第3回レポート問題解答例
作成 平成27年6月25日 山田 博仁
1. 与えられたマクスウェル方程式の一つである
t B
~
E~ の両辺の rotation をとると、
t B
~
~
E となる。この式の右辺に
t E B c
~
~ 1
2 を代入すると、
2 2 2
1 ~
~
~
t E B c
t
E となる。左辺にベクトル公式A~
A~ 2A~を適用すると、左辺は、E~ E~ 2E~となり、マクスウェル方程式よりE~0であるから、結局左辺は2E~
となる。従って上式は 2
2 2 2
1 ~
~
t E E c
となり、まず 1 ~ 0 (1.1)
2 2 2
2
E
t
c が導かれる。
次に、与えられたマクスウェル方程式の一つである
t E B c
1 ~
~
2 の両辺の rotation をとると、
E~ 1
~
2
B c t となる。この式の右辺に
t B
~
E~ を代入すると、
2 2 2
1 ~
~
t B B c
となる。左辺にベクトル公式A~
A~ 2A~を適用すると、左辺は、 B B
B~~ 2~
となり、マクスウェル方程式より ~ 0
B であるから、結局左辺は 2B~
となる。
従って上式は 2
2 2 2
1 ~
~
t B B c
となり、 1 ~ 0 (1.2)
2 2 2
2
B
t
c も導かれる。
2. 電磁場の式 ~( , )exp (2.1) )
, , ,
~(
t kz i y x E t z y x
E を式(1.1) 1 ~ 0
2 2 2
2
E
t
c に代入すると、
0 ) , , ,
~( )
, , ,
~( 1
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2 2
E x y z t
k c y t x
z y x t E c z y x
となり、expikztがどん
な値であっても上式が成り立つためには ~( , ) 0
2 2 2 2 2 2
2
E x y
k c y x
でなければならない。従って、
2 2
2
2 k
c
とおくと、E~
(x, y) のz 成分Ezが式(1)を満たすことが分かる。
また、 ~( , )exp (2.2) )
, , ,
~(
t kz i y x B t z y x
B を 1 ~ 0
2 2 2
2
B
t
c に代入すると、
0 ) , , ,
~( )
, , ,
~( 1
2 2 2 2 2 2 2 2
2 2 2 2 2 2 2
2
B x y z t
k c y t x
z y x t B c z y x
となり、同様に 2 2
2
2 k
c
とおくと、B~
(x, y) のz 成分Bzが式(2)を満たすことも分かる。
3. Ez(x,y)が、変数x のみの関数X(x) とy のみの関数Y(y) とに変数分離でき、
) 1 . 3 ( )
( ) ( ) ,
(x y X x Y y
Ez のように書けるとする。式(3.1)を式(1) 2 2 ( , ) 0
2 2 2
E x y
y
x z に代
入すると、 ( ) ( ) ( ) ( ) 0 (3.2) )
) (
( 2
2 2 2
2
X x X x Y y
y y y Y
x Y x
X となり、さらに、
) 3 . 3 ( ) 0
( ) ( 1 ) ( ) (
1 2
2 2 2
2
y y Y y Y x
x X x
X と書ける。どのような(x, y)の組においてもこの微分方
程式が満足されるためには、左辺のx の関数とy の関数が各々定数であり、かつそれらの定数が負でなけれ ばならない。従ってその定数をkx2、ky2と置いて、式を二つに分離すると、
) 4 . 3 ( )
) (
( 2
2 2
x X x k
x X
x
と、 ( ) 2 ( ) (3.5)
2 2
y Y y k
y Y
y
が得られる。ただし、
) 6 . 3
2 (
2
2 y
x k
k である。式(3.4)および(3.5)は、調和振動に関する微分方程式で、その一般解は、
A, B, C, Dを任意定数とすると、X(x) Acos(kxx)Bsin(kxx) (3.7)、 )
8 . 3 ( )
sin(
) cos(
)
(y C k y D k y
Y y y と書ける。従って Ez(x,y)の一般解は、
cos( ) sin( ) cos( ) sin( ) (3.9)
) ( ) ( ) ,
(x y X x Y y A k x B k x C k y D k y
Ez x x y y となる。導波管内壁
(x = 0, a およびy = 0, b) での境界条件から、x = 0, a およびy = 0, bにおいてEz = 0でなければならないし、Ez
の最大値がEとのことであるから、結局特解として、 ( , ) sin sin y (3.10) b
x n a E m y x
Ez
が得ら
れる。ただし、m, nは整数(mn ≠ 0)である。また、
b k n a
kx m y
, より、式(3.6)から、
2 2
2
b n a
m
と書ける。
4. 式
t B
~
E~ および
t E B c
~
1
~
2 を各ベクトル成分に分けて書くと、
) 1 . 4
( t B z
E y
Ez y x
、 (4.2)
t B x
E z
Ex z y
、 (4.3)
t B y
E x
Ey x z
、
) 4 . 4 1 (
2
t E c z B y
Bz y x
、 1 (4.5)
2
t E c x B z
Bx z y
、 1 (4.6)
2
t E c y B x
By x z
となり、式(4.1)は更に電磁場の式(2.1)、(2.2)を用いると z ikEy i Bx (4.7) y
E
となり、式(4.2)は電
磁場の式(2.1)、(2.2)を用いると x z i By (4.8) x
ikE E
となり、式(4.3)は
) 9 . 4
(
z
y x
B y i
E x
E
となる。また、式(4.4)は更に電磁場の式(2.1)、(2.2)を用いると
) 10 . 4
2 x (
y
z E
ic y ikB
B
となり、式(4.5)は x z 2 Ey (4.11) ic
x
ikB B
となり、式(4.6)は
) 12 . 4
2 z (
y x
c E y i
B x
B
となる。
従って、式(4.8)と(4.10)より
x kc E y c B c k
Ex 2 i 2 2 2 z 2 z
が得られ、さらに
2 2
2
2 k
c
の関係より、
) 13 . 4
2 (
x k E y B
Ex i z z
が得られる。
また、式(4.7)と(4.11)より
x c B y kc E c k
Ey 2 i 2 2 2 z 2 z
が得られ、さらに
2 2
2
2 k
c
の関係より、
) 14 . 4
2 (
x B y
k E
Ey i z z
が得られる。
また、式(4.11)と(4.7)より
y E x
kc B c k
Bx i z z
2 2 2
2 が得られ、さらに 2 2
2
2 k
c
の関係より、
) 15 . 4
2 (
2
y E c x k B
Bx i z z
が得られる。
さらに、式(4.10)と(4.8)より
x E y
kc B c k
By i z z
2 2 2
2 が得られ、さらに 2 2
2
2 k
c
の関係より、
) 16 . 4
2 (
2
x E c y k B
By i z z
が得られる。
式(4.13)～(4.16)に、Bz Bcosxcosyおよび y E x y b
x n a E m y x
Ez
sin sin sin
sin )
,
( を代入すれば、
k E B x y
i x k E y B
Ex i z z
2 2 cos sin
k E B x y i
x B y
k E
Ey i z z
2 2 sin cos
y x c E
B i k y
E c x k B
Bx i z z
2 2 2 2 sin cos
y x c E
B i k x
E c y k B
By i z z
2 2 2 2 cos sin
が求まる。
5. まず、(m,n)(0,0)の場合について考えると式(3.10)などより、Ez 0、Bz Bconst.より、式(4.13)～式 (4.16)から、Ex Ey Bx By 0となり、E B~Bz B
,
~ 0
の静磁場であり、これは電磁波ではない。
) 1 , 1 ( ), 1 , 0 ( ), 0 , 1 ( ) ,
(m n の場合はいずれも z方向に伝搬する電磁波となり、各々 TE10 モード、TE01 モー ド、TE11 モードである。その振動数は
2 2
2 2
2
2
b
n a
k m c
より、
2 2
2
2
b
n a
k m
f c
と与えられる。従って、振動数が最小となるのは a > bより (m,n)(1,0)、 即ちTE10 モードであり、その最小振動数はカットオフ条件(k = 0)となる時であるから、その値は、
a f c
2 で ある。
6. Bz 0の場合は TMモードであり、(m,n)(0,0),(1,0),(0,1)の場合は式(3.10)よりいずれもEz 0となり、
式(4.13)～式(4.16)から、Ex Ey Bx By 0となり、電磁界が存在しないこととなってしまう。従って、
) 1 , 1 ( ) ,
(m n の場合がTMモードでは最低次のモード(TM11 モード)となる。その振動数はTEモードの場合と 同じく
2 2
2
2
b
n a
k m
f c
と与えられる。従って、振動数が最小となるのは (m,n)(1,1)、即ち TM11 モードであり、その最小振動数はカットオフ条件(k = 0)となる時であるから、その値は、
2 2
1 1
2 a b
f c である。
