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(1)

ワイルスピノール

中嶋 慧

June 25, 2020

Contents

1 クリフォード代数とローレンツ変換 1 2 4 次元の場合 2 3 四元数とローレンツ変換 3 4 パウリ行列とローレンツ変換 4 5 ワイルスピノール 5

1

クリフォード代数とローレンツ変換

{eµ} をクリフォード代数の基底とする。ただし、 eµeν + eνeµ = 2ηµν, (1.1) ηµν def = diag(−1, 1, . . . , 1) (1.2) とする。このとき、 T def= 1 + 1 4ε µν eµν, eµν def = 1 2(eµeν − eνeµ) , ε µν =−ενµ (1.3) に対して、 T eµT−1 = Λνµeν, Λνµ = δ µ ν + ε ν µ (1.4) となることを示す。上式より、 T eµT−1 = eµ+ 1 4ε αβ[e αβ, eµ] (1.5) である。ところで、公式

(2)

が成り立つ。ここで、[A, B]def= AB− BA, [A, B]+ def = AB + BA である。よって、[eαβ, eµ] は、 [eαβ, eµ] = 1 2[eαeβ− eβeα, eµ] = 1 2(eα[eβ, eµ]+− [eα, eµ]+eβ− eβ[eα, eµ]++ [eβ, eµ]+) = eαηβµ− ηαµeβ − eβηαµ+ ηβµγa = 2(eαηβµ − ηαµeβ) (1.7) となる。これより、 T eµT−1 = eµ+ εαµeα = (δµν + ενµ)eν (1.8) となり、(1.4) が示される。 有限変換では、 T def= exp (1 4ε µνe µν ) (1.9) に対して、 T eµT−1 = Λνµeν, Λνµ= [ exp (1 2ε µν Mµν )]ν µ, (1.10) (Mµν)αβ = δ α µηνβ− δναηµβ (1.11) となる。

2

4

次元の場合

以下では 4 次元時空を考える。この時、 1 2ε µνM µν = ε0kM0k+ ε23M23+ ε31M31+ ε12M12 (2.1) である。また。 (M0k)0i = δik = (M0k)i0, (M0k)lm = 0 (2.2) および、 (Mik)lm = δ l iδkm− δklδim, (Mik)0µ = 0 = (Mik)µ0 (2.3) である。今、 φk def= −ε0k, (2.4) εik def= εiklθl (2.5)

(3)

とすると、 1 2ε µνM µν = iφkKk+ iθkJk, (2.6) Kk def = iM0k, (2.7) Jk def = −i 2ε il kMil (2.8) となる。なお、 (Kk)0l = iδlk= (Kk)l0, (Kk)lm = 0, (2.9) (Jk)lm = −iε l mk, (Jk)0µ = 0 = (Jk)µ0 (2.10) である。 よって、 Λνµ = [ exp ( iφkKk+ iθkJk )]ν µ (2.11)

3

四元数とローレンツ変換

今、 e0T = T∗e0, T = eX, T∗ = eX (3.1) と置くと、 T∗(−e0eµ)T−1 = Λνµ(−e0) (3.2) となる。ここで、 X = 1 2(−φ ke 0ek+ θ1e2e3+ θ2e3e1+ θ3e1e2), (3.3) X∗ = 1 2 ke 0ek+ θ1e2e3+ θ2e3e1+ θ3e1e2) (3.4) である。 今、 h =−e0e1e2e3, (3.5) hik =−e0ek, (3.6)

i1 =−e2e3, i2 =−e3e1, i3 =−e1e2 (3.7)

とすると、ikは四元数の虚数単位とみなせる。よって、

q def= q0+ qkhik (qµ ∈ R) (3.8)

とすると、

(4)

となる。ここで、 X∗ = 1 2 k hik+ θkik), (3.10) −X = 1 2(−φ k hik+ θkik) (3.11)

なので、Adef= eX∗ とすると、e−X = ˜A∗ である:

Aq ˜A∗ = q′. (3.12) ここで、∗は h についての複素共役で、˜• は • の四元共役 (ik−ikにする) である。 (3.9) の複素共役より、 eXq∗e−X∗ = (q∗)′, (3.13) q∗ = q0− qkhik, (q∗) = q′0− q′khik, q′µ = Λµνq ν (3.14) を得る。

4

パウリ行列とローレンツ変換

さて、h を i と書き、 σk def = iik, (4.1) ik = −iσk (4.2) と置く。σkはパウリ行列である。よって、 q = q0 + qkσk (4.3) であり、 eX∗qe−X = q′, (4.4) X∗ =−φkσk 2 + iθ kσk 2 , (4.5) −X = −φkσk 2 − iθ kσk 2 (4.6) となる。よって、 D def= exp ( iθkσk 2 − φ kσk 2 ) (4.7) とすると、 DqD† = q′ (4.8) である。X†は X のエルミート共役である。今、 σµ def = (12, σk) (4.9)

(5)

とすると、(4.8) は、 DσµD† = Λνµσν (4.10) を意味する。 また、 C def= exp ( iθkσk 2 + φ kσk 2 ) (4.11) とすると、(3.13) は、 C ¯σµC† = Λνµσ¯ν, (4.12) ¯ σµ def = (12,−σk) (4.13) である。C は、 C = (D†)−1 = (D−1) (4.14) である。

5

ワイルスピノール

ローレンツ群の (1 2, 0) 表現 η と (0, 1 2) 表現 ξ は、 η′ = Cη, (5.1) ξ′ = Dξ (5.2) と変換する。これらをワイルスピノールという。 (4.10), (4.12) より、 def = η†σµ∂µη, (5.3) def = ξ†σ¯µ∂µξ (5.4) はローレンツ不変である。

参照

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