1
論 文1
UDC ：624．
04 日本 建 築 学 会 構 造 系 諭 文 報 告 集 第 398 号・
1989 年 4 月鋼
構 造 柱 材
に
対
す
る
対 称 限界
理
論
（
その1
一
般 的定式 化 ）
正 会 員 正 会 員中
上村
谷
恒
宏
盖 ＊ ロー
＊ ＊L
序 筆 者ら は梁一
柱 （beam−
coiumn ）が一
定 軸 荷重の下で 連 続 的 漸 増 振 幅 完 全 両 振 り曲 げ を受 けると き，
定 常 状 態 が初 期 材 軸 線に関し て対 称か ら非 対 称へ 移 行 する限 界 を 対 称 限 界と名 付けこ れを求める理 論 を設 立 し た1〕。
対 称 限界は， 繰り返し曲 げ外 乱 を受け る梁一
柱の靱 性 性 能に 対す る客観 的 評 価尺度であり， 耐 震 設 計 上 有 効に利 用で き る と 思 わ れ る！）。
文献1
＞で用い ら れ た線形ひずみ硬化材料で構成さ れ，
サン ドウィッ チ断面を有す る梁一
柱モ デルは，
現象の 本 質を明ら かに し，
新 しい理論を構 築す る とい う目 的に対 し て は，
次の意 味におい て非 常に適 切なモ デル で あっ た。 （i） 着 目し て い る臨 界 現象を支 配する本質的因子を すべ て含んで い る。
（ii
） 支 配 式 が比 較 的 単 純であり， ほとん どの数式 操 作が解析 的に実 行で きる。
（iii
）つ り合い 経路に沿 うモ デル の 履 歴 挙 動は文 献1
）のAppendix
で提 示さ れ た半 解 析 的な数 値 解 析によっ て極めて高精 度に シ ミュ レー
トで き，
これに よっ て理論 の正当 性を厳 密に立 証で き る。 確か に，
材料法 則の線 形ひずみ硬 化近似お よ び断 面の 理 想化サン ド ウィッチ近 似は現 象の 本 質を解 明す るのに 有 効な理 想 化で あっ たけれ ども，
こ の理 想 化モ デル に基 づ く対 称 限 界 理 論 解 析は，
鋼 構 造 柱 材の実 用 設 計 資 料を 得る目 的か ら見れ ば， 定量的に十 分な予 測 精 度を もっ て い るとは いえ ない。
こ の 日的の ために は，一
層 現 実 的な モ デル を導 入し， これに対して灼 称 限 界 理 論の一
般 化 を 図る こ と が不可欠である。
本論文の 目的は， 鋼 構 造の梁や柱に対し， 局 部 座 屈 変 形や構 面 外 変 形 が生じ ない範 囲で十 分 実 用 的な解 析 結 果 を提供で き る よ うに，
広い一
般性を有する応 力・
ひずみ 関係と任意 形状 断面を取り扱え る現 実 的梁一
柱モ デル に つ いて の対 称 限 界 理 論 を提 示する ことで ある。
こ の対 称 限 界理論は， 文献 1）の対 称限界理論と本 質 的に同 じ考 え方に基づい て展 開さ れる。
しか し，
現 実 的 梁一
柱モ デ ル の断 面が不 静 定で ある こと と，
応 力・
ひずみ関係が非 線形で あ り， 過 去の履歴に複 雑に依 存す ること とに よっ て，
前 者の理論 展 開は後 者の単 純な延 長 線 上に は な い ， ま た，
仮想仕事の原 理に基づ く一
般 性の あ る定 式 化 を採 用して いる ので，一
層複雑な各種構造物へ の発展的適 用 も可 能で あ る。 本 論 文は二 部より構成 さ れ る。
本 報，
（その 1）で は， 対 称 限 界 を 求 める問題を一
般 的な形 式で定 式 化し，
これ に よっ て問 題の 数 学 的 構 造 を 明ら か にする。
（そ の 2｝ で は， 構 成 式とし て， 横 尾， 中 村らによ る鋼 材の非 定 常 履 歴 単 軸 応 力・
ひずみ 関 係 式3 ；を用い，
モ デル の離 散 化 法と して有限要 素 法 を用いた数 値 解 析 法を提 案す る。
こ の解 析法の妥当性な ら びに予測 精 度 を， 同モ デル の履 歴 挙動解析 結果お よび鋼梁一
柱の繰り返し両 振り曲 げ 実 験 の結 果との 比較に よっ て検 証 す る。
2．
対 称 限 界 理 論の考 え方と特徴 本 報で提 示す る対 称 限 界理論も，
線形ひずみ硬 化サ ン ドウ ィ ッ チモ デル につ い て文 献 1）で提 示し た対 称 限 界 理 論 と基 本 的に同 じ考え方に基づ い て展 開さ れ る。 真 直 な片 持 梁一
柱に一
定 軸 圧を作 用さ せ な が ら Fig．
1に示Time
tdensely
disposedconstant a皿plitude cycling
processes of oontinuously increasing amplitude
COIDA
program
V
（L
） 岬本 論 文の概 要 は
，
文 献4）におい て発 表 した．
本 論 文は，
文 献5） の第9章の内容 を再 整 理し て ま と め た もので あ る。
象 京都大学 教 授 スタン フ ォー
ド大Ph．
D．・
工 博 ＃ 京 都 大 学 助 教授・
工博 Fig．
1 〔19S8 年 12 月10日原 稿 受理，
】989年2月1日採用決 定｝Transition from a symmetric steady state to an asymmet
．
ric steady state under a COIDA programB
Vb
，Amplit
、d
。 。f
。nti−
、ymm
。t
，i
。
deflection
modeFig
．
2 Steady−
state pathscrOS3
−
sectionI
＼
x．
一
『 す よ うな連 続 的振 幅 漸 増 頂 点た わ み完 全 両 振りプロ グラ ム COIDA を与え る と，
振 幅が小さい ときの梁一
柱 挙動 は各 振 幅レベ ル で Fig．
1に破 線で示す よ うに1
対の反 転 時た わ み形 状が初 期 材 軸線に関 して対称で あ る対 称 定 常 状 態へ 収 束す る。
しか し，
振 幅が あ る限 界値に達し た と きFig．
1に実 線で示す よ う な，
初 期 材 軸 線に関す る 逆対称成分を含む非 対 称 定 常 状 態へ の移 行が生 じ， その 後，
振幅の 増加に連れて逆対 称 成 分は漸 増する。
こ の限 界 が対 称 限 界であ る。 上述の現 象は，
1個の定 常 状 態が1
個の点で表さ れ るよ うな定 常 状 態 空 間 と名 付け た特 殊 な 空間 内で視 覚 化す れば認 識 し ゃ すい。COIDA
の ドで 振幅の増 加に伴っ て連 続 的に生 成さ れ る定常状態列は， こ の空 間 内の線によっ て表され る。
これを定 常状態 経 路 と呼ぶ。Fig．
2 は，
頂 点たわ み振 幅 Ψ を縦 軸，
逆対称 た わ み成 分の大き さ vb を横 軸と す る平 面に投 影し た定 常 状 態 経 路の模 式 図である。
初 期 状 態か らの振 幅の増 加 に連れ て生 成さ れ る対 称 定 常 状 態 列は vb＝ Oの 直線OS
で表 され， こ れ を基 本 対 称 定 常 状 態経路と よぶ。
点S
が 対 称 限 界 点である。
対称 限 界後に生 成さ れ る非対称 定 常 状 態列 を表す曲線SB
を 定 常 状 態 経 路分 枝と呼ぶ。 系 の対 称 性よ り， Ψ軸に関し てSB
を折り 返 して得ら れ るSB ’
もま た定 常 状 態 経 路分枝で あ るこ と が わ か る。
こ の定 常 状 態 経 路図 は， 対 称限 界 が次の よ う な条 件で特 徴づ け られ る こ とを意味し ている。
対 称 限 界 条 件 ：「頂 点たわ み振 幅の微少な増 加に伴っ て生 じ得る定 常 状 態の変 化 率を求め る 問 題に おい て，0
で な い逆対 称 成 分を含む解が少な く と も1個は存 在す る。」 文献 1）の対称限 界 理 論で は次の 3段 階の手 順で対 称 限 界を求め た。
E ／Fig
．
3 Beam−
column modelSTEP
1：基 本 対 称 定 常 状 態を定 式 化して求 める。STEP
2 ；対 称 限 界 条 件を定 式 化す る。
STEP 3 ：STEP 1で求め た基 本 対 称 定 常 状 態 群の中か ら，STEP
2
で定 式 化 され た対 称 限 界 条 件 を最 初に満 足する定 常 状 態を 見い だす。・
こ れ が対称限 界の予 測解で ある。
ある定 常 状 態か らこれ に隣接す る定常状態へ 移 行す る 過 程では，
何サ イ クル もの複雑な履歴挙 動が介 在す る。 対称 限 界理論で は，
この収 束 過 程の履 歴 挙 動の解 析 を全 く行わず，
定常状態だ け に着目し た定 式 化を行っ て いる。
本 来，
履 歴に依 存す るはずの塑性 域 挙 動に対し，
履 歴を 無 視し た式 展 開が可 能と な る理 由は，
定 常 状 態 お よび 定 常 状 態の増 分 変 化の性 質に関し て導 入した 5個の基 本 仮 定に よ る。 文 献1）で は， こ れ ら の基本仮 定 を理論 的な 証 明なし に用い て い るが，
梁一
柱モ デル の履 歴 挙 動 を 高 精 度の数 値 解 析で求め ることに よっ て基 本 仮 定の成 立 を 実証し て い る。
本報で も， こ れ ら と同一
の内容を持つ5
個の基本仮 定 を導入 し，これ に基づ いて 理論を展 開す る。3．
解析モデル と基礎式 3．
1 解析モ デル の 形 状Fig．
3
に示さ れ る よ う に初期材軸線が真 直で，
載 荷 面 内横軸 ζお よ び載 荷面に垂直な軸ηに関し て それぞ れ 対称な断 面 積A の任 意 形 状一
様 断 面 を 有する モデルを 考え る。 断 面の ζ軸 方 向のせいは2H であり，
η軸から ζH だ け離れた位 置で の断 面 幅は p（ζ）A／H，
材 長はtH
である。 断 面の対称 性か ら次の関 係 が 成り立つ。
ρ（ζ）＝
ρ（一
ζ）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一一・
・
・
…
（1 ｝ 3．
2 モ デ ル の材 料 特 性 「すべ ての 断 面は平 面 を 保 持し， 変形後の材 軸線に直 交する」 と仮 定す る。
す な わ ち，
せ ん断 変形 を無 視し た 通 常の梁理論を採用 する。
モデル 内のすべ て の要素で，
材 軸 線に直 交す る方 向の垂 直 応 力は， 無 視で き る ほど小 さい と仮 定 する。
材 軸 方 向の垂 直 応 力・
ひずみ関 係はFig．
4に示さ れ た法 則に従う もの と仮 定す る。
図中の曲 線OBA
は 圧縮 側処 女経路， 曲線BC
は除荷経路， 曲線CB
は再 負 荷 経路 を そ れ ぞ れ表す。 再 負 荷 経 路は，
直前 の除 荷 経 路の 除 荷 開 始 点B
に 向か う。B
点に復 帰した 後， さ ら に圧 縮 方 向に ひずみ が進 行する と， 状 態 点は再 び処 女 経 路に沿っ て進 行 する。
こ の法 則に従 うと，
材 料一
llO
一
は何サ イ クル の定ひずみ振 幅 繰返 し塑 性 変形 を受け て も， 圧縮側処 女経路， 除荷経路お よび再負荷 経路を表す 曲線は変化せず
，
定 常ルー
プを描き続け る。
ま た，
処女 経路 OBA は繰返 し 載荷 時の 定 常ルー
プの 圧縮 側反転点 を連ねて得ら れ る骨格曲線で も あ る。 こ の 仮 定の妥 当性 を示す鋼材の単軸 引 張圧縮 試 験結果をFig，
5
に示す。 この試 験で用いた，
サイクル平 均ひずみ が一
方 向に移 動 してい くひずみ履 歴 プロ グラムは，
鋼 梁一
柱の段 階 的漸 増 振 幅 完 全 両 振り曲げ を受け る鋼 梁一
柱の内 部におい て，各 繊 維が呈 する ひずみ履 歴の興 型 的パ ター
ン であ る。 定 常ルー
プの反 転 点 列は， 同種の試 験 片の単 調 引 張 試 験 か ら求め た処 女 経 路 （図 中の破 線 ） と 極めて近い位 置に 存在して い る。
3．
3
載荷 条件 初 期材軸 線に沿っ て一
定 圧縮 荷重EAn
を，
ま ず梁一
柱 頂 点に作 用さ せ る。E
は材 料のヤ ン グ係 数で あ る。 こ の荷重の 大き さ お よ び作 用方向は， 常に一
定に保持さ れ る。
次に，Fig．
1の よ うに定義さ れた連続 的漸増振 幅 完 全 両 振 り繰 返し強 制た わみ プロ グラム COIDA を，
梁一
柱 頂 点に おい て ζ軸 方 向に作 用さ せ る。 全 変 形 過 程 を通じ て，
材 軸 線は常に そ の載 荷 面 内に存 在し，
梁一
柱 の各 断 面は材 軸 線 を中 心に回 転しな いもの と仮 定 する。3，
4
基 礎 式 軸 方 向圧縮ひずみ ε は，
ξ軸お よ び ζ軸 方 向の無 次 元 化変位 成分 u（ξ｝お よ び v（ξ｝を用い て次の よ うに表 される。ε（ξ
伽
ζ）＝一
（U，
e＋ V，
さ／2）＋ζv，
”・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（2 ） こ こ に
，
（ ），
ξ・
＝d
（ ）／d
ξである。
変 位 関 数 U およ び v は次の幾 何 学的境 界 条 件を満た す。 u （0＞＝
v（O）＝
v．
e（0｝＝
0，
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（3） v （1
）＝
Vt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（4 ） Vt は，
制 御 変 数で ある無 次 元 化 頂 点た わ みを表す。 静 的つ り合い状 態にお けるつ り合い条 件 式は， 次の仮想 仕 事 式に よっ て与え ら れる。
n ・・u（の
イ∫
：
・δ・d
ζ・ξ ，…一 一 一 一 ・
（・） σ virginpath in compressionB
A
．
（研，tC・
εretC unloadingpac
O
reloadingpath
唖
C
〔σrett・
ε ，e， t ）Fig
．
4 Stress・
strain ielationshipこ こ に
，
δε＝一
（δ麗．
‘十v，
eδv，
e）十ζδv，
ee………・
…・
……
（6
） （δu，
δv）は，
次の暁界条件を満た す任 意の仮 想変位 場で ある。
δu （0）＝
δv（0）＝
δv，
e（0）＝
δv（1
）＝0 …・
・
…・
…・
（7 ） σ は，
軸 方 向 圧縮応 力i
をE
で除し た無次元 化応 力 を表す。
無 次 元 化 応 力・
ひずみ関 係 式は一
般的に次式の よ うに書け る。
処 女 経 路 ：σ
＝
x（ε）……・
…………・
・
……・
（8
） 除 荷 経 路 1σ一
σ。。
tC＝
φ〔ε一
e。。tC；β（ε。 。tC））・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
9・
・
・
…
（9＞β（εretC ）
＝
協1（εretC ），
β2（εTetC ），…，1
？nt（εrεε明 丁 （10）再 負荷経 路 ：σ
。
。
ε L σ＝ φ（ε。
。ε L ε；β（ε，et・））・
・
…………・
………・
…・
……・
（11）（σ retC
，
εretC ）は除荷経 路の 出 発 点 を，
（σ rett，
εTett｝は 再 負 荷 経路の 出 発点を表す
。
関 数 φに含 ま れ るm 個の パ ラ メ ター
β、，…，
βm はい ずれ もε。 ，tC の関 数で あ る。
（ a。
。
tC，
ε。。
tC）は 圧縮 処 女 経路上の点で あ る か ら，
σ。
。tC＝ x（ε。
。
tC）の関係が成 り立つ。
除 荷 経 路 BC と再 負 荷 経 路CB
に よっ て形 成さ れ るルー
プは常に点 対 称で ある。
4．
理 論の展 望 と基 本 仮 定 前節で導入 し た梁一
柱モ デル の対 称 限 界 理 論において も，
基本的には 2節で述べ た3段 階の手 順 を適 用 する。
STEP1
につ いて は， モ デル断面が任意 形 状である こ と な ら び に応 力・
ひずみ関係が任意の非 線 形 式で与え ら れるこ とにより，
対称定常 状態の反 転 時状 態 量に関する 支配 式は，
形 式 的に導き得た と して も，．
一
般 に極めて複 雑な微 分 方 程 式と な り，
解 析 解が求ま るこ と は極め て ま れ である。
特に軟 鋼の場合の よ うに構成 則 を表す関 数 x や φが区 分 的に異な る関 数に よっ て与え ら れ る場合に は， 梁一
柱 内 部がこれ ら の異な る関 数に対 応す る複 数の 領 域に分 割さ れ，
領 域 間 境 界が3次 元 空 間内の曲面 （こ の モデル では， 2次 元 空 間 内の 曲 線 ）と して形 成さ れて一
一
一
rve n （％》 0 1 2 3Fig
．
5 Cyclic tension−
complession loops and virgin curveO
step
Fig
．
6 1ncreme【Ltal tracing ofthefundamental steady
．
state path・
C 〕’
‘S・
・tC｝ （a） （b
）Fig
．
7 Two ヒypes of steady．
state loop variation・
S，
etC） くる。
そ の ため，
文 献1）で展 開 し た解 析 的手法 をこ の一
般 化モデル に適 用する こと は実際上不 可 能で ある。
こ の困 難 を克 服す る最も現実 的な手 段は増 分 型 解 析 法 を 展 開するこ とで あ り，
こ こ ではこ の方 法を採 用する。
増分 型 解析 法に よ る基本 対称 定 常 状 態の追 跡の状 況 を模 式 的 に表 し たのが，Fig．
6
であ る。
任 意の定 常 状 態は定 常 状 態 変数1
酬 に よっ て一
意に表さ れると する。 陶 ｝は一
般 に， 初 期材 軸 線を含み載 荷 面に直 交す る平 面に関し て対 称な成分を表すIS
’1
と 逆 対 称 成 分 を表すISbl
とに分 離 す るこ と がで き る。
LS
」＝
LS
ノ ，Sb
」…・
………・
…・
……・
一 一 ・
（lz） Fig．
6のSf
，S
∫は｝醐1
の 成分で あり，
st−
S∫平 面 は定 常 状 態 空 間の対称 成分 部 分 空 間 （S’ 空 間 ） を抽 象 的に表し ている。
実 線 曲線OA
は基 本 対 称 定 常 状 態 経 路の正 解 曲線であ る。 破 線が，
増 分 型 解 析 法に よっ て求 まる近似解 経 路を，
○ 印は増 分 解の接 続 点 を表す。 この 増分解は 以下の 意 味で近 似 化され た解であ る。B
点は 既に求まっ て い る第 k段 階の対 称 定 常 状態IS
甜 を表す。 こ の解は そ れまで の 計 算 過 程の近 似 誤 差を 既 に含んで い る か ら，
点B
はもはや正 解 経 路OA
か ら離れて い る。
こ こ で展 開 す る増分解 析法 で は， B 点か ら発する経路 をB 点で の接 線によっ て近 似す る。
ls
翻一
1
・r
・t
−
1
・Sf
・1
− d
拶
｝1
砕 晩・
・r ／一………・
……・
…・
… ・
・
………
（13） こ こ に τ は定 常 状 態 経 路の進 行を表すパ ラ メタであ り，
AT［、t．1】は第 h＋1段 階の経 路パ ラ メ タ増 分 値で ある。
（
diSfl
／d
τ）』
s・t．
Asr，Nl は，
点B
におい て曲 線BD
に接 する接 線ベ ク トル の成 分，
つ ま り1
酬＝
1
編1
に お ける 対 称 定 常 状 態の変 化 率を表し て い る。
す な わ ち， 対 称 定 常 状 態の変 化 率 を 求 める ための支 配 式 が 定 式 化さ れ れ ば，
こ れ に基づ く増 分 型 解 析 法に よっ て基本竝 称 定 常 状 態経路 を 追跡す る こと がで き る。
一
方 STEP 2の対 称 限 界 条 件 式の誘 導は，
文 献1｝と 同様に次の よ う な方 針に従っ て行う。
まず，
基本対称定 常状 態に お ける定 常 状 態 変 化 率を，
非 対 称 定 常 状 態へ の 移 行も含め た一
般の場 合に対して定 式 化す る。
す な わ ちdlSl
／d
τ に関 する支 配 式 を 導く。
こ の 支 配 式が，
diSb
｝ ／d
τ≠IOI
である よ う な定 常 状 態 変化率解を もつ た めの 条 件 とし て対 称 限界条件を誘導す る。 線 形ひずみ硬 化 サン ドウィッチモ デル につ い て の対 称 限 界 理 論Pで は，
対 称 定 常状 態 か らの 定 常 状態変 化 率に 関 する対 称 成 分お よび逆対称 成分の支 配 式は完 全に分 離 され，
いか な る可能な定常 状態 変化 率に含まれ る対 称 成 分 も，
基本 対 称 定 常 状態経 路に沿っ て生じる対称定常状 態の変化 率に等しい こと が示された。
も し，
この関係が 本報で扱われ る モデル につ い ても 「司様に成 立 して いる な ら ば，
STEP lの基 本 対 称 定常 状態 経 路 解 析で要 求さ れ る対 称 定 常 状 態 変 化 率の 支配式と，STEP
2の対称 限 界 条 件 式の誘 導に必 要 な一
般 の定常 状態変 化 率に含ま れ る逆 対 称 成分に関す る攴配 式と が，
非 対 称 定 常 状 態へ 移 行す る場 合も含め た一
般的な定常 状 態 変 化 率の定 式 化 に よっ て一
挙 に導き出せ，
実 際の解 析 手 続きを一
層 効 率 よく実行でき る。文 献
1
）で は，
（Hl
）〜
（H5 ）の基 本 仮 定 を導入 し， これに基づ い て対 称 限 界 理 論 を構 築してい る。 本報の一一
般化モ デル に対 する対 称 限 界 理 論に おいて も，
これ ら の 基 本 仮 定をほと ん どそ の まま採 用す る。
た だ し，一
一
般化 モデルの 応 力・
ひずみ関係が線形ひずみ硬 化 型では ない こ とに関 連し て，
〔H4 ）， （H5
）に おい て は，
応 力・
ひ ずみ状 態 点の定 常 履 歴ルー
プに つ いて文献 1＞とは多少 異な る表 現 を用い る。 （H1 ＞ あ る レベ ル 以上の一
定 軸 荷 重の ドで 1個のCOIDA
プログ ラム の作 用 を 受け る片持梁一
柱は，
頂点 た わ み振 幅が比 較 的 小さい領域で は対 称 定 常 状 態 列を呈 し，
やがて頂 点た わみ振 幅が あ る値に達し た時に対 称定 常 状 態か ら非 対 称 定 常 状 態へ 移行す る 。 その後，
梁一
柱 は非 対 称 定 常 状 態 列を 呈 す る。 （H2 ） 定常状態に お け る頂 点た わみ反 転 時のすべて の状 態 変 数，
すな わ ち，
た わみ，
反 力，
応力，
ひずみ は，
単調 増加量で ある頂 点た わ み振 幅に関 す る 連 続かつ 区 分 的に微分 可 能 な 関 数で あ る。
一
112
一
（
H3
＞ フ ランジ要 素の ひずみ の進 行 方 向の反 転が生 じ る の は，
頂 点た わ み v（1
）の進 行 方 向が 反 転する瞬 間 だけ である。 し か し な が ら，
この仮定は， 定常状 態に向 か う収 束 過 程につい て は適 用さ れ ない。
す な わ ち，
収 束 過程で は， v〈1）の 反 転 時 以 外に ひずみの 反転が生 じる ことを否定して はいない。 （H4
） すべ て の対 称 定 常 状態におい て，
梁一
柱 内の 各点の応 力・
ひずみ状 態 点は， 圧縮 側ひず み 反 転 時に 圧 縮 側 処女曲線 上に達す る ような一
定 閉 軌 道を循 環運 動す る。
（H5 ） 対 称 限 界に おい て対称定常状 態か ら非 対 称 定 常 状 態へ の移 行が生じ る瞬間に は，
梁一
柱 内 部の い か な る有限 領 域に お い て もFig．
7（b
）に示 さ れ る よ うに圧 縮 反転時の応 力・
ひずみ状 態 点が処女 曲線上に到達しな く な る よ う な定 常 履 歴ルー
プへ の変化は生じ ない。
す な わ ち，
梁一
柱 内の全 域に わ たっ て Fig．
7（a）に示 さ れ る よ うに圧縮側反転 状態 点 が 処 女 曲 線に沿っ て進む よ う な定 常状態ルー
プ 変 化の みが 生 じる。
Fig．
8に は，
同一
断面 内に位置する 5点， ζ＝
o， ±1／2，
±1に対 する応 力・
ひずみ履 歴ルー
プお よ びひずみ分 布 の変 化を示 し た。 各ルー
プは （H4
）の条 件 を 満た して い る。
σ a stationary state−
・備b… berl21120121
一
一
9
（
6
）k7
） （8
）15
i41
31
2
1 l I．
．
亅
．
三
蜘
・
／1 目
・i
／「
1⊥
， ε蛸
5
＼…
頼
蠕
誼 、り
輪 丁・
句漸
息3
−η
金2
し
ひ壇
2
…
／…
ー
卞
び
ー「
…
r一
Fig
．
8 Cycllc variation of stresses and strai 【Ls in a steady state定常状態の対称 性よ り， 中心 か ら等 距 離はなれ た2点 に対応す る応 力
・
ひずみ点は，
互い に半 サ イクル の位 相 差 を 保 ちな がら同一
の 閉 軌 道を循 環運動 して い る。
各 ルー
プ を構 成して い る除荷経路と再 負荷経路は そ れ ぞ れ （9），
（11）式に よっ て与え ら れ 互い に点対称で あ るこ とか ら，
中 心か ら等 距 離にあ る2点の応 力の和は常に一
定であり，
次 式が成り立つ 。∂σ（
2
；
i
，9
・−
ge
t）＋ ∂σ（i
，
fi
s
ζe
−
t2t
t）一 ・一 ……・
…・
（・4 ） こ こにt
はっ り合い 経 路パ ラ メタであ る。
対 称 面 ζ＝0
上の 各点の応 力・
ひずみ状態 点は， 圧 縮 側 処 女 経 路 曲 線一
ヒに停止 し た ま ま で あ る。
ξの 各値ごとの こ の よ うな点 の集合を，
定常 状態 曲 げ変形に お け る中 立 軸 と よ．
S （14） の右 辺に 断 面 幅p
（ξ，
ζ）を乗 じ て積 分し， （1 ）の 関 係を用いれ ば次 式が導か れ る。
ズ
｛
∂σ （ξ・
ζ・
t） ＋ ∂σ（ξ・一
ζ・
t） ∂t ∂t］
・（ξ，ζ）d
ζ一
審
一
・…………一 ・
…・
・
………・
一 ・
（15） こ れ は， 軸 方 向 カー
定の条 件を表 して い る。
5．
反 転 時つ り合い状 態 の 基 礎 式 とその変 化 率 表 示 定 常 状 態に おける正 側 反 転 時つ り合い状 態ri
お よ び 負 側反転時 状 態r
” に属する状 態 量 をそ れ ぞれ （ ）1 お よび （ ）1匸 で表す。
反 転 時 状 態1「
1 お よ び F］1 につ い て 書か れ た基 礎式 （2 ），
（3 ），
（4 ），
（5）， （6） を定 常 状態経 路パ ラ メ タ τ で そ れ ぞ れ微分す ることに よ り， τ に関す る1 次変化率量に関す る対応す る基礎 式 がそれぞ れ次の よ うに得られ る。
な おこ こで （’
）＝ ∂（ ）／∂τで ある。
ひずみ・
変 位 関 係 式 二 El＝一
（¢e十 vlfうle
）十ζbl
ξξ＝
壱 i 十 ζ走i・
…
tt…
（ユ6a）EII
＝一
（｛ヒ琴十 臥撃む嬰）十 ζb
．
’lt
＝
をll 十 ζftll
・
・
・
・
…
（16b ｝ こ こ に，
ei
， ellは材 軸 線の反 転 時 圧 縮ひずみ の変化率，
i
【，
訓 は 反転時 曲率の変化率を表す。
幾何学的境界 条件式 ：itl
（0）＝
む1 （0
）＝b
！e（0
）＝0・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
卜
…
一・
一・
・
（17a） 血ll（0｝
＝bll
（0）＝
｛樫（0
）＝0・
・
・
・
…
tt・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（17b ） が （1
）＝
ψ，
が1（1
）＝一
ψ…・
……・
・
……・
t
（18a，
b
） 変 化 率量に関す る仮想仕 事 式 ：・
イ ∫：
［・・ δei−
・・bl
… ！・］・pd ζd
ξ・
・
……・
（19
・）・
イ
∫
：
［・H δεH一
σ囗漸 撃］・d
ζ・ξ…・
…
〔lgb ） こ こ に，
δε1＝一
（cru｝t十vleδv！t）十ζδ／v！．＝
δeI十 ζδκ i− …一 ………・
…………
（20a ） δεII＝一
（δ秘琴＋vliδv，
’1
）＋ζδτ環ξ＝
δe ［1 ＋ζδκii…………・
……・
・
一
……・
（20b
｝ 以下に，
反 転 時 応 力お よ び 反転 時ひずみの 変 化 率 量 間一 113一
の関係を導く
。
た だ し，
こ こ で は対 称限界 点を超えない 対称定常状 態か らの定常 状 態 変 化 だけ が議論の対象と な る。
基本仮 定 （H3
），
（H4 ）および （H5
）に従う と，
梁一
柱 内部の すべ ての 点で Fig．
7（a）に示さ れ た タイ プ の定常履歴ルー
プ変化だけが生じる こと に な る。一
個の 定常 履歴ルー
プにつ い て，
その圧 縮 側 反転点を （σ，etC，
ε。
。tC），
引 張 側 反 転 点を （σ，
ett， εrett）で表せ ぱ，
次 式が 書け る。 σ retC＝
λゴ（εretC ），
…
一・
・
…
P− ・
…
『
・
・
・
・
・
・
…
9・
・
…
『
7・
（21）σd‘∫
＝
φ（εdtr ；β（εre ¢つ）・
…・
・
……・
…・
…・
…・
…
（22 ） こ こ に，σ・ 、J＝ a
。
。
tt−
a。
。 、 C，
ε。、
！＝
ε．。 ， t一
εre ， e…・
・
一
（23 ）こ の定常 履歴ル
ー
プが Fig．
7（a＞に示す よ う に変化し た場 合， 反 転 時 応 力お よ びひずみ の変 化 率の 間に は（21 ）〜
（23 ）をτ で微分して得ら れ る次の関 係式 が 成り立つ 。．
，＿
dx （εretC ）．
C・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
…
（24） aret−
一
εretd
εretCa
・・r−
∂φ臨
β） 娠 ・ ∂φ（箒
；爍
1
チ
）Eret
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t−・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（25） ここ に，
（∂φ／∂β）
・
（d
β／d
εretC）；
Σ1
（∂φ／∂β‘）・
｛d
β，／d
εretC ｝l
i こ こ で，
変化率を評 価して いる基 準 定 常 状 態は すべて対 称 定常状態で あ ること に留 意し，Fig．
8を 参 照す れば，
反転時応力と反 転 時ひずみ の変 化 率量 間の関 係は以 下の ように書き表さ れる。
［0
≦ζ≦1］ c＿
I c＿
l t−
1l t−
lIσret
一
σ，
εret一
ε， aree一
σ，
εγ
et一
εである ことを考 慮し て， （24 ）， （25 ）よ り次の構 成 式が 導か れる
。
δi＝Ef
εi．
・
・
…
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（26 ） ∂tlニE
髭閣 十E
窒El
こ こ に，
・
r
− El
（ε1）− d
毳
三
1
窪，
E ；
−
E・（e・・rR ・β）一
∂φ黔
臥
E
？＝E3
（εdtノ，
ε β）∂φ（εdtrN；β）
∂φ（ε己‘rR ；β）（
1
β（ε1｝∂、、
7
−
＋dx
（ε匚） 十 dεi’
εduR＝
εtL ε1 ［−
1≦ ζく0］ c＿
11 σ ret一
σ ∂β 1I t＿
1 じεret
一
ε，
σ ret一
σ，
d
ε1・
・
…
（27） t＿
1 εret一
ε である ことを 考 慮して次の構 成 式が書け る。一
114
一
♂：＝E
鋒i【 ，・
…
一・
・
−
r・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（28 ） ∂」E
をii
十E
詈ε1匸 こ こ に，
Et
−E
，（・ ・ ）−d
差
1
盞
” ），
E
・− E
・・… rL ・β・一
∂φ塞
二
〜
β1
・ E 量＝
E3 （εdvL，
εi犀；β）一一
∂φ黔
β） ・ ∂φβ
噤
1
り＋
撃
“ ），
L＿
【 ll εdt ！ε
一
ε・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
−s・
・
…
〔29 ） 定 常状態の対称性か ら，
次の関 係が導か れる。
Ef
（ζ）＝
E 雷（一
ζ）＝
コ
E、（ζ），E羣（ζ｝
＝E
を（一
ζ｝＝E2
（ζ｝，
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（30
｝ E羣（ζ）＝
Ek （一
ζ｝＝＝E3
（ζ〕 6．
定 常 状 態 変数変化率の対称 成 分お よび 逆 対 称成分 に関する支配式の誘導反 転時 状態
r ’
の変 化 を 表 す仮想仕 事 式 （19a）に， （26 ）， （16a ）， （20a ）を代入 して次 式が導かれる。・
イ
・ξ［
f
。 ’ ［E
，（・w
）〔… ＋9
… ）＋
IEz
（b1一
ζil
）＋E，（壱 lL ζiii
｝｝（δeI一
ζδxI）］ρ〔1
ζ一
一
．
Li
［・・bl
・6・f
・］・d
ζ］
・
…・
・
…一
・
…一
（31
）rll
の 変 化 率に関する仮想 仕事式 も 同 様に次の よ うに 書け る。・
イ
・ξ［
ズ
［1
・・（ell
＋ζiii
） ＋E3（bI＋ζii
｝｝（がeH＋ ζκII） 十E匸（をH一
ζi
］］ ）（δeii一
ζxli）］ρdζ一
f
：
［σIIわ琴δη琴］ρclζ］
・
・
…・
一 ・
・
………・
・
（・・） 仮 想 変 位 場は任 意で あ る こ とに注 意 すれ ば，
1cru
［，
δvil と1
δui［，
δvlllとの 間に次の よ う な関 係を与えて も 仮 想 仕 事 式は成 立し な け ればな ら ない。 δult＝
δu’，
δvii＝一
δvT………・
……・
…・
…
（33） 今， 変化率を評価すべ き定 常 状 態は対 称 定 常 状 態であ る か らt 次の関係が常に成り立っ て い る。
ull＝ uI，
vll＝−
1／1，
・
・
一・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（34） σ【1（ζ）＝
σ1（一
ζ）・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（35） （33 ）， （34 ）を （20b
）に代入 す るこ とに より次 式が 導か れ る、
δε11
＝一
（δule十vfeδvfe）一
ζδvlee＝
δe”十ζδx］1
……・
…………t・
・
…・
……・
…
（36
） （36） と 〔20a ）を 比較す る こ と に よ り， 次の関係がδell
＝
δei，
δxu＝一
δxi…………・
…・
・
……・
・
（37 ） こ こ で， u， V， e， x につ い て対 称 成 分 （ ｝ ！ と 逆 対 称 成 分 （P
を次の よ うに定 義してお く。 1〆＝
（ul十u皿 〉／2．
Vノ； （”1−
vll）／2，
eX＝
（el十el【 ）／2，
x！＝
（xi−
xlり／2，
ub＝
（u］−
uu レ2，
vb冨
言
（v「 十vu｝／2， eb＝
（e【−
elり／2
， zb； （xl 十 xll）／2・
…
（38 ）（34）の関 係を考 慮 し て， び， ゲ， ダ，
ib
は そ れ ぞ れ 次の よ うに書 ける。
ゲ＝
（乙1 十壱u ）／2＝一
（畷十vlebft），
bb＝
（ei一
壱ll）／2言一
（批落十ひ』西畠
），
〆；
（il− i
” 〉／2＝bf
．ib
・・（il
＋ii
【）／2
＝ 鮗f・
・
・
・
・
・
・
・
…
（39 ） （32 ）に （33 ），
（37
）を代 入 すれ ば次 式 が 導か れ る。
・イ
・ξ［
ズ
［i
・，（eii
＋ζiii
）＋E
、（el
＋ζi
・ ）1
｛6e］−
9
…， ） ＋EI（eil一
ζilI）（δel＋ ζδrxl
〕］ρd
ζ・
f
：
［a・b・i，
・δ・1
・］・pclζ］
一 ・
……一 ……・
…
（・・） （i
） 対 称 成 分に関 する支 配 式（
31
）と （40 ）の和の 1／2を とり，
（38
），
（39 ）の関係 を用い て変形 する と次 式が導か れ る。
・
−
f
。 ‘ ［・’… ＋P
・δ ・・一
・W
’9
・vl，］・d
ξ・
………
（41
） こ こ に，G
・イ
（E・＋E・＋E・）pd ζ・
壱 ・・
f
。 ’ （E
・− E
・＋Es
）・ζ・ζ・
i
” ・・一
ズ
（E
一E
・− E
・）・ζd
ζ・
〆・
ズ
伽 E・−
E・）・9
： ・9
・
・’ ，w
・ 一ル
・pdζ・
b
← n’
bre
・
・
・
…
（42 ） 1 こ こ に，
Gノ，
Pノ，
W ！ は， 未 知量で ある対 称 成分変化 率 量 が， が， 〆 を一
次で含む ξの 関数で あ る。
（41
） に （20a） を代入 し，
部 分 積 分 を行えぱ，
ガ，
が に関 する， 領 域 内での微分方 程 式お よび境界条件が 以下の よ うに導か れ る。 領域0
＜ξ〈1
の内部で，
Gfe
＝ O，・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（43 a＞（
G
／ vlt）．
e十Pfee
十Wfe＝
O・
・
………・
…・
…・
・
…
（43b ｝ 固定端 境 界 ξ＝
0で，
物！ （0）＝b
ノ（0）＝br
，（0）＝ 0・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（44＞ 自由端境界 ξil で，
G
ノ （の＝P
ノ （の；0，
が（1
）＝
・
｛e…・
・
……・
・
……
（45
） （43a ）お よ び （45）の第 1式で構 成さ れる境 界 値 問 題 の 解は次の ようで あ る。G
！＝oinO
≦ξ≦1・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（46） （46）を （43b ）に代 入 して次 式 が導か れ る。
Pf
停十 明Yfe
＝
0・
一・
・
・
・
・
・
…
甲
・
一・
・
・
・
・
・
…
▼
・
・
…
r・
・
・
・
…
（47 ） （42）の第 1式 を（46 ）に代入 し て次の関係式が得ら れ る。 1 走 ノ
・
…
7・
・
・
・
・
・
…
（48）e
f
“ （E
，＋E
，＋E3
）ρd
ζ （48） を （42）の第2式に代 入 し て次 式 が得ら れ る。．
＿ズ
（E
，一
島・E
・）・ζ・ζ ・・ 一｛
ズ
儡＋E
・− Es
）・rd
ζズ
（島一
島一
E・）・ζ・ζ 拿ズ
（El
＋E
・＋E
・）・d
ζ ．ズ
（E
・一
膃 献レ
・
曾
・
・
・
・
・
…
（49）＝
B
ノ是！＝B
∫bfee
こ こに，B
！ （ξ）は，
未 知 量である変 化 率 量 を 含 ま ず， 既知の 基 準対称定常 状 態によっ て一
意に決 定され る ξ の 関 数で あ る、
（47）に （42）の第 3式お よび （49
）を 代 入 するこ とに より，
が に関 する次の よ う な微 分 方 程 式が導か れる。
（B
∫bf
‘e）．
ec−
←nbr．＝0 ・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一
・
・
…
4t・
…
（50
） （50）に対する境 界 条 件は次の よ うで あ る。
が〔0）；
O， bf
，（O｝＝
O，
匿
…
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
（51）b
． （1
）＝
ψ，
bfee
（1
）＝
＝
O
が は，
微分方程式 （50 ）を境界 条 件 （51）の下で解 いて決定さ れ る。一
方，
（39
）の第 1， 3式 を （48 ＞に代 入 す ることに よ り ガ に関 する，
領 域 内で の微 分 方 程 式 が次の ように導かれる。
←婿
豊
離
i
艶
…
一
一
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
t4
・
・
・
…
−s・
一
・
（52） （52
）に対 する境 界 条 件は次の よ うである。
defト
e＿
o＝
0・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
・
…
一・
（53 ） （52｝の 右 辺に が に関す る境 界 値問題の解を代入 し て，
これ をξに関し て 1回積 分す る。
その積分定 数 を 境 界 条 件 （53）か ら決 定する ことに よ リ ガ が求ま る。 以 上で示さ れ た よ う に，
定常状態変化率の対称成分に関 する支 配 方 程 式は逆対称 成分 を含ま ない形で定 式 化さ れ た。
文献1
）の線形ひずみ硬 化 サン ドウィッチモ デル の 場合， 軸方向に分か れ た領 域ご とに E，，
E，，
E3，
B ノ は定 数と な り，
微分方 程 式 （50），
（52）の解 析 解が得ら れた。 しか し， 本 報のモ デル で は，
弾 性 領 域 を除い て，
E
，tE ，，E3，B
ノ は ξの複雑な関 数と な る ため，
微 分 方 程 式 （50
），
（52 ）の一
般解を得る ことは で き な い。
し た がっ て，
実 際に解を得る と きに は，
な ん らかの近 似 解 法 の導入 が 必要と な る。 （ii） 逆 対 称 成 分に 関す る支配式 （31 ）と （40 ）の差の 1／2
を と り，
（38
），
（39）の関 係一
一
を用い て変 形 する と次 式が導か れ る。
