目 次

1

目 次

第

1

5

1.0.1

. . . . 5

1.1 Kronecker

. . . . 5

1.2

. . . . 6

1.2.1

. . . . 6

1.2.2

. . . . 10

1.2.3

. . . . 14

1.2.4

. . . . 19

1.2.5

. . . . 20

1.3

. . . . 24

1.4

. . . . 28

1.4.1 LMI

. . . . 28

1.4.2

. . . . 29

第

2

31 2.1 Parseval

. . . . 31

2.1.1 Fourier

. . . . 31

2.1.2

. . . . 32

2.1.3 Parseval

. . . . 32

2.1.4 Praseval

. . . . 33

2.2 KYP

. . . . 34

2.2.1

. . . . 35

2.2.2

. . . . 35

2.2.3 KYP

^∗ . . . . 37

2.3

. . . . 42

第

3

45 3.1

. . . . 45

3.1.1

. . . . 47

3.1.2

. . . . 49

3.2

. . . . 51

3.2.1

. . . . 51

3.2.2

. . . . 52

3.3 LPV

. . . . 53

3.3.1

LPV

. . . . 54

第

4

2: Lyapunov

59 4.1 Lyapunov

. . . . 59

4.1.1

. . . . 60

4.1.2 Lyapunov

. . . . 61

4.1.3

. . . . 64

4.2 2

. . . . 64

4.2.1 2

. . . . 65

4.2.2

2

. . . . 65

4.3 2

. . . . 67

4.3.1

. . . . 67

4.3.2

. . . . 68

4.4 Lur’e

. . . . 68

4.4.1

. . . . 71

4.4.2 Popov

. . . . 75

4.5

. . . . 78

第

5

3: IQC

79 5.1 IQC

. . . . 79

5.2 IQC

. . . . 81

5.3 IQC

^∗ . . . . 83

5.4 IQC

. . . . 85

第

6

89 6.1

. . . . 89

6.1.1 LMI

. . . . 90

6.2

LMI

. . . . 91

6.3

LMI

. . . . 97

6.4

. . . . 100

6.5

. . . . 100

6.6

. . . . 102

第

7

103 7.1

. . . . 103

7.2 LFT

. . . . 103

7.3

. . . . 106

7.3.1

. . . . 106

7.3.2

. . . . 108

7.3.3

. . . . 109

3

7.3.4

. . . . 110

7.3.5 LPV

. . . . 110

7.3.6

. . . . 112

7.3.7

. . . . 114

7.3.8

. . . . 115

7.4

. . . . 119

7.5

. . . . 122

7.5.1 2-パラメータ LPV

. . . . 122

7.5.2

. . . . 123

7.5.3

. . . . 126

5

第

1

1.0.1

A, B, X

∂

∂X Tr(AXB) = A ^T B ^T

∂

∂X Tr(AX ^T B) = BA

∂

∂X Tr(AX ^{− 1} B) = − (X ^{− 1} BAX ^{− 1} ) ^T

∂

∂X det(X ) = ∂

∂X det(X ^T ) = det(X )(X ^T ) ^{− 1}

∂

∂X log det(X ) = (X ^T ) ^{− 1}

1.1 Kronecker

行列

A ∈ F ^{m × n}

B ∈ F ^{p × q}

Kronecker

(Kronecker product)

(mp × nq)

A ⊗ B =



 



a 11 B · · · a 1p B .. . .. . a _m1 B · · · a _mp B



 

 (1.1)

行列

A

1

vec(A) = [a 11 · · · a m1 · · · a 1n · · · a mn ] ^T (1.2)

(Kronecker sum)

A ⊕ B = A ⊗ I m + I n ⊗ B (1.3) Kronecker

Kronecker

2 × 2

1.

α

α(A ⊗ B) = (αA) ⊗ B = A ⊗ (αB)

2. A ∈ F ^{l × m} , B ∈ F ^{p × q}

C ∈ F ^{m × n} , D ∈ F ^{q × r}

(AC) ⊗ (BD) = (A ⊗ B)(C ⊗ D)

3. λ i , µ j (i = 1, . . . , n, j = 1, . . . , m)

A ∈ F ^{n × n} , B ∈ F ^{m × m}

i , y _j

(a) A ⊗ B

λ i µ j (i − 1, . . . , n, j = 1, . . . , m)

x _i ⊗ y _j

(b) Kronecker

A ⊕ B

λ i +µ j (i − 1, . . . , n, j = 1, . . . , m)

x _i ⊗ y _j

4.

A, B, C

vec(ABC) = (A ⊗ C)vec(B)

5.

A(t), B(t)

t

d

dt (A(t) ⊗ B(t)) = ( d

dt A(t) )

⊗ B(t) + A(t) ⊗ ( d

dt B(t) )

1.2

1.2.1

アフィン集合

R ⁿ

2

(ベクトル)x 1 ̸ = x 2

θ ∈ R

y = θx 1 + (1 − θ)x 2 = x 2 + θ(x 1 − x 2 )

の集合が点

x 1 , x 2

(2

1.1

¹ )。x 1 , x ₂

= 0

y = x 2

= 1

y = x 1

[0, 1]

x ₁

x ₂

x 1 , x 2

1

(affine combination)

1本来ならば、x1

, x

x

, x

1.2.

7 x ₁

x 2

θ = 0.5 θ = 1

θ = 0

θ = − 0.3 θ = 0.3

図

1.1:

集合

C ⊂ R ⁿ

2

x 1 , x 2

C

(affine set)

θ ∈ R

θx 1 + (1 − θ)x 2 ∈ C

例

1

Ax = b

1 , x 2

θx ₁ + (1 − θ)x ₂

A

A(θx 1 + (1 − θ)x 2 ) = θAx 1 + (1 − θ)Ax 2

= θb + (1 − θ)b

= b

アフィン集合の概念を

2

1 +

· · · + θ k = 1

θ i ∈ R

k

x 1 , . . . , x k ∈ C

θ ₁ x ₁ + · · · + θ _k x _k

C

θ 1 x 1 + · · · + θ k x k

C

(演習

三つの相異なる点

x 1 , x 2 , x 3

²

C

0 ∈ C

V = C − x 0 = { x − x 0 | x ∈ C } (1.4)

V

1 , v 2 ∈ V

α, β

x 1 = v 1 +x 0 , x 2 = v 2 + x 0

C

αv ₁ + βv ₂ + x ₀ = α(x ₁ − x ₀ ) + β (x ₂ − x ₀ ) + x ₀ = αx ₁ + βx ₂ + (1 − α − β)x ₀

2超平面の詳細については、1.2.2節を参照。

が

3

x 0 , x 1 , x 2

1 + βx 2 + x ₀ ) − x ₀ = αv ₁ + βv ₂ ∈ V

(1.4)

C

V

x ₀ ∈ C

C = V + x 0 = { x = v + x 0 | v ∈ V } (1.5)

凸集合

さらに、アフィン結合において結合係数を非負の実数に限定した場合、す なわち、θ

i ≥ 0

θ 1 + · · · + θ k = 1

x i ∈ C

C

θ 1 x 1 + · · · + θ k x k ∈ C

のとき、集合

C

(convex set)

(convex combination)

x ₁ , x ₂

x 1 , x 2 , x 3

1

θ i

[0, 1]

凸集合の特徴は、任意の二つの点を結ぶ線分上のすべての点が必ず凸集合に 含まれることだ

(図 1.2

θ ∈ [0, 1]

x ₁ , x ₂ ∈ C

θx 1 + (1 − θ)x 2 ∈ C

2

図

1.2:

(左)

(右)

さらに、ある必ずしも凸でない集合

C

x i (i = 1, . . . , k)

convC = { θ 1 x 1 + · · · + θ k x k | x i ∈ C, θ i > 0, θ 1 + · · · + θ k = 1 } (1.6)

C

(convex hull)

k

C

1.2

1.3

1.2.

9

図

1.3:

次に円錐について説明する。ある集合

C

θ ≥ 0

x ∈ C

θx ∈ C

(cone) ³

θ

x

x

(図 1.4

(convex cone)

C

2

x 1 , x 2 ∈ C

C

(正)

C

θ ₁ , θ ₂ ≥ 0

θx 1 + θ 2 x 2 ∈ C

が成立する。

2

(図 1.4)。

また、係数

θ 1 , . . . , θ k ≥ 0

θx 1 + · · · + θ k x k

(conic combination)

集合

C

(conic hull)

すなわち、

{ θ 1 x 1 + · · · + θ k x k | x i ∈ C, θ i > 0, i = 1, . . . , k }

C

0

x θx

図

1.4:

3その形状はとうもろこしに似ていることから英語ではコーンと呼ばれる。

1.2.2

超平面

超平面

(hyperplane)

a ∈ R ⁿ

b ∈ R

a ^T x = b

x ∈ R ⁿ

{ x ∈ R ⁿ | a ^T x = b }

のことだ。2次元空間の場合、この集合は法線ベクトル

a

3

a

0

a ^T (x − x 0 ) = b − b = 0

となるから、ベクトル

a

2

x − x 0

a

x ₀

x a ^T x = b

図

1.5:

例

2

a

b

a =



  1 1 1



  , b = 1

に関する超平面は

x ₁ + x ₂ + x ₃ = 1 ⇒ x ₃ = 1 − (x ₁ + x ₂ )

であり、図

1.6

a

後で法線ベクトルと超平面の交点を求める場面が出てくるので、ここで計 算法を述べておく。法線

a

β > 0

x 0 = βa

b = a ^T (βa) = α ∥ a ∥ ² ⇒ α = b

∥ a ∥ ²

x ₀ = ^b

∥ a ∥

a

1.2.

11

0

a

x 1

x ₂ x ₃

図

1.6:

一つの超平面は、空間を二つの半空間に分ける。ここでいう

(閉)

(half space)

{ x | a ^T x ≤ b }

{ x | a ^T x ≥ b }

(図 1.7)。

これはつまり、線形不等式の解集合だ。半空間は凸集合だが

(なぜかを考え

1.7

a ^T x = 0

また点

x ₀

a ^T x ₀ = b

{ x | a ^T x = b }

{ x | a ^T x ≤ b }

{ x | a ^T (x − x ₀ ) ≤ 0 }

これは幾何学的に、超平面上の点

x 0

{ x | a ^T x ≤ b }

x

a

(図 1.8)。

よって、半空間

{ x ∈ R ⁿ | a ^T x ≤ b }

a

{ x ∈ R ⁿ | a ^T x ≥ b }

a

{ x | a ^T x = b }

楕円体

楕円体とは、集合

E = { x | (x − x c ) ^T P ^{− 1} (x − x c ) ≤ 1 } (1.7)

(図 1.9)。ただし、x c

P = P ^T

i

P

√

λ i

3

P

U

U P U ^T =



  λ ₁

λ 2

λ ₃



 

a

x 0

a ^T x ≥ b

a ^T x ≤ b

図

1.7:

a

x 0

x 2

x 1

図

1.8:

a ^T (x − x ₀ ) ≥ 0

x ₁ − x ₀

a

a ^T (x − x 0 ) ≤ 0

x 2 − x 0

a

1.2.

13

y = U x

y

(U x) ^T



 

1 λ

1 λ

1 λ



  (U x) = y ^T



 

1 λ

1 λ

1 λ



  y

= y ₁ ² λ 1

+ y ₂ ² λ 2

+ y ² ₃ λ 3

≤ 1

√

λ 1 , √ λ 2 , √

λ 3

3

λ 1 λ 2 λ 3 = det P

に比例することから推測できるように、n次元楕円体の体積は

vol( E ) = det P (1.8)

で与えられる。ただし、ここで楕円体の次元に依存する定係数を省いた。

x 1

x ₂

y 1

y 2

図

1.9: 2

y

多面体

多面体

(polyhedron)

P = { x | a ^T _i x ≤ b i , i = 1, . . . , m, c ^T _j x = d j , j = 1, . . . , p }

は、定義式から明らかなように多数の半空間と超平面の交わりだ

(図 1.10)。

アフィン集合、線分、半空間はすべて多面体だ。容易に理解できるように、多 面体が凸だ。(演習問題)

例えば、3次元空間の第

1

{ x ∈ R ³ | x i ≥ 0 ∀ i = 1, 2, 3 }

は多面体だ。これは三つの半空空間

x 1 ≥ 0、x 2 ≥ 0

x 3 ≥ 0

なお、この集合は円錐でもある。

さらに、有界の多面体はポリトープ

(polytope)

0 ≤ x 1 ≤ 1, 0 ≤ x 2 ≤ 1, 0 ≤ x 3 ≤ 1

a 1 a 2

a 3

a 4

a ₅

P

図

1.10:

P

a i

1.2.3

分離超平面

図

1.11

2

C, D

1

C, D

まず、簡単のため凸集合

C

D

(有界閉集合)

C ∩ D = ∅

∈ C, v ∈ D

2

∥ u − v ∥ 2

dist(C, D) = inf {∥ u − v ∥ | u ∈ C, v ∈ D } (1.9)

2

∩ D = ∅

c ∈ C, d ∈ D

∥ c − d ∥ = dist(C, D) > 0

1.2.

15

D d a

c C

x ₀

図

1.11:

を満たす。図

1.11

c

d

d − c

{ x | a ^T x = b }

a = d − c

b

c

d

x 0 = (c + d)/2

⁴

b = a ^T x 0 = 1

2 (d − c) ^T (c + d) = ∥ d ∥ ² ₂ − ∥ c ∥ ² ₂ 2

が得られる。この直線によって平面は二つに分かれることを以下に示す。a方 向側の開半平面は

a ^T x > b

a ^T x < b

D

a ^T x > b

u ∈ D

0 ≥ a ^T u − b = (d − c) ^T u − (d − c) ^T (d + c) 2

= (d − c) ^T (

u − 1 2 (d + c)

)

= (d − c) ^T (

u − d + 1 2 (d − c)

)

= (d − c) ^T (u − d) + 1

2 ∥ d − c ∥ ²

になったとする。∥

c − d ∥ > 0

(d − c) ^T (u − d) < 0

ところが、距離関数

⁵ ∥ d + t(u − d) − c ∥ ² ₂

t ∈ R

d

dt ∥ d + t(u − d) − c ∥ ² 2

t=0 = 2(u − d) ^T (d + t(u − d) − c)

t=0

= 2(d − c) ^T (u − d) < 0

4図

1.11

c + d

5この距離関数は、集合

D

2

u, d

C

c

を満たす。よって、十分に小さい

t (0 < t < 1)

∥ d + t(u − d) − c ∥ < ∥ d − c ∥

しかし、u, d

∈ D

D

d + t(u − d) = tu + (1 − t)d ∈ D

c

a ^T x < 0

以上で、直線

a ^T x = b

C, D

a ^T x = b

より高い次元の空間では交わらない凸集合を分離する直線が超平面に変わ り、これが分離超平面

(separating hyperplane)

ただし、

C

D

a ^T x = b

C ⊂ { x | a ^T x ≤ b } , D ⊂ { x | a ^T x ≥ b } (1.10)

分離超平面の使い方としては、元問題を互いに交わらない二つの集合に帰 着できるとき、これをさらに分離超平面の存在性へ変換できる。このように して、直接解くことの難しい問題を比較的解きやすい問題に変換することが できる。変換された新しい問題は双対問題

(dual problem)

例

3

Ax ≺ b, A ∈ R ^{m × n} , b ∈ R ^m (1.11)

C = { y = b − Ax | x ∈ R ⁿ } , D = { y ∈ R ^m | y ≻ 0 }

C

λ ∈ R ^m , µ ∈ R

(1) C

λ ^T y ≤ µ、(2) D

λ ^T y ≥ µ

⁶

これらをさらに簡単化していく。条件

(1)

x ∈ R ⁿ

λ ^T (b − Ax) ≤ µ ⇔ λ ^T Ax ≥ λ ^T b − µ

を満たすことを意味する。二番目の不等式左辺は

x

λ ^T A

λ ^T A = 0

λ ^T b ≤ µ

(2)

y ≻ 0(限りなく零に近づくことができる)

6法線ベクトルは零ベクトルであってはいけないため、λ

̸ = 0

1.2.

17

≤ 0

≻ 0

λ ≽ 0, λ ̸ = 0

λ ≽ 0, λ ̸ = 0, A ^T λ = 0, λ ^T b ≤ 0 (1.12)

λ

これで元問題を解けたわけではないが、解きやすくしてくれる可能性があ る。例えば、今の例題では代数方程式

A ^T λ = 0

1

λ ^T b ≤ 0

λ ≽ 0

^T λ = 0

λ = 0

すべての解は

c ≺ b

c

x = A ^{− 1} c

以下、Aが正則以外の場合について調べる。A

^T λ = 0

{ (I − (A ^T ) ^† A ^T )u | u ∈ R ^m }

= (I − (A ^T ) ^† A ^T )u ≽ 0

u

u = (I − A ^† A)p, p ≽ 0

λ ^T b ≤ 0

u ^T (I − AA ^† ) · b ≤ 0 ⇒ p ^T · (I − AA ^† ) ^T (I − AA ^† )b ≤ 0

となる。b

0 = (I − AA ^† ) ^T (I − AA ^† )b

p ≽ 0

0 ≽ 0

数値例

次の例題に示す結果は、LMIの実行可能性を調べるときに非常に役立つも のだ。

例

4

(1) LMI

F (x) = F 0 + x 1 F 1 + · · · + x m F m < 0, F i = F _i ^T , i = 0, 1, . . . , m (1.13)

x ∈ R ^m

(2)

Tr(F 0 W ) ≥ 0, Tr(F i W ) = 0, i = 0, 1, . . . , m (1.14)

W = W ^T ≥ 0

(2) ⇒ (1):

(2)

x ∈ R ^m

Tr(W ^1/2 F(x)W ^1/2 ) = Tr(F (x)W ) = Tr(F 0 W ) ≥ 0

が成立する。

W ̸ = 0

W ≥ 0

F (x) < 0

Tr(W ^1/2 F (x)W ^1/2 ) < 0

(2)

(1) ⇒ (2):

F( R ^m )

S ₋

R ^m )

S ₋

W

A, B

Tr(A ^T B)

Tr(F(x)W ) ≥ a, ∀ x ∈ R ^m ; Tr(HW ) ≤ a, ∀ H < 0

W = W ^T

a ∈ R

Tr(F ₀ W ) − a ≥ x ₁ Tr(F ₁ W )+ · · · +x _m Tr(F _m W ) = [x ₁ · · · x _m ]



 



Tr(F ₁ W ) .. . Tr(F m W )



 



であるので、右辺がすべての

x ∈ R ^m

Tr(F i W ) = 0, i = 0, 1, . . . , m

0 W ) ≥ a。そして、2

W ≥ 0、かつ、a = 0

(演習：行列版、Meinsma)

例

5

Ax = b

∈ ℑ A

x ≻ 0

分離超平面定理の逆定理について

一般に、分離超平面の存在は必ずしも分離された二つの集合が交わらない ことを保証できない。例えば、x

= { 0 }

C = D = { 0 }

両者が同じだ。しかし、集合

C, D

(converse separating hyperplane theorem)

この分離超平面の逆定理は、次のように説明できる。ここで、分離超平面 を

{ x | a ^T x = b }

C

a ^T x ≤ b

C

x 0

a ^T x = b

x 0

の近傍に

a ^T x ≥ b

x

a ^T x < b

D

a ^T x ≥ b

1.2.

19

図

1.12

C

x 0

a

C

a ^T x ≤ a ^T x 0

C

(supporting

hyperplane)

C

理由は極めて単純だ。点

x ₀

C − { 0 }

(点) { 0 }

x 0

C

凸でない集合にも支持超平面を持つ場合がある。図

1.12

a C

x ₀

図

1.12:

1.2.4

スカラ変数

x ∈ R

f(x) = ax + b

の形式の写像はアフィン関数

(affine function)

a, b ∈ R

(x, f(x))

b

= 0

x ∈ R ⁿ

f (x) = Ax + b, A ∈ R ^{m × n} , b ∈ R ^m (1.15)

(直積空間) R ^m × R ⁿ

平行移動写像

S + a = { x + a | x ∈ S } , S ⊂ R ⁿ

アフィン関数の重要な性質は、凸集合をまた凸集合に写像することだ。ア フィン写像

f (x) = Ax + b

S

f (S) = { f (x) | x ∈ S }

で表す。x, y

∈ S

θ ∈ [0, 1]

θx + (1 − θ)y ∈ S

f (x), f(y) ∈ f (S)

θf (x)+(1 − θ)f (y) = θ(Ax+b)+(1 − θ)(Ay+b) = A[θx+(1 − θ)y]+b ∈ f (S)

(S)

f ^{− 1} (S) = { x | f (x) = Ax + b ∈ f (S) }

例

6

P

x c

f (u) = P ^1/2 u + x _c

で球

{ u | ∥ u ∥ 2 ≤ 1 }

x = f (u)

= P ^{− 1/2} (x − x c )

1 ≥ u ^T u = [P ^{− 1/2} (x − x _c )] ^T [P ^{− 1/2} (x − x _c )] = (x − x _c ) ^T P ^{− 1} (x − x _c )

例

7 LMI

A(x) = x ₁ A ₁ + · · · + x _n A _n ≤ B, A _i = A ^T _i , B = B ^T

はアフィン関数

f (x) = B − A(x)

f (x) ≥ 0???

1.2.5

凸集合

domf

f : R ⁿ 7→ R

x, y ∈ domf

θ ∈ [0, 1]

f (θx + (1 − θ)y) ≤ θf(x) + (1 − θ)f (y) (1.16)

(convex function)

これは

(x, f(x))

(y, f (y))

(つまり、弦)

f

(図 1.13)。上式の不等号が図の線分の両端点を除いて厳密な

1.2.

21

(strictly convex function)

一方、−

f

(concave function)

凹関数

f

x, y ∈ domf

θ ∈ [0, 1]

f (θx + (1 − θ)y) ≥ θf (x) + (1 − θ)f (y) (1.17)

(x, f(x))

(y, f (y))

図

1.13:

凸関数の

1

f (x)

f (x)

x, y ∈ domf

f (y) ≥ f(x) + ∇ f (x) ^T (y − x) (1.18)

(図 1.14

x

f

Taylor

1

f

Taylor

1

f

f

以下、

(1.18)

1

f

0 < t < 1

f (ty + (1 − t)x) ≤ tf (y) + (1 − t)f (x)

t

f (y) ≥ f (x + t(y − x)) − (1 − t)f (x)

t = f (x) + f (x + t(y − x)) − f (x) t

t → 0

(1.18)

相異なる

2

x ̸ = y、結合係数 θ ∈ [0, 1]

= θx + (1 − θ)y

対

(z, x)

(z, y)

(1.18)

f (x) ≥ f (z) + f ^′ (z)(x − z), f(y) ≥ f (z) + f ^′ (z)(y − z)

を得る。最初の不等式に

θ、2

1 − θ

θf (x) + (1 − θ)f (y) ≥ f (z) + f ^′ (z)[θ(x − z) + (1 − θ)(y − z)] = f (z)

(x, f(x))

f (x) + ∇ f (x) ^T (y − x)

図

1.14:

1

次に、多次元変数の場合を示す。証明は

1

: R ⁿ 7→ R

x, y ∈ domf

t ∈ [0, 1]

に関する関数

g(t) = f (ty +(1 − t)x)

g ^′ (t) = ∇ f (ty+(1 − t)x) ^T (y − x)

f

g

⁷

(1.18)

g(t)

1

g(1) ≥ g(0)+g ^′ (0)(1 − 0)

(1.18)

x, y ∈ domf

t 1 , t 2 ∈ [0, 1]

t 1 y + (1 − t 1 )x, t 2 y + (1 − t 2 )x ∈ domf

f (t 2 y + (1 − t 2 )x) ≥ f (t 1 y + (1 − t 1 )x) + ∇ f (t 1 y + (1 − t 1 )x) ^T

× [(t 2 y + (1 − t 2 )x) − (t 1 y + (1 − t 1 )x)]

= f (t ₁ y + (1 − t ₁ )x) + ∇ f (t ₁ y + (1 − t ₁ )x) ^T (y − x)(t ₂ − t ₁ )

⇒ g(t ₂ ) ≥ g(t ₁ ) + g ^′ (t ₁ )(t ₂ − t ₁ )

厳密な凸条件は同様に得られる。すなわち、x, y

∈ domf

x ̸ = y

f (y) > f (x) + ∇ f(x) ^T (y − x) (1.19)

7この変換は図

1.15

≤ tg(1) + (1 − t)g(0)

f(ty + (1 − t)x) ≤

tf (y) + (1 − t)f(x)

x ̸ = y

1.2.

23

(x, f (x))

(y, f(y)) g(t)

t

0 1

図

1.15:

1

2

凸性を保証する

2

2

2

(Hessian)

∇ ² f

x ∈ domf

Hessian

∇ ² f (x) ≥ 0 (1.20)

を満たすことだ。その証明は読者に任せる

(演習問題)。

例

8 R ⁿ

2

V (x) = x ^T P x + q ^T x + r

の凸条件は、∇

² V (x) = 2P

P ≥ 0

P

V (x)

0

V (x) ≤ c

x

例

9

∈ [0, 1]

∥ ty + (1 − t)x ∥ ≤ ∥ ty ∥ + ∥ (1 − t)x ∥ = t ∥ y ∥ + (1 − t) ∥ x ∥

f (x) = log x (x > 0)

f ^′ (x) = 1

x , f ^′′ (x) = − 1 x ² < 0

例

10

f (X ) = log det X, X > 0 (1.21)