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Traffic Demand (Gb/s) ADSL ISDN ADSL 8M B ( ) ADSL 12M ( ) 0 3 Future HIKARI (Photonic)

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全文

(1)

1

全光ネットワークと

GMPLS標準化への

日本の取り組み

2004.3.3

NTT未来ねっと研究所

Naoaki Yamanaka

Network Innovation Labs.

情報ネットワークシステム合同研究ワークショップ

情報ネットワークシステム合同研究ワークショップ

Outline

„

Introduction

„

将来のHIKARI networkの狙い

‰

Universal Control

‰

Scalable Service

‰

Universal Cost-effective Backbone

„

HIKARI-routerのアーキテクチャ

„

GMPLSの標準化への取り組み

‰

Photonic Internet Lab. (PIL)

‰

GMPLSの相互接続実権とデファクトコード

„

Conclusion

(2)

3

Network Innovation Labs.

Traffic Demand

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

1998

1999

2000

2001

2002

2003

(Gb/s)

フレッツISDN

サービス

フレッツADSL

サービス

Bフレッツ

サービス

ADSL 8M

サービス

ADSL 12M

サービス

(年)

トラヒック量

(万ユーザ)

0

500

1000

ブロードバンド

普及

HIKARI

backbone

service

GbE

10GbE

ATM

SONET/SDH

Analogue TV

VPN

CDN

Distributed IX/IDC

Adaptive transparent

cut-through

GMPLS

[B] Scalable service

[C] Universal network (Low cost)

[A] Universal control

Scalable service

Universal Network

Universal control

OVPN

Active mirroring service

Virtual NW

Wavelength conversion

GMPLS

GSMP

Ultra-scalable network

λ-network

2002 2003 2004

year

waveband SW

Bitrate restriction

free network

...

Future HIKARI (Photonic) Network

(3)

5

Network Innovation Labs.

[A] Universal control

Integrated node

GMPLS-based

universal control

IP

ATM

SDM

WDM

[B] Scalable service (1)

Provider NW

STM

GbE

UNI

UNI

UNI

Control plane

Transport plane

VPN ID#1

VPN ID#2

VPN ID#2

VPN ID#1

VPN ID#1

User A

-NW

User A

-NW

User B

-NW

User B

-NW

Scalability for interface

Ether

Analog

Transparent

(ex) OVPN service with L1 scalability

Any interface

STM

ATM

User A

-NW

・ VPNユーザAがSDH装置をGbEに買い換える

(4)

7

Network Innovation Labs.

[B] Scalable service (2)

従来

従来

フレキシブルインタフェースサービス

フレキシブルインタフェースサービス

1hr

1hr

異なるサービス

異なるネットワーク

NTTへの申し込み?

サービス区域でない?

VPN内では相互の

装置と置き換えるだけ

NTT’s

ATM専用線

NTT’s

メトロイーサー

サービス

Universal

Network

ATMインタフェース

ATM/SDH

GbEインタフェース

1 month

Transparentのメリット

1

2

大幅な価格低減

Bit-rate restriction free

(5)

9

Network Innovation Labs.

CE

UNI

CE

UNI

[B] Scalable service --- OVPN, first

implementation

CE

PE

OUNI

Optical

L1

OXC

UNI-C

UNI-N

Quasi-transparent network for multi-interface

Universal frame for capsulling multi-protocol

STM

Ether

Optical

SW

Universal frame

L1 converter

Quasi-Transparent

network

Transport

plane

Control

plane

ATM

Universal frame

ATM

(注) 全光2R/3Rについては、後で述べる。

[C] Universal network

Low cost

Multi-layer traffic engineering

-> High-efficient resource utilization

Adaptive transparent with minimum number of

wavelength conversion

(6)

11

Network Innovation Labs.

Multi-layer backbone network design

Traffic matrix

OLSP

Decrease traffic

Increase traffic

Trade-off between Node Cost and Link Cost

(a) Link Cost > Node Cost

(b) Node Cost > Link Cost

Fiber Link

IP Router

Wavelength router

OLSP

IP Router

IP Router

IP Router

(7)

13

Network Innovation Labs.

Optical path topology design

Traffic demand between S-D pairs,

T [Mbit/s]

0

500

1000

1500

2000

2500

0

2

4

6

8

10

12 α/β= 10

0

500

1000

1500

2000

2500

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

Traffic demand between S-D pairs,

T [Mbit/s]

No

rmalized

n

e

tw

o

rk co

st

Fixed topology

Changing topology

Network cost

reduction

α/β= 10

(1) Optical photonic lagical topology

(2) Cost reduction effect

Av

era

g

e

node

de

gre

e

D

Optical transparent path

L3

Forwarding

LT

LT

(a) L3 forwarding

(b) λ-relay

(c) Optical

transparent path

Transmission segment

Ingress edge

Egress edge

λ1

(8)

15

Network Innovation Labs.

Adaptive Routing Wavelength Assign (1)

„

ARWA: Adaptive routing wavelength assign.

GMPLS link state

A

B

C

OPSF extension

Advertisement

OSPF extension

Type

length

NW

NUW

NW: Number of wavelengths

NUW: Number of unused

wavelengths

WC: Wavelength Converter

Signaling

Route A-B-C

RSVP

RSVP

Type

length

1100101100111000

RSVP-TE

extension

Type

length

10000011000000

If no unused wavelengths match

then use wavelength conversion

1: Unused wavelength

0: Used wavelength

Unused wavelengths for both link A and B

RSVP

wc

WC

NUW

NW

0.2

0.9

0.8

0.9

Phase #1

Routing phase = Advertisement of wavelength resources

RSVP-TE extension

0.2

Adaptive Routing Wavelength Assign (2)

A

B

C

OPSF extension

Advertisement

OSPF extension

Type

length

NW

NUW

NW: Number of wavelengths

NUW: Number of unused

wavelengths

WC: Wavelength Converter

Signaling

Route A-B-C

RSVP

RSVP

Type

length

1100101100111000

RSVP-TE

extension

Type

length

10000011000000

If no unused wavelengths match

then use wavelength conversion

1: Unused wavelength

0: Used wavelength

Unused wavelengths for both link A and B

RSVP

wc

WC

0.2

0.9

0.8

0.9

Phase #2

Link state calculation

OPSF extension

RSVP-TE extension

NUW

NW

GMPLS link state

0.2

(9)

17

Network Innovation Labs.

Adaptive Routing Wavelength Assign (3)

GMPLS link state

A

B

C

OPSF extension

Advertisement

OSPF extension

Type

length

NW

NUW

NW: Number of wavelengths

NUW: Number of unused

wavelengths

WC: Wavelength Converter

Signaling

RSVP-TE extension

Route A-B-C

RSVP

RSVP

Type

length

1100101100111000

RSVP-TE

extension

Type

length

10000011000000

If no unused wavelengths match

then use wavelength conversion

1: Unused wavelength

0: Used wavelength

Unused wavelengths for both link A and B

RSVP

wc

WC

NUW

NW

Phase #3

Signaling phase = Select best wavelength relay

-> least number of wavelength converter

0.2

0.9

0.8

0.9

0.2

Adaptive transparent path

0

20

40

60

80

100

120

0%

Through traffic using OLSP

Network cost reduction %

(Photonic GMP

LS/Electrical

MPLS)

Electrical MPLS network

Adaptive wavelength conversion

Cut-through

20%

40%

60%

80% 100%

70 – 80 %

cost

reduction

red plane

blue plane

green plane

WCC

ij

Link cost

Best path

Wavelength

conversion

(10)

19

Network Innovation Labs.

L3

Forwarding

O/E Header

control

Basic node architecture

L3

Forwarding

Tunable Laser

Optical switch

Photonic node

O/E Header

control

O/E Header

control

Outline

„

Introduction

„

将来のHIKARI networkの狙い

‰

Universal Control

‰

Scalable Service

‰

Universal Cost-effective Backbone

„

HIKARI-routerのアーキテクチャ

„

GMPLSの標準化への取り組み

‰

Photonic Internet Lab. (PIL)

‰

GMPLSの相互接続実権とデファクトコード

„

Conclusion

(11)

21

Network Innovation Labs.

HIKARI router (1)

LRU=WDM+Optical SW

+L1-Trunk

LRU : Lambda Routing Unit

FE : Forwarding Engine

SW : Switch

l-conv : Lambda converter

NE : Network Element

Software structure

Optical

Path

IP/MPLS router#1

L1-Trunk

L2/L3-Trunk

W

D

M

DMUX

Monitor

λ-conv.

3R

Photonic GMPLS router manager

Opt

ic

a

l

SW

Monitor

Multicast

S

w

FE

FE

Router#2

L2-SW #1

Type-A

Type-B

Type-C

Type-C (Layer 3 Packet forwarding)

Type-B (Optical 3R or wavelength conversion path)

Type-A (Optical transparent path, Bit-rate restriction free)

Hardware structure

GMPLS controller

IP traffic monitor

with low-pass filter

Multi-layer

topology design

algorithm

Hardware manager

Photonic

link state

OSPF

extension

RSVP-TE

extension

IP link

state

光ルータ

波長変換用

光スイッチ

波長変換用

光スイッチ

共有化

光源

共有化

光源

波長変換用

光スイッチ

波長変換用

光スイッチ

波長変換用

光スイッチ

波長変換用

光スイッチ

波長変換用

光スイッチ

波長変換用

光スイッチ

IP/MPLS

ルータ

接続ポート

IP/MPLS

ルータ

接続ポート

光アンプ

分波器

波長変換部

光アンプ

分波器

波長変換部

光アンプ

光アンプ

光スイッチ

光スイッチ

光スイッチ

光スイッチ

光スイッチ

光スイッチ

光スイッチ

光スイッチ

(12)

23

Network Innovation Labs.

Outline

„

Introduction

„

将来のHIKARI networkの狙い

‰

Universal Control

‰

Scalable Service

‰

Universal Cost-effective Backbone

„

HIKARI-routerのアーキテクチャ

„

GMPLSの標準化への取り組み

‰

Photonic Internet Lab. (PIL)

‰

GMPLSの相互接続実権とデファクトコード

„

Conclusion

(13)

25

Network Innovation Labs.

インターネット標準化の課題

„

IETFでの標準化はデファクトベース

‰

複数のRunning code

‰

相互接続性

→実装のない技術のみの提案や単独会社の提案はIETF標準

への影響が弱い

„

標準技術として提案すると同時にRunnig Codeを実装が必要。

→技術開発選択は重い。

→スピードと実装する技術の取捨選択

相互接続検証

提案技術仕様

標準化

標準

RFC, IA

提案寄書

B社

B社の

実装

Code

A社

A社の

実装

Code

GMPLSの標準化の現状

„

IETFでのGMPLS標準化は、

OEO型光クロスコネクトや

SONETのパス設定のシグナ

リングが中心となっており、全

光型のLambda Switchのパ

ス設定(AON)や、IP-SONET-Lambdaのマルチレイヤ連係

動作などはこれからの課題で

ある。

„

全光網(AON)やマルチレイ

ヤ連携動作の検討がはじまり

つつある状況。

次世代フォトニックネットワー

クの制御技術を先行的に開発

し世界標準を目指す

IPとの

連係動作

IP

SONET

Lambda switch

IETFの現状

OEO型

マーケットの

要求有

OOO型全光網(AON)

PILのターゲット

将来技術

(14)

27

Network Innovation Labs.

PILフォトニックインターネットラボ

光通信技術の研究開発の黎明期には、日本の産業界・学会から多くの技

術が生まれ、世界の研究をリードしてきた。近年、インターネットの利用はめ

ざましく進み、高速大容量の光通信技術の重要性が高まる中、日本発の技

術を標準化団体に積極的に提案するなど、世界へ向けたさらなる貢献が必

要である。

(中略)

次世代フォトニックネットワークによって、新しいインターネットの時代を切り

拓くことを目標とし、世界標準を目指したフォトニックネットワーク制御技術の

研究開発を推進することを目的として、フォトニックインターネットラボ(PIL)を

創設する。

PILは、このようなグローバルなデファクト標準化の活動に対応すべく、研

究開発を進める上で相補的なGive & Takeの関係を築くための場を提供し、

新しいネットワーク技術を開拓し、実際に利用できるプロトコルの研究開発を

推進する。

設立の概要(要略)

フォトニックインターネットラボ

„

各研究機関が独自に開発した先行技術を持ち寄り、タイトな技術検証と仕様の明確

化を行う。確立した技術はIETF等の標準の獲得を推進する。

‰

先行技術の実証(Leading-edge code)

‰

標準仕様の作成

‰

IETFへの提案

A社

A社

B社

B社

フォトニックインターネットラボ

先行技術の提案

C社

C社

標準の実装

+ 先行技術(Leading-edge code)

標準の実装

ITU-T

ITU-T

標準技術とし

ての認定

標準仕様の策定

B社の

実装

Code

標準

RFC, IA

共同提案

標準化寄書

先行技術(Leading-edge)の技術実証

OIF

OIF

IETF

IETF

A社の

実装

Code

C社の

実装

Code

A

社の

提案寄書

B

社の

提案寄書

C

社の

提案寄書

A

社の提案

実装・検証の

ノウハウを蓄積

タイトな技術検証

結果はオープンに

ノウハウはクローズド

(15)

29

Network Innovation Labs.

PILの体制と運営

„

2002年9月よりNTT、沖電気、富士通、古河電工、三菱電機、NECの6社で発足、活動を開始。

2003年3月より、日立製作所加入により現在7社体制。

„

メンバ間の相補的Give & Takeの関係を築く場として、2つのWGを構成。

„

H14年度の総務省

(情報通信政策局通信規格課)

「戦略的情報通信研究開発推進制度」の「国際技術

獲得型研究開発」プログラムの委託研究に採用された

(H14年度採用は合計3件)

‰

NTT提案の研究テーマ名:「全光網における網制御プロトコル標準化に関する研究」

フォトニックインターネットラボ

各社で開発を進めているLeading Edgeとなるプロトコルコードの技術検証を行う場

標準化寄書や提案技術を掘り下げて議論する技術討論の場

PILメンバ

標準化戦略

WG

技術検証

WG

沖電気

古河電工

三菱電機

NEC 日立製作所

PILとしての戦略立案、ポリシーメーキング

運営委員会

富士通

NTT

現在、メンバ企業の研究員39名が参加登録

WGでの活動内容

標準化戦略WG

„

目的と活動概要

‰メンバ各社の標準化寄書を発表し、議論する場。

‰メンバ各社の技術を発表し、議論する場(研究会的側面)。

„

活動成果

‰ITU-T、IETF、OIF等の標準化団体の提案の推進

„IETF会合にてPILで議論し、加筆・修正した10件の標準化寄書を提出

(共同標準化寄書1件)

技術検証WG

„

目的と概要

‰日本発のコア技術の獲得と各社で開発を進めているLeading Edgeとなる

プロトコルコードの技術検証を行う場

„

活動成果

‰

GMPLSマルチレイヤシグナリング(RSVP-TE拡張)の技術検証を実施。

啓蒙・広報活動

„

PILワークショップを開催(2002年2月19日)。

‰メンバ企業の関連研究者への広報と対話

„

ホームページを開設

(16)

31

Network Innovation Labs.

提案した標準化寄書

[1] draft-shiomoto-ccamp-multiarea-te-01.txt

- GMPLSネットワークの階層化パスを用いたマルチエリア・マルチレイヤ トラヒックエンジニアリング(Multi-area multi-layer traffic engineering using hierarchical LSPs in GMPLS networks)

[2] draft-imajuku-ml-routing-02.txt

- マルチレイヤスイッチケーパブルLSRを用いたマルチレイヤルーティン グ(Multilayer routing using multilayer switch capable LSRs) [3] draft-matsuura-mpls-reverse-lsp-00.txt

- GMPLSでの逆方向シグナリング(Signaling reverse-directional LSP in generalized MPLS)

[4] draft-vigoureux-ccamp-gmpls-architecture-hpn-00.txt - マルチリージョンネットワークのGMPLSアーキテクチャ(Generalized MPLS architecture for multi-region networks)

[5] draft-oki-ipo-optlink-req-00.txt

- トラヒックエンジニアリングのための光リンクステートの要求条件 (Requirements of optical link-state information for traffic engineering) [6] draft-oki-ccamp-upstream-labelset-00.txt

- RSVP-TE拡張におけるアップストリームラベルセット(Upstream label set support in RSVT-TE extensions)

[7] draft-matsuura-gmpls-rsvp-requirements-01.txt

- GMPLSシグナリングでのRESV-TEへの要求条件(Requirements for using RSVP-TE in GMPLS signaling)

[8] draft-suemura-gmpls-restoration-signaling-00.txt

- 複数のプロテクション、リストレーションをサポートするためのRSVP-TE 拡張(Extensions to RSVP-TE for Supporting Multiple Protection and Restoration Types)

[9] draft-czezowski-optical-recovery-reqs-00.txt

- リストレーション要求条件(Optical Network Failure Recovery Requirements)

[10] draft-seno-path-quality-verification-00.txt

- 光パスの正常性確認プロトコル(Path Quality Verification over an All-Optical Network)

[11] draft-vigoureux-shiomoto-ccamp-gmpls-mrn-00.txt - マルチリージョン(マルチレイヤ)フレームワーク(Generalized MPLS Architecture for Multi-Region Networks) [12] draft-matsuura-reverse-lsp-01.txt

- GMPLSでの逆方向シグナリング(Signaling reverse-directional LSP in generalized MPLS)

[13] draft-ietf-gsmp-reqs-04.txt

- 光対応のためのGSMPへの要求条件(Requirements for adding optical support to GSMPv3)

[14] draft-czezowski-optical-recovery-reqs-01.txt

- リストレーション要求条件(Optical Network Failure Recovery Requirements)

[15] draft-rabbat-fault-notification-protocol-02.txt - Fault Notification Protocol for GMPLS-Based Recovery [16] draft-soumiya-lmp-fault-notification-ext-00.txt

- Extensions to LMP for Flooding-based Fault Notification [17] draft-shimano-imajuku-gmpls-restoration-00.txt

- RSVP extensions for gmpls restoration signaling [18] draft-matsuura-reverse-lsp-02.txt

- GMPLSでの逆方向シグナリング(Signaling reverse-directional LSP in generalized MPLS)

[19] draft-ietf-ccamp-gmpls-recovery-terminology-01 - Recovery (Protection and Restoration) Terminology for GMPLS

[20] draft-papadimitriou-ccamp-gmpls-recovery-analysis -03 - Analysis of Generalized MPLS-based Recovery Mechanisms (including Protection and Restoration)

[21] draft-bala-gmpls-recovery-functional-01

- Generalized MPLS Recovery Functional Specification

マルチエリア、マルチルート検証実験

検証デモ風景

古河電工

EtherReal

モニタ

操作コンソール

操作コン

ソール

操作コン

ソール

制御メッセージを

キャプチャ・表示

FSC

LSC

NTT

NEC

富士通

三菱電機

三菱電機

三菱電機

NT

T

古河電工

NEC

NEC

操作コン

ソール

LSC

PSC

TDM

古河電工

(17)

33

Network Innovation Labs.

報道発表

日刊工業新聞

2003年5月21日

日本工業新聞

2003年5月21日

日経産業新聞

2003年5月21日

PILメンバの情報共有

„

ホームページを開設し、メンバ間の情報共有と成果の情報発信を開始。

„

情報共有と議論のため、メーリングリストを作成。2.5ヶ月で400通近い

トラヒック

PIL

ホームページ

http://www.pilab.org/

(18)

35

Network Innovation Labs.

MPLS2003 PIL – MPLS / GMPLS demo

LSC

TDM

TDM

LSC

PSC

PSC

MPLS

MPLS

Oct. 27-29, 2003 @ Washington DC

GMPLS domain

GMPLS domain

パケットのパス (GMPLS) TDMのパス TDMのパス 波長のパス Node 1 パケットのパス (MPLS) Node 7 Node 8

MPLS domain

MPLS domain

Node 2 Node 0 波長のパス Node 4 Node 5 Node 6 Node 3

報道発表

„

「次世代フォトニックネットワークを実現するGMPLSと高度な IPサービスを提供する

MPLSの相互接続に世界で初めて成功」

‰

日本電信電話株式会社、日本電気株式会社、古河電気工業株式会社、三菱電機株式会社

このたび、日本電信電話株式会社(以下、NTT、本社:東京都千代田区、代表取締

役社長:和田紀夫)、NEC(本社:東京都港区、社長:金杉明信)、古河電気工業株式

会社(以下、古河電工、本社:東京都千代田区、社長:石原廣司)、三菱電機株式会社

(以下、三菱電機、本社:東京都千代田区、執行役社長:野間口有)の4社は、高度な

IPサービス提供用ネットワーク技術として展開が進められているMPLS(MultiProtocol

Label Switching)技術と、次世代の経済的で高速大容量なフォトニックネットワークを

構築するための技術として注目されているGMPLS(Generalized MultiProtocol

Label Switching)技術をシームレスに連携させることに世界で初めて成功しました。

本技術により、MPLSを用いた高度なIP網が導入された既存のネットワークに、その構

成を変更することなく、次世代の高速大容量かつ柔軟なネットワークのスムーズな導

入が可能となります。また、既存のIPサービスに加えて、新たな高速大容量のネット

ワークサービスの提供が可能となります。

(19)

37

Network Innovation Labs.

新聞記事(

2003.10.27)

日本工業新聞

日経産業新聞

日刊工業新聞

BUSINESS WIRE, October 27, 2003

(10/27/2003)

MPLS 2003 International Conference and Exhibits Opens in Washington, DC

BUSINESS WIRE

October 27, 2003; McLean, Virginia

Isocore today announced the opening of the MPLS 2003 International Conference which will

provide a forum for leading MPLS vendors, test equipment manufacturers, and premier ISPs

to showcase next generation MPLS products and services.

(中略)

Also participating at the exhibits is NTT Network Systems Laboratories demonstrating

world's first Multicast MPLS protocol jointly developed with Motorola. The demo will

shows various data distributing scenarios over traffic engineered multipoint LSPs.

Additionally, NTT, NEC Corporation, Furukawa Electric Co., Ltd., and Mitsubishi

Electric Corporation will highlight PIL's activities.

(20)

39

Network Innovation Labs.

BUSINESS WIRE, October 29, 2003

(10/29/2003)

10/29/2003 Sycamore Demonstrates Multi-vendor IP/Optical Interoperability Featuring

MPLS Services over an Intelligent Optical Core Sycamore's SN 16000

Intelligent Optical Switch successfully demonstrates standards-based GMPLS signaling

and routing

Chelmsford, Mass. - Sycamore Networks, Inc. (NASDAQ: SCMR), a leader in intelligent

optical networking, today announced that the company successfully demonstrated Generalized

Multi-Protocol Label Switching (GMPLS) multi-vendor interoperability in Isocore's IP/Optical

Integration demonstration held in conjunction with the MPLS 2003 International Conference

-- at the Isocore Internetworking Lab in McLean, Va. on Wednesday, October 29.

(中略)

"By unifying network operations between the IP and optical layers, GMPLS provides the

means for service providers to reduce operations costs and improve network

efficiencies," said Naoaki Yamanaka, Ph. D., of NTT Network Innovation Laboratories.

"Validating the inter-working of IP/MPLS and GMPLS is an important step in the

evolution toward more flexible next-generation optical networks." ……

今後の

PIL活動の課題と目標

z

実網を用いたフィールド検証実験

‰

より実用・商用レベルへのブラッシュアップを図る第一歩としてNetworkレベ

ルでの動作検証、信頼性を図る。NWの動作検証、信頼性・可用性を実網で

検証する。

z

海外主要ベンダとの協調関係構築

デファクト製品を持っている海外主要ベンダとの協調関係を構築し、 Global

な活動へ展開する。

実網を用いたフィール

ド検証実験

協調関係

H14年度の

PILの活動

ラボテストフェーズ

フィールドテストフェーズ

サービステスト

フェーズ

施策1

装置レベルでの動作

確認と信頼性向上

以下の拠点間でのフィールド実験を検討中

・NTT武蔵野−横須賀

・CRLけいはんな−小金井

・北米ベンダ−NTT武蔵野

NWレベルの動作確認と

信頼性向上

施策2

海外企業

国内企業7社

海外主要ベンダとの協調関係構築

以下の方策を検討中

・海外主要ベンダとの個別の検証実験

・海外相互接続団体(ISOCORE)へのNTT単独/PILの参加

検証プロトコル、

機能の拡張

(21)

41

Network Innovation Labs.

結論

„

IP+Opticalにおいて、日本は世界の中心として、

リーダとして活躍しようとしている。

„

GMPLSにおいても、大きなvisibilityがある。

„

新しいコンソーシアム型の団体とRunning Cord

を前提としたデファクト作りのために、PILの活動

を行っている。

参照

関連したドキュメント

As an application, in Section 5 we will use the former mirror coupling to give a unifying proof of Chavel’s conjecture on the domain monotonicity of the Neumann heat kernel for

In particular, if (S, p) is a normal singularity of surface whose boundary is a rational homology sphere and if F : (S, p) → (C, 0) is any analytic germ, then the Nielsen graph of

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