全文

(1)

数学2及び演習

A: 福澤,東 B: 田地

内容

 工学基礎 フーリエ解析とその応用[新訂版]

畑上 到 著,数理工学社

 フーリエ解析(フーリエ級数,フーリエ変換)

 偏微分方程式(簡単な例の導出,ダランベール の解法,変数分離形の解法)

 ラプラス変換(ラプラス変換・逆変換,線形常微 分方程式の解法)

 離散フーリエ変換とFFT⇒数値解析法で(予定)

(2)

注意点

 必修科目

 演習(4コマめ)とセットで3単位

 講義も大事だが演習も大事

 教室内の飲食は禁止

 バックグラウンド:数学基礎Ⅰ,Ⅱ,Ⅲ,Ⅳ,Ⅴ,

数学 1 及び演習

 後に続く科目 : 制御工学(ラプラス変換,伝達関 数),振動学,伝熱工学,信号処理(フーリエ変 換, FFT ),数値解析ほか多数

自分で手を動かして演習問題を解く !!

目標と成績評価

 フーリエ級数展開およびフーリエ変換・逆変換の

(基礎を理解し)計算が正確にできる.

 簡単な偏微分方程式の導出でき,その解を求め ることができる.

 (ラプラス変換の基礎を理解し,)ラプラス変換を

用いて常微分方程式を正確に解ける.

(3)

講義の予定

4月16日 講義,4月23日 講義+演習 5月 7日 演習

5月14日 講義,5月21日 演習 5月28日 講義,6月 4日 演習 6月11日 講義,6月18日 演習 6月25日 講義,7月 2日 演習

7月 9日 講義+演習,7月16日演習など

変更があり得るので掲示に注意すること.

講義情報など

このスライド,三角関数の諸定理,演習問題は以 下のページにあるので,各自で取得,印刷すること.

http://www.uno.nuem.nagoya-u.ac.jp/~taji/lecture/lecture.html または

http://133.6.190.133/~taji/lecture/lecture.html

(4)

フーリエ級数のはじまり

 音=楽器の弦の振動の研究(18世紀)

 音は基音と倍音の合成である

(ベルヌーイ, Bernoulli )

 数学的には

波=正弦波=三角関数 sin, cos l

t n l

x a n

t x u

n n

 cos sin

) , (

1

音(=波)を三角関数の和に展開

(5)

周期関数を sin, cos に展開できる

 フーリエ(19世紀)

→ 不連続関数の三角関数による展開

 ディリクレによる収束性の証明

 (例)

 

 

     

n

nt t

t t t

f

t f t

f t

t t f

n

sin ) 1 3 (

3 sin 2

2 sin sin

2 ) (

) ( ) 2 ( ), (

, ) (

1

n =1

(6)

n =2

n =3

(7)

n =4

n =5

(8)

n =10

n =15

(9)

n =25

工学への応用

 機械,建造物など → 周期的な入出力

モーター(回転系),エンジンのピストン運動 サスペンションやタイヤ(バネマスダンパ系)

吊り橋や高いビル(固有振動)

特定の周波数の波を加えたときに,システムがどう 反応するか(周波数応答)

設計に失敗すると:騒音,振動・共振,崩壊

(10)

数学的観点から

 テーラー展開以外への級数展開が可能

 とくに,正規直交関数系への展開

 スペクトル論

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参照

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