(9)三角比・三角関数の指導について

Tokyo University of Science

NII-Electronic Library Service

Tokyo _Universityof _Soienoe

No

．

1

平 成

9

年 度 第 5分科 会 　数 学

II

全 国 算 数

・

数 学 教 育 研 究 （群 馬 ） 大 会 「

_{三 角 比 ・}

_三

_{角 関 数}

_の

_{指 導}

_{につ い て」} 群 馬 県 立 藤 岡高等 学 校 教 諭　福 　田　敏　大

1 ．

は じ め に 　 昭和

40

年 頃 は 三 角関数の最後に 三 角 形へ の亦 用 とし て現 在の数

1

の 『三 角 比の正 弦

・

余 弦 定 理_， 三 角 形の 面 積』 を 指 導 してい て

，

現 在の順 序 とは逆であっ たこと を 知 り

，

本 校の レベ ル （スロ

ー

ラ

ー

ナ

ー

）の生徒に とって， ど ち ら を先に指 導した 方 が理解や 反 応 が 良いのか調ぺ て見よ う と考え た

．

　今 年 度の

2

年 生 は

，1

年 次に

5

単位で数

1

と数

A

の 数 と 式

，

数 列 を完

r

する予 定であっ た が

，

ス ロ

ー

ラ

ー

ナ

ー

が例 年より多 く 『_{三角比の正弦}

・

_{余 弦 定 理} ， 三角 形の 面 積』 を残 して し まい ，

2

年 次に持ち越す こ と に なっ た

．

そこ で

2

年 次のク ラス編 成のう ち 文 系の

1

〜3

組 は， ほ ぼ 均 等に分 け ら れ たこ とか ら筆者が

1

組 と

3

組の教科 担当にな り， 指導 順序を変える以外は 同 じ指 導を 行いそ の違い を調ぺ て み る ことになっ た

．

　ま た， その調 査の過 程で本 校の生徒に対 し， その他にど んな指導の方 法がある の かも考えて み た

．

2

．

学 校の状 況

1

学年

5

ク ラス の男 子 校　全 校 生 徒 数

559

人 （創 立 百 周 年） 国 公立大

5

人　私立大

50

人 進 学　

22

人 就 職 （平成

8

年度 　実 数 ） 国 公 立 大

2

人　私 立 大

70

人 進 学　

19

人 就 職 （平 成

7

年 度　実数）

3 ．

対象 と なっ た クラス の状況

2

　 　 　 　

小

4

ク ラス の 上 月 日

1

学期

　

担当 者

ll

一

₄

_蝋

．

1、

組

．

　　・

与

編

田 小テスト

2

組 　 　

A

先 生 撫壽

’

3

維

・

　　

…辷

、

蕕薀

L

小テスト

4

組 （進 学 　　

B

先生

49

実力 テスト 群 数 研テスト

』

’

”

13．

11

：

37．9

529

中 間 考 査

A

先 生 ：

6

：國；i芝

0

回

22．

9 ．

台魁

．

．

…懿 灘

0

回

42。

2

630

期末 考査 福田 工回

57．

48

回

56．

31

回

59．

10

回

60．9

4 ．

指 導 方 法 　 範囲　 数

1

　正弦

・

余 弦 定理

、

三角形の 面積 　 　 　 数

II 一

般角， 単位 円， 三角 関 数の相互関 係， 三角 方 程 式， 　 　 　 三角 関 数の性 質 （証 明 問 題は除 く）

1

組 は 通 常 通 りの順で指導 をし，

3

組は 『正弦

・

余弦定理、 三角形の面積』 を最後に行っ た

．

5 ．

研 究のま とめ （

1

） 生 徒の反応と 得点結 果 を総 合 的に見ると 『_{正 弦}

・

_{余 弦 定 理} ， 三 角 形の面 積』を最 後に行っ た 3組の方 が 　 理 解 が 良 かっ た

．

理 由 として は， 立 式 をし た後のsin120

°

等 を正 し く値に変換で きた割合が高かったこ と

　

と

，

中間考査の ［

2

］の問 題について

，3

組は

，

oos θの値が与 え られ て

，

　sin θの値 を 求 める練 習 を， 数 　 1と数

II

の分 野で 2度 行っ てから学 習し た ことにな り， こ こ で得 点に大 きな開 きが出来た とい う こ と があ 　 げられる

．

（

2

） 理 系 クラス と 同 じ教科 書 なので， 各 節の中で難 易 度 が 少し高い所 は すべ て カッ ト し時間が 空い た 分 は， 　 ゆっ く りて いねいな 説 明 をし， ま た， 机 間巡視や 小テス トの時間に当てた

．

（

3

） 小テス トは出題 する問題 を予告し

，

数や 式 を少し変え る だ けで実施した

．

この小テス トが， 定 期 考 査 対 　策 に な るこ と も あ り， 生 徒の反 応 も 良 く しっ か り理 解 するの に役 立つ と生 徒自身 も 感じて く れ た

．

6

．

最 後に 　

1

学 期の期 末 考 査の テ ス ト返 却 時 に， 「先 生 ！ 生 ま れて初 めて数学で

80

点 を越 え た ！今まで

50

点 も越え たこ と 無かっ た_{の に」 と}満面_の笑_{み を}浮かぺ _{な が ら喜}びを表して くれた 生徒がいた。 入 学 以 前か ら数 学の苦 手意識の強い生徒が多かったが

，

やれ ば出来る ん じゃ ないか と思い始 めてい る生 徒 が 増 えてきてい る感 じが

、

する

，

何の こ とは ない

．

レペル を 下げ， ゆ

．

っ く り授 業 をし， 平均点 を 上 げ た だ けのこ とである

．

た だ， 今ま で数 学 を嫌っ _てい た よう なクラ スの友人が， 「出来た ！」 と言い始め ると 自分で も やってみ るか

，

とい う気 に な る のか， 現在 授業は大 変し やすい

．

恐 ら く彼 らは

，

『数 学』 とのつ き合いは高 校 卒 業 まで であ ろ う

．

数 学に対して達 成 感を感 じ， 数 学 との 思い出が少 しでも 良 くなっ て ほ しい と感じ てい る ところ である

．

一

₈₂

一

N工 工

一

Eleotronio _Library

Tokyo University of Science

NII-Electronic Library Service

Tokyo University of Science

N.

£

whpteclll.,z,,AecIli

zzlti-otese

xuffwasatts-ff<uggzassRgR8$$gge#s\geggg8grsRgetoN888ReeERrz:EN9 ¢ pt:.pt -sgoocoeocococoweconNoooouooeyotfoesuoooooooooecooo:. ,.eec"111tsNNNNtsNetso:o.--ecoenooNvthote"eo-oeoeeeoee:. .qev111Rnee £

ve

£

e99esotso2e2coo9cowN:oveenoetve"oooooo-..

tr)s

:

£ co9-EseveHNoce-NbeNu:EcooooromcoooN:oo"noooeeog･ae'

xu"TW-a9to9ptco9992tsw9ncoets929co9beNetststsptowe2oFee"

moNSItiENu:osueNNowooe2eooeoNeoeoooeeoooooNoNoo

Lng"Siiti88assseeas::･#･･teesuem2eoco8N.d-i.i.tsif)suts.pa..s.tw.spouow:oe"･o:.

:.-ffxoooooooo

×

o

× ×

o

E-:-gooooooooooo

×

ooooo

×

o

xo

oo

×

ecoo0o

×

oxoo

×

o

×

ox

o'x

o

o

o

--:.ljoooo

×

o

×

oo

×

o

×

ooo

oxxx

x ×

o

×

o

-xooooo × ×

oxo

×

oxoo

×

o

× × ×

oo

o

..GMvbloooooooooooooooooo

×

ooo

×

o

×

oo

o

'

xoooxooo

×

ooooooooxoo

o

xo

..:-goooooooooooooooooooooxo

×

oo

xoooooooooooooo

×

ooo

× × ×

o

_×

oo

x

..1Mvtiooooooo6

oooooooooooooo

× ×

o

×

o

o

eu.$s,i<o29cotswmCDcoaorco9NaoesuwmNwootopttswoeomoooao:. 111taes$<2cotemEtsco2wNRoNmeNca"ptNon-sc9oNN-e-ooo:. Rtto1ilesgFR9etrmEbe2"9Nbe9coococpLO"ee9opt2u)o-wooo:･

gRageslaj<coe999999a9o9co"2eo"co9ncoe"coNwts9ptcoNooeee:..1-AEs8esNXs £ £

En:.m.."LC)s-eEeeveNcos

£

ceH"q:-N99eecrn-e･,oct)ONeo

l

.rekU<URecex111{

cotsa9st=9eeeeoco-tswwNetrNevorooootoewco-oeweeNe:.

es

gowwnoo"woNe"NNeaseooeo･pt/oe.sgopaooopaoooo2･

se

¢ nNe.ec.N"n.eNNoNees,e'i..eeaNeeooeeooNN-oooeooogg･

KN

wNcoscc.)"wN"oNwoe1pa.onocr?voe.mffNnNcuoeoeqeoooe･ NecmaptNge･eowoo.pa.NweNoeoeoowooooonvoooooooooopao:. magem-e7cLnceN"wn"eNwo"eoecuo-woooowooNooooeooo:.

thes'.--Nswq..ve--ee-st-va-xrltu-ge"ge-Eeq:eq--eq"1-swsw-:

±

opfiS9"pttt-::aneeeswsw--8eqaseestrrcoVN"4sssw"-:!ONs-atNT-Igesw-:s8sc-irltzagErWu7nooee"ajk-r-Hggee-hswN

{gees

-83-Tokyo University of Science

NII-Electronic Library Service

Tokyo University of Science

cv,Izo

thptalll

Heclll

Nuorpte

mffroEk-ff ¢

8ggg8at8ss8geggg88zaepeesggza88asas8eE::ee=acoNeN:.su

.ecuXQw"wcovetwo ¢ ooooitoooooooooooooooooooeo.N--. ,Lg ¢ "111NNtsNNcoeeeosu"9NneotscoweNooN-ooooo""oeeox oecev111Rpt £

susuEEE9RR2enmNorwe22ee-noowenooeeooooeg･

u)!

verzEE

£

E:9veNRco:os2=:smEctnmcoeneeote-oweoog

xucr,Tevufits999"9E9999999sutverl9etststo9wnewmoomwuaoNg･

moe"SiilE

£

eN

£

sE=

£ ou9senE9secooooeoooutNtsooooooooo:

vaAffulio8888se9:8paLsuL:ts9eew9za･eg.tsee･e.R･･t'1stew･eere･.-･.za.ip.oNoog,.･･･

ffxoxoo

×

oo

o

ff-llMLJtioooooooooooooo

o

oxo

×

o

xooooooooooo

×

o

x ×

o

as-:tljooooooo

_{× x × × xox × × × × × × x} -xooooooxooxooooo

o

o

× x

o

-:-goooooooooo ×

oox

×

oo

o

× ooo

o

xoooo

×

ooooooooooox

oo

ooo

=:-goooooooooooooooo × ×

oo

×

oo

xoooooooooooo

×

ooo

×

o

×

oo

×

oooo

-:fi-.tiooooooooooooo

×

oo

×

oooo

×

oo

×

oo

OlloSii<e2ee229EooEE"2eno9o-cowo2o"7..-9oeowNoE:. 111Nesifgo9coeo9co9waNtsLOeLO92eeoo oNN,--oeMneT--emo:. Wo11itsKco9wotsetoocobew9tseLnconetsecoNoone-owo"eeeN

_ee.

gRopeflits<co2Ne9coLOve9cou)co2cotswoco2coempttfco"nLnpt9m2Neecoex･

EsRNX2sucea:Nce2=e2:coes=u:Eceor:cosuco92eoceceN::com2ceN=

l

stil<P8QX.111{

_98eeeees:

£

ee:vmcotsNsuRNv=Nv"N=tsoce"or9

¢ e e:.

ma ww""ww"on"gyewooowuagNweeipa'N"oge,wsu"･ve o:. esq covNNcoNNnsuNoooNoNNoeoaeooNNaNooooo e:. esN "suptwwM"w"theNwoewow9woeeer--"o"aptooe o:. nyffHptpttfwnwwocosu""o"edio"ptwwNeooNwoNwNes"No og･

::E"gyw"cvlwsuwn"eooanNev)ev:'es.1oMeoMe"eecoeec.)ee

o:.

hmmptsve,--sunNsucocovanrfsuonsucoowcobeswnco$nasupt2swn:$":scn

c,)st,.---svanptEsunescco:swmSlsun2vangeswn:surc:sun:sungsum:suo coFNNsuswnan:suM:l]su"gptngsuco:scrc:sungsupt:wco:lsungsuo

{sscr

-84-Tokyo University of Science

NII-Electronic Library Service 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　

．

ゆ 寝

Q

頤 刃 e 伊 翼 柵

P

駟 籵 V 穏 振 蝋

．

Pe 製 p 掴 思 皿 蝿   犠 踟 葉 ゆ 愈 鋳 剣 掣

eO

聞 咽 の レ 需 心 呎 姉 煢 埋

e

貼 。。

8

倉 婀 9 即 卦

QP

巡 廿 H 轡 勾 り 喫 ⊃ 即 卦 μ 螺 掴 ［ 卜 ］ 緬 榊 誕 丑 逼 肆 の

．

喫 い 灸 驥 煢 廉 羽 慧 驪 一 慰 鐔

．

私 憩 £ 粂 負 ゆ 想 喫 o 槍

P

躙 謳 喫

5

》 嘉 鞠 趣 陪 犠 毅 呎 榔 楚 埋 無

．

綬

3p

煢 鋼 艇 〉 御

k

胞 UU 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 朕 埋

e

［

N

］

細 恥 誕 牙 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　

，

喫

p

灸 幅

2

颶 同 煢 羅 蝌 喫 蝗 即 勾 「

．

畏 合 廻 二   “ 艇 Φ 鴇 心 灸 愈 恕 麺 齪 誼

e

月 Φ 魚 5 縫   灸 Φ 〉 斌 」 　

_．

喫 悩 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 （ Φ 農 轎

e

⊇ 葎

・

×

．

刃 癒

e

岳 ○ ） 　

_．

喫 n 負 逗 犠 儕 ゆ 呎 鯉 誕 細 継

e

即 ρ レ

3

》 様 田 犠 鰭 帽 慧 颶 一 渕 ゆ 給 細 脈 麹

、

喰 型 い 負 畷 為 怏

e

颶 同 慧 レ ニ

o

冂

壕

韮 瞠 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 曜 壤

e

［

H

］

綱 舮 塹 任

．

の

．

eq 　 　 　

e

ゆ 禝 9 煢

F

為 艇 嗹 O ％ ム

K

応

_’

「

_へ

楚 公 無 驪

e

［

祠

］

e

細 恥 蹕 丑

e

『っ

．

  £ 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 邸 り 潟 喫 o 糟 犠 K 〃

e

軽 騾 楚 公 駆 驪

e

亠

K

応

_’

マ

Q

『っ 　

_．

N £ の 想 N 坦

N工 工

一

Eleotronio _{Library 　Servioe}

Tokyo _Universityof _Soienoe

　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　

．

ゆ 虞

9

頤 勾 ゆ 櫓 世 柵

e

兪 螂 ゆ 極 剣 蟶 紺 》 」 較 リ ヱ

K

応 で 刮 柵 e 囑 猷 砧

e

轎 認 蝦 川

．

喫

3p

煢 欄 艇 瞠 二 蝦 逃 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 畷 壥

e

『 量 岨 川 』 み

K

塩

_广

マ

．

H 灸 串 勾 灸 ゆ 3P 椥 汐 巡 慰 思 埋 刃 ぐ 拶 鴨 煢 帥

゜

ON ヨ お 勧 Φ 穐 灸 魚 息 ×

Qe

帽 掴

_冖

鰹 懸 　 　 負 か 勾 灸 ゆ

3

レ 蝦 逖 μ 型 田 嶺 嘱 《

“

粡

d

一 想 甲 マ ゜っ ー ゜っ ー ゜っ ー や O ？ 閃   」 逼

一

N 卩9 ゜ ワ ー の マ N 〒 N マ ×

「

寸 禦

_’

、

O り ：

…

鯉

_．

遘 聯

、

尋

_、

O

舗 ゜っ ー 紐 一 恥 N ＝ 鬥 N ヨ 卜 【 寸

桝

鷺 コ コ O 円 」 禪 NN 的 ρっ

一

寸 寸 Np ◎ 寸 守 × り qゆ 幽

．

oっ 一 q臣

、

笛 鷲 讐 蘿 題 露

…

．

器

゜

．

讒

_、

0

麒 σ。 藹 ゜っ

一

゜〇 一 ゜っ

一

二   雲 コ ゜ っ H 卜 ⊃ 禪

尊

り 寸 O

9

ゆ 炉 り 可 国 の 鳴 × 〇

一

覊 ，っ

一

鵠 翼

．

爲 9費 一

、

．

蕊 躁 9串

洲

．

・

諮

0

禦 一 さ

_．

【 卜

．

OIN

．

OO

．

N ー ，っ

．

O

一

_．

〒 寸

．

O ー 協

．

O 蝉

．

OI 窃

．

Ol ゜っ

．

マ oっ

．

？ 剛

．

早 ゜D

_．

マ ゜o

_，

OI 粟 ψ 1 絮

_一

、

霧 專

_「

闘

N

_．

一 O ぜ 寸

．

  O

_．

劭  

．

O05

騨

憐

_」

伸

_亘

鯵 頃

．

糒 O

_，

寸

，

oo

_．

蝉 『 り σo

．

コ 嵩

_．

閃

一．

一

O

_。

  寸

．

NO

．

N 紹 僑 ⇔ 諾   嵩

_．

N こ ゆ

．

の O

_．

婚 寸

．

婚   ご 寸 ぜ 一 ぐ 国

．

の 卜

．

鴎 国

_．

〇 一 O

_．

一

゜。

．

O の

．

一 の

．

O 同

，

一

麗 H σり σり O 睦 醤 跡 靼 誣 卩。 O の   O 曲 堅 欝 聖 頭

_一

　 　 高 犂 闘 脚 蹕 晋 　 癰 朴

_一

塑 e 皿 報 oo 照 川 e 挈 卜 騨 櫓 賦 mO 浬

ゆ

哩 翻

［

菖

仰

溜 収 慣 N 聟 蝦 川

一

鯖 騾 慣 帽

6

）

　

一

鎖 憮 解 倒

（

マ

V

　

祠

騷 楓 情 爿

（

°っ

）

一

彝 憮 情 爿

（

N

）

一

郭 飆 冨 偶

（

一

）

昌 9 ＼ μ 収 川 e 破 霸 9 ＼ 蝋 毬 曜 川 e 9 ＼ 撮 慣 蹕 擬 峺 川 9 ＼ 曝 慣 騨 慢 破 川 ON ＼ 縺 刃 田 　 珊 　 O 問 ＼ お 如 e 順 嘘 翼 碇 川 随 収 蛋 礙 蕪 収   曳 国 　 悶 巳 迦 承 　 H 畑 榊 　 　 匯 　 　 牙 　 　 跟 　 　 軸 　 　 H 回   　 　 亠 　 K 応

’

て 寸

_．

OZ

癒

靆

収

田

・

聲

収

川

遡

丗

 

慣

降

一

₈₅

一

Tokyo University of Science

NII-Electronic Library Service

Tokyo _Universityof _Soienoe

数 学 1工 1学 期　中間 テ ス ト_H

．

9

．

5

．

Z9（木）　

v

e

＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿

＜ 注意 ［1］△ ABC に おい て

、

次の ものを 求 め よ。 （1｝a ＝ 4

，

A ＝ 45°

，

B ＝ 60

°

_{の と き}

、

　 b ☆ 印 以 外の問 題につ い ては途 中の 必 要 な 式 を 答 案に書 くこ と

。

途 中がない ものは 減 点〉 （2） （

D

の△ABC の外 接円 の 半 径R （3）a ＝ 3

，

b ＝ 5

，

C＝ 120

”

の と き

、

　 c （4） （3）の △ ABC の 面積S （5_｝a

＝

15_， b

；

13，　 c

＝

7 の と き

、

　 B ［2］△

ABC

に おい て

、

　 BC ＝ 2

，

CA

＝

4

，

AB ； 5 _であ 　る と き

、

次の 値を求め よ

。

（1）c。sA （2）sinA （3_）△ABC の面積S ［3］ ☆ 次の角の動 径QP を 図 示 せ よ

。

（1）　27G

°

_（2_）

−

755

°

0 x o r ［4】☆ 次の角の 動 径が表 す 角の中で 正の最小 の も の を求め よ

。

（1）850

°

_（2）

−

1000

°

【5］θ が次の角の と き

、

sin θ， eos θ， tEnθ の値を求め よ。 （1）135

°

sin θ

＝

CDS θ

；

tanθ

；

（2）　

−

150

◎

sin θ

；

ces θ

；

tanθ＝

（3）360

°

sin θ

＝

COSθ＝ tanθ

＝

［6］次の等式を 満 た す θ を 求 め よ

。

“ 〉… θ

読

〔・ は

一

般 角 ） （・）・・nθ＝

諸

（・ は

一

般 ・ ） ｛3）si・2θ・　

一

；

一

_（0

巳

　_≦θ＜360

°

　） ［7】 次の値を求め よ

。

　 　 　 　3 （1）sin θ；

15

’

の とき

，

cose

，

tan θ

（2）tanθ＝

−

1の と き

，

sin θ

，

cos θ

［8_］次の 三角 関 数の値 を 鋭 角の 三角関数の値で表せ

。

（1）cos520

°

（2）　tan（

−

755

°

　｝

一

₈₆

一