ON A TEST FOR THE EQUALITY OF THE CHARACTERISTIC SPACES OF TWO POPULATION COVARIANCE MATRICES

TRU Mathematics 12−2（1976〕 x

oN A TEsT FoR TE【E EQuALITY oF THE（HARACTIiiRISTIC

  SPACES OF TWO POPULATION COVARIANOS MATRI CES’

      FUmiko HIRAKAWA 〔Received  December 25， 1976〕

1．S田MARY

     In this paper we propose a test procedure fOr testing the equality of two d顕cteristic spaces・f蜘・P・pulati。n c。vari飢ce matrices・n the basis・f in− depende！1t obserVati◎ns from independent two multivariate normal populations， giving．the asymptotic properties of the characteristic vectors of s『珂）1e cov−   ．       arlance matrlces．

2．INTRODucrlON    ・  』

     S・・pe・e Kl’1 ・1’1…・標、 an・弓2）・xl2）・…・・認、・・e・蜘・㎡・・・…∵ ．Ple・dram f・㎝t・。ρ一dim・n・i。nal n・・㎜1 P。pulati・n・with鵬・n v㏄t・r・Pヱ飢d μ2and covariance matrices Σユ and Σ2、Where Σi has characteristic roots      ー        が  ・S’）・λ1’）・…・λ5i）・・w・t・・mu・・ip・i・・・…ql’），q；‘）・…・・ξ）・ゴ；；・IZ）・・…敵・ th・・c。π・・p・・d・㎎血・acter・・ti・・pac・・頑㌘），呼1…，破1）（…，・）・．      1βt the sample covari’麺ce matrices defined by     、  ’ ・・−

求E；；ξα岬）α￡LヌZ））’・（・・…）・・− 〔…）

Which are unbiased estimators ofΣi， where Iてi）is the、sample mean of the X〔旦 sample defined by       ni＋1

7（’）鴫「Σx（zゴ＝1∂）・（・・…）   〔…〕

     In case that the characteristic roots of the population covariance matrix are all sinrple， Ande．rson［4］ and Sugiura ［9］ and t｝1e others have discussed t｝le asymptotic diStribution problems of the characteristic vectors of the sam− Ple covariance聰ttix S． and hav6 shown that they are distributed according to       z  an asy碑ptotic multivariate normal distribution with a certain covariance 75

76      F．HIRAKA醐A  ・       ’

ma1 rix・       ．  『      ・

     In case that． the（血aracteristic roots of．Σi are anyハ皿】ユtiple， Hirakawa ［6］ h・・di己・・ssed th・aS）riTrPt・ti・diSt・ib・ti・n・・f th㎝， th・t i・，・h・h・・as・・r− ed that they are asy叩totically nonna1］y distributed and that s㎝e of them are asymptotically independent．  Founded on the result mentioned above， Hira］（awa［6］ has propS）sed a test procedure fOr testing the hypothesis that the characteri−

：lc⊇：ごn；ξ1，懸1∴t㌻。：e蒜・ご：麟言at

ones．      ・。thi。 P。p。。鳩。。n。id。。伽。．s卿・。 p。。b1。m・’baSed、m・h・X〔1ユ・卿・e孤d

賦〔a・岬・6・・…t血・hyp・仙・・i・8Si）・馬2）f・・f・・edらゴ・…thi・

puηpose we need to seardh the as）mptotic properties of a test statistic on the b・Si・・fぷ1翻52・In secti。n 3 we ar…㏄em・d with th・d・・iv・ti。n°f the asyll！1）totic distribution of the statistic， and in section 4 we take a proposa1 ・f・t・・＝…t・・…h・ ・qua・i卵iヱ〕・毒2）・

・・冊・一・CD・S皿・m㎝・F・i1）一・12）・〔、2）ゴ

     In this section we concenprate upon the derivation of the asy㎎）totic dis−

…b・・i…f・iユL蠕2）H（、2〕ゴ噸e・iユ〕・・12）⇒、2〕、・・ed・f・・輌・he

fbllowing．      Let t力e characteristic roots 〔ch． r． ，8） of Si defined in （21 1〕 be  ・ ・1’）・el’）・…・el‘）・麺・・t血・一・・…輌・Chara・ter・・t・・ve・t…〔・h・〃…）

＝：；㌶。慧e＝騨ll二2遮纏1ご＝。ひ

切・・繊・週．1・…・・5P・・麺一・i一也・9・皿・b・・・・…’／’〕・uCh．

賦（眺。左’蜘∼・（・・・……・ψ勾）an・・臓・愈弓％．・￡〕・・a…g・皿・・

matrix顧th the diagonal e1㎝ents aエTallged in descending order Where

．・

P￠）蝿パ盆．・2・…・ψ］〔ゴ・・・・・・・…i・if・・2）〔3・1〕

       ウ

w・・h QS”）…鷲・P（ゴ＝1・2・…・ち〕・…6…g−…㎝㎝・・．・f

螺）畿；t賜1° 1’ty me e°ne釦r廷’㏄c°r』ere

      ノ        、       田…．EQ岨m〔）F冊正田蜘㎝…RISTIC・SPA（正S    77 、  We define matriees as     「       1’

． ・ll）・・1‘）一・議幻 （ゴ・・・・……・k・即〕・  （…）

      ・P・［鰯，・掲量、、＋2．…透；】（ゴ・k＝1・2・一・h；z＝1）・（…） FUrther let

         Fi・【・16）・1’）…・㍗）1 （i＝1，2〕，」『   （…）

       i

         Hi・【ヰ）・；勾…疋）］ （i・・，・〕・    〔…）

Then it is verified in Hirakawa ［6］ that fbr axbitrary collstant matrlx K，

         聴陸W％］・％（・：1・） 〔i・…）  〔…）

where      ‘        ． v．＝ ち夢）曳￡）∵・・、Sl ）       t ％㌘）v、li）…v、Si）       ’     ：  ．．．：     ●       ・ ㌃1窒）㌃1；）…㌦③ （i＝1，2〕 （3．7）

磁畷）・弓；）  i・・加・撰）・〔・y）二・lz）〕−2援）〔日≠・）・，

     Throughout this paper we denote any constant matrix by 1ζwithout any de− ・c・ip・・…釦1㎝・鴨・・㎝・de・ha・合−宴早l・ ill・2）・出・n曲Y・f・pm〔…）・

・12）’…【・q鵠．・12）’・iヱ）％9。P−Qtr］’

     ・・’［・｛1）・1η…1三1°・．ピ1旱1…孕）］＋二゜・（・一ユ幻

曲・・e・

_1ゴ・12）増）and ・V・h〔・、・・、）・’ ．（5’8〕

     From the fact that the s’econd tem ofthe right hand side in the Preceding

f・舳（…）・・％（ガ㍉過曲鳩［・］・一・ee血・・

    蠕2）’・、弓2）・・12〕’・i1〕・i2〕・i1）’・12）・・，（ガ1・）   （…1、、 Where      ・

     ・1勾吻噂・織・2・…・4？）（ゴ・・．……・r… ・＝1・2）〔3・1°）

・⑭・・se・（、2〕ゴbe a・12）・．弓2〕・・血・9・・a・㎜・・iX・㏄・・h・t・ma・・枢 H（、2）ジ・12）’・、・12）・（、2）ゴ・・ad・・g四・㎜』fぬ・・hY・・d・ag・na…㎝・… 〆 ／

‘ ；       ．’

  78     ・  』．F． HIRAKAigA  ・ r

       〆  ’ a「eam怜d in descending・・d・・飢d・h・ ・igns。f・h・〔．  ．  ●b， b）。、。噸，。f冴        〔12）ゴ a「e all the same a・th。・e。f・h・（ら‘）・・㎝・・t・。f Pl2）’Fl2）．

  1旭em淀hwe』m（3．9）      ∂ ’

       ・（・2）日・・12）’〃i1）・％伽一1・）・    （、．、、レ

・・acc。・卿ce wi・h（3．9）釦d（3．・・〕， i・h。・d ce。・。i。・y，h。t   『        ・（・2）ジ・12）’ρ、・12）・（ヱ2）ゴ・・iヱ）・・，伽一2幻   （・．・2）

  Thus fr㎝〔3．11）we have…    』 ・    、−

      H≦1）・・12）〃（、i）ゴ・％（ガ・e  、1』 （，．、3）

Hence・using（3・6〕孤d th・ab・v・f・rmul・〔3．13〕we c孤岨皿t。 a。 fb11㎝。、        P｝ヱ）㌔・（・2）ジ・12ン・［境）’vEi）」…・］三1；・，∼・．，？・γ≦三IE・・椴］ぢ       ＋H（；・）・［弓3）’吃3）一一∴・弓…1；％12）。，Si・．う…］；…兇｝’〕Hh”

       ・％（m“IK）    ＿  ．と，．、4）

ca・・yH

_{F麟1、竺㌶1蹴三蕊。P，f。駕：霊慧li−・}

・鯉）（・1’）一λ1‘））−2（あ・・・……・r、・i・ヱ・・）孤・・撤援）（ゴ・・，・，＿，・i，ゴ≠・）   a「e as）η町）toticall independent◆      ・        Therefbre， su㎜arizing 七he results discussed above we arrive at the ’f°11。・i・gthP。・・咋．

     TH・・REM・・吋1）・4ユ）・…・4gい⊇2）・xS2〕・…螺、・・i・・1・p・nd・η・

r』剛θ8お㎜鋤輌・励・・・・…麺・…脇u｛i伽・・…』・、

 and 1」2 and eov￠「ianeeηκε蹴 Σ1 and Σ2 励●re Ti’has the o苑・ ㌘・ 38      9 ・1‘）・λ1’）・…・λ51）・・with nniZtipZ？c蜘c）・ql’〕・…・萎？、・鐵）・・nd

ha・｛−8P｛eh・ ・p・’・ 3・（’）・鰺）・…・緩51）〔i＝1，2〕・…鋼3、

カθゐ芦ted・in r2・刀・了泌鋤力泌・h・パs・・rresp・nding t・th・￡th bUgest

r・…四了i1）哨i2）疏砺施呼・・輌幽θ8鋤捌・・。・㎝。。、。。了

1了｝ヱ）a・d’fi2）鯉P⊇・θ。 and…乎）（ゴ＝1・2・…・・i；i＝1・2）・・晒趣

1 ’

’        ＼、        1    ’       ． THE EQUALITY OF THE CHARA（コERISTIC SPAC ES       79∫

・…‥・・（、2〕ゴ加・・12）・・12）・輌・汲・随W疏鋤・協…吻〃θ・一

句袖（、2）」，t（t・・……・考2）） 一・（、2）ジ蠕2）’・！12）・（、2〕“，i・・W−・

ゆぬ砺力醐・w・haz・z・蹴・・㎜螂仇砺・・㎡w・地・。nd・・h。吻。6了

lis）llζ㍗傭゜f冴（・2〕」 ZZ編 鋤8θ・f（ちり・一・f

♂   レ        ・    ・  ． 『Th・n・f霧i1）・812）・！τ（鐵．ブ蠕2）㌔2〕ゴ．、〕・・a・卿・・t・・a・・，。。㎜・． 1γdistributed with mean vector O and covariance−・血at辻xη．．        gj ren by・       ta『

         ・・璽1’］・12）（・1’）−Xg）〕㌫｛2㌧11）’∵ ・

・・．

E鶏12）・12）（・s2）一・12〕）遮謬2ン（…5）

⑰・・e・

o乳．、峨．・…’…・’・5？・・訂・…a【一・i・ed・・t㎞…a’・bas’・

・f呼）（Z口1，2，．．．．．ri；i＝1，2），…、・・、蜘耐・、・N’1・・血・・λ。・・棚・・一・。允・ ．        ロ_{・・…・一λ。（i・…）at・d・S’）…el・‘）・、i、41’）（ゴ・・…∴…i）・}

    ㎜㎜・．』伽・伽θσ・協伽i・’・the−・．ダ【・i1）一□12）・（22〕ゴ】・i・

・8卿加ticaZZ〃η・nraZZy di8ntbuカ・d磁勃舵㎝ψθ・鋤0・nd・・vUtane・照力ぬ

「，9X ”一 ij』⑧・励』』σたθ「卿妙゜輌剛θθ8’

4．THE TEST PROCEDURE．     ．・。血iss，。t・血鳩，。。四seat・・tf・・t・・t加9血・h《・・i・・審i2）・ f・；．fiX・dらゴ㎝th・b品i・。f th・． di・・：us・i・・血secti°n ’3・     Let，s define a matTix as

‘、鴻！、．・￡1）穗）（・11L穗〕）−2概ヱ）’・μ塘12）零）（・12聖

      k≠ρe、…    ． k≠Q卵

       コ      ’       ロ

      融 ’    雇、9

噸e．

泊ｽ）！・1・〕飢・麟塁！・12〕・』

店（2）．  ♂ ヅぞτ12）f｛2〕’      〔4．1〕

80      F．HIRAKAWA        ハ ・輪w・と一・…t鋤d・h・t〃、ゴ・・a・・ns・・t・n…t皿・・r・f〃・ゴi・〔…5〕 ・f81ヱ）・辱2）・血ce・㌫（・・・……・・i1））飢・・1‖・＋、〔・・・……・・12）） are c・ns・・t・nt est血・・r・・f・he r・・t・λiユ〕孤・・12〕・especti…y・f審i1）・合￡）        Assu「pe the n°nze「°・h…’・。醜ゴb…≧・≧…≧・。 ・nd lgt ‘h・ c・rre・p・ndi・g

n°malized・h…’・b・dヱ・d2・…・も・曲i・h・…rth・g・nal each・th…孤d

finally supPose．a normalized orthogonal bas is of the characterlstlc space co「一        ハ 「esp°ndi”g 9°ze「・σh…’・。醜ゴb・脇．ヱ・d。．2・一・μρ・      Then we define a n旧trix in the following ㌘［・、4、．…d，］d・・g（已ii ，o；i，…，c；i，o，o，…〕［・、・・…・，］’ （…〕      F。。m th。。。em 1 。nd th6 f。・eg・ing・・四㎝・nt， th・。・㎝3f。11・w・㎞・di・t・1y・     田EOREM 3．ひnder the 8α形oonditionsαs in theorem 1。      ・、ゴ，、・幽＋ブ・12）h（・2）・）’：・；嚇・一・12〕h・2）・）

㌫＝、12藍㌘1㍑・㍑蝿ヱ）〕d…es°』 θい

     ・f・・reca・・tr，、（・・・……・・i1））are a卿…ica・・y・・d・p・n・r…y distributed， then froln theorem 3 the following theorem is straightfoward．     THEOREM 4． ひnder the εωηθ eonditions αs in 古heorem 3，      ・げ・鴫2〕一・12）H（、2）癌：［・iヱ）一・12）・〔22〕、］

ha…n・…g X2一繊・伽t・…繊i2）＠一・i1））…9・e…了』・m・

  v   3

T肥 EQUALITY．OF THE CHARACI［ERISTIC SPA（ES 81 〉［1］ ［2］ ［3］ ［4】 【5］ ［6］ t7］ ［9］        REFERENCES

艦・脇丁㍊二。。漂恕麟：慧：鵜．°㌶蕊懸e蒜えt￡。b．，

6撒：運講婁露ls蓋菖1・鑑1，罐：旛εぽ

 150． Univ． of Califb111ia Press．＼      ． Anderson， T． W．： An Introduction to M虹tivariate Statistical Analysls．        （1958）       ．       ．  wiley， New Ybrk． Anderson， T． W．：As）rmptotic theory fbr principal component analysls． Am．  Math． Statist．34 〔1963〕 122−148． Girshick， M． A．：On the sal叩1ing theoワof Toots of detem加mtal equa−  tions． Ann． Math． Statist． 10 （1939） 203−224．       ．       ． Hiraka鳩， F．： Test fbr the dharacteristic spaces Of a populatlon cova「1ance  matrix． 〔Submitted〕・ Lawley，−D． N．： A modified method of estimatiOn in factor analysis and s？me  large sample results． 口回psala SympoSium on Psychological Factor Ana1γsls＞        35−42． AlmqVist and Wid（se11，        UPpsala．  17−19Mardh （1953） Sugiura， N．： Asymptotic exp榔ions of distributions of the latent roots or  the latent vectors of Wishart matrices． Surikaiseki Kenkyuj o Kbkyuro㎞，  231 〔1975）  1−11．  〔血Japanese）． ’

、

’

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