腰幅をもっ 2脚モデルの歩行
文
康
井
A7 一 忠 友武
手 洗
同県
御
Walking of a Bipedal Model Having a Waist Width
By
Tomokazu MATAKE， Yasufumi IMAI and Tadashi MITARAI
(Mechanical Engineering)
Abstract
A new bipedal walking model has been proposed and the walking motion of the model has been analyzed. The model has a waist width and hence provides more realistic information of the human gait than the old model does. The model consists of two masses located at a waist region and rigid links corresponding to the thighs， low legs， and feet， jointed by pins together with torsional springs. Difference from the old model is the following : Two hip joints are separated for a waist width and are connected to the femoral region of each leg with torsional springs. The old model has no waist width and hence that walking motion is restricted on one vertical plane. On this new model， however， the walking motion is allowed in two vertical planes. Therefore， the waist swings sinusoidally in a holizontal plane during walking.
In almost investigations of a human walking， it seems that attention is focused on the method of optimum control of the driving force or torque in order to attain a normal gait. In this investigation， on the other hand， driving force is only a waist swing which is not controlled. Only thing to do is to choose the appropriate spring constants so that the normal walking is possible.
1 . 緒 言
質量を支えた2脚モデルの歩行については前に報告1)
した.このモデルは藤関節と足関節に回転ばねをも っピン結合で，股関節はピン結合のみとなっている.
大腿リンク，下腿リンク，および足の質量はないもの とし，これらの歩行運動のみを取り出して調査した.
また，このモデルの歩行中の床反力による α線 図2)3)
は，ばね常数に適当な値を採用することにより，ヒト
の正常歩行に近いものが得られることがわかった.
しかし，このモデルは2脚ではあるが一平面内の運 動であって実情に合わないので，新2脚モデルとして は，腰幅をもち，その両端の股関節は回転ばねで大腿 部と結合する形状を考えた.このモデルは腰を揺動さ せながら歩行するが，この運動解析の結果をここに報 告する.
2脚モデルの歩行についてはいくつかの研究がある.
昭和55年6月16日受理 本機械工学科
Moreynisら ｝は平面内のモデルを考え，下肢を大腿 部，下腿部，足後部および足前部の4要素によるリン ク運動と考え，Lagrangeの運動方程式を用い，運動様 式を規定して数値解を得ている．加藤ら5）も同様なモ ロデルを用いてLagrangeの方程式を求め，オペレー ターの下肢からの信号による制御を行なっている．
Gurfinkelら6）も平面運動をする4個の剛体要素と運 動面に直角な回転軸をもつ関節からなる脚モデルを用 い，矢張りLagrangeの方程式を用いて2足歩行にお ける駆動トルクを決定する問題を取扱った．
また，Chowら7）は上体，大腿部，下腿部の質量：の中
心および質量のない足の関節にトルクを考え Lagrangeの運動方程式から，股関節の運動が規定の 軌跡をかくようにトルクの最適制御を求めた．
これらの研究は規定の運動，たとえばヒトの歩行に 相似の運動をするように各要素の運動や加えるトルク の最適な制御を求めたものである．著者らの研究も Lagrange方程式を用いることは同様であるが，関節 に回転ばねを用い，モデルを動かす力としては脚の傾 きによる質量（ヒトの体重）の水平方向の分力および 腰の回転を考え，歩行時におけるモデルの床反力がヒ トの正常歩行のα線図に類似するように最適なばね常 数を求める点が他の研究と異っている．このようにす ればモデルは自動的に歩行を続けることが可能である．
そして，この研究の成果は，直ちに義足製作時の重 要なデータとなり，このような義足を装着したヒトは 違和感のない最適な歩行ができることになる．
2．モデルの歩行の条件
新モデルをFig．1に示したが，このモデルは幅eの 骨盤の両端A，Bに等質量mをもち脚どピンで結合し ている．脚は大腿リンク，下腿リンクおよび足とし，
長さはそれぞれa，bおよび（c＋d）で質量は考え ない．足は足関節より爪先および踵までの長さを。お よびdとする．進行線に直角方向と骨盤とのなす角を θ，足と下腿リンク，下腿リンクと大腿リンク，大腿 リンクと骨盤のなす角を前脚ではそれぞれα，β，γ；
後脚では膝が伸びきっているので，それぞれξ，o，
η；足と水平面のなす角は前脚および後脚で，それぞ れλおよびζとする．
股，膝および足の各関節は回転ばねがついているピ ンで，それぞれのばね常数は々0，々、，々2（または々3）
である．ただし足関節のばね常数々、，々，はαまたはξ が足と一定の角度μの範囲内にある場合および範囲外 にある場合のものである．すなわち前脚および後脚に
＼
kl
b e kom
β
G
＼ぎ㎏k、α
弩
8
G
kl
＼
b k3 k2
ξ
C d
ζ
Fig．1 General view and dlmension of a new model．
それぞれ添字fおよびbをつければ，
留1：ll＝1：：1：雛1：＝1：｝
である．μはヒトの歩行写真よりμ＝1．562radとし た．これは踵の着地時と爪先離れ時とでばね常数を 々、，々、と変えたことになる．なお，歩幅をsとする．
新モデルは骨盤による腰試をもつために，自由度が 増すから，解析を簡単にする目的で，次の仮定を行なっ た．すなわち，
（1）義脚はκ軸を含む垂直面内を運動すること，
（2）腰の運動は水平運動であること，
（3）腰の揺動は周期的な余弦運動を行うこと，すなわ
ちθ＝θocosω （1）
2脚歩行の状態はいくつかの形態に分類され，名称 も研究者により異っているが，ここでは前報Dにな らって，1 後脚の足裏着地（foot flat）および膝関 節伸長，II 後脚の踵はなれ（heel off）， III前脚の 踵着地（heel contact）， IV 前脚足裏着地， V 後脚 爪先はなれ（toe off），前脚膝屈伸 の5形態に分類 する．このうち，1，II， Vが片脚立三期で， III， IV が両脚立脚期である．
歩行運動は円滑で運続的に行われねばならないから，
これら5形態の1→II→III→IV→V→1という移行も円 滑に行なう必要がある．このための移行条件は重要な問 題である．本計算に用いた移行条件は次のとおりである．
ある．
1→II：足裏の反力の中心が爪先に移ったとき，
II→III：歩幅∫に達し，かつ前脚の踵の高さが0にな るとき，
III→IV：λ＝0になるとき，
W→V：後脚の床反力が0となったとき，
V→1：β＝0になったとき．
3．モデルの歩行運動
Case I： この状態は， Fig．2のように，前脚のみ で立脚している．膝関節は伸びてβ＝0となっている．
後脚は破線のように水平とεの角度をなして，前脚と して着地の準備をしている状態である．
A，B点の座標はそれぞれ（κ， o， z），（κ一6sinθ，
2COSθ， Z）で運動のエネルギおよびポテンシャルエ ネルギは
B A ∈ ！ε ！ γ ／ ノ
／ （G＋b）
／ Z
この状態の拘束条件は
三lll螺：f剛
X
B A 6／ ε
／ η
／／
（G＋b）
／ ／／
＼◎μ
／
Z
↑
kb C
俵
ζ
／
＼○μ
kf
σ 戸 X c d ／
Fig．2 Model at the case I．
■およびzの拘束の条件は
工二一（α十∂）COSα， 9＝（α十6）sinα
で，この条件を（2＞式に代入して，Lagrangeの運動方程 式を求めれば，
となる．この場合の床反力の水平，垂直方向の分力は
ll欝瀞∴の｝ω
となり，床反力の着力点の座標を仇，o）とすれば ぬ；々ノ（α一μ）／瓦 であるから， ぬ＝c が移行の条件である．
Case II： Fig．3のように，着地していた片面の 踵が上がり，前脚は着地寸前である．
Fig．3 Model at the case II．
／
である．これらを代入して，Lagrangeの運動方程式を 求めれば
2〃zf＝一〃z6〜（θcosθ一θ2 sinθ）一∂こノ／∂■
2吻，ξ＝一∂乙1／∂z
∂σ／∂Lτ＝々。（η一ε）∂η／∂Lτ＋々δ（ξ一μ）∂ξ／∂∬
∂こ1／∂2；＝27729一←々。（η一ε）∂η／∂9
＋々δ（ξ一μ）∂ξ／∂z
∂ζ＿ COS（ξ＋ζ） ∂ζ＿sin（ξ＋ζ）
aじ一@ 〇sinξ ∂z o sinξ
∂ξ＿CCOSζ＋（α十∂）COS（ξ＋ζ）
∂瓢
∂ξ＿
万一 血＝
∂∬
（α十6）osinξ csinζ＋（α十∂）sin（ξ＋ζ）
（α十∂）csinξ COSζ ∂η＿ sinζ （α十δ）sinξ ∂9 （α＋6）sinξ
床反力はそれぞれ
食：矯（θCOSθ一θ2 sinθ）｝
（6）
A，B点の座標はそれぞれ（■， o， g），（κ一6sinθ，
θCOSθ， g）で，運動のエネルギ，ポテンシャルエネル ギは
：二二罎鷲報∴｝ ㈲
（7）
移行の条件は歩幅および・腰高が所定のsおよびz になるときで，前脚の振出し角εは一定でε＝1．178 radである．
5一（C十ゴ）＝：エー6sinθ十（α十δ）COSε 一4COS（μ一ε）
Z＝（α十∂）sinε十ゴsin（μ一ε）
Case III： Fig．4のように，前脚は爪先きが上っ て踵で着地し，後脚は踵が上っている．座標の原点を 前脚の踵にとれば，A， Bの座標はそれぞれ（∬， o， g），
（エ，εsinθ，6cosθ， z）である．運動のエネルギとポ テンシャルエネルギは
A
B COS（α一λ）
θ
e
A B
氏 ε
βG η
（G＋b）
ar 4sinα
αβ＿∂α 猷
∂エ ∂■ aτ
∂α ∂sin（α一λ）＋ゴsinλ
X
Z 争 b
kf α
xC dF
ξ
kb d G ζ
∂Z わ4sinα
∂！λ sin（α一ノ1）
∂9 4sinα
∂β ∂α 翻
∂z ∂9 ∂z
∂α 一α∂sin（α一λ一γ）十α4 sin（λ十γ）
房＝
∂λ＝
∂γ
∂β＝．亟＿＿＿1
∂ゴsinα 一αsin（α一λ一γ）
ゴsinα ∂λ Fig．4 Mbdel at the case III． ∂γ ∂γ ∂γ
∂ζ COSη 万＝
童
∂η
∂η 一COSζ
27、＝〃z｛（オ2十22）十（f一を〜θcosθ）2 十（θθS1nθ）2十22｝
2σ＝々。｛γ＋ε）2＋（η一ε）2｝＋々1β2 ＋々ノ（α一μ）＋々δ（ξ一μ）2二←4〃zgz
拘束条件は
r一｛αCOSγ＋∂COS（α一λ）一4COSλ｝
Z＝窪sinγ＋わsin（α一λ）＋ゴsinλ γ＝α一λ一β
Z＝（α十∂）sinη＋csinζ ｛々。（γ一ε）一々1（α一λ一γ）｝∂ゴsinα 遅々1α4（α一λ一γ）sin（！そ十γ）
＋々，（α一．μ）α｛一∂sin（α一λ一γ）
十4sin（λ十γ）｝＝0 ε一（C十4）一（ヨsinθ十．τ ＝一（α十6）COSη一（＝｝COSζ η＝ζ＋ξ
（8＞
csin（ζ一η） ∂τ （0十δ）sin（ζ一η）
∂η ∂ζ ∂ζ＿ 一sinη
∂τ ∂Lτ ∂z csin（ζ一η）
sinζ ∂ξ＿∂η ∂ζ
∂Z （召十δ）sin（ζ一η） ∂Z ∂Z ∂Z
後脚および前脚の床反力の分力をそれぞれ1壱，R、
および凡，凡とすれば
R・一
Ailζ1｛々δ（ξ一μ c．）一R・C・・ζ｝
鳥一Ai。（1＋ζ）〔島（ξヂ）・i・λ
＋々・（α一μゴ）・i・ζ＋2吻（ぎ＋9）…λ・i・ζ
一｛2〃設r一〃26（θcosθ一θ2 sinθ）｝
・i・λ・i・ζ〕
1『τ＝2〃3f一〃z6（6∫cosθ一θ2 sin1θ）一1ぞエ．
凡＝2鋭（乏デ十9）一1〜2 となる．
（io）
⑨
で，これらの式と（8）式よりLagra並9eの運動方程式を 求めれば
籍犠θ ザsinθ一∂σ侮｝
ここで
讐一々・（・一・）募＋々ρ（ξ「・）三々1β誓
梅（・一・）誓
鰐一2駕・＋々・（・一・）彩＋瞭一・）餐
ナ々1β詔＋々．（・一・）・亟
∂α
飯
∂z ．∂z 一∂COS（α一λ）＋ゴCOSλ
∂4sinα
Case IVへの移行の条件は前脚が足裏着地，すなわち λ＝0になったときである．
Case lV： Fig．5に示すように，前脚は足裏が全 面着地（foot flat）になり，後脚は爪先支持にな．ってい る．座標原点は前脚足関節で，A， B点の座標は．それ ぞれ（エ，o，の，（∫一εsinθ，2cosθ，多）である．この 場合の運動エネルギとポテンシャルエネルギは 2T＝〃z｛（f2十，22）十（2−6θcosθ）2 十（召θsinθ）2十22｝
2こノ＝4〃zgき＋々ノ（α一μ）2→一々1β2＋々・（γ一・ε）2 （11）
＋々。（η一ε）2＋々1η2＋々δ（ξ一μ）2
拘束条件は次のようになる．
■＝『（αCOSγ＋∂COSα）1
B
A
θ
e
A B
X
kf kl
Z b
ぺ
βG
αμ
￠ η
（G＋b）
kb G
ξ
C d S
Fig．5 Model at the case IV．
Z＝ごzsinγ十δsinα α＝β＋γ
z＝（α十δ）sin（ξ＋ζ）＋osinζ （12）
S−C一εS童nθ＋κ＝一（α十δ）COS（ξ÷ζ）．
一CCOSζ η＝ξ＋ζ
これらの式を用いればLagrangeの運動方程式は
2〃zf＝〃zθ（∂cosθ一∂2 sinθ）一∂こ1／∂」τ 2〃2ぎ＝一∂し1／∂z
ここで
aτ aτ ∂躍 aτ
∂こ1＝＝々ノ（α＿μ）∂α＋々、β」塑＋々δ（ξ＿μ）∂ξ
＋々・｛（・一・）募＋（・一・）雰｝
砦9−2吻・＋々・（・一・）農＋々1β募＋々・（ξ一・）嘉
＋々・｛（・一・）嘉＋（・一・）農｝
血＿ COSα 蝕一 ozsin（α一γ）
∂α 一COSγ δsin（α一γ），
超＿αCOSγ十δCOSα
∂γ＿ sinα
∂9 αsin（α一γ）
∂α＿． 一sinγ
∂Z ∂sin（α一γ）
一αsinγ一∂sinα
∂■ α∂sin（α一γ） ∂Z α∂sin（α一γ）
∂ζ 一COSη
∂万 csinξ
∂ξ CCOSζ＋（α十δ）COSη
∂η
C（α十∂）sinξ COSζ
（α十∂）sinξ
∂ζ＿sinη ∂z csinξ
∂ξ＿ csinζ＋（α十ゐ）sinη ∂9 C（α十6）sinξ ∂η＿ 一sinζ ∂Z （α十δ）sinξ
となる．これらの式より後脚および前脚の床反力の分 力を求むれば
1〜劣＝｛々う（ξ一μ）一C1〜竃COSζ｝／c sinζ 1〜z＝｛一2〃z（9十ぎ）」じ一〃zθ（9十2）sinθ 十2徽た
一〃zε（〃cosθ一∂2 sinθ）9 （14）
＋々／（α一μ）｝／（s−c）
1㌦＝2〃zf一〃zθ（θcosθ一θ2 sinθ）一1〜エ Eと＝2〃z（9十2）一1〜z
となる．移行の条件は後脚が爪先はなれ（toe off）し たときで，床反力がなくなった1〜。＝0のときである．
Case V： Fig．6のように，前脚は足裏着地の状 態での片脚立脚である．座標原点は足関節でA，B点
の座標はそれぞれ（κ，0，Z），（∬一θsinθ，2COSθ， Z）
である．
この場合の運動エネルギおよびポテンシャルエネル ギは
27「＝〃z｛（オ2十オ2）十（オーθθcosθ）2 十（εθsinθ）2十22｝
（15）
2σ＝4〃zgz＋々ノ（α一μ）2＋々1β2 面々。（γ一ε）2
拘束条件は
B A
X
6 ／ ／ ／ ／ Z ／／
＼ぐ柴，＼
夕ε
Gβ
b αμ
（13）
C d Fig．6 Model at the case V．
κ＝一（αCOSγ十∂COSα）
Z＝αsinγ十∂sinα γ；α一β
これらの式よりLagrangeの運動方程式を求めれば 2磁＝一膨（θcosθ＋θ2sinθ）鋤u
2駕ぎ＝一∂酬∂z
辺一々。（。一μ）並＋々1β一亜＋々。（γ一、）童
∂π ∂∬ ∂π
＿選∠一＝々／（α一μ）」亟＋々1β」塑
∂ξ
丞L ∂∫ ∂sin（γ一α）
∂γ＿ COSα 斎一αsin（γ一α）
∂β＿∂α ∂γ ∂■ ∂■ ∂寛 となる．床反力の分力は
∂9 ∂z ∂γ
十々。（γ一ε）
十2窺9 ∂z
−COSγ
∂■
璽＝ sinγ
∂9 ∂sin（γ一α）
∂γ＿ 一sinα 石一 αsin（γ一α）
∂β＿∂α ∂γ
∂z ∂z ∂z
（1㊦
解瀦（θ鵬θ一矧｝（17）
である．移行の条件は膝が伸びたとき，すなわちβ＝0 になったときである．
4．計算結果および考察
前節で求めた歩行の運動方程式や移行条件が適正で あるかを検討するため，一例としてTable 1の数値を 用いて，1→II→III→IV→V→1の歩行の数値計算を行 なった．計算結果をBasographyで示したのがFig．7で ある．数値計算は∠！＝0．001sθc間隔で行なったが，図 には各Caseの開始・終了時とその間に∠ ＝0．04 sεc 間隔のデータを用い，各Caseの歩行範囲を図の上部
に示した．
この図はFig．2〜6とは反対方向に歩いているが，
骨盤が（1）式のような余弦運動を行なって歩行する場合の 股関節の軌跡はヒトの歩行の場合に類似して円滑な歩 行運動をしていることがわかる．詳細に見ればCase Vでは1歩目2歩目とも膝を伸ばすとき股関節は止 まった状態にあり，2歩目では膝関節の曲がり方が大 きくなっている．また1歩目ではCase lの期間が 0．04昭。より短く図示できなかった．
また，計算結果よりα線図をかくとF19．8のように Table l Dimensions used in the present calculation．
質 量 勉 30々ガ 大腿関節ばね常数 々。 0．00001履・〃2／rad 大腿リンク長さ α ．0．40 m 膝関節 〃 々1 28．0 〃
下腿 〃 δ 0．40 〃
足関節 〃
々2
X3
48．0 〃 T0．0 〃 足前部リンク長さ c 0．20 〃
足後部 〃 4 0．05 〃 足関節限界角 μ 1．562 rad
骨 盤 幅 θ 0．25 骨盤と大腿リンクの角 γo 1．178 〃 歩 幅 s 0．78 ノノ 骨盤最大振幅 θo 0．1047 〃 重力の加速度 9 9．80m／s2 着地前大腿リンクと恃ﾕの角度 ε 1．178 〃
骨盤の回転角速度 ω 5．236 rad／s
1．8 V
○．5
○○
O．5 LO 1．5 2．0 25 3，0
m
Fig，7 Basography of a new model．
々1＝28．0， 々2＝48．0， 々3＝50．0（々g／・〃2／rad）
大体逆ハート形が得られた．質量60kgにしては大き な踏力となったが，ばねの連成運動であるから，この 際はやむを得ないであろう．進行方向が膨んだのは前 脚の着地が垂直方向に偏ったためで，両脚立脚期への 切換え時期にも原因があると考えられる．
一40
Wolking direCfion
O
kg
50
50
100
150 kg
Fig．8 α一diagram in walking of a new model．
々1＝28．0， 々2＝48．0， 々3＝50．0（々￡〆・〃z／rad）
このようにFigs．7，8は， Case I〜Vの形態に対す る運動方程式が正しく，各Caseの移行の条件・時期も ほぼ適切であることを示している．これらの図がヒト の歩行に一層酷似するためには，ヒトの正常歩行の各 種のデータを計測し，この目的に適うように解析し，
本モデルの方もヒトの歩行にできるだけ近くなるよう に，ばね定数や角度を選択する必要がある．
5．結 論
腰幅をもち，股関節に回転ばねをもち，腰を揺動さ せながら，垂直面内で脚を屈伸する2脚モデルを考え，
このモデルが歩行運動をする際の形態を五つに区分し，
各形態についての運動方程式および拘束条件の式を得 た．また，このモデルが円滑な歩行運動をするための 移行条件を考えた．そしてこれらの運動解析が合理的 であるか否かをみるため，一組の数値を用いて数値計 算を行なったところ，ヒトの歩行に類似の歩行特性曲線 が得られ，本モデルが歩行解析に有効であることがわ かった．
今後さらに種々の数値を用いて歩行特性を調査し，
ヒトの正常歩行に近いモデルの歩行を求める必要があ る．また，上体が歩行に及ぼす影響についての調査も 必要となろう．
文 献
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