システム制御工学 B レポート解答

システム制御工学 B レポート解答 （2014 年

5

月

30

日出題）

問題

下図のデジタル制御系において，サンプリング周期は

T 1

であり，制御対象は

s e s s e G

s

Ts 3

3 0( )



 

 ⁽¹⁾

であるとする．目標入力

r(t)

^{は単位ランプ信号}

r(t)t1(t)

であるとする．ここで，

1(t)

^{は単位ステップ信号} である．この時，0 次ホールド回路

s e^Ts



1

と

G₀(s)

を結合したシステムのパルス伝達関数

G(z)

^{は，教科書} (4.32)式のように，





 1 1 ( ) )

( G₀ s

Z s z z z

G

(2)

で与えられる．

次の問に答えよ．

１） 閉ループパルス伝達関数

W^*(z)

を，

W^*(z)z^4

となるようにしたい．制御装置

K(z)

をどのよ うに選べばよいか．

解



¹



¹

1 1

1 ) 1

1 ( )

(

3 2 3

2 3 2

3 0

 



 





 



 



 



 

 

 ^{   }

z T z z

z zT z z Z s

z z z s

Z e z z s

s Z G z z z G

sT

(3)

これより，

4 1 4

1 4

4

3 1

1 1 1

1 1

1 )

( 1

) ( )

( ) 1

( _



















 

 

 

 

 

 



 z

z T z z T z z z T z z z W

z W z z G K

２） 問１）の制御を行った時，目標入力

r(kT)

^，出力

y(kT)

^，操作量

u(kT)

^，（

k 0,1,2,

^）の波形

を図示せよ．

解

操作量

u(kT)

^のｚ変換

U(z)

^と偏差

e(kT)r(kT)y(kT)

^のｚ変換

E(z)

^の比から

4 1 4

1

1 1 1

1 ) 1 ) (

( ) (











 



 



 z

z z

z z T

z K E

z

U

（

T 1

）

(4)

である．分母を払って



^{1 4}



^{( )}



^{1 1}



)

(z z^ E z z^ U

これを逆ｚ変換すると，

) 1 ( ) ( ) 4 ( )

(k u k e k e k u

となるので，操作量

u(k)

の漸化式は

) 1 ( ) ( ) 4 ( )

(k u k e k e k u

である．偏差の定義

e(k)r(k)y(k)

を使うと，

) 1 ( ) 1 ( ) ( ) ( ) 4 ( )

(k u k r k y k r k y k

u (5)

である．

同様に，制御対象の伝達関数(3)から



¹



^{( ) ( ) ( ) ( 1)}

) ( 1

) 1 (

4 1

4 1







 











T z

U z z Y z

z U

z z Y

T z z G



が得られ，その逆ｚ変換から，制御量は

)

4 ( ) 1 ( )

(k  y k u k

y (6)

に従う．

r(k),u(k), y(k)

の波形は下図のようになり，定常偏差が残る．

３） 問１）の

W^*(z)z^L

では定常偏差が残ってしまう．定常偏差が残らないようにするためには

W^*(z)

をどのように設定すればよいか．

解

制御対象にむだ時間

L

が含まれ，目標入力が単位ランプ信号

r(t)t1(t)

^{である場合の理想} 的な制御量

~y(t)

は，むだ時間後に目標値に一致するから

) ( )

( ) ( )

~(t t L t L LT t L

y   1   1  (7)

である．このｚ変換は

  

^{~y*(t) Z (t L)* *(t L) LT *(t L)}



Z   1   1 



^zzT



^{zLLT zz zL}

 1² 1 ⁽⁸⁾

である．目標入力である単位ランプ信号

r(t)t1(t)

のｚ変換は

   

2

*

*

) 1 ) (

( )

(    

z t zT t Z t r

Z 1 (9)

である．(9)に対する(8)の比から，理想的な閉ループ伝達関数は

 

 

^L

L L

L L

z z L

z z z zT LT z z

z zT

z z LT z z z

zT z

W

















 

 





 

 

) 1 ( 1

1 )

1 ( )

1 ( 1 1 )

(

2

2 2

*

(10)

-4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

離散時間

目標値　r(k) 操作量　u(k) 制御量　y(k)