，S．

　Krenk

，

H

．

0 ，Madsen

　a皿

d

　

P ．H ，

　

Madsen

_{（文 献}7_））は

，

定 常 過 程 を受け る零 初 期 条 件 下の線 形1自 由 度 系において， 応 答変 位の基 準 化さ れ た標準偏差応答 （ax（τ）／　a

。

。）の過 渡応答性状が 入力の スペ ク トル内 容にほ と ん ど独 立で あ り

，

主に系の減 衰定 数に依 存 するこ と を

，

white 　noise 入力と

filtered

　white 　noise 入力の場 合を例と して_確認

し て い る。 以上 の 点か ら本 法 で は

，

線 形 多質 点 系

CLSO

の 応 答 に最 も 支 配 的 なモ

ー

ドの _基準 座標が white 　noise 入力 を 受けた場 合に示す次 式 （文献

8

）〉に より

，

（16 ）， （17 ）式の

g

．（τ）_，

9t

（τ）を 近似す る もの と する。

　　　

8

τ（τ）

＝

exp （

− 2h

ωoτ）

11

十

2rZsint

（のdτ） 　 　 　 　　 　＋ rsin （2ω。τ）卜

…………・

………・

…・

（18）

　　　

9s（τ）＝ exp （

− 2ha

，e τ）

11

十2r ’_sin1 〔ω ατ）

　　　　　　−

rsin（

2aJdT

）

1

………・

・

…一……

（19）

　　　

o

闇

二

ん／ ／

i

：：

7i

『

・

・

・

・

・

・

・

…

_一・

・

・

・

・

・

…

_鹽

鹽

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…



_（20） こ こ に

，

h，

ω。，ωd（

＝

ω。

Vi

＝

’

iii

）の モ

ー

ダル パ ラ メ

ー

タ は， そ れ ぞ れ減 衰 定 数， 非 減 衰 固 有 円 振 動数

，

減衰固有円振 動 数であ る

。

これ らの パ ラメ

ー

タ値と して は

，

Bilinear 型 多質点せ ん断 系

NLS

の粘 性 減 衰 係 数を

，

　

NLS

の質 量 お よ び第 1剛 性 分布か ら剛 性 比 例 型で与え る こと を前 提に

，

線 形系

CLSO

の

1

次の モ

ー

ダル パ ラメ

ー

タ値 を 使 用す る

。

こ の よ うに設 定す る理 由は以 下の ご と くであ る。 ま ず

，

Bilinear型の履 歴系は剛性 低 下を考え て い な い の で

，

線 形系

CLSO

に おい てもその減 衰 係 数は剛 性 比例型の形 を保存して いる

。

そ し て

，

剛 性 比 例 型の減衰 係 数を有す る線形 多質 点 系に おいて は

，

（18）

，

（19 ）式 の _＆（τ｝

，g

±（τ｝の減 衰 性 状を最も規 定する

h

ωn の項の 値が

，

1 次モ

ー

ドの 場 合に最 小 値 をとる の で

，

こ の線 形 系の過 渡応答 性は1次モ

ー

ドに よ りほと ん ど支 配さ れ る。 従っ て

，

（

18

｝， （

19

）式右辺の

h

， ω。と して線 形 系 CLSO の 1次の モ

ー

ダル パ ラメ

ー

タ値 を用い る こ と が 許 容され るので あ る

。

　 （IO） 式 に お け る

N

。 ’ （

1

（

t

）　_；τ）は

，

対 応す る線 形 系

CLS

（t）が零 初 期 条 件の も とで レ ベ ル

1

（

t

）なる定 常な

filtered　Gaussian　white 　noise 　_{xe（τ）を受け}る場 合の 非 定 常 出 力応 答 頭τ）が

，

閾値Xy を単位 時 間 当た りに正 勾 配 で横 断す る 期待回 数で あ り， 次 式の ご と く表さ れ る

。

　

　

　

N・（… ）… 一 、

懇

，・xp

（

　　x螽

2h

σ

1

（τ）

）

　

　

　

　

｛

nVexp

（

一

、、

i

−

・

−

lll

：

　

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x ，

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、．、

）

・

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、．、・

坤

＋ er ・

（

　　　ρXy2 〔

1−

P2）kax （τ）

）

｝

］

　 　 　

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　（21） ・一 ，

覊

，．，

・

一 ・

……・

……・

一 ………・

・

_…

₂

_・ K。de（τ）

ニE

［x（τ）離 ｝］

　　

＝

Dexp

（

− 2

_んωoτ）sin2（ωd τ）

……・

……

（23 ）

一

一

D

＝ _hax（τ）lath（τ）

●

2ん／（

1一

九2）

・

・

∵

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

』

_・

（

24

）

　

　　

erf（・）一

去

ガ

・・p（

−

t・）・…

…・

…………

（・5） ここに

，h，

　 _an は _（18_） ， （19） 式で用い ら れ るパ ラ メ

ー

タ値を使 う。 kax （τ），　tC ±（τ）は， （

16

＞， （

17

）式で定義さ れて いる。 　

3．

解析 結果

　

ま ず解析モ デル につ い て説 明 する

。

入力は振幅非定 常

な

filtered

　

Gaussian

　white 　noise であ る が

，

こ れ を便宜

的に確定強 度関 数と定 常fih_『red 　

Gaussian

　white 　noise

の積と し て表す も の と す る。 し た がっ て

，

入力 z〈t）は 次式の よ うに_表さ れ る。

　　　

2_（

t

_）；

f

_（

t

_）ζ（t_）

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　曾

・

・

・

・

・

・

・

・

・

・

…

　

_（

26

_） こ こ に_，

f

_（

t

_）は確 定強 度 関 数で次 式の よ う に与え る も のとし， その形状を

Fig．

4に示す

。

∫（

t

）＝ 　

A ＝

0

．

1609

T4

＝ 30

　ζ〔t）は定

aS

　filtered

Gaussian

white 　noise で あ り

，

ζ（

t

｝のパ ワ

ー

ス ペ ク トル形 状は

Fig．

5の ご と く設定し た

。

Z_（t｝の継 続 時 間は 30秒と す る

。

構造 物モデルは

，

基礎固 定の Bilinear_{型 履 歴特性を有す る せ ん断 型の 5} 質点系で

，

ク

ー

ロ ン ス ライ ダ

ー

を用い た

W ．D．

　

Iwan

（文 献9 ））に よる表現 を 用い る と

Fig．

6

の よ うに表すこと ができる。 こ の履 歴 系の シ ス テ ムパ ラメ

ー

タを

Table

　1 に示し

，

線 形 時モ

ー

ダル パ ラ メ

ー

タ を

Table

　2に示す

。

線形時の 1次 固 有 周 期が 0

．

433秒

，1

次の減 衰 定 数が

O．

　

05

_{（減 衰 係 数は剛 性 比 例 型で与え た} 。）

1

で あ る。 従っ て 入力z_（t）は

，Fig．

5に示さ れ るごと く

，

対 応する線 形系 （線形 時の履 歴 系 ）に対 して相 対 的に 短周 期 成 分が 卓越す る 入力と な る。 ζ（

t

）の レベ ル は， こ の 対応す る 線 形系が ζ（

t

）を受け た場 合の 1質 点 目 （最下層 ｝の定 常r

．

m

．

s

．

層 間 変 位 応 答が 1 と な る よ うに

，

∬

＝S

。

＝

637

．

35gal

’

・

sec _／【ad と し

’

_た。 〔t／

7

 ）2　 　　 　 （0≦ 診≦ TI》 　

1

　 　 　 （

r1

く t≦ Tr） 　 　 　

・

・

…

　

一・

・

一・

（27） exp _（

−

A （t

−

T2））（Ti＜ t≦ Ts）

B

（t

−

Tnt十〇

．

05　　

（

Ts

＜

t

≦

T

_，） 　 　

B ＝

0

．

006　　τ1

＝

10　　

T2＝

15　　コ「

li

　

＝

25

Table　lParaineters　of　a　5

−

DOF 　Bilinear　

System

　 　 　 （shear　type_）

．

1m1 区_1iK211KuC 且 d1 工st1

．

03000

．

00

．

120

．

6651

．

0 2開d1

．

o2700

，

00



．



1



_{P18 ．}

5991 』 3rdLO2400

，

00

．

116

．

5321

．

0 4Lh1

，

0210D

．

00

．

114

．

4661

．

0 5th1

．

01800

，

00

．

1 ユ2

．

3991

．

0

（

ご

』

1

．

o

．

051015　　　　20　　　　25 　 　 　 TIME （sec ）

Fig

．

4　Deterministic　Intensity　

Function

．

10 8 コ

）

_り

哨 o6 4 。 の

、

（

3

）

の 日 5 勘 90 Φ 幽 の 2 臼 Φ き O

門

　 0 　 　024681012 　 　 　 （tU！r） （1！sec ）

Fig

_．

_5　Power　Spectral　Density　Function　Qf _ζ（t_）

．

3G 　マ ルコフ連鎖確率モ デ ル によ り 導 か れ る解は

，

応答ベ _{ク ト}ル

P

_（tt_｝（

i＝1

−

_m 。）で あ る

。

最大 応 答お よび極値 応 答の_{確 率} 分布は_，

P

_（

t

_‘）が求ま れ ば容易に算 出さ れ

，

その 精 度 は

Monte

　

Carlo

_法 に よ る シ ミュ レ

ー

シ ョ ン 解 と の 比 較 に お い て P （tnの精 度と同程 度で ある こと が確 認され て い る （文 献

1

）

，2

））。 し た がっ て_， こ こ では_{応 答}ベ ク トル

P

_（

tE

_）につ い て の

了able 　

2

Modal　Parameters

　 　 　 of　a　Linear　S_￥stem 　 　 　 Correspond茸ng 　to　a 　 　 　 5

−

DOF 　Bilinear

‘

　 　 　 System

，

　 　 　 　 mi 　f　iaS・ ・f ⊥th　 Gt・rey

．

（t 貿

・

・ec

’

lcm） K11

；

ft

「

st stlfrness of lth Btorey （tftcm ） K21 

：

seCond stlffness 　of　jth　stOrey 　（tf／cm）

：

_：

：

；

1

：

！

：

；

：

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器

蠶

：

1

：

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。

_器

y _、

_謡

sec ’cm ’

：

1

iTi 〔sec ）   五 1s ℃ o

．

4330

．

050 2ndO

．

158O

．

137 3rdO

、

1010

．

214 4th0

．

0790

，

275 5th0

，

066o

，

3z6 ith　nat 口ral 　perSed

圸 m◎dal　dt叩 ⊥ng　factor

K2i

’

冒

’

K

｝

｝

5

ー

　 　 血 「

．

　

ー

一

曽

　 　

2

1

．

F

一

｝

．

畿

　　 　

Ci

r

　

＿

一

＿

Kli− K2i

Fig

_．

₆She6r　Type　5

−

DOF

　 　 　Bilinear　System

．

一 42 一

，

一

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．

 

一

　

．

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一

　

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．

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一

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．

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謡

　 　

轟

　 　 　 　 　 エ 　 　 O

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．

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国 　 　 　

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_．

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_．

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｝

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．

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．

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．

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．

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q 国

．

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，

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一

一

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．

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一

一

　

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，

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　

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．

一

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，

一

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一

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［

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一

　 　 　

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．

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．

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　 　 エ o

．

国 n 　 　 瓧 O

．

国 ロ

．

一

，

Oe み本 手法 に よ る理 論 解 と

Monte

Carlo

法に よ る シミュ レ

ー

ショ ン解 との比較 検討を行 う。 理 論 解とシ ミュ レr ショ ン解と の比 較は

，

各応 答の状 態に対 応づ け ら れ た ナン バ

ー

（

Si

の _{の を 用}い て

，

応答 レ ベ ル

X

‘を 次 式に よ り定義 し

，Xt

に対 す る確 率分 布の比較と して行う。

　　　

X‘

＝

li

− iml

十1

　

・

−s・

・

…

　

（28） 　 　 　 　

i

：応 答の状 態の ナンバ

ー

　 　 　 （1≦

i

≦n ） 　 　 　 　畆 ：

P 一

δ平 面の 原 点 を 有 　 　 　 　する応 答の状 態のナン 　 　 　 バ

ー

　

Xs

は

，

応 答の _{状 態}

S

‘の

P 一

δ平 面の_{原 点}か らの_離れ具 合を示す確 率 変数であ り

，

応 答 レ ベ ルの大 き さ を 表す指標と な る。 　各 質点と も応 答の_状態の _総数 n を 41と し

，

応 答 の 状 態 の 幅

d

（

Fig．

1

参照）を各質 点の_{降伏 変位} 値の

1

／

5

と し た。 こ の値の n

，d

に 対して

，

初 通過破 壊の 基準と な る 応 答の状 態

Si，

　

S

_πは， 原点か ら塑性 率で

5，

44

の位置に あ る

。

ま た

，

（

3

） 式右辺の _（tm＋「 tm）は

，

すべ _ての m （m

＝

O

〜

29 ＞に わ たっ て 1 秒と し た

。

　 Figs

．

7

−

U

に

，

各 質 点につ い て 応 答レ ベ ル

X

_‘上の_{確 率 分 布 （確 率} 関 数）の 理論 解 をMonte　

Carlo

_法 に よ る シミュ レ

ー

シ ョ ン解と ともに 示す。 各 質 点とも10

，

15

，

20秒の

3

時点につ い て示 して あ り

，

丸が理 論 解

，

三角が シミュ レ

ー

シ ョ ン解で あ る。 質 点の ナン バ

ー

は

，

下から 1

，

2，……，5

であ る （

Fig．6

参照 ）

。

Monte

　

Carlo

_{法に基づ く シミ} ュ レ

ー

シ ョ ン解 は_， 模 擬 人 力 波 100波に よ る応 答 波 群の統 計 処 理 を各 時 点に お け る集 合 平 均に よ り算 出し た もの で あ り

，

応 答 計算は線型 加 速度法に 拠っ た。 　

Figs．

7

〜

11の結 果 をみ ると， 1

〜

4質点 につ い て は理論 解は シ ミュ レ

ー

ショ ン解に対し て全 体 的にや や 安 全 側の_{評 価}になっ てい る が， 工学 的 精 度に お い て はよく対 応し て い る

とい え る。 特に入 力の減衰 部分にある

20

秒 時の確 率 分 布が， 主 要 動の最 終 時 刻で あ る

15

秒時の確 率 分 布に対 して_， P

一

δ_平面の原 点 方 向に指 向して いる 傾向を シ ミュ レ

ー

ショ ン解は示して い るが

，

これ を 理論 解が再 現し て い る点は

，

理 論 解の妥 当性を考え る上で重要で ある

。

最 上にある 5質 点 目につ い ては

，

理論 解は シ ミュ レ

ー

ショ ン解に対 し過 大に安 全 側の評 価を し て お り， 両者は よい 対 応を示 し て い な い

。

本手法におO

．

ては

，

対 応す る線 形 系の確 率 応 答の情 報とエ ネルギ

ー一

定 則か ら， 各 層の推 移マ トリックス を近 似し てい る が， 最 上層 に お け る理 論 解の過 大 評 価は

，

最 上 層へ のエ ネル ギ

ー

分 配 が 過 大で あっ た こと を意 味して いる。 この点につ い ては， 履 歴 型 多 質 点 系 を規 定 する システ ムパ ラ メ

ー

タ との_関連 も含め て_， 今 後の検 討 課 題と し たい。 し か しな が ら

，

この点 を 除け ば， 理 論 解は全 体と して シミュ レ

ー

_{ショ ン解 を よ く} 再 現 し て いる といえ る。 　4

．

結 語 　本 報 告で は

，

従 来 white 　_{noise 入 力} ， 履 歴 型 1質 点 系 に対し適 用さ れて いたマル コ フ連鎖確率モ デル によ る履 歴 系の ラ ンダム応答解析手法 を

，

non

・

white 　_{noise 入 力}

，

履 歴 型多質 点 系へ _{適 用す}る場 合の理 論 的 拡 張を行い

，

基

礎 固 定せん 断 型の

Bilinear

型 5質 点 系が

，

振 幅 非 定 常

な

filtered

　

Gaussian

　white 　noise _（Bilinear_系に対応す る線形系の 1次 固 有 周 期に対し_， 相 対 的に短 周 期 成 分が 卓 越 ） を 受 け る場 合 につ い て

，

その理 論 解 をMonte

Carlo

法に基づ くシ ミュ レ

ー

シ ョ ン解と比 較 検 討した。 こ の_手法に よる ラ ンダム応 答 理 論 解は

，

各 質 点の P

一

δ 平 面に設 定され た応 答の状 態

S

上の非 定 常 確 率 関 数（応 答ベ _{ク ト}ル ）によ り表され るが

，

シ ミュ レ

ー

ショ ン解と の 比 較に お い て は_， これ と同 等な応 答レ ベ ル

X

上の非 定 常 確 率 関 数により行っ た。 その結 果

，

最上にあ る質点 の応 答が安 全 側に過 大 評 価す る点を除い て

，

各 質点と も 理 論 解は シ ミュ レ

ー

シ ョ ン解と お お む ね よい対 応を示し た

。

特に_， 入 力の減 衰 部 分に あた る時 点の確 率 分 布が_， 主 要 動の最 終 時 点の確 率 分 布に対し

，

P

一

δ平 面の原 点 方 向に指 向する傾 向 を理 論 解が再 現 し て い る点は興 味 深 い

。

　今回扱っ た入力は_， 履 歴 型 多 質 点 系に対応する線形 系 の

1

_次固有周期に対して_{相 対的}に短 周期成分が卓越す る

non

・

white 　noise で あっ た が

，

長 周期成分が卓越す る場

合につ い て も

，

目下 検 討 中で あり

，

別 途 報 告 する予 定で ある。 ま た

，

周 波 数 非 定 常 入 力に対して も今 後 本 法を適 用する こと を考えて い き た い。 参 考 文献 1） 和泉正哲

，

渡 辺孝英， 勝 倉　裕， 木 村 正 彦 ：マ ル コ フ連 　 鎖 確 率モ デル によ る履 歴 構 造物のランダム 応答 解 析

，

日 　 本建築 学会 論 文 報 告 集

，

第 324号

，

昭和58年 2月

，

　 pp

．

18

−

27

．

2）和 泉 正 哲

，

木村 正 彦 ：振 幅 非 定 常入力を受け る履歴系の 　 　ランダム応 答 解 析

，

日本建築 学会論文報告集

，

第335号， 　 　昭和 59年1月

，

pp

．

15

−

21

．

3） 浅野幸

一

郎：_弾塑 性 形 履 歴 特 性 を有 する質 点 構 造 物の確 　 　 率 統 計 的 地 震 応 答 　そ の 3

．

擬 定 常Nen

・

white 　Noise 入 　 　力を受け る 1自 由 度 系

，

日本建 築学会 論 文報 告集

，

第

　 　257号

，

昭和52年7月

，

pp

．

67

−

73

_．

4）M

．

Ozaki，　S

．

　Yasuda　and　M

．

　Ishii：A

　Practical　Method

　 　for　the　Earthquake 　Response 　Analysis　of 　Multi

−

story 　 　Structures　with 　Degrading　Stiffness　Systems　by　Random

　 　Vibration　Theory

，

　Trans

．

　of　A

．

1

．

J．

，

　No

，

336

，

　Feb

．

，

　 　1984

，

　pp

．

21

−

33

．

5｝H

．

Tajimi；AStandard　Method　of　Determining　the

　 　Maximum 　Response　of　a　Building　Structure　Duling　an

　 　Earthquake

，

　PToc

．

　ef　2　nd 　WCEE

，

　Tokyo

，

　Vol

．

2

，

　

July，

　 　1960

，

　pp

．

781

−

798

．

6）　A

．

D

．

　 Kiureghian ；Structural　Response　to　StationaTy

　 　Excitation

，

　

Joumal

　of　theEngineeringMechanicsDi

・

　　vision

，

　 ASCE

，

　 Vol

．

106

，

　 No

．

　

EM

　6

，

　

Dec．

，

1980

，

　 　pp

．

1195

−

1213

．

7_） S

．

Krenk

_，

　H

．

0

．

　Madsen　and　P

．

　H

，

　Madsen ：Stationary

　 　and　Transient　Response　Envelopes

，

　Journa亘of 　Engineer

−

　 　ing　Mechanics

，

　Vol

．

109

，

　No

．

1

，

　Feb

．

．

1983

，

　pp

．

263

−

　 　278

．

8）　T

．

K

．

　Caughey 　alldH

．

J

．

　Stumpf：Transient　Response　of

　 　aDynamic 　Systern　Under　Random 　Excitation

，

　

Journal

　 　of　Applled　Mechanics

，

　Dec

．

，

1961

，

　pp

．

563

−

566

．

g） W

．

D

．

　 Iwan： ADistributedElement　 Model　 for

　 　Hysteresis　and　Its　Steady

．

State　Dアna皿ic　Response

，

　 　

Journal

　of　Applied　Mechanics

，

　Dec

．

，

1966

，

　Vol

．

33

，

SYNOPSIS

'

UDC:624.042.7:620,1

RANDOM

RESPONSE

ANALYSIS

OF

HYSTERETIC

MDOF

'

SYSTEM

TO

NON-WHITE

EXCITATION

'

byDr. MASANbRI IZUMI,Pr6fessor of Toheku UniveTsity

and MASAHIKO KIMURA, GraduateStudentof Tohoku

,,

'

University, Members of A.I.

J.

'

Itisnecessary to estimate a

_{probabilistic}

'seismic

safety of

building

structures to a non-white excitation,

because

most of expected earthquake motions will have non-white spectral properties forthe existence of the

grotind.

In

thispapera random response anqlysis method

by

Markov

chain stochastic model

has

been

extended to

non-white excitation inputand hystereticMDOF system case and thisextended stochastic model has been applied to

a shear type s-DOF

bilinear

system to

hmplitude-nenstationary

non-white noise whose _{predominant period} is shorter thanthatof a

linear

system egrresponding tothe

hysteretic

systerp.

This theoreticalmethod _givesi a nonstationary _probability function

P(S)

of discretizedresponse state

S

in

force-deflection

_plane.

The

comparison

between

theoreticalresults'and' simulation ones

based

on

Monte

Carlo

method

has

been

made

by

a nonstationary

_probability

functionP(X) of response levelX, which isequivalent to

P(S).･The

theoreticalresults have showed relatively _good agreements with,simulation ones except

fpr

'

'

overestimation of thetop

floor

(s

th

floor).

･

'

t

t

'

It

is

expected thatthisstochastic meth6d will

be

extended to inputswith longer

_period

components or with

'

'

frequencynon-stationarity.

,

,