§
8.3関数のグラフの長さ
例として，右図のような，放物線の一部を
A
B
曲線
C Cとおきます． この曲線
Cの長さを考え
ます． 曲線
Cの端点の各々を
A,Bとおき ます． グラフに属す点のうち，点
Aと点
Bとの中間にある点
Cをとります． この とき，
線分
ABの長さ
<折れ線
ACBの長さ
<曲線
Cの長さ
.A
B
C
A
B
D C
E
直線
ABと折れ線
ACB折れ線
ACBと折れ線
ADCEBグラフに属す点のうち，点
Aと点
Cとの中間にある点
Dと，点
Cと点
Bとの中 間にある点
Eとをとります． このとき，
折れ線
ACBの長さ
<折れ線
ADCEBの長さ
<曲線
Cの長さ
.このように，節点（折れる点）がより多い折れ線で曲線を近似すると，折れ線の長さ は曲線の長さに近づいていくようです．
このような考えに基づいて次の定理が導かれ ます．
定理8.3
実数
aと
bとについて
a≤bで，
x y
0 a b
y=f(x)
関数
fの導関数
f′は区間
[a , b]において連 続であるとする．
xy座標平面において不等式
a≤x≤bと方程式
y=f(x)との連立で表さ れる曲線の長さは
Rba
p1 +{f′(x)}2dx
． この定理の証明は後にします．
例題
xy座標平面において不等式
0≤x≤1と方程式
y= 2√x3
との連立で表さ れる曲線
Cの長さを求める．
〔解説〕
区間
[0,1]を定義域とする関数
fを
f(x) = 2√x3
とおく． このとき，
f′(x) = d dx 2√
x3
= 2 d dxx
3 2 = 23
2x
1 2 = 3√
x , 1 +f′(x)2= 1 + 3√
x2
= 1 + 9x , R1
0
p1 +f′(x)2dx=R1
0
√1 + 9x dx .
t= 1 + 9x
とおく．
dtdx = 9
より
dx=19dt
．
x= 0のとき
t= 1，
x= 1のと き
t= 10．
R1 0
√1 + 9x dx= Z 10
1
√t 1 9dt=1
9 R10
1 t
1 2dt= 1
9 2
3t
3 2
10
1
= 2 27
√103−√ 13
= 2 27 10√
10−1 .
曲線
Cの長さは
229 10√
10−1
である．
問題
8.3.1 xy座標平面において不等式
0≤x≤8と方程式
y=√x3
3
との連立
で表される曲線
Cの長さを求めなさい．
例題
xy座標平面において不等式
0≤x≤3と方程式
y=√12−x2
との連立で 表される曲線
Cの長さを求める．
〔解説〕 0≤x≤3
の範囲で，変数
xの関数
y=√12−x2
について，
dy dx = d
dx
p12−x2 = d
dx(12−x2)
1 2 = 1
2(12−x2)−
1
2·(−2x) =− x
√12−x2 ,
1 +dy dx
2
= 1 +
− x
√12−x2 2
= 1 + x2
12−x2 = 12−x2+x2
12−x2 = 12 12−x2 , r
1 +dy dx
2
=
r 12 12−x2 =
√12
√12−x2 ,
曲線
Cの長さは
Z 3 0
r 1 +dy
dx 2
dx= Z 3
0
√12
√12−x2dx=√ 12
sin−1 x
√12 3
0
=√ 12
sin−1
√3
2 −sin−10
=√ 12·π
3
=
√12π
3 . 終
問題
8.3.2 xy座標平面において不等式
0≤x≤3と方程式
y=√36−x2
とで表 される曲線
Cの長さを求めなさい．
定理
8.3を証明します． 実数
aと
bとについて
a≤bで，関数
fの導関数
f′は 区間
[a , b]において連続であるとします．
正の各自然数
nに対して，
a = x0 < x1 < x2 < x3 < ···< xn−1 < xn = b
となる実数
x0, x1, x2, x3, . . . , xn−1, xnをとります．
δn = max{x1−x0, x2−x1, x3−x2, . . . , xn−xn−1} .
について，
n→ ∞のとき
limn→∞δn= 0
とします．
y=f(x)
のグラフの点
P0,P1,P2,P3, . . . ,Pn−1,Pnを次のように定めます：
P0= x0, f(x0)
, P1= x1, f(x1)
, P2= x2, f(x2)
, P3= x3, f(x3)
, ··· , Pn−1= xn−1, f(xn−1)
, Pn = xn, f(xn) .
点
P0,P1,P2,P3, . . . ,Pn−1,Pnを順に結ぶ折れ線の長さを
Lnとおきます：
Ln = P0P1+ P1P2+ P2P3+···+ Pn−1Pn =
n
∑
k=1Pk−1Pk .
例えば次のような図になります．
x y
x0 x1 x2 x3 x4 x5 P0
P1
P2
P3 P4
P5
y=f(x)
x y
a b
y=f(x)
n= 5
のときの折れ線
n= 20のときの折れ線
k= 1,2,3, . . . , nに対して，
Pk−1 = xk−1, f(xk−1)
, Pk = xk, f(xk) ,
よって，線分
Pk−1Pkの長さ
Pk−1Pkは
Pk−1Pk = p
(xk−xk−1)2+{f(xk)−f(xk−1)}2 .
xk−1< xk
で，
fは区間
[xk−1, xk]で微分可能なので，平均値の定理より次のような 実数
ξkがあります：
f(xk)−f(xk−1) = f′(ξk) (xk−xk−1) , xk−1 < ξk < xk .
このことから，
Pk−1Pk=p
(xk−xk−1)2+{f(xk)−f(xk−1)}2
=p
(xk−xk−1)2+{f′(ξk) (xk−xk−1)}2
=p
(xk−xk−1)2+{f′(ξk)}2(xk−xk−1)2 =p
(xk−xk−1)2{1 +{f′(ξk)}2
=p
(xk−xk−1)2p
1 +{f′(ξk)}2 , xk−1≤xk
より
xk−xk−1≥0なので
p(xk−xk−1)2 =xk−xk−1
，よって
Pk−1Pk = (xk−xk−1)p1 +{f′(ξk)}2 .
従って，折れ線の長さ
Lnは
Ln=
n
∑
k=1Pk−1Pk =
n
∑
k=1
(xk−xk−1)p
1 +{f′(ξk)}2
=
n
∑
k=1
p1 +{f′(ξk)}2(xk−xk−1) .
仮に関数
Fを
F(x) =p1 +{f′(x)}2
と定めます． このとき，
Ln =
n
∑
k=1{F(ξk)(xk−xk−1)} .
k= 1,2,3, . . . , n
に対して
xk−1< ξk < xkなので，この等式の右辺は関数
Fの リーマン和です．
折れ線の長さ
Lnの極限値
limn→∞Ln
があるならば，それが方程式
y=f(x)と不等 式
a≤x≤bとで表される曲線の長さになります． 関数
fの導関数
f′(x)は連続な ので，関数
F(x) =p1 +{f′(x)}2
も連続です． 従って関数
Fは
aから
bまで積 分可能です．
Lnは関数
Fのリーマン和なので，
Lnの極限値は
Fの定積分です：
n→∞lim Ln = Rb
aF(x)dx = Rb
a
p1 +{f′(x)}2dx .
故 に ， 方 程 式
y =f(x)と 不 等 式
a ≤x ≤bと で 表 さ れ る 曲 線 の 長 さ は
Rba
p1 +{f′(x)}2dx
